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破解高考数学选择填空压轴题策略
目 录
压轴选择题
第一关 以函数与方程、不等式相综合为背景的选择题
第二关 以棱柱，棱锥与球的组合体为背景的选择题
第三关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题
第四关 以数列与函数、不等式以及其他知识相结合为背景的选择题
第五关 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题
第六关 以考查导数综合运用为主的选择题
第七关 以考查三视图、几何体表面积和体积为主的选择题




压轴填空题
第一关 以归纳推理为背景的填空题
第二关 以新定义为背景的填空题(理科生做，文科生可以跳过)
第三关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题
第四关 以平面向量数量积相关的求值问题为背景的填空题
第五关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题















第一关 以函数与方程、不等式相综合为背景的选择题
【名师综述】本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的。要注意函数与方程以及不等式的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.
【典例解剖】
类型一 用函数与方程求解零点问题
典例1．【2017届河南天一大联考】设函数若关于的方程（且）在区间内恰有5个不同的根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C

【名师指点】求解零点问题时，往往转化为的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图象的交点问题求解．本题首先应正确求出函数的解析式，准确画出函数图象，注意分段函数在分界点处的连续性以及对参数的范围的讨论，根据方程解的个数确定图像交点个数，“临界点”和的函数值要倍加关注．
【举一反三】
已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
类型二 用函数与方程求解不等式问题
典例2．【云南大理2017届高三第一次统测】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以是上的减函数，由于为奇函数，所以，因为即，结合函数的单调性可知，所以不等式的解集是，故选B.
【名师指点】结合已知条件，联想构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性解解抽象不等式问题是解题关键．
【举一反三】己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
B． C． D．
【答案】D
类型三 用构造法求解问题
典例3设，，且满足，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D.
【解析】令，则的图象关于原点点对称，由题设得：，即，∴，即.选D.
【名师指点】解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到理想的解题途径，构造函数，利用函数性质解决问题是构造函数法蕴含的数学思想．
【举一反三】【宁夏育才中学2017届高三上学期第二次月考数学（理）试题】设函数，. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易得是奇函数，在上是增函数，又 ，故选D.
类型四 关于复合方程的解的问题
典例4．【2017湖南长沙一中月考】 已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，作出函数的图象，如图所示，则时，有两个根，当时，有一个根，若关于的方程有三个不同的实根，则等价为由两个不同的实数根，且或，当时，，此时由，解得或，满足有两个根，有一个根，满足条件；当时，设，则即可，即，解得，综上实数的取值范围为，故选A.QQ群339444963

【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程中求，再带入方程中求的值．
【举一反三】若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A.
【解析】函数有极值点，，说明方程的两根为，，∴方程的解为或，若，即是极大值点，是极小值点，由于，∴是极大值，有两解，，只有一解，∴此时只有解，若，即是极小值点，是极大值点，由于，∴是极小值，有解，，只有一解，∴此时只有解，综上可知，选A.
【精选名校模拟】
1．【山东潍坊2017届高三上学期期中联考】设函数，若函数有三个零点，，，则等于 .
【答案】

2．【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷，12】若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数的图象如下图所示，所以是方程的两根，是方程的两根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函数在区间递增，在区间递减，又，所以所求函数的取值范围是，故选B.


3．【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】因为当时，，所以在上单调递增，又函数为奇函数，所以函数为偶函数，结合，作出函数与的图象，如图所所示，由图象知，函数的零点有3个，故选C．QQ群339444963

4. 【广西柳州市2017届高三10月模拟】设定义域为的函数若关于的方程有7个不同的实数解，则（ ）
A．6 B．4或6 C．6或2 D．2
【答案】D
5．【2017四川成都市一模】已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，.则关于的方程在上的所有实数解之和为（ ）．
A．-7 B．-6 C．-3 D．-1
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，所以，所以函数是周期为2的偶函数，如图画出函数图像，两个函数在区间有7给交点，中间是，其余6个交点关于对称，所以任一组对称点的横坐标之和为-2，所以这7个交点的横坐标之和为，故选A.
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6．【贵州遵义市2017届高三第一次联考】已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
7．【河南百校联盟2017届高三11月质检】已知函数满足，当时，，若在上，方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：
8．【2017山西省山大师大附中模块检测】已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，作出函数的图象，不妨设，
由可知函数的图象与直线有两个交点，
而时，函数单调递增，其图象与轴交于点，
所以.又，所以，，
由，得，解得.
由，即，解得；
由，即，解得；

记（），.
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以函数的最小值为；
而，.所以.
9．【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评】定义在实数集上的函数，满足，当时，.则函数的零点个数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】是偶函数，图象关于直线对称，周期是，画图可得，零点个数为，故选B.

10．【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中】已知函数（）有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是函数的零点，则函数有四个不同的零点，等价于方程有三个不同的根，即方程有三个不同的根．记函数＝．由题意y=与有三个不同的交点，由图知，所以，故选D．
11．【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考】定义域在上的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B【解析】因为函数为奇函数，所以可以得到当时，，当时，
，所以函数图象如下图，函数的零点即为函数与的交点，如上图所示，共个，当时，令，解得：，当时，令，解得：，当时，令，解得：，所以所有零点之和为：，.故本题正确答案为B.

12．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】D.
13．【2017湖北重点中学高三联考】已知函数，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∵的图象与轴有个不同的交点，∴函数与函数的图象有个不同的交点；作函数与函数的图象如下，图中，，故此时直线的斜率；当直线与相切时，设切点为；则，解得；此时直线的斜率；结合图象可知，；故选C．
第二关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题
【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．
类型一 四面体的外接球问题
典例1．点均在同一球面上，且、、两两垂直，且 ，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B

【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径，分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．
【举一反三】【云南大理2017届高三第一次统测，10】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，若该三棱锥的体积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
类型二 三棱柱的外接球问题
典例2．【广东2017届高三上学期阶段测评（一）】三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】如图，由题可知矩形的中心为该三棱柱外接球的球心，.
∴该球的表面积为.选C.

【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点距离相等的点在过的外心且垂直于平面的直线上，再确定到顶点距离相等的点过的外心且垂直于平面的直线上，故直三棱柱的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．
【举一反三】【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,15】设正三棱柱中，，，则该正三棱柱外接球的表面积是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为该三棱柱为正三棱柱，所以底面为正三角形，底面三角形外接圆的直径为，即，所以该三棱柱外接球的半径，所以该三棱柱外接球的表面积为.
类型三 四棱锥的外接球问题
典例3．【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．本题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径．
【举一反三】【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，10】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】设球的半径为，∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴，∴,
∴球的体积为.故应选A.
类型四 几何体的内切球问题
典例4．(2016·嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．
【答案】3π
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，∴△ABC的边长为2，圆锥的底面半径为，高为3，∴V＝×π×3×3＝3π.[来源:QQ群339444963]
【名师指点】解决球与其他几何体的切接问题，关键在于认真分析、观察，弄清先关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，截面的选择应该更多地体现元素与元素之间关系，达到空间问题平面化的目的．
【举一反三】【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,9】将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（ ）
A．1 B． C. D．
【答案】D
【解析】设球心为，球的半径为，由，知，
故选D.
【精选名校模拟】
【河北衡水中学2017届高三上学期五调】三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B【解析】如下图所示，由题意可知，又球的直径是，所以且，所以该几何体的体积为，故选B.

2．【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D


3. 【河北唐山市2017届高三年级期末,10】现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为，则球的半径为，所以所求体积比为，故选A．
4．在平行四边形中，， ，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因为是平行四边形，所以，因为是直二面角，所以平面，即，那么，即
取中点，连接，都是直角三角形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以，所以三棱锥的外接球的球心为点，半径，所以表面积是．

5．【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，10】已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若四面体中球心O恰好在侧棱DA上，DC=，则这个球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可知取AC 中点M，则OM为DA 的中位线，又点M 为外接圆圆心，球心O到面ABC 的距离为，球半径为，故球表面积为.
6．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
7．【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，11】已知点在同一球的球面上，，若四面体外接球的球心恰好在侧棱上，，则这个球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示，设三角形所在小圆的圆心为，则为的中点，且平面，又，所以平面，所以，外接球的表面积
，故选D.QQ群339444963


8．【河南百校联盟2017届高三11月质检，10】已知边长为的菱形中，,现沿对角线BD折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
设则由勾股定理可得
四面体的外接球的表面积为故选C

9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，
当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3

【答案】A.
【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意，，设，故，∵，解得，故该球的半径，∴.

10．已知三棱锥，在底面中，，，，，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

11.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（ ）
A．2 B．1 C． D．

【答案】C.
【解析】球心在面的中心上，为截面圆的直径，∴，底面外接圆圆心位于中点，外心在中点上，设正方形边长为，中，，，，∴，即，则，∴.
12.已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】由条件直径所对的圆周角，由已知，
∴与是全等的等腰三角形，∴，，即面，由条件，则为等边三角形，∴.
13.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
答案：D

第三关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题
【名师综述】
1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值；在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于，，的不等式，再根据，，的关系消掉得到关于，的不等式，由这个不等式确定，的关系．
2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.
3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
常见的几何方法有：（1）直线外一定点到直线上各点距离的最小值为该点到直线的垂线段的长度；（2）圆外一定点到圆上各点距离的最大值为，最小值为(为圆半径)；（3）过圆内一定点的圆的最长的弦即为经过点的直径，最短的弦为过点且与经过点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为(长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为(实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为，与分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．
常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值.
【典例剖析】
类型一 求圆锥曲线的离心率问题
典例1．【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）数学（理）试题】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐进线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
典例2．【河北唐山市2017届高三年级期末，11】已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴， 过点 的直线与线段交于点，与轴交于点，直线 与轴交于点，若，则 的离心率为 （ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】易证得，则，即；同理，，所以，又，所以，整理，得，故选A．

【名师指点】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．一般来说，求离心率取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何关系，例如根据线段的大小关系或者角的大小关系列不等式；二是考虑代数关系，通过设点，将所给问题坐标化，结合圆锥曲线方程和本身范围来确定．
【举一反三】
【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
类型二 与圆锥曲线有关的最值问题
典例2．【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）数学（理）试题】等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点，，△的面积是16，抛物线的焦点为，若是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点， 所以，可设，得，将代入，得，抛物线的方程为，所以，设，则，设，则
，时，“” 成立.故选C.
【名师指点】抛物线定义是转化抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，通过设点的坐标并结合抛物线定义，将待求对象坐标化，同时结合抛物线方程消元，利用函数思想求解最值问题是常见的求最值方法，有时还可以几何平面几何知识求解．
【举一反三】
【2014四川高考理第10题】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
类型三 平面图形与圆锥曲线相结合的问题
典例3．设双曲线的左焦点为，点、在双曲线上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2
C. D．
【答案】D
【解析】设，∵四边形为平行四边形，∴，∵四边形的面积为，
∴，即，∴，代入双曲线方程得，∵，∴.故选D.
【名师指点】求离心率问题实质上是根据已知条件，挖掘题中的等量关系或者不等关系，可以借助平面图形自身满足的条件或者点的坐标所满足的方程或者范围等，本题利用平行四边形的性质并结合双曲线方程和平行四边形的面积公式得关于的方程，进而确定离心率的值．
【举一反三】【2017湖南长沙一中高三月考】]已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【精选名校模拟】
1．【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】已知双曲线，过双曲线的右焦点，且倾斜角为的直线与双
曲线交地两点，是坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知是通径，根据双曲线的对称性和可知，三角形为等边三角形，即，由，得，两边除以得，解得.
3．【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为
A. 2 B. C. D.
:【答案】D
【解析】由于MN∥F1F2，，则，设，又，且，则,点N、Q在双曲线上满足方程，有，消去得：，则选D.
4．【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考数学（理）试题】已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5．【2014江西高考理第9题】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.
6．【云南大理2017届高三第一次统测，11】已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】A
【解析】设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A.
7．【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，8】过抛物线的焦点作斜率为的直线与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为.若分别表示的横坐标，且，则（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
8．【广东2017届高三上学期阶段测评（一），11】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】不妨设，∵，∴，又，
∴，∴.根据对称可得直线的斜率为.选D.
9．【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考数学（理）试题】已知抛物线：的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】设且,,根号下二次函数的对称轴为,所以在对称轴处取到最小值,即
，解得或(舍去),所以抛物线方程为,,所以,故选B.
10．【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，11】已知双曲线（，），、是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点（），使得△（）构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
11．【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，11】椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
12．【2017湖南长沙雅礼中学高三月考】为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（ ）
A．2 B．3 C. D．
【答案】A
【解析】如图所示，记与的内切圆相切于点，则
，则，则，则，即，所以，由，得，所以，故选A.

13．【2017河南新乡一中高三月考】已知双曲线，、是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，若的最小值为1,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
第四关 以数列与函数、不等式以及其他知识相结合为背景的选择题
【名师综述】数列与函数的交汇问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的交汇问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．
类型一 数列与函数的结合
典例1 已知都是定义在上的函数，，，且（且），，若数列的前项和大于62，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【名师指点】由已知条件构造函数，则，故函数递增，即函数递增，从而确定，结合已知条件可确定的值，数列的前项和即等比数列的前项和，通过计算可得关于n的不等式，进而确定n的最小值．
【举一反三】【2017云南曲靖一中高三月考】已知为锐角，且，函数，数列的首项，，则与的大小关系为 ．
【答案】
【解析】
.
类型二 数列与不等式的结合
典例2 ． 【天津六校2017届高三上学期期中联考，7】已知数列满足：，．若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【名师指点】解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.
②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.
③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件[来源:学+科+网]
求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）参变分离法，将已知不等式变形为恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值．
【举一反三】【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，16】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是_____________ .
【答案】
类型三 数列与其他知识的结合
典例3 【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学（理）试题】设，分别为等差数列，的前项和，且.设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】不妨取，当时，当时，
，验证得上式成立，综上，同理可得，
，．
【名师指点】本题考查数列与平面向量的结合，又向量知识得其系数满足的关系，进而利用等差数列求和公式求解，本题要求学生熟悉向量三点共线公式 三点共线，
【举一反三】已知数列的前n项和为，令，记数列的前n项为 ，则 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意有，所以有，所以，故选D．
【精选名校模拟】
1. 【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,11】已知在正项等比数列中，存在两项满足，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C. D．
【答案】A
2. 【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，8】已知数列满足若对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为恒成立，又数列在时为等比数列，所以．当时，，递减，，当，为递增数列，不满足；当时，，递减，，当，为递减数列，又因成立，所以，即，解得，所以，故选B．
3. 【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】已知数列中的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由有, 当时,,求得,当时,,化简得,当,,所以,当,,所以,因为恒成立,所以当当,,即,当,,,综上两种情况,有.
4．【2017安徽淮北一中高三四模】已知等差数列的公差，且 成等比数列，若为数列的前项和，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】由于 成等比数列，所以，解得，所以.
5．（2016天津理5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）.
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意得，.
由，故是必要不充分条件.故选C.
6. 【2016浙江】如图所示，点列分别在某锐角的两边上，且，，，，，（表示点与点不重合）.若，为的面积，则（ ）.
A. 是等差数列 B.是等差数列
C.是等差数列 D.是等差数列
【答案】A
7．【2017山西晋中榆社中学高三月考】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由条件得，两式相减得，故，两式再相减得，由得，从而；由得，从而，由条件得，解之得.
8．【2017湖南师大附中高三月考】对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列”.设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是 ．
【答案】

9．【2017福建福州外国语学校期中】已知函数是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数，满足：，考查下列结论：①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列。
以上命题正确的是 ．
【答案】②③④
【解析】①因为对定义域内任意，，满足，∴令，得，故①错误；②令，得；令，有，代入得，故是上的奇函数．故②正确；③若 ，则
为常数，故数列 为等差数列，故③正确；④∵，，∴当时，
，则，
，…，则，若，则
为常数，则数列为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．
10．【2017辽宁庄河市高三月考】等差数列的前项和为，数列的等比数列，且满足，数列的前项和为，若对一切正整数都成立，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由已知可得,解之得,所以,则,故,由此可得,以上两式两边错位相减可得,即,故当时, ,此时取最大值,所以的最小值为,故应填答案.
11．已知函数，且，设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．
由题意可得或
解得a=1或a=-4，
当a=-1时，，数列{an}不是等差数列；
当a=-4时，，，
，

当且仅当，即时取等号，
∵n为正数，故当n=3时原式取最小值，故选D．
12．【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，16】已知数列的前项和为，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵，∴，∴，∴，又，∴，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴
，当且仅当时取“”.
13．【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题】已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列满足．若对都有成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
14．已知函数f(x)＝cos·cos·cos，将函数f(x)在(0，＋∞)上的所有极值点从小到大排成一数列，记为{an}，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】an＝
【解析】由f(x)＝cossin·＝－sinx，得f′(x)＝－cosx，由cosx＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上的所有极值点为，，，…，，…，所以数列{an}的通项公式为an＝.


第五关 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题
【名师综述】
近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.
类型一 平面向量与解三角形的结合
典例1 ． 在中，角，，所对的边分别为，，满足，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B

【名师指点】由余弦定理可得角A的大小，平面向量数量积向量式是实现向量和三角形边、角转化的桥梁，而正弦定理又是进行三角形边角转化的工具．最值将的取值范围问题转化为三角函数的值域问题处理．
【举一反三】【2017辽宁葫芦岛高三月考】已知点为内一点，，，，过作垂直于点，点为线段的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，根据等面积法得，所以．
类型二 向量与三角形”四心”的结合
典例2 【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C

【名师指点】为了将已知和结论建立联系，将分解转化为，为了出现和，将已知向量方程移项平方可求．
【举一反三】【2017杭州地区重点中学高三上学期期中】在中，角A，B，C所对的边分别为，，，，，且为此三角形的内心，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C【解析】如下图所示，过作于，于，
∴，
又∵为内心，∴，
，
∴，故选C．

类型三 向量与三角函数的结合
典例3． 【2017浙江温州中学高三月考】已知向量则= 、= ，设函数R），取得最大值时的x的值是 .
【答案】，Z

【名师指点】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以向量的坐标形式为背景考查的是三角函数的图象和性质及三角变换的有关知识和运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,依据向量的数量积公式建立方程,求出.然后再化简和构建函数运用三角函数的图象和性质使得问题获解.
【举一反三】已知函数图像上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D

类型四 向量在解析几何中的应用
典例4 【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,10】已知为双曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个顶点，过的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】的方程为，即，联立得，所以，解得，故选A.
【名师指点】对向量式的处理是高效解题的关键，向量是既有大小又有方向的量，所以向量具有数与形的双重作用，从数的角度来讲，利用向量式可以找到三点坐标的关系，从形的角度来讲，可以将向量式转化为线段长度的比例关系．
【举一反三】【广东2017届高三上学期阶段测评（一），11】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】不妨设，∵，∴，又，
∴，∴.根据对称可得直线的斜率为.选D.
【精选名校模拟】
1. 【2017山西运城市高三期中】已知点在△内部一点，且满足，则△，△，△的面积之比依次为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
INCLUDEPICTURE "http://img.jyeoo.net/quiz/images/201512/80/a1c5d92c.png" \* MERGEFORMATINET
2. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，9】已知四点共线，，且向量，，则等于（ ）
A． B． C. -7 D．7
【答案】B
【解析】因为四点共线，，，所以，又，因为，所以，得，，，故选B.
3. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考】如图，在中，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
4. 【重庆八中2017届高三上学期二调，11】设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于，两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若（，），，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线为：设焦点，则，，，因为，所以，所以，，解得：，，又由，得：，解得：，得，所以，故选：D．
5. 在中，、、的对边分别为、、，且，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C

6. 【2017届福建福州外国语学校高三期中】已知向量满足，且关于的函数在实数集上单调递增，则向量的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】QQ群339444963
求导数可得，则由函数在实数集上单调递增，可得恒成立，即 恒成立，故判别式恒成立，再由，可得，∴，∴，故选：C．
7. 【2017届四川凉山州高三二模】若直线（）与函数图象交于不同的两点，，且点，若点满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】因为，且直线通过坐标原点，所以函数图象两个交点，关于原点对称，即，又，由得，，解之得，所以，故选B.
8. 已知向量，，，则函数的最小正周期与最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B

9. 【2017年湖北部分重点中学联考】已知是所在平面内一点，若，则与的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在线段上取使，则，过作直线使，在上取点使，过作的平行线，过作的平行线，设交点为，则由平行四边形法则可得，设的高线为，的高线，由三角形相似可得，∵与有公共的底边，∴与的面积的比为，故选：A.

10. 【2017年贵州贵阳花溪清华中学高三月考】已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，设
,
设，由又
的取值范围为,故选C.

11. 【2017年重庆巴蜀中学期中考试】在中，，则__________．
【答案】2

12. 设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D[
【解析】双曲线的渐近线为：，设焦点，则，因为，所以，，所以，，
解得：，又由，得：，解得：，所以，，选D.
13.【2017年江西抚州市七校联考】 在中,、、所对的边分别为、、，已知,且,则_________.
【答案】
【解析】由得，即，由得
，即，，故答案为.
14. 【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是 .
:【答案】






第六关 以考查导数综合运用为主的选择题
【名师综述】利用导数研究可导函数的单调性,求可导函数的极值和最值,以及用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用,另外从高考试题来看,高考对导数的考查加强了试题的综合性和应用性,由此可见,导数的解题地位成了必不可少的工具,所以导数的应用成为久考不衰的考点．
类型一 考查导数的几何意义
典例1 【2017年大联考】若一直线与圆和函数的图象相切于同一点，则点坐标为______．
【答案】
【名师指点】利用导数处理切线问题，注意三个条件的运用：设切点，则切线斜率为，切点坐标满足切线方程；切点坐标满足曲线方程，圆的切线的处理注重圆心到直线等于半径以及切点与圆心的连线垂直切线等知识，注重方程思想的运用．
【举一反三】【2017届QQ群339444963大联考】若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为______．
【答案】
【解析】设切点，则由，得，由，得，则有
，解得，故的值为．
类型二 利用导数研究函数的单调性
典例2． 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】因,故由题设在上恒成立,故，即.故应选C.
【名师指点】恒成立问题的两种常见解题思路：①参变分离；②构造函数．，由导数在单调性上的应用知，已知条件可转化为恒成立，经过参变分离转化为求函数的最值处理．
【举一反三】【重庆八中2017届高三上学期二调】函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

类型三 利用导数求函数的极值和最值
典例3 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，12】设函数（），若不等式有解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】∵，∴，令，，故当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数；故；
故选：A．
【名师指点】利用导数求函数的极值和最值：1、求函数的极值，先求的根，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.
2、求函数的最值和求极值类似，先求的根，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.
【举一反三】【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，12】设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【精选名校模拟】
1．【江西抚州七校2017届高三上学期联考，12】已知函数的图像上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】时，；时，.设且，当或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为，即当时，函数在点处的切线方程为，即，两切线重合的充要条件是，且，消去得：，令，则，构造函数，，，，所以在单调递减，在单调递增，又所以，所以在单调递减，所以，即，故选C.
2．【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，8】若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】设切点为，则有，，，故选C.
3．【福建厦门一中2017届上学期期中，12】已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】令,则,故函数在上单调递减;因,即,故是奇函数,则不等式可化为.,故函数的单调性可得,即,故应选A.
5．【河北沧州一中校2017届高三11月月考，12】已知，直线与函数的图象在处相切，设.若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C.有最小值 D．有最小值
【答案】A【解析】因,故切线的斜率,即；又当时,,即切点,将其代入可得,故,则令,则在区间上恒大于零,故函数在上单调递增,所以,故,故应选A.
6．【四川自贡普高2017届一诊，12】设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
7. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，12】已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D【解析】由得，由得，所以， ，当时，，当时，，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，故选D.
8．【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，12】若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
【答案】D
9．【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，12】已知函数,当时，的取值范围为，则实数的取值范围是 ．
【答案】【解析】因,故当时,函数单调递减；当时,函数单调递增,故,故由可得.画出函数的图象如图,结合图象可知:当时, 函数的取值范围为,故应填答案.
10. 已知函数，，设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设切点为（，），则由切点处的斜率相同且切线相同得，……①，……②。因为，所以由①得,并将其代入②得，.设,利用导数法求得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以,则.选D。
11．【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考数学（理）试题】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】由题意，得，则＝－＝．若存在，使得，则，所以．设，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当，函数取最大值，最大值为，所以，故选C．
12．已知函数，（a为常数且），若在处取得极值，且，而上恒成立，则的取值范围（ ）[来源:QQ群339444963]
A． B． C． D．
【答案】B
13．【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考数学（理）试题】奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则当时，，所以当时，函数单调减， 又为奇函数，所以函数为偶函数， 而当时，不等式等价于，即，所以，根据偶函数性质得到，故选D．
14. 【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一），12】已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：
①；②；③有最小值.正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C.2 D．3
【答案】C【解析】由题意，得，若函数在上单调递减，则，即，所以，故②正确；不妨设，则，故①错；画出不等式组表示的平面区域，如图所示，令，则，①当，即时，抛物线与直线有公共点，联立两个方程消去得，，所以；当，即时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，，所以有最小值，故③正确，故选C．

第七关 以考查组合体的三视图、几何体表面积和体积为主的选择题
【名师综述】空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 其中以三视图为背景的表面积或体积问题是考题中常见的题型,根据三视图还原几何体,进而计算是解题关键．
类型一 柱体组合体的三视图问题
典例1 【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A． B． C. D．
【答案】C【解析】如图所示，该几何体是棱长为2的正方体砍去两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积.选C.
【名师指点】在棱柱体的三视图中,轮廓线为两个四边形和一个多边形；圆柱的三视图中有两个矩形一个圆；球体的三个视图都为圆．.求解几何体的表面积及体积的技巧:
(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．
【举一反三】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）
B. C. D.

【答案】D

类型二 锥体及组合体的三视图问题
典例2 【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷】已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）

A． B． C. D．2
【答案】A【解析】如图，该三回旋曲图所表示的几何体为三棱锥，显然最长棱为，且，故选A.
【名师指点】一般情况下棱锥的三个视图中，轮廓线为两个三角形，一个多边形；圆锥的三视图中两个等腰三角形和一个圆，但是因为摆放位置的不同，视图的位置也相应发生变化，本题要注意俯视图中的虚线的形成与原几何体的对应关系．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤:
(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．
(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．
(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.
【举一反三】【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考，11】某几何体三视图如图，则该几何体体积是（ ）

A．4 B． C. D．2
【答案】B


【精选名校模拟】
1．【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，9】《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（ ）

A． B． C. D．
【答案】C

2．【重庆八中2017届高三上学期二调10，】用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高于底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】设圆柱的高为，则其内接矩形的一边长为，那么另一边长为，所以圆柱的体积为，，令，得；令，得，即在内单调递增，在内单调递减，所以当时，此圆柱体积最大，那么另一边长为，故圆铁皮的面积和其内接矩形的面积比为，故选C.
3．【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，10】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C. D．

【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故.故选D.
4．【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】通过三视图可知这是一个三棱柱和一个三棱锥的组合体，底面均为边长为的等边三角形，故.故选A.
5．【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）

（A）外接球的半径为 （B）表面积为 （C）体积为 （D）外接球的表面积为
【答案】B

6．【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C【解析】由三视图可知这是一个三棱柱截去一个三棱锥所得，故体积为
.
7. 【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学（理）试题】已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为（ ）

A．8 B．7 C. D．
【答案】B
【解析】，故选 B.
8．【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
B． C． D．
:【答案】B
【解析】根据三视图可以看出原几何体为一个四棱锥，平面平面，割去半个圆锥，圆锥底面直径为,为顶点，其体积为，选B.

9．【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考数学（理）试题】若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图1所示，则此几何体的表面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
[来源
10. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．

【答案】C

11．如图，已知正方体的棱长为，动点、、分别在线段，，上．当三棱锥的俯视图如图所示时，三棱锥的正视图面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由俯视图知点为中点、、，因此三棱锥的正视图为三角形,其中点为中点，所以面积为，选B.
12. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个四棱锥构成的几何体，所以其体积为,故选A．
13. 【广东2017届高三上学期阶段测评（一），16】将一块边长为的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 ．

【答案】




[来源:学&科&网]
专题二 压轴填空题
第一关 以合情推理为背景的填空题
【名师综述】推理证明一般处于填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力，属于较难题,考试形式往往为:
1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.
2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.
类型一 以归纳推理为背景的填空题
典例1 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为，记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：
三角形数　　　　　 ，
正方形数 ，
五边形数 ，
六边形数
……
可以推测的表达式，由此计算 ____________.
(2)已知，经计算得，，，，则有______________________．
【答案】(1) 　(2)
(2)由题意得，，，，所以当时，有.
故填．
【名师指点】归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．QQ群339444963
【举一反三】【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一）】所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、完美数）.如：；；.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如，，……，按此规律，可表示为 ．
【答案】
试题分析：因为，又由，解得．所以＝．
类型二 以类比推理为背景的填空题
典例2 　(1)已知结论：“在正△ABC中，若D是边BC的中点，G是△ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A—BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知双曲正弦函数sh x＝和双曲余弦函数ch x＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________________．
【答案】　(1) 　(2)
解析　(1)如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高，此时易知点即为正四面体内切球的球心，设其半径为，利用等积法有 ?，故
，故.
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【名师指点】类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．
【精选名校模拟】QQ群339444963
1．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则(1)按网络运作顺序第n行第1个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…)是________；(2)第63行从左至右的第4个数字应是________．[来源:学。科。网]

【答案】 2013


2．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字出现在第行；数字出现在第行，数字(从左至右) 出现在第行; 数字出现在第行，依此类推，则第行从左到右第个数字为_________.

【答案】
【解析】
试题分析：前行共有第行最左端的数为第行从左到右第个数字为．
3．已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．
【答案】
【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．




4．【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，14】学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”；
乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“，两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．
【答案】B
5．（2016全国甲理15）有三张卡片，分别写有和，和，和. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是_______.
【答案】
【解析】 由题意得：丙不拿，若丙，则乙，甲满足；若丙，则乙，甲不满足，故甲.
6．（2016山东文12）观察下列等式：
；
；
；
；
……
照此规律，
_________．
【答案】
【解析】 通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右边是.
7．当成等差数列时，有当成等差数列时，有当成等差数列时，有由此归纳，当 成等差数列时，有．如果成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为______________．
【答案】

【解析】根据等差数列与等比数列类比是升级运算，因此在等差数列种有，如果成等比数列，则．
8．数列的前项和为.若数列的各项按如下规则排列：
则若存在正整数，使，则
【答案】
9．【2015高考山东，理11】观察下列各式：




……
照此规律，当nN时，
.
【答案】
【解析】因为第一个等式右端为： ；第二个等式右端为： ；第三个等式右端为： 由归纳推理得：第 个等式为： 所以答案应填：
10．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：
…
…
根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则 .
【答案】
【解析】

由已知得
∵的分解中最小的数是21，
∴，
,
故答案为.
11．【2015高考陕西，文16】观察下列等式：
1－
1－
1－
…………
据此规律，第n个等式可为______________________.
【答案】
12．【2014全国1高考理第14题】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；
乙说：我没去过城市.
丙说：我们三个去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为__________
【答案】A
【解析】
试题分析：由丙说可知，乙至少去过A,B,C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C城市，故乙只去过A城市．
13．【2014高考福建卷第15题】若集合且下列四个关系：
①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.
【答案】6
【解析】由于题意是只有一个是正确的所以①不成立,否则②成立.即可得.由即.可得.两种情况.由.所以有一种情况.由即.可得.共三种情况.综上共6种.
15．观察下列一组等式：
①，②，
③，……，
那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：__ ____网]
【答案】

第二关 以新定义为背景的填空题
【名师综述】
在近几年全国、各省的高考数学命题中,“新定义”问题越来越受到关注和重视.所谓“新定义”问题,是相对于高中教材而言,指在高中教材中不曾出现过的概念、定义.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.掌握好下列几种解题的思路与方法,为我们在宏观上把握这类题型提供了思维方向.
类型1 以集合为背景的新问题
典例1 【2015高考湖北，理9】已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C

【名师指点】高考试题中常出现一些给出新概念、新定义、或新运算要求考生就此解决一些问题的题型，来考查考生的进一步学习的能力.此类题目关键根据新概念、新定义、或新运算，明确集合中元素的特点和元素的产生过程，构造出符合要求的情境，再进行新概念和集合运算.
【举一反三】
【2015高考浙江，理6】设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集，，，，（ ）
A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立
【答案】A.
【解析】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知表示的区域不大于
的区域，故命题②也正确，故选A.

类型2．以函数为背景考查新定义
典例2 （2016四川理15）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.
③若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称.
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是 .
【答案】②③
【解析】 对于①，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是.故错误；
对于②，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上.故②正确；
对于③，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为
与的图像关于轴对称，所以③正确；
对于④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆.故④错误.
所以正确的序号为②③.
【名师指点】函数是高中数学的重要内容，也是高中阶段传统的数学基础知识，该内容的考查主要围绕函数概念、性质与应用等方面展开。近年来，为了适应以能力立意，着重考查学生探究能力和创新意识的数学高考命题要求，各种试题中出现了许多以函数为背景的新定义问题，这类问题形式新颖、信息量大、思维要求高。函数中的新定义问题主要包括两类，一类是基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素（定义域、对应法则、值域）的某一要素为考查视角，目的是考查学生对函数概念的理解深度；另一类是基于函数性质背景的新定义问题，函数性质包括单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性、凹凸性等，类比这些性质，可以衍生出很多新函数，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力。
【举一反三】
【2014高考湖北卷理第6题】若函数、满足，则称、在区间上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③.其中为区间的正交函数的组数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】对①，则、为区间上的正交函数；
对②，则、不为区间上的正交函数；
对③，则、为区间上的正交函数.
所以满足条件的正交函数有2组，故选C.
类型3. 以数列为背景的新定义
例3．(2016·课标全国丙) 定义规范数列如下：共有项，其中项为，项为，且对任意，中的个数不少于的个数.若，则不同的“规范数列”共有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【解析】依题意，由“规范01数列”，得第一项为0，第项为1，当时，只需确定中间的6个元素即可，且知中间的6个元素有3个“0”和3个“1”.
分类讨论：①若0后接00，如图所示.

后面四个空位可以随意安排3个1和1个0，则有种排法；
②若0后接01如图所示.

后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”，只有一种情形不符合题意，即01后面紧接11，除此外其它的情形故满足要求，因此排法有种排法；
③若0后接10，如图所示.

在10后若接0，则后面有种排法，在10后若接1，即0 1 0 1 0 1，第五个数字一定接0，另外两个位置0，1可以随意排，有中排法，则满足题意的排法有种.故选C.
【名师指点】数学中的新概念题能很好地考察学生的迁移能力和探究能力，同时具有较好的区分和选拔功能，受命题者的青睐，在各类考试中频频出现. 有些同学遇“新”而害怕,而新课程理念要求在掌握知识和技能之外,更加注重思维灵活性和发散性及信息迁移能力的培养. 近几年的高考试题更加重视考查学生的学习潜能,因而在试题创新上下了很大功夫,各种新题型层出不穷,尤其新定义型问题成为考查的热点.根据对近两年全国各地高考试题分析研究,新定义型问题主要给出了新定义一种运算、概念(如一种符号、一种图形等)、一种性质等,要求学生在短时间内理解试题所给的新型定义,进而解决问题的一种重要题型.这种试题常以其为载体考查学生学习新知识的能力,特别是能将所学知识与方法迁移到不同情境中,进而考查学生的理性思维和数学素养.新定义数考查方式:以一些具有特殊性质或具有特殊关系的数为背景.解析要点:抓住新定义本质特征或隐含的规律.
【举一反三】若数列满足，，则称数列为“梦想数列”。已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B

【精选名校模拟】
1. 【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，11】给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则点（ ）
A．在直线上 B．在直线上 C.在直线上 D．在直线上
【答案】B
【解析】，所以，
故在直线上.故应选B.
2.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”，若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（其中表示不大于的最大整数）可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，当时，所以选项不正确，当时，所以不正确，故选C.
4. 【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，12】已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．

5.在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题：
(1)若，，则的最大值为；
(2)若是圆上的任意两点，则的最大值为；
(3)若，点为直线上的动点，则的最小值为．
其中为真命题的是( )．
A. (1) (2) (3) B. (2) C. (3) D. (2) (3)
【答案】D
【解析】
试题分析：对于（1），，
的最大值为，故（1）不正确。
对于（2），要使最大，必有两点是圆上关于原点对称的两点，可设，则。故（2）正确；
对于（3），设，则，去掉绝对值后可知当 时，取得最小值，故（3）正确。故选D.
6.形如的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数有最小值，则当时的“囧函数”与函数的图像交点个数为________个． （ ）
A． B． C． D．
【答案】C

7.若函数对其定义域内的任意，当时，总有，则称为紧密函数.例如函数是紧密函数，下列命题：①紧密函数必是单调函数；②函数在时是紧密函数；③函数是紧密函数；④若函数为定义域内的紧密函数，则时,有；⑤若函数是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数在定义域内的值一定不为零.其中的真命题是（ ）
A.②④ B.①② C.①②④⑤ D.①②③⑤
【答案】A.
9.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：
①；②；③；④
其中在区间上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).
【答案】①③④
【解析】
试题分析：①时，,两条直线可取,故在上存在宽度为1的通道;
②时，，故在上不存在宽度为1的通道；
③时，表示双曲线在第一象限的部分,双曲线的渐近线为,故可取另一直线为,满足在上存在宽度为1的通道;
④，时；时.所以时取得极大值同时也是最大值.即,时.所以时, .两条直线可取,故在上存在宽度为1的通道
综上可知正确的有①③④.
10.已知点，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称点为曲线与曲线的一个“相关点”，记曲线与曲线的“相关点”的个数为，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：设，则AB的中点为，所以有，即，所以“相关点”的个数就是方程解的个数，由于的图象在轴上方，且是上增函数，在上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即，故选B.
11. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，15】如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：①；②；③；④
其中“函数”的个数是 ．
【答案】②③
【解析】∵对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，∴不等式等价为恒成立，即函数是定义在上的不减函数（即无递减区间）．①函数，则，在函数为减函数．不满足条件．②，，函数单调递增，满足条件．③是定义在上的增函数，满足条件．④，时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不满足条件．故答案为②③ .
12. [2014高考福建卷第15题】若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.
【答案】6
【解析】由于题意是只有一个是正确的所以①不成立,否则②成立.即可得.由即.可得.两种情况.由.所以有一种情况.由即.可得.共三种情况.综上共6种.
13. 【2015高考山东】定义运算“”： （）.当时，的最小值是?????? .
【答案】

14. 【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,16】函数，的定义域都是，直线（），与，的图象分别交于，两点，若的值是不等于的常数，则称曲线，为“平行曲线”，设（，），且，为区间的“平行曲线”，，在区间上的零点唯一，则的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】
试题分析：在为，为区间的“平行曲线”，所以函数是由函数的图象经过上下平移得到的，即，又，所以，即， 得，则在区间上有唯一零点等价于函数与函数有唯一交点，，当时，，函数在区间上单调递增，所以函数与函数有唯一交点等价于，即，即的取值范围是.
15.设函数的定义域为,若函数满足条件：存在,使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
【答案】
【解析】
试题分析：函数为“倍缩函数”，满足条件：存在,在上的值域是，又因为在是增函数，所以，即，
可得方程的根，令则有两个大于零不等的实根，所以解得：，所以，满足条件的t的取值范围是.
16. 【2015高考福建，理15】一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中 称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为：．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定 等于 ．
【答案】．





















第三关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题
【名师综述】
含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.
类型一 可转化为二次函数的恒成立问题
典例1．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
【答案】A

【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图象处理．
【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】对任意不等式恒成立, 则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设,则,,故原不等式转化为,即,所以,即.故应填答案.
类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题
典例1 [改编题] 已知函数,当时，不等式恒成立，则实数的取值范围_________．
【答案】
【解析】因当时，不等式恒成立，即恒成立，设 （），只需即可．由，
（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故 成立；
（ⅱ）当时，由，因，所以，①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在 上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样 在上无最大值，不满足条件 ；
（ⅲ）当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立．
综上所述，实数a的取值范围是．
【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值．
【举一反三】已知函数若当时，恒成立，则的取值范围______．
【答案】
【解析】,令
当时，在上为增函数，而从而当时，，即恒成立，若当时，令，得
当时，在上是减函数，而从而当时，，即，综上得的取值范围为.
类型三 利用参变分离求恒成立问题
典例2 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】①显然时，对任意实数，已知不等式恒成立；令，
②若，则原不等式等价于，令，则，由于，故，即函数在上单调递减，最大值为，故只要 ；
③若，则，令，则，在区间上的极值点为，且为极小值点，故函数在上有唯一的极小值点，也是最小值点，故只要 ．
综上可知：若在上已知不等式恒成立，则为上述三个部分的交集，即．
【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式，则只要求出的最大值，然后解即可．
【举一反三】【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数，，对，不等式恒成立，则正数的取值范围为 .
【答案】

类型四 利用图像法求恒成立问题
典例3 若不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】不等式即为，作出函数和的图象，如图，当的图象过点时，，因此不等式在区间上恒成立时，有．

【名师指点】等价于在公共定义域区间内，函数的图像落在的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围．
【举一反三】已知函数,若||≥,则的取值范围是__________.
【答案】.
【解析】
【精选名校模拟】
1．【宁夏育才中学2017届高三上学期第二次月考数学（理）试题】设函数，. 若当时，不等式恒成立，
则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】易得是奇函数，在上是增函数，又 ，故选D.
2．【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检

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