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导数大题的常用找点技巧和常见模型
引子：（2017年全国新课标 1·理·21）已知 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
解析：（1）
若 ，则 恒成立，所以 在 R上递减；
若 ，令 ，得 .
当 时， ，所以 在 上递减；
当 时， ，所以 在 上递增.
综上，当 时， 在 R上递减；当 时， 在 上递减，在 上递增.
（2） 有两个零点，必须满足 ，即 ，且 .
构造函数 ， .易得 ，所以 单调递减.
又因为 ，所以 .
下面只要证明当 时， 有两个零点即可，为此我们先证明当 时， .
事实上，构造函数 ，易得 ，∴ ，所以 ，即 .
当 时， ，
，
其中 ， ，所以 在 和 上各有一个零点.
故 的取值范围是 .
注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
一方面： ；
另一方面： 时， （目测的）
常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
第一组：对数放缩
（放缩成一次函数） ， ，
（放缩成双撇函数） ， ，
， ，
（放缩成二次函数） ， ，
（放缩成类反比例函数） ， ， ，
， ，
第二组：指数放缩
（放缩成一次函数） ， ， ，
（放缩成类反比例函数） ， ，
（放缩成二次函数） ， ，
第三组：指对放缩
第四组：三角函数放缩
， ， .
第五组：以直线 为切线的函数
， ， ， ， .
几个经典函数模型
经典模型一： 或 .
【例 1】讨论函数 的零点个数.
（1） 时，无零点.
， .
（2） 时，1个零点.
， .
（3）当 时，2个零点.
（目测）， ，其中 .（放缩）
.
，其中 .（用到了 ）
（4）当 时，1个零点.
，单调递增. ，
.
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1： ）：
1.讨论 的零点个数（令 ， ）；
2.讨论 的零点个数（令 ）；
3.讨论 的零点个数（考虑 ）；
4.讨论 的零点个数（考虑 ，令 ， ）；
5.讨论 的零点个数（令 ， ）；
6.讨论 的零点个数（令 ）.
经典模型二： 或
【例 2】讨论函数 的零点个数.
（1） 时，1个零点.
， 单调递增.
且 ， ，所以在 上有一个零点；
（2） 时，无零点.
恒成立；
（3） 时，无零点.
；
（4） 时，2个零点.
， ， .
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2： ）：
1.讨论 的零点个数（令 ， ）；
2.讨论 的零点个数（去分母后与 1等价）；
3.讨论 的零点个数（移项平方后与 1等价）；
4.讨论 的零点个数（移项开方后换元与 1等价）；
5.讨论 的零点个数（乘以系数 e，令 ）；
6.讨论 的零点个数（令 ，转化成 2）
7.讨论 的零点个数（令 ， ）；
经典模型三： 或
【例】讨论函数 的零点个数.
（1） 时，1个零点.
， 单调递增.
， .
（2） 时，1个零点（ ）.
（3） 时，无零点.
，
（4） 时，1个零点.
.
（5） 时，2个零点.
， ， ，
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3： ）：
1.讨论 的零点个数；
2.讨论 的零点个数（考虑 ，令 ）；
3.讨论 的零点个数（令 ）；
4.讨论 的零点个数；
练习题
1.已知函数 有两个零点，求 的取值范围.
2.设函数 ，讨论 的导函数 的零点的个数.
3.已知函数 有两个零点，求 的取值范围.
4.已知函数 .当 时，试讨论 的零点的个数.

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