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2019-2020学年河南省郑州市中原区枫杨外国语中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列运算中，结果正确的是　　
A． B．
C． D．
2．（3分）下列说法错误的是　　
A． B．
C．2的平方根是 D．的平方根是
3．（3分）某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
4．（3分）下列各数：，，，，，，3.141 592 6，（相邻两个1之间有1个，其中属于无理数的有　　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（3分）如图， 直线，，，则为　　
A ． B ． C ． D ．
6．（3分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交边于点．若 ，．则的长是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④，，；⑤，，，为正整数，且．其中可以构成直角三角形的有　　
A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②
8．（3分）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为4，的面积为2，则四边形的面积为　　
A．4 B．3 C．4.5 D．3.5
9．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一个结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验可能是　　
实验次数
100
200
300
500
800
1200
频率
0.430
0.360
0.320
0.328
0.330
0.329
A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率
B．从一个装有3个红球和2个白球的不透明袋子里任取1球，取出红球的概率
C．掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是3的倍数的概率
D．从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率
10．（3分）甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离与时间的函数图象是　　
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）的平方根是　　．
12．（3分）若，，则　　．
13．（3分）若的三边长为，，，并且满足，则的面积是　　．
14．（3分）当，时，则的值是　　．
15．（3分）如图， 折叠长方形的一边，使点落在边的点处， 已知，，则　 　．
16．（3分）如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点．若，则的度数为　 　．
17．（3分）如图，在和中，，．与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　．
18．（3分）如图，一个牧童在小河的南的处牧马，而他正位于他的小屋的西北处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是　　．
19．（3分）等腰三角形周长为，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为，则此等腰三角形的底边长为　　．
20．（3分）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简代数式　　．
三、解答题（本大题共5小题，满分40分）
21．（5分）计算：．
22．（6分）先化简，再求值：，其中的算术平方根是它本身，是的立方根．
23．（10分）如图， 铁路上、两点相距，、为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等， 则站应建在距站多少千米处？
24．（9分）在全市中学运动会比赛中，甲、乙两名运动员同时起跑，刚跑出后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，并取得了优异的成绩．图中分别表示甲、乙两名运动员所跑的路程与比赛时间之间的关系，根据图象解答下列问题：
（1）甲再次投入比赛后，甲的速度为　　；
（2）甲再次投入比赛后，在距离终点多远处追上乙？
25．（10分）如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线，分别相交于点，．
（1）如图1，当直线与直线垂直时，试探究，，之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当直线与直线不垂直，且交点，在的异侧时，则（1）的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，，之间的数量关系．

2019-2020学年河南省郑州市中原区枫杨外国语中学八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列运算中，结果正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】分别根据积的乘方，同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：，故选项不合题意；
，故选项符合题意；
，故选项不合题意；
，故选项不合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）下列说法错误的是　　
A． B．
C．2的平方根是 D．的平方根是
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行选择即可．
【解答】解：、，正确，不符合题意；
、，正确，不符合题意；
、2的平方根是，正确，故不符合题意；
、没有平方根，错误，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了实数，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
3．（3分）某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【分析】直接根据科学记数法的表示方法即可得出结论．
【解答】解：中第一位非零数字前有5个0，
用科学记数法表示为．
故选：．
【点评】本题考查的是科学记数法，再用科学记数法表示小于0的数时，的值等于第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的．
4．（3分）下列各数：，，，，，，3.141 592 6，（相邻两个1之间有1个，其中属于无理数的有　　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，找出无理数的个数．
【解答】解：，．
无理数的有，，共3个．
故选：．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
5．（3分）如图， 直线，，，则为　　
A ． B ． C ． D ．
【分析】先根据平行线的性质及对顶角相等求出所在三角形其余两角的度数， 再根据三角形内角和定理即可求出的度数 ．
【解答】解： 如图所示：，，
，
，
，
在中，，，
．
故选：．
【点评】本题重点考查了平行线的性质、 对顶角相等及三角形内角和定理， 是一道较为简单的题目 ．
6．（3分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交边于点．若 ，．则的长是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】首先利用勾股定理可以算出的长，再根据题意可得到，根据即可算出答案．
【解答】解：，，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
7．（3分）下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④，，；⑤，，，为正整数，且．其中可以构成直角三角形的有　　
A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②
【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：时，它是直角三角形，由此可解出本题．
【解答】解：①中有；
②中有；
③中；
④中有；
⑤中有，
所以可以构成直角三角形的有①②④⑤．
故选：．
【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可．
8．（3分）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为4，的面积为2，则四边形的面积为　　
A．4 B．3 C．4.5 D．3.5
【分析】本题介绍了两种解法：
解法一：只应用三角形中线平分面积的性质得结论；
解法二：先求出的面积的面积，得出的面积的面积，再求出的面积的面积，即可求出四边形的面积．
【解答】解：解法一：和是中线，
，
即，
，
的面积为4，
四边形的面积为；
解法二：如图连接，
、是的两条中线，
，
的面积的面积，
的面积的面积，
的面积为4，
的面积，
为中点，
的面积的面积，
四边形的面积的面积的面积，
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是利用中线找出三角形面积关系．
9．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一个结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验可能是　　
实验次数
100
200
300
500
800
1200
频率
0.430
0.360
0.320
0.328
0.330
0.329
A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率
B．从一个装有3个红球和2个白球的不透明袋子里任取1球，取出红球的概率
C．掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是3的倍数的概率
D．从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在之间，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【解答】解：根据统计图得到实验的概率在之间．而掷一枚硬币，出现正面向上的概率为；一个装有3个红球和2个白球的不透明袋子里任取1球，取出红球的概率为；掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是3的倍数的概率为；从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率为1，
故选：．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
10．（3分）甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离与时间的函数图象是　　
A． B．
C． D．
【分析】甲在乙前面，而乙的速度大于甲，则此过程为乙先追上甲后再超过甲，全程时间以乙跑的时间计算，算出相遇时间判断图象．
【解答】解：此过程可看作追及过程，由相遇到越来越远，按照等量关系“甲在相遇前跑的路程乙在相遇前跑的路程”列出等式
，根据
甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，
则乙要追上甲，所需时间为，
全程乙跑完后计时结束，
则计时结束后甲乙的距离△
由上述分析可看出，选项函数图象符合
故选：．
【点评】本题考查的是函数图象与实际结合的问题，需注意相遇的时间、全程时间以及最后甲乙的距离这几个点．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）的平方根是　　．
【分析】根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：的平方根是．
故答案为：
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）若，，则　64　．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：，，
．
故答案为：64
【点评】本题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
13．（3分）若的三边长为，，，并且满足，则的面积是　84　．
【分析】首先根据非负数的性质可得、、的值，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：，
，，，
，，，
，
是直角三角形，
．
故答案为：84．
【点评】此题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理以及三角形的面积，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
14．（3分）当，时，则的值是　19　．
【分析】根据，，可以得到和的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：，，
，，
，
故答案为：19．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
15．（3分）如图， 折叠长方形的一边，使点落在边的点处， 已知，，则　　．
【分析】先求出、的长， 利用勾股定理列出关于的方程， 即可解决问题 ．
【解答】解：四边形为矩形，
；
由题意得：，，
设，则；
由勾股定理得：，
，；
由勾股定理得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】该题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、 判断、 推理或解答 ．
16．（3分）如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点．若，则的度数为　　．
【分析】首先由，根据平行线的性质，求得的度数，然后由平分，求得的度数，再由，利用等边对等角的性质，求得的度数，继而求得答案．
【解答】解：，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等边对等角定理的应用．
17．（3分）如图，在和中，，．与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　①③④　．
【分析】只要证明，即可判断．
【解答】解：，
，
在和，
，
，
．
由知：，；
在和，
，
；（故④正确）
，
由于条件不足，无法证得②；
故答案为：①③④
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，学会利用两次全等解决问题，属于中考常考题型．
18．（3分）如图，一个牧童在小河的南的处牧马，而他正位于他的小屋的西北处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是　　．
【分析】先作关于的对称点，连接，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：如图，作出点关于的对称点，连接交于点，则从延到再延到，此时，
在△中，
由勾股定理求得，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
19．（3分）等腰三角形周长为，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为，则此等腰三角形的底边长为　3或　．
【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，则底边长为，再根据两个三角形的周长差是4求出的值即可．
【解答】解：如图所示，等腰中，，点为的中点，设，
点为的中点，
，．
①当的周长大于的周长时，
，
，
即，
解得，
，
7，7，3能够组成三角形，符合题意；
②当的周长大于的周长时，
，
，
即，
解得，
，
，，能够组成三角形，符合题意．
综上所述，这个等腰三角形的底边长为3或，
故答案为：3或，
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
20．（3分）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简代数式　0　．
【分析】利用二次根式的基本性质解答即可．
【解答】解：由图可知：，
，，，
原式，
故答案为：0．
【点评】此题考查二次根式的性质与化简，关键是利用二次根式的基本性质解答．
三、解答题（本大题共5小题，满分40分）
21．（5分）计算：．
【分析】原式利用乘除法则，零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值．
【解答】解：原式．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（6分）先化简，再求值：，其中的算术平方根是它本身，是的立方根．
【分析】先化简整式，然后分两种情况：若，原式；若，，原式．
【解答】解：原式
，
的算术平方根是它本身，是的立方根
或1，，
若，
原式；
若，，
原式；
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用幂的乘方法则是解题的关键．
23．（10分）如图， 铁路上、两点相距，、为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等， 则站应建在距站多少千米处？
【分析】关键描述语： 产品收购站，使得、两村到站的距离相等， 在和中， 设出的长， 可将和的长表示出来， 列出等式进行求解即可 ．
【解答】解： 设，
、两村到站的距离相等，，即，
由勾股定理， 得，．
故：点应建在距站 10 千米处 ．
【点评】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来， 两边相等求解即可 ．
24．（9分）在全市中学运动会比赛中，甲、乙两名运动员同时起跑，刚跑出后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，并取得了优异的成绩．图中分别表示甲、乙两名运动员所跑的路程与比赛时间之间的关系，根据图象解答下列问题：
（1）甲再次投入比赛后，甲的速度为　　；
（2）甲再次投入比赛后，在距离终点多远处追上乙？
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出甲再次投入比赛后，甲的速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得乙对应的函数解析式，然后即可求得甲乙相遇的时刻，从而可以计算出甲再次投入比赛后，在距离终点多远处追上乙．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲再次投入比赛后，甲的速度为：，
故答案为：；
（2）设乙对应的函数解析式为，
，得，
即乙对应的函数解析式为，
令，得，
故甲再次投入比赛后，甲追上乙时，距离终点的距离是：，
即甲再次投入比赛后，在距离终点处追上乙．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．（10分）如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线，分别相交于点，．
（1）如图1，当直线与直线垂直时，试探究，，之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当直线与直线不垂直，且交点，在的异侧时，则（1）的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，，之间的数量关系．
【分析】（1）延长交于，求出，根据等腰三角形性质求出，推出，即可得出答案．
（2）延长交于点，同①可得，再由全等三角形的判定定理得出，故可得出，由此可得出结论．
【解答】解：（1）；理由如下：
延长交于，如图1所示：
平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）（1）的结论不成立，．理由如下：
延长交于点，如图2所示：
，
．
是的平分线，
，
，
．
，
．
，
，
在与中，，
，
，
．
【点评】本题考查了的是全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．

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