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拓展课　运动图像与追及相遇问题
核心要点　运动图像问题
[要点归纳]　
1.x－t图像与v－t图像的比较
比较内容
x－t图像
v－t图像
图像
物理意义
反映的是位移随时间的变化规律
反映的是速度随时间的变化规律
①
表示物体从位移为正处开始一直做反向匀速直线运动并过零位移处
表示物体先做正向匀减速直线运动，再做负向匀加速直线运动
②
表示物体静止不动
表示物体做正向匀速直线运动
③
表示物体从位移为零处开始做正向匀速运动
表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动
④
表示物体做加速直线运动
表示物体做加速度逐渐增大的加速运动
图像与坐标轴围成的“面积”的意义
无实际意义
表示相应时间内的位移
2.x－t图像的应用
（1）根据图像斜率可以求出物体的速度。
（2）由图像判断物体运动的方向。
（3）根据图像可以求出一段时间内的位移或发生一段位移所用的时间。
（4）在同一坐标系中若画出几个物体的位移图像，可比较它们运动的快慢，也可知道它们相遇（两图线的交点）的时刻。
3.v－t图像的应用
（1）由图像判断物体运动的方向。
（2）根据图像的斜率可以求出物体的加速度。
（3）根据图像可以求出某一时刻的速度或某段时间内速度的变化量。
（4）根据图线与t轴所围图形面积求物体的位移。
（5）根据图像可以判断物体的运动性质。
（6）在同一坐标系中，若画出几个物体的速度图像，可比较它们速度变化的快慢，也可知道它们速度相等（两图线的交点）的时刻。
[试题案例]
[例1] （多选）质点做直线运动的v－t图像如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内的平均速度及质点运动的总路程为（　　）
A.总路程为2 m
B.平均速度为0.25 m/s，方向向左
C.总路程为8 m
D.平均速度为1 m/s，方向向左
解析　v－t图像中，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，时间轴上方的面积表示的位移为正值，下方的面积表示的位移为负值，由图知，前8 s内的总位移x＝ m－ m＝－2 m，平均速度＝＝－0.25 m/s，负号表示方向向左，故选项B正确，D错误；总路程为s＝ m＋ m＝8 m，选项C正确，A错误。
答案　BC
方法凝炼　运动学图像的“六看”
x－t图像
v－t图像
轴
纵轴为位移x
纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线与时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
交点
表示相遇
表示速度相等
[针对训练1] （多选）如图是A、B两个质点做直线运动的x－t图像，下列说法正确的是（　　）
A.在运动过程中，A质点总比B质点运动的快
B.当t＝t1时，两质点相遇
C.当t＝t1时，两质点的速度相等
D.当t＝t1时，A、B两质点的加速度都大于零
答案　AB
核心要点　追及相遇问题
[要点归纳]　
1.追及相遇问题
两物体在同一直线上一前一后运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及相遇问题，讨论追及相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。
2.分析追及相遇问题的思路和方法
（1）抓住一个条件、用好两个关系
①一个条件：速度相等。这是两物体是否追上（或相撞）、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。
②两个关系：时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。
（2）常用方法
①物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。
②图像法：将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像求解。
③数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰。
[试题案例]
[例2] 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求：
（1）汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？
（2）汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？
思路点拨　开始时自行车的速度大于汽车的速度，二者之间的距离逐渐增大，当汽车的速度等于自行车的速度时，二者相距最远；之后汽车的速度大于自行车的速度，二者之间距离逐渐缩短，直到追上。
解析　（1）法1　基本规律法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有
v1＝at1＝v自
所以t1＝＝2 s
Δx＝v自t1－at＝6 m
法2　极值法或数学分析法
设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为
Δx＝x1－x2＝v自t1－at
代入已知数据得Δx＝6t1－t
由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大
代入得Δx＝6 m
法3　图像法
自行车和汽车运动的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m
（2）法1　基本规律法
当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有
v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s
法2　图像法
由图可以看出，在t1时刻之后，标有阴影的两个三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。由几何关系知t2＝2t1＝4 s，v2＝at2＝3×
4 m/s＝12 m/s。
答案　（1）2 s　6 m　（2）4 s　12 m/s
方法凝炼　解答追及相遇问题的思维流程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[针对训练2] 汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2 的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？
解析　法1　在汽车做匀减速运动的过程中，自行车仍在做匀速运动。当汽车的速度大于自行车速度时，两车间距离逐渐减小；当两车速度相等时，距离最小，当汽车速度小于自行车速度时，距离增大。因此，当汽车速度减小到与自行车速度相等没有碰撞时，便不会碰撞。因而开始时两车间距离等于汽车与自行车位移之差。汽车减速到4 m/s时，发生的位移和运动的时间分别为
x汽＝＝ m＝7 m
t＝＝ s＝1 s，
这段时间内自行车发生的位移为
x自＝v自t＝4×1 m＝4 m，
汽车关闭油门时离自行车的距离为
s＝x汽－x自＝（7－4） m＝3 m。
法2　利用v－t图像进行求解，如图所示，直线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的运动图线，图中阴影部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离s。图线Ⅰ的斜率即为汽车减速运动的加速度，所以应有
s＝＝×＝ m
＝3 m。
答案　3 m
1.（x－t图像）两质点A、B从同一地点开始运动，x－t图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.A做直线运动，B做曲线运动
B.两质点在4 s末速度相等
C.两质点在前8 s的路程相等
D.两质点在前8 s的位移大小相等
答案　C
2.（v－t图像）2017年4月20日19时，中国首个货运飞船“天舟一号”在中国文昌发射中心成功发射。假设发射“天舟一号”的火箭某段时间内由地面竖直向上运动，该段时间内火箭的v－t图像可简化为如图乙所示，由图像可知（　　）
A.0～t1时间内火箭的加速度小于t1～t2时间内火箭的加速度
B.在0～t2时间内火箭上升，t2～t3时间内火箭下落
C.t2时刻火箭离地面最远
D.t3时刻火箭回到地面
解析　由所给图像的斜率知，0～t1时间段内火箭的加速度小于t1～t2时间段内火箭的加速度，A正确；火箭在0～t3时间段内速度方向没有变化，一直为正，故0～t3时间段内火箭上升，B错误；t3时刻火箭上升到最高点，距地面最远，C、D错误。
答案　A
3.（追及相遇问题）一个步行者以6 m/s的速度匀速追赶一辆被红灯阻停的汽车，当他距离汽车25 m时，绿灯亮了，汽车以1 m/s2的加速度匀加速启动前进，下列结论正确的是（　　）
A.人能追上汽车，追赶过程中人跑了36 m
B.人不能追上汽车，人、车最近距离是7 m
C.人能追上汽车，追上前人共跑了43 m
D.人不能追上汽车，且汽车开动后人、车相距越来越远
解析　设经过时间t两者速度相等，此时步行者与汽车的距离最近
t＝＝ s＝6 s
步行者的位移为x1＝vt＝6×6 m＝36 m
汽车的位移为x2＝at2＝×1×36 m＝18 m
x1－x2＝18 m＜25 m，故不能追上。
人、车最近距离是Δx＝25 m－18 m＝7 m。
答案　B
4.（追及相遇与图像结合问题）A、B两个物体在水平面上沿同一直线运动，它们的v－t图像如图所示。在t＝0时刻，B在A的前面，两物体相距7 m，B物体做匀减速运动的加速度大小为2 m/s2。则A物体追上B物体所用时间是（　　）
A.5 s B.6.25 s
C.7 s D.8 s
解析　B车减速到零所需的时间
t＝＝ s＝5 s，
xB＝（v＋0）t＝×10×5 m＝25 m
A车在5 s内的位移xA＝vAt＝4×5 m＝20 m
xA＜xB＋Δx，Δx＝7 m，所以B车在停止运动后被追上
设A物体追上B物体所用时间为t0，则vAt0＝Δx＋xB
t0＝ s＝8 s，故选项D正确。
答案　D
基础过关
1.（多选）如图所示为甲、乙两个物体相对同一参考系的x－t图像，下面说法正确的是（　　）
A.甲、乙两物体的出发点相距x0
B.甲、乙两物体都做匀速直线运动
C.甲物体比乙物体早出发的时间为t1
D.甲、乙两物体向同方向运动
解析　由图可知，甲的出发点在x0处，乙的出发点在0处，故选项A正确；x－t图像为斜线，表示物体做匀速直线运动，斜向上为正向匀速直线运动，斜向下为反向匀速直线运动，故选项B正确，D错误；甲是0时刻出发，乙是t1时刻出发，故选项C正确。
答案　ABC
2.竖直升空的火箭，其v－t图像如图所示，由图可知以下说法正确的是 （　　）
A.火箭在40 s时速度方向发生变化
B.火箭上升的最大高度为48 000 m
C.火箭经过120 s落回地面
D.火箭经过40 s到达最高点
解析　由v－t图像知，火箭前40 s向上做匀加速直线运动，40～120 s向上做匀减速直线运动，所以选项A、C、D错误；上升的最大高度x＝×800×120 m＝48 000 m，B正确。
答案　B
3.一质点沿x轴做直线运动，其v－t 图像如图所示。质点在t＝0 时位于x＝5 m处，开始沿x轴正向运动，当t＝8 s时，质点在x轴上的位置为（　　）
A.x＝3 m B.x＝8 m
C.x＝9 m D.x＝14 m
解析　在v－t图像中，图线与时间轴围成的面积表示质点运动的位移，则x08＝
×（4＋2）×2 m－×（4＋2） ×1 m＝3 m，故t＝8 s时，质点在x轴上的位置坐标x8＝5 m＋3 m＝8 m，选项B正确，A、C、D错误。
答案　B
4.（多选）甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿同一条直线运动，它们的v－t图像如图所示，由图可知（　　）
A.甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B.t＝20 s时，乙追上了甲
C.t＝20 s时，甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离
D.在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快
解析　由图可知，乙在0～10 s内速度为零，甲先出发，但乙出发后做匀加速直线运动，甲做匀速直线运动，两物体出发地点相同，则乙可以追上甲，故A错误；在v－t图像中，与时间轴所围面积即为物体运动的位移，故20 s内甲的位移大于乙的位移，乙不可能追上甲，故B错误；在10～20 s内，甲的速度大于乙的速度，甲在乙的前方，两者距离逐渐增大，20 s后乙的速度大于甲的速度，两者距离逐渐减小，在t＝20 s时刻两者距离最大，最大距离为s＝10×20 m－×10×10 m＝150 m，所以C、D正确。
答案　CD
5.（多选）一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度图像如图所示，那么0～t0和t0～3t0 两段时间内（　　）
A.加速度大小之比为3∶1
B.位移大小之比为1∶2
C.平均速度大小之比为2∶1
D.平均速度大小之比为1∶1
解析　加速度a＝，由图知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，则＝，A项错误；位移大小之比等于图形面积之比，即＝，B项正确；平均速度＝，＝1，C项错误，D项正确。
答案　BD
6.（多选）如图为一质点做直线运动的速度—时间图像，如图中实线所示，其初速度为v0，末速度为v，则它在t0时间内的平均速度和加速度应是（　　）
A.平均速度小于 　　 B.平均速度大于
C.加速度逐渐减小 　　 D.加速度逐渐增大
解析　如图所示，若物体运动的v－t 图线为②，则＝；而实际上物体运动位移为①下的阴影部分，与②图线下的面积相比较小，而时间相等，所以＜，故A正确，B错误；由a＝知过某一时刻图线上对应点的切线的斜率可表示该时刻的加速度的大小。由图可看出图线的斜率在不断变大，也就表示加速度在不断变大，故C错误，D正确。
答案　AD
7.客车以22 m/s的速度行驶，突然发现前方180 m处有一列货车正以6 m/s的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，刹车加速度大小为0.8 m/s2，问两车会不会相撞？
解析　当两车的速度相等时，即v1－at＝v2，时间t＝＝ s＝20 s。在这段时间内客车的位移x1＝v1t－at2＝（22×20－×0.8×202） m＝280 m，货车的位移x2＝v2t＝6×20 m＝120 m，因为x1＝280 m300 m，故两车不会相撞。
答案　不会相撞
能力提升
8.（多选）2018年4月22日，司南杯第六届大帆船赛三亚船队夺冠。若a、b两个帆船同地向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则下列说法正确的是 （　　）
A.b船启动时，a船在其前方2 m处
B.运动过程中，b船落后a船的最大距离为4 m
C.b船启动3 s后正好追上a船
D.b船超过a船后，两船不会再相遇
解析　根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知b在t＝2 s时启动，此时a的位移x＝×2×1 m＝1 m，即a船在b船前方1 m处，选项A错误；当两船的速度相等时相距最远，最大距离smax＝×（1＋3）×1 m－×1×1 m＝1.5 m，选项B错误；由于两船从同一地点沿同一方向沿直线运动，当位移相等时两船才相遇，由题图可知，b船启动3 s后位移等于a的位移，b船启动3 s后正好追上a船，选项C正确；b船超过a船后，由于b的速度大，所以不可能再相遇，选项D正确。
答案　CD
9.如图所示为一个质点做直线运动的v－t 图像，下列判断正确的是（　　）
A.质点在10～12 s内位移为6 m
B.质点在8～10 s内的加速度最大
C.质点在11 s末离出发点最远
D.质点在8～12 s内的平均速度为4.67 m/s
解析　由图看出，质点在10～11 s内沿正方向运动，11～12 s内沿负方向运动，由于两段时间内图像的“面积”相等，说明两段时间内位移大小相等，所以质点在10～12 s内位移为0，故选项A错误；根据速度图像的斜率等于加速度可知，质点在10～12 s内加速度最大，故选项B错误；质点在0～11 s内沿正方向运动，11～12 s内沿负方向返回，所以质点在11 s末离出发点最远，故选项C正确；质点在8～12 s内的位移x＝×2 m＝8 m，则其间的平均速度＝＝2 m/s，选项D错误。
答案　C
10.（多选）如图所示为甲、乙两物体运动的x－t图像，则下列说法正确的是（　　）
A.甲物体做变速直线运动，乙物体做匀速直线运动
B.两物体的初速度都为零
C.在t1时间内两物体平均速度大小相等
D.相遇时，甲的速度大于乙的速度
解析　由x－t图像形状可知，甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动，两物体的初速度都不为零，故选项A正确，B错误；0～t1时间内，甲、乙的位移相同，平均速度相同，选项C正确；t1时刻甲、乙相遇，根据x－t图像斜率等于速度大小的特点，v甲>v乙，选项D正确。
答案　ACD
11.当汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌（如图所示），以提醒后面驾车司机，减速安全通过。在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m的物体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后最大加速度为5 m/s2。求：
（1）小轿车从刹车到停止所用的最短时间；
（2）三角警示牌至少要放在车后多远处，才能有效避免两车相撞。
解析　（1）设从刹车到停止时间为t2，则
t2＝＝ s＝6 s。
（2）反应时间内做匀速运动，则x1＝v0t1
解得x1＝18 m
设从刹车到停止的位移为x2，则x2＝
解得x2＝90 m
则小轿车从发现物体到停止的行驶距离为
x＝x1＋x2＝108 m
所求间距Δx＝x－50 m＝58 m。
答案　（1）6 s　（2）58 m
12.如图所示，公路上一辆汽车以速度v1＝10 m/s匀速行驶，汽车行至A点时，一人为搭车，从距公路30 m的C处开始以v2＝3 m/s的速度正对公路匀速跑去，司机见状途中刹车，汽车做匀减速运动，结果车和人同时到达B点，已知AB＝80 m，问：汽车在驶过A多远处开始刹车，汽车刹车的加速度是多少？
解析　设人由C跑到B的时间为t人，则有
t人＝＝ s＝10 s①
设汽车在距A点x处开始刹车，刹车前汽车匀速运动，需要时间为t1，则有x＝v1t1②
设汽车刹车时间为t2，则有t2＝t人－t1③
关于汽车的位移方程：t2＋x＝80④
a＝⑤
联立①②③④⑤得x＝60 m，a＝－2.5 m/s2
答案　60 m　2.5 m/s2

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