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拓展课　匀变速直线运动规律的应用
核心要点　初速度为零的匀加速直线运动的比例式
[问题探究]　
汽车以2 m/s2的加速度由静止开始启动，若汽车做匀加速直线运动。
（1）请分别计算汽车1 s、2 s、3 s、4 s末的速度，以及1 s、2 s、3 s、4 s末的速度比。你能发现什么规律？
（2）请分别计算汽车1 s、2 s、3 s、4 s内的位移，以及1 s、2 s、3 s、4 s内的位移比。你能发现什么规律？
（3）请分别计算汽车第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内的位移，以及第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内的位移比。你能发现什么规律？
答案　（1）根据v＝at知v1＝2 m/s，v2＝4 m/s，v3＝6 m/s，v4＝8 m/s，故v1∶v2∶v3∶v4＝1∶2∶3∶4
速度比＝时间比
（2）根据x＝at2知x1＝1 m，x2＝4 m，x3＝9 m，x4＝16 m，
x1∶x2∶x3∶x4＝1∶4∶9∶16
总位移比＝时间二次方比
（3）xⅠ＝1 m，xⅡ＝x2－x1＝3 m，xⅢ＝x3－x2＝5 m，xⅣ＝x4－x3＝7 m，xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶xⅣ＝1∶3∶5∶7
连续相等时间内的位移比＝连续奇数比
[探究归纳]　
1.初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分（设相等的时间间隔为T）
①1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比：
由v＝at可得：v1∶v2∶v3…＝1∶2∶3…
②1T内、2T内、3T内…位移之比：
由x＝at2可得：
x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…
③第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比：由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2…可得：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…＝1∶3∶5…
2.初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分（设相等的位移为x0）
①通过x0、2x0、3x0…所用时间之比：
由x＝at2可得t＝，所以
t1∶t2∶t3…＝1∶∶…
②通过第一个x0、第二个x0、第三个x0…所用时间之比：由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，
tⅢ＝t3－t2…可得：
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…＝1∶（－1）∶（－）…
③x0末、2x0末、3x0末…的瞬时速度之比：
由v2＝2ax，可得v＝，所以
v1∶v2∶v3…＝1∶∶…
温馨提示　（1）比例式解题适用初速度为零的匀加速直线运动。
（2）对末速度为零的匀减速直线运动，可逆向分析应用比例关系解答。
[试题案例]
[例1] 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：
（1）物体在2 s内的位移；
（2）物体在第2 s内的位移；
（3）物体在第二个2 s内的位移。
解析　（1）物体在2 s内的位移x2＝at＝×1×22 m＝2 m。
（2）汽车在第1 s内的位移x1＝at＝×1×12 m＝0.5 m
由xⅠ∶xⅡ＝1∶3得xⅡ＝3xⅠ＝3x1＝1.5 m。
（3）以2 s为一个时间单位，设物体在第二个2 s内的位移为x′
由x2∶x′＝1∶3得
x′＝3x2＝3×2 m＝6 m。
答案　（1）2 m　（2）1.5 m　（3）6 m
[针对训练1] 在冰壶世锦赛上中国女子冰壶队夺得世界冠军，如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是多少？（冰壶可看成质点）
解析　把冰壶的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。冰壶通过两矩形区域位移相等，则从右向左穿过矩形的速度之比1∶，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比v1∶v2＝∶1；冰壶从右向左，通过每个矩形区域的时间之比1∶（－1）；则冰壶实际运动穿过每个矩形区域的时间之比t1∶t2＝（－1）∶1。
答案　∶1　（－1）∶1
核心要点　匀变速直线运动的常用公式的应用
[要点归纳]　
1.匀变速直线运动四个常用公式的比较
公式
一般形式
v0＝0时
涉及的
物理量
不涉及的
物理量
速度公式
v＝v0＋at
v＝at
v、v0、a、t
位移x
位移公式
x＝v0t＋at2
x＝at2
x、v0、t、a
末速度v
速度与位移
的关系式
v2－v＝2ax
v2＝2ax
v、v0、a、x
时间t
平均速度求
位移的公式
x＝t
x＝t
x、v0、v、t
加速度a
2.常用公式的三点说明
（1）表中四个公式共涉及匀变速直线运动的初速度v0、末速度v、加速度a、位移x和时间t五个物理量，这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定统一的正方向（通常取v0方向为正方向），并注意各物理量的正负。
（2）灵活选用公式，已知五个量中任意三个可求另外两个。
（3）速度公式和位移公式是两个基本公式，利用这两个公式可求解匀变速直线运动的所有问题，而灵活选用其他公式可在某些具体问题中大大简化解题过程。
3.一个常用推论：匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
（1）推导：x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a·T2，
x3＝v0·3T＋a·T2……
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2……
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2……
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
（2）应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
②求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。
温馨提示　各式的内在联系
[试题案例]
[例2] 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度和末速度及加速度。
解析　法1　基本公式法
如图所示
由位移公式得
x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a（2T）2－（vAT＋aT2）＝v0T＋aT2
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式
解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
法2　用平均速度法
连续两段相等时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s
2＝＝ m/s＝16 m/s
且1＝，2＝
由于B是A、C的中间时刻，则
vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
法3　逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
又x1＝vAT＋aT2
vC＝vA＋a·2T
联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
答案　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
方法凝炼　（1）＝适用于任何形式的运动。
（2）＝只适用于匀变速直线运动。
（3）用平均速度求位移，因为不涉及加速度，比较简单方便。x＝t＝t也是矢量式。
（4）Δx＝aT2只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。
[针对训练2] 从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。试求：
（1）小球的加速度是多少？
（2）拍摄时小球B的速度是多少？
（3）拍摄时xCD是多少？
解析　小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。
（1）由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为
a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2
（2）由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s。
（3）由于连续相等时间内位移差恒定，所以
xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝25×10－2 m＝0.25 m。
答案　（1）5 m/s2　（2）1.75 m/s　（3）0.25 m
核心要点　匀变速直线运动问题的分析技巧
[要点归纳]　
分析匀变速直线运动的技巧：“一画、二选、三注意”
一画：根据题意画出物体运动示意图，使运动过程直观清晰。
　　　　运动过程图，在图中标明已知量、待求量
二选：从以下常用方法中选取合适的方法。
三注意：注意列运动学方程时，方程式中每一个物理量均对应同一运动过程。
[试题案例]
[例3] 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示。已知物体运动到斜面长度处的B点，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。（至少用两种方法解答）
解析　法1　逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面。故xBC＝，xAC＝，又xBC＝，解得tBC＝t。
法2　比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）。
现有xBC∶xAB＝∶＝1∶3。
通过xAB的时间为t，故通过xBC的时间tBC＝t。
法3　中间时刻速度法
利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，
则AC＝＝＝
又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝
由以上各式解得vB＝
可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位置，因此有tBC＝t。
法4　图像法
利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法，作出v－t图像，如图所示，＝
且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，OC＝t＋tBC
所以＝，得tBC＝t。
答案　t
[针对训练3] 一只叫Diamond的宠物狗和主人游戏，宠物狗沿直线奔跑，依次经过A、B、C三个木桩，B为AC的中点，它从木桩A开始以加速度a1匀加速奔跑，到达木桩B时以加速度a2继续匀加速奔跑，若它经过木桩A、B、C时的速度分别为0、vB、vC，且vB＝，则加速度a1和a2的大小关系为（　　）
A.a1＜a2 B.a1＝a2
C.a1＞a2 D.条件不足，无法确定
解析　设宠物狗在AB段和BC段的位移均为x，对AB段；v＝2a1x，对BC段：v－v＝2a2x，又vB＝，由以上三式得：a2＝3a1，因为宠物狗做加速运动，则有a2＞a1，故选项A正确，选项B、C、D错误。
答案　A
1.（比例式的应用）一个物体从静止开始做匀加速直线运动。它在第1 s内与第
2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2。下列说法正确的是（　　）
A.x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B.x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C.x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D.x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
解析　由x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）知，x1∶x2＝1∶3；由v2＝2ax可得v1∶v2＝1∶，选项B正确。
答案　B
2.（比例式的应用）（多选）如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点。下列说法正确的是（　　）
A.物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2
B.物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
C.物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2
D.下滑全程的平均速度＝vB
解析　物体做初速度为零的匀加速直线运动。由v2＝2ax得v∝，A正确；同时vB－vA＝vB，vC－vB＝（－1）vB，vD－vC＝（－）vB，vE－vD＝（2－）vB，B错误；又由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故＝vB，D正确。
答案　ACD
3.（Δx＝aT2的应用）一质点做匀加速直线运动，依次经过O、A、B、C四点，A、B间的距离为10 m，B、C间的距离为14 m，已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等。则O与A的距离为（　　）
A.8 m B.6 m
C.4 m D.2 m
解析　根据匀加速直线运动规律，连续相等的时间间隔T内物体的位移之差Δx＝aT2，则x3－x2＝x2－x1，所以x1＝2x2－x3＝2×10 m－14 m＝6 m，选项B正确。
答案　B
4.（匀变速直线运动公式的应用）以20 m/s的速度行驶的汽车，制动后以5 m/s2的加速度做匀减速直线运动。则汽车在制动后的5 s内的位移是（　　）
A.45 m B.37.5 m
C.50 m D.40 m
解析　汽车运动时间t＝＝4 s＜5 s，则x＝at2＝
×5×42 m＝40 m，故选项D正确。
答案　D
基础过关
1.做匀加速直线运动的质点，运动了时间t，下列说法中正确的是（　　）
A.它的初速度越大，通过的位移一定越大
B.它的加速度越大，通过的位移一定越大
C.它的末速度越大，通过的位移一定越大
D.它的平均速度越大，通过的位移一定越大
解析　由公式x＝v0t＋at2可知，在时间t一定的情况下，只有当初速度v0和加速度a都较大时，位移x才较大，选项A、B错误；由公式x＝t可知，在时间t一定的情况下，只有当初速度v0和末速度v都较大时，位移x才较大，选项C错误；由公式x＝ t知，在时间t一定的情况下，平均速度 越大，位移x一定越大，选项D正确。
答案　D
2.（多选）如图所示，飞机起飞时，在同一底片上相隔相等时间多次曝光“拍摄”的照片，可以看出在相等时间间隔内，飞机的位移不断增大，则下列说法正确的是（　　）
A.由“观察法”可以看出飞机做匀加速直线运动
B.若测出相邻两段位移之差都相等，则飞机做匀变速直线运动
C.若已知飞机做匀变速直线运动，测出相邻两段相等时间内的位移，则可以用逐差法计算出飞机的加速度
D.若已知飞机做匀变速直线运动，测出相邻两段相等时间内的位移，可以求出这两段总时间的中间时刻的速度
解析　因为用肉眼直接观察的误差较大，故用“观察法”不能看出飞机做匀加速直线运动，选项A错误；因为曝光时间相等，若连续相等的时间内的位移差恒定，则可判断飞机做匀变速直线运动，选项B正确；用逐差法计算匀变速直线运动的加速度是处理纸带问题的基本方法，故也可以处理曝光时间间隔都相等的图片问题，选项C正确；某段时间中间时刻的速度等于该段时间内的平均速度，选项D正确。
答案　BCD
3.做匀减速直线运动的物体经4 s停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是（　　）
A.3.5 m B.2 m
C.1 m D.0
解析　利用“逆向思维法”，把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则做匀减速直线运动的物体在每1 s内的位移之比为7∶5∶3∶1，所以＝，x1＝2 m，选项B正确。
答案　B
4.（多选）如图所示，完全相同的三块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，且穿过第三块木块后子弹的速度恰好为0，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块所用的时间之比分别是（　　）
A.v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B.v1∶v2∶v3＝∶∶1
C.t1∶t2∶t3＝1∶∶
D.t1∶t2∶t3＝（－）∶（－1）∶1
解析　采用逆向思维，将子弹的匀减速直线运动看成反向的初速度为0的匀加速直线运动，可得v1∶v2∶v3＝∶∶＝∶∶1，选项A错误，B正确；t1∶t2∶t3＝（－）∶（－1）∶1，选项C错误，D正确。
答案　BD
5.空军特级飞行员李峰驾驶歼十战机执行战术机动任务，在距机场54 km、离地1 750 m高度时飞机发动机突然停止失去动力。在地面指挥员的果断引领下，最终安全迫降机场，李峰成为成功处置国产单发新型战机空中发动机故障、安全返航的第一人。若战机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，且其着陆速度为60 m/s，则它着陆后12 s内滑行的距离是 （　　）
A.288 m B.300 m
C.150 m D.144 m
解析　由v＝v0＋at，可求出从战机着陆到停止所用时间t＝＝10 s，由此可知战机在12 s内不是始终做匀减速运动，它在最后2 s内是静止的，故它着陆后12 s内滑行的距离为x＝v0t＋at2＝300 m，选项B正确。
答案　B
6.一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9 s停止，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移大小之比是 （　　）
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.3∶1
解析　解本题的关键是抓住两段匀变速直线运动的初、末速度均为零这个隐含条件，进而得出物体在斜面上和在水平地面上的平均速度大小都为这个结论。设物体到达斜面底端时的速度大小为v，则物体在斜面上的平均速度1＝，在斜面上的位移大小x1＝1t1＝t1，在水平地面上的平均速度大小2＝，在水平地面上的位移大小x2＝2t2＝t2，所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故选项C正确。
答案　C
7.两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为（　　）
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶ D.2∶1
解析　匀减速运动中位移最大时末速度为零，由v2－v＝2ax得x＝，故＝＝（）2＝，故选项B正确。
答案　B
8.一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为（　　）
A.0.5 m/s2 B.1.0 m/s2
C.1.5 m/s2 D.2.0 m/s2
解析　由v＝知物体在t＝2.5 s时速度为v2.5＝＝ m/s＝4.5 m/s，由v＝v0＋at得a＝＝ m/s2＝1.0 m/s2，故B正确。
答案　B
能力提升
9.（多选）一汽车在公路上以54 km/h的速度行驶，突然发现前方30 m处有一障碍物，驾驶员立刻刹车，刹车的加速度大小为6 m/s2，为使汽车不撞上障碍物，则驾驶员的反应时间可以为 （　　）
A.0.5 s B.0.7 s
C.0.8 s D.0.9 s
解析　在驾驶员的反应时间内汽车做匀速直线运动，刹车后做匀减速直线运动。根据题意和匀变速直线运动的规律可得v0t＋≤x，代入数据解得t≤0.75 s，故A、B正确。
答案　AB
10.（多选）一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时（设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计） （　　）
A.每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶
B.每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…∶n
C.在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D.在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
解析　设每节车厢长为l，由v2＝2ax得第一节车厢末端经过观察者时v1＝，同理，第二节车厢末端经过观察者时v2＝……第n节车厢末端经过观察者时，vn＝，所以有v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶，选项A正确；相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，选项C正确。
答案　AC
11.一滑块自静止开始从斜面（足够长）顶端匀加速下滑，第5 s 末的速度是6 m/s，试求：
（1）4 s末的速度；
（2）运动后7 s内的位移；
（3）第3 s内的位移。
解析　（1）因为v0＝0，所以v＝at，即v∝t
故v4∶v5＝4∶5
所以4 s末的速度v4＝v5＝×6 m/s＝4.8 m/s
（2）前5 s的位移
x5＝t＝t＝×5 m＝15 m
由于x∝t2，所以x7∶x5＝72∶52
故7 s内位移x7＝×x5＝×15 m＝29.4 m
（3）由于x1∶x5＝12∶52＝1∶25，
故x1＝x5＝×15 m＝0.6 m
利用xⅠ∶xⅢ＝1∶5和xⅠ＝x1
得第3 s内的位移xⅢ＝5x1＝5×0.6 m＝3 m
答案　（1）4.8 m/s　（2）29.4 m　（3）3 m
12.如图所示，在成都天府大道某处安装了一台500万像素的固定雷达测速仪，可以准确抓拍超速车辆以及测量运动车辆的加速度。一辆汽车正从A点迎面驶向测速仪B，若测速仪与汽车相距355 m，此时测速仪发出超声波，同时车由于紧急情况而急刹车，汽车运动到C处与超声波相遇，当测速仪接收到发射回来的超声波信号时，汽车恰好停止于D点，且此时汽车与测速仪相距335 m，忽略测速仪安装高度的影响，可简化为如图所示进行分析（已知超声波速度为340 m/s）。
（1）求汽车刹车过程中的加速度a；
（2）此路段有80 km/h的限速标志，分析该汽车刹车时的行驶速度是否超速？
解析　（1）设超声波从B运动到C的时间为t0，那么在超声波从C返回B的时间t0内，汽车由C减速运动到D且速度为零，应用逆向思维x2＝at，超声波往返时间为2t0，汽车在2t0时间内，运动的位移为x1＋x2＝a（2t0）2，x1＋x2＝
x0－x＝20 m，x2＝5 m，x1＝15 m，而超声波在t0内的距离为BC＝x＋x2＝335 m＋5 m＝340 m，即v声t0＝340 m，得t0＝1 s，代入x2＝at得a＝10 m/s2。
（2）由x1＋x2＝，得v0＝20 m/s＝72 km/h，汽车未超速。
答案　（1）10 m/s2　（2）不超速

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