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章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)
A．(±13,0)　　　　　　B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
答案：D
2．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
解析：因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，故应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．
答案：D
3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：将方程化为－＝1，
由mn<0，知－>0，
所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
答案：D
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝.
答案：C
5．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，设某条弦过点P，且以P为中心，那么这条弦所在直线的方程为(　　)
A．3x＋2y－12＝0
B．2x＋3y－12＝0
C．4x＋9y－144＝0
D．9x＋4y－144＝0
解析：设满足题意的直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
两式相减得4(x－x)＋9(y－y)＝0，
即＝－＝－.
由此可得所求的直线方程是y－2＝－(x－3)，
即2x＋3y－12＝0.
答案：B
6．已知一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，则动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：由题意，知圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，则圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.∵圆P与圆O外切而与圆C内切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1.又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
答案：A
7．给定四条曲线：①x2＋y2＝；②＋＝1；③x2＋＝1；④＋y2＝1.其中与直线x＋y－＝0仅有一个交点的曲线是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
解析：直线方程为y＝－x＋，k2＝1，t2＝5，由上述判定方法可得：对于①，λ＝m(1＋k2)－t2＝×(1＋1)－5＝0，所以C与l仅有一个交点；
对于②，λ＝n＋mk2－t2＝4＋9－5＝8>0，所以C与l有两个交点；
对于③，λ＝n＋mk2－t2＝4＋1＝5＝0，所以C与l仅有一个交点；
对于④，λ＝n＋mk2－t2＝1＋4＝5＝0，所以C与l仅有一个交点．
答案：D
8．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为(　　)
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
解析：由4x2＋y2＝64得＋＝1，
c2＝64－16＝48，
∴c＝4，e＝＝.
∴双曲线中，c′＝4，e′＝＝.
∴a′＝c′＝6，b′2＝48－36＝12.
∴双曲线方程为－＝1，即y2－3x2＝36.
答案：A
9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
解析：∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c0，
∴0答案：C
10．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形．则a，b的值分别为(　　)
A.，1 B.，1
C．5,3 D．5,4
解析：∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.
答案：A
11．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，所以Q(－2,0)．设过点Q的方程为y＝k(x＋2)，当k＝0时，显然成立．当k≠0时，μ1＝p－2kt＝4－4k2≥10，即0综上不难得到－1≤k≤1.
答案：C
12．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　)
A.＋2 B.＋1
C.－2 D.－1
解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1.又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1.焦点F到直线l的距离记为d，则d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，即d1＋d2的最小值为－1.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，其上一点P(3，y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，则该椭圆的标准方程为________．
解析：由椭圆的定义，知2a＝6.5＋3.5＝10，a＝5.
又解得c＝，
从而b2＝a2－c2＝，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
14．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是________．
解析：过A，B两点的直线方程为y＝－x＋a，抛物线方程为(x－1)2＝y＋4，化为x2＝y，此时直线方程为y＝－x＋(a＋3)，此时μ2＝pk2＋2t＝×1＋2(a＋3)<0，解得a<－.
答案：
15．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a＋c＝，
即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，
∴e2－e－2＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
16．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，若·＝－4，则直线l恒过的定点M的坐标是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝－4.当直线l的斜率不存在时，设其方程为x＝x0(x0>0)，则x－4x0＝－4，解得x0＝2；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，由得ky2－4y＋4b＝0，得y1y2＝，则x1x2＝＝，得＋＝－4，∴＝－2，有b＝－2k，直线y＝kx－2k＝k(x－2)恒过定点(2,0)．又直线x＝2也恒过定点(2,0)，得点M的坐标为(2,0)．
答案：(2,0)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，且a2－b2＝(5)2＝50　①，
由消去y，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.
设弦两端点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝.
∵＝，∴＝，即a2＝3b2　②，此时Δ>0.
由①②得a2＝75，b2＝25，
∴椭圆的方程为＋＝1.
18．(12分)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
解析：因为直线1与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0　①.
(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.
所以原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是.
19．(12分)已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．
解析：由题意，可得圆O1：x2＋(y＋)2＝16是以O1(0，－)为圆心，半径r＝4的圆．
因为点P在半径O1M中，
且|PM|＝|PA|，
所以|O1P|＋|PA|＝|O1P|＋|PM|＝|O1M|＝4，
可得点P到A(0，)，O1(0，－)的距离之和为4(常数)，
因些，点P的轨迹是以点A(0，)，O1(0，－)为焦点的椭圆．
因为焦点在y轴上，c＝且2a＝4，
所以a＝2得a2＝4，b2＝a2－c2＝4－3＝1，
椭圆方程为x2＋＝1，
综上所述，点P的轨迹方程为x2＋＝1.
20．(12分)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．
解析：切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10，因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称．
所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.
当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则其渐近线方程为y＝±x，
即＝3，
则双曲线方程可化为－＝1，
因为双曲线过点P(3，－1)，
所以－＝1，所以a2＝，b2＝80，
所以所求双曲线方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a′>0，b′>0)，
则渐近线方程为y＝±x，即＝3，
则双曲线方程可化为－＝1，
因为双曲线过点P(3，－1)，
所以－＝1，得－＝1，无解．
综上可知所求双曲线方程为－＝1.
21．(12分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF1F2的面积．
解析：(1)令F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，
所以kPF1·kPF2＝－1，
即·＝－1，
解得c＝5，
所以设椭圆方程为＋＝1.
因为点P(3,4)在椭圆上，
所以＋＝1.
解得a2＝45或a2＝5.
又因为a>c，所以a2＝5(舍去)．
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知
|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②
①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.
22．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点和抛物线y2＝4x的焦点相同，且椭圆过点.
(1)求椭圆方程；
(2)过点(3,0)的直线交椭圆于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足＋＝λ(λ≠0，O为原点)，当|AB|<时，求实数λ的取值范围．
解析：(1)y2＝4x，焦点F(，0)，所以c＝，
椭圆焦点为(－，0)，(，0)，
所以2a＝＋＝4，
所以a＝2，所以b＝1，
椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当AB斜率是0时，|AB|＝4不合题意．
当AB斜率不为0时，设直线AB的方程是x＝my＋3，
②代入①得(4＋m2)y2＋6my＋5＝0，
Δ＝36m2－20(4＋m2)>0，
所以m2>5，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
所以|AB|＝|y1－y2|
＝
＝·.
因为|AB|<，
即<3，
整理得13m4－88m2－128<0，
所以m2<8，
所以5又＋＝λ，
所以
所以yP＝×，
所以xP＝[m(y1＋y2)＋6]
＝.
又P点在椭圆上
所以×＝4，
所以λ2＝＝，
又5所以3<λ2<4，
解得－2<λ<－或<λ<2.
故λ的取值范围为(－2，－)∪(，2)


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