资源简介 《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形,增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念,探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求,画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称 (1)轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴. 要求诠释:成轴对称的两个图形的性质:①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.要点诠释:线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,那就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是:角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等;反过来,在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释: 前者的前提条件是已经有角平分线了,即角被平分了;后者则是在结论中确定角被平分,一定要注意着两者的区别,在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形;(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形 1.等腰三角形 (1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角. 要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).∠A=180°-2∠B,∠B=∠C= .(2)等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°.(3)等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等 边”).要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.2.等边三角形(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.要点诠释:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形.(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°. (3)等边三角形的判定: ①三条边都相等的三角形是等边三角形; ②三个角都相等的三角形是等边三角形; ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、(2019?阳谷县一模)若∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1,P2,连接OP1,OP2,则下列结论正确的是( ) A.OP1⊥OP2 B. OP1=OP2 C.OP1≠OP2 D. OP1⊥OP2且OP1=OP2【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解.【答案】D;【解析】解:如图,∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2,∴OP1=OP2=OP,∠AOP=∠AOP1,∠BOP=∠BOP2,∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2,=2(∠AOP+∠BOP),=2∠AOB,∵∠AOB=45°,∴OP1⊥OP2成立.故选D.【总结升华】本题考查了轴对称的性质,是基础题,熟练掌握性质是解题的关键,利用图形更形象直观.举一反三:【变式】如图,△ABC的内部有一点P,且D,E,F是P分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点.若△ABC的内角∠A=70°,∠B=60°,∠C=50°,则∠ADB+∠BEC+∠CFA=( )A.180° B.270° C.360° D.480°【答案】C;解:连接AP,BP,CP,∵D,E,F是P分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点∴∠ADB=∠APB,∠BEC=∠BPC,∠CFA=∠APC,∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC=360°. 2、已知∠MON=40°,P为∠MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时,求∠APB的度数. 【思路点拨】求周长最小,利用轴对称的性质,找到P的对称点来确定A、B的位置,角度的计算,可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】解:分别作P关于OM、ON的对称点,,连接交OM于A,ON于B.则△PAB为符合条件的三角形.∵∠MON=40° ∴∠=140°. ∠=∠PAB,∠=∠PBA.∴ (∠PAB+∠PBA)+∠APB=140°∴∠PAB+∠PBA+2∠APB=280° ∵∠PAB=∠+∠, ∠PBA=∠+∠∴∠+∠+∠=180° ∴∠APB=100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型,将周长的三条线段的和转化为一条线段,这样取得周长的最小值.举一反三:【变式】(2019秋?西城区期末)如图,动点P从(0,3)出发,沿所示的方向运动,每当碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,第一次碰到长方形的边时的位置为P1(3,0).(1)画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中,运动的路径;(2)当点P第2019次碰到长方形的边时,点P的坐标为 .【答案】解:(1)如图所示;(2)如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),∵2019÷6=335…4,∴当点P第2019次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹,∴点P的坐标为(5,0).故答案为(5,0).类型二、线段垂直平分线性质3、如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,DE是AC的垂直平分线,线段DE=1cm,求BD的长.【思路点拨】连接AD,根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出∠CAD=30°,再求出∠BAD=90°,然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE,BD=2AD,代入数据进行计算即可得解.【答案与解析】解:连接AD,∵等腰△ABC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,∴∠CAD=∠C=30°,∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°,在Rt△CDE中,CD=2DE,在Rt△ABD中,BD=2AD,∴BD=4DE,∵DE=1cm,∴BD的长为4cm.故答案为:4cm.【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.举一反三【变式】(2019春?芦溪县期中)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=50°,DE是腰AB的垂直平分线,求∠DBC的度数.【思路点拨】已知∠A=50°,AB=AC可得∠ABC=∠ACB,再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A,易求∠DBC.【答案与解析】解:∵∠A=50°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣∠A)=65°又∵DE垂直且平分AB,∴DB=AD,∴∠ABD=∠A=50°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°.即∠DBC的度数是15°.【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.类型三、角平分线性质4、已知:如图,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE、CD相交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.证明:∵AO平分∠BAC,∴OB=OC(角平分线上的点到角的两边距离相等)上述解答不正确,请你写出正确解答.【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE,然后证明△DOB≌△EOC,可得证OB=OC.【答案与解析】证明:∵AO平分∠BAC,CD⊥AB,BE⊥AC,∴OD=OE,在△DOB和△EOC中,∠DOB=∠EOC,OD=OE,∠ODB=∠OEC,∴△DOB≌△EOC(ASA),∴OB=OC.【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质,注意点到直线的距离是垂线段的长.举一反三【变式】如图,△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,对于结论:①DE=DF;②BD=CD;③AD上任一点到AB、AC的距离相等;④AD上任一点到B、C的距离相等.其中正确的是( )A.仅①② B.仅③④ C.仅①②③ D.①②③④【答案】D;类型四、等腰三角形的综合应用5、如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下: 如图①,连接AP.∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴=AB?PE,=AC?PF,=AB?CH.又∵,∴AB?PE+AC?PF=AB?CH.∵AB=AC,∴PE+PF=CH.(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:(2)填空:若∠A=30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.【答案】7;4或10;【解析】解:(1)如图②,PE=PF+CH.证明如下:∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴=AB?PE,=AC?PF,=AB?CH,∵=+,∴AB?PE=AC?PF+AB?CH,又∵AB=AC,∴PE=PF+CH;(2)∵在△ACH中,∠A=30°,∴AC=2CH.∵=AB?CH,AB=AC,∴×2CH?CH=49,∴CH=7.分两种情况:①P为底边BC上一点,如图①.∵PE+PF=CH,∴PE=CH-PF=7-3=4;②P为BC延长线上的点时,如图②.∵PE=PF+CH,∴PE=3+7=10.故答案为7;4或10.【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积,难度适中,运用面积证明可使问题简便,(2)中分情况讨论是解题的关键.6、已知,如图,∠1=12°,∠2=36°,∠3=48°,∠4=24°. 求的度数.【答案与解析】解:将沿AB翻折,得到,连结CE,则,∴∠1=∠5=12°.∴60°∵48°∴.又∵∠2=36°,72°,∴∴BE=BC∴为等边三角形. ∴又垂直平分BC.∴AE平分.∴30°∴∠ADB=30°【总结升华】直接求很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形,从而使其换个位置,看看会不会容易求.举一反三:【变式】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,D为形内一点,且∠DAB=∠DBA=10°,求∠ACD的度数.【答案】 解:作D关于BC中垂线的对称点E,连结AE,EC,DE ∴△ABD≌△ACE ∴AD=AE, ∠DAB=∠EAC=10° ∵∠BAC=80°,∴∠DAE=60°,△ADE为等边三角形∴∠AED=60° ∵∠DAB=∠DBA=10° ∴AD=BD=DE=EC ∴∠AEC=160°, ∴∠DEC=140° ∴∠DCE=20° ∴∠ACD=30°类型五、等边三角形的综合应用7、如图所示,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形.(1)如图(1)所示,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上? (2)如图(2)所示,当点M在BC上时,其他条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图(2)证明;若不成立,请说明理由.【答案与解析】解:(1)EN=MF,点F在直线NE上. 证明:连接DF,DE,∵ △ABC是等边三角形,∴ AB=AC=BC. 又∵ D,E,F是△ABC三边的中点, ∴ DE,DF,EF为三角形的中位线. ∴ DE=DF=EF,∠FDE=60°.又∠MDN+∠NDF=∠MDF,∠NDF+∠FDE=∠NDE,∵△DMN为等边三角形,DM=DN,∠MDN=60°∴ ∠MDF=∠NDE. 在△DMF和△DNE中,, ∴ △DMF≌△DNE,∴ MF=NE,∠DMF=∠DNE.∵∠DMF+60°=∠DNE+∠MFN∴∠MFN=60°∴FN∥AB,又∵EF∥AB,∴E、F、N在同一直线上. (2)成立.证明:连结DE,DF,EF,∵ △ABC是等边三角形,∴ AB=AC=BC. 又∵ D,E,F是△ABC三边的中点, ∴ DE,DF,EF为三角形的中位线. ∴ DE=DF=EF,∠FDE=60°. 又∠MDF+∠FDN=60°,∠NDE+∠FDN=60°,∴ ∠MDF=∠NDE. 在△DMF和△DNE中,,∴ △DMF≌△DNE,∴ MF=NE.【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.(2)题的证明可以沿用(1)题的思路. 【巩固练习】一.选择题1. (2019?凤山县校级模拟)下列图形中对称轴只有两条的是( ) A. 圆 B. 等边三角形 C. 矩形 D. 等腰梯形2. (2019?南充)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为( )A.30° B.45° C.60° D.75°3.在下列说法中,正确的是( ) A.如果两个三角形全等,则它们必是关于直线成轴对称的图形; B.如果两个三角形关于某直线成轴对称,那么它们是全等三角形; C.等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形; D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 .4. 小明从镜中看到电子钟示数是,则此时时间是( )A.12:01 B.10:51 C.11:59 D.10:215. 如图,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线,若∠BAC=60° 那么∠EAC=( )A.40° B.30° C.15° D.45°6.如图,已知△ABC中,AC+BC=24,AO、BO分别是角平分线,且MN∥BA,分别交AC于N、BC于M,则△CMN的周长为( )A.12 B.24 C.36 D.不确定 A N O B M C (22题图)7. 如图,将△沿、、翻折,三个顶点均落在点处.若,则 的度数为( )A. 49° B. 50° C. 51° D. 52°8. 如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE=2.AC的长为( ) A.2 B.3 C. 4 D.5二.填空题9. (2019秋?上蔡县校级期末)如图,把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线(虚线)剪开,则下图展开得到的图形的面积为 .10. 如图,在△ABC中,∠C=90度,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=8,BD=5,则点D到AB的距离为 .11.(2019?淮安一模)已知:如图,△ABC中,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过O点的直线分别交AB、AC于点D、E,且DE∥BC.若AB=6cm,AC=8cm,则△ADE的周长为 .12. 如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,PD的长为________.13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC内,且∠OBC=∠OCA,∠BOC=110°,求∠A的度数为________.14. 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为 .15. 如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60o,若BE=6,DE=2,则BC=______________.16. 如图,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于_________。三.解答题17.(2019?义乌市)在棋盘中建立如图的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图,它们分别是(﹣1,1),(0,0)和(1,0).(1)如图2,添加棋子C,使A,O,B,C四颗棋子成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;(2)在其他格点位置添加一颗棋子P,使A,O,B,P四颗棋子成为一个轴对称图形,请直接写出棋子P的位置的坐标.(写出2个即可)18. 如图所示,AD是△ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线,交BC的延长线于点F,连接AF.求证:∠BAF=∠ACF.19.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°.点D为△ABC内一点,且DB=DC,∠DCB=30°.点E为BD延长线上一点,且AE=AB.(1)求∠ADE的度数;(2)若点M在DE上,且DM=DA,求证:ME=DC.20.已知,∠BAC=90o,AB=AC,D为AC边上的中点,AN⊥BD于M,交BC于N.求证:∠ADB=∠CDN【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C.2. 【答案】C; 【解析】由题意,∠1=∠2,AN=MN,∠MGA=90°,得出NG=AM,AN=NG,推出∠2=∠4,根据平行线的性质,得∠4=∠3,故∠1=∠2=∠3=×90°=30°,所以∠DAG=60°故选C.3.【答案】B;【解析】全等的三角形不一定是成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.C 选项应为轴对称图形而不是成轴对称的图形.4.【答案】B;5.【答案】D;【解析】先根据角平分线的定义求出∠DAC、∠DAB的度数;再根据角平分线的定义求出∠EAD的度数;再根据角的和差关系求解即可.6. 【答案】B;【解析】易证AN=ON,BM=OM,△CMN的周长等于AC+BC=24.7. 【答案】C; 【解析】∠A=∠DOE,∠B=∠HOG,∠C=∠EOF,所以∠2=360°-180°-129°=51°.8. 【答案】B; 【解析】连接AD,易证三角形ABD为等边三角形,CE=DE=1,AE=DE=2,所以AC=AE+CE=2+1=3.二.填空题9. 【答案】.【解析】∵面积为1的正方形折叠以后展开面积不变,∴若把最后折叠成的三角形展开后面积仍为1,∵沿中位线减去小三角形的面积是△ABC的面积的,是×=,而剪去这样的三角形4个,则剪去的图形的面积是×4=.∴剩下部分展开所得图形的面积是1﹣=.10.【答案】3;【解析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD=3.11.【答案】14cm;【解析】因为DE∥BC,得∠DOB=∠OBC,又BO是∠ABC的角平分线,则∠DBO=∠OBC,所以∠DBO=∠DOB,得出BD=OD,同理:OE=EC,所以△ADE的周长=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm.故答案是14cm.12.【答案】2;【解析】过P作PE⊥OB于E,所以PD=PE,因为PC∥OA,所以∠BCP=∠BOA=30°, 在Rt△PCE中,PE=PC,所以PE=×4=2,因为PE=PD,所以PD=2.13.【答案】40°;【解析】∵AB=AC,所以∠ABC=∠ACB, 又∵∠OBC=∠OCA, ∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB), ∵∠BOC=110°,∴∠OBC+∠OCB=70°, ∴∠ABC+∠ACB=140°, ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=40°.14.【答案】4;【解析】过D作DP⊥BC,此时DP长的最小值是.因为∠ABD=∠CBD,所以AD=DP=4.15.【答案】8; 【解析】延长ED到BC于M,延长AD到BC与N,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM为等边三角形,∵BE=6,DE=2,∴DM=4,∵∠NDM=30°,∴NM=2,∴BN=4,∴BC=8.16.【答案】15;【解析】因为六边形ABCDEF的六个内角都相等为120°,每个外角都为60°,向外作三个三角形,进而得到四个等边三角形,如图,设AF=,EF=,则有+1+3=++2=3+3+2=8所以=4,=2,六边形ABCDEF的周长=1+3+3+2+2+4=15.三.解答题17.【解析】解:(1)如图2所示,C点的位置为(﹣1,2),A,O,B,C四颗棋子组成等腰梯形,直线l为该图形的对称轴;(2)如图1所示:P(0,﹣1),P′(﹣1,﹣1)都符合题意.18.【解析】证明:∵EF是AD的垂直平分线,∴AF=DF,∴∠FAD=∠ADF,∵∠FAD=∠FAC+∠CAD,∠ADF=∠B+∠DAB,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠CAD,∴∠CAF=∠B,∴∠BAC+∠FAC=∠B+∠BAC,即∠BAF=∠ACF.19.【解析】解:(1)如图.∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB==75°.∵DB=DC,∠DCB=30°,∴∠DBC=∠DCB=30°.∴∠1=∠ABC-∠DBC=75°-30°=45°. ∵AB=AC,DB=DC,∴AD所在直线垂直平分BC.∴AD平分∠BAC.∴∠2=∠BAC==15°. ∴∠ADE=∠1+∠2 =45°+15°=60°. 证明:(2)连接AM,取BE的中点N,连接AN.∵△ADM中,DM=DA,∠ADE=60°,∴△ADM为等边三角形. ∵△ABE中,AB=AE,N为BE的中点,∴BN=NE,且AN⊥BE.∴DN=NM. ∴BN-DN =NE-NM,即 BD=ME.∵DB=DC,∴ME=DC. 20.【解析】证明:作∠BAC的角平分线交BD于H∴∠BAH=∠CAH=45o∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=45 o∴∠BAH=∠C∵AN⊥BD于M,∴∠AMD=90o∴∠NAD+∠ADB=90o∵∠BAC=90o∴∠ABD+∠ADB=90o∴∠ABD=∠NAC在△ABH与△CAN中∴△ABH≌△CAN∴AH=CN∵D为AC边上的中点∴AD=CD在△AHD与△CND中∴△AHD≌△CND∴∠ADB=∠CDN. 展开更多...... 收起↑ 资源预览