资源简介 [学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关的统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出:y=-t3-t2+36t-,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( )A.6时 B.7时C.8时 D.9时解析:选C.y′=-t2-t+36=-(t+12)(t-8).令y′=0,得t=8或t=-12(舍去),则当6≤t<8时,y′>0,当8所以当t=8时,通过该路段所用的时间最多.2.把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A. cm2 B.4 cm2C.3 cm2 D.2 cm2解析:选D.设一段为x,则另一段为12-x(0则S(x)=××+××=,所以S′(x)=.令S′(x)=0,得x=6,当x∈(0,6)时,S′(x)<0,当x∈(6,12)时,S′(x)>0,所以当x=6时,S(x)最小.所以S==2(cm2).3.已知生产某产品x单位的成本为C(x)=5x+200(元),所得收益为R(x)=10x-0.01x2(元),则生产多少单位产品才能使总利润L最大( )A.200 B.250C.300 D.260解析:选B.总利润L=R(x)-C(x)=5x-0.01x2-200,L′=5-0.02x,令L′=0,得x=250.易知x=250是唯一的极大值点.因此,生产250单位的产品才能使总利润最大.4.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)=-+400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( )A.150 B.200C.250 D.300解析:选D.由题意可得总利润P(x)=-+300x-20 000(0≤x≤390).P′(x)=-+300,由P′(x)=0,得x=300.当0≤x<300时,P′(x)>0;当3005.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为48 m3,高为3 m,如果箱底每1 m2的造价为15元,箱壁每1 m2的造价为12元,那么箱子的最低总造价为( )A.900元 B.840元C.818元 D.816元解析:选D.设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为l元,根据题意得箱底面积为=16(m2),则长为x m的一边的邻边长度为 m,则l=16×15+(2×3x+2×3×)×12=240+72,l′=72.令l′=0,解得x=4或x=-4(舍去).当04时,l′>0.故当x=4时,l有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价是816元.6.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么原油温度的瞬时变化率的最小值是________.解析:原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.答案:-17.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为________.解析:设圆锥高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2,所以r2=2Rh-h2,所以V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3,V′=πRh-πh2.令V′=0得h=R.当00;当因此当h=R时,圆锥体积最大.答案:R8.某厂生产某种产品x件的总成本:C(x)=1 200+x3,产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,当总利润最大时,则产量应定为________件.解析:设产品单价为a元,产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=k,由题知k=250 000,则a2x=250 000,所以a=.总利润y=500-x3-1 200(x>0),y′=-x2.由y′=0,得x=25,当x∈(0,25)时,y′>0;当x∈(25,+∞)时,y′<0,所以x=25时,y取最大值.答案:259.如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),道路的宽度均为2 m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出最大面积.解:设休闲广场的长为x m,则宽为 m,绿化区域的总面积为S(x) m2.则S(x)=(x-6)=2 424-=2 424-4,x∈(6,600).所以S′(x)=-4=.令S′(x)>0,得6所以S(x)在(6,60)上是增函数,在(60,600)上是减函数,所以当x=60时,S(x)取得极大值,也是最大值,所以S(x)max=S(60)=1 944.所以当休闲广场的长为60 m,宽为40 m时,绿化区域的总面积最大,最大面积为1 944 m2.10.某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?解:(1)若商品降低x元,则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件,得k·22=24,解得k=6.若记一个星期的商品销售利润为f(x),则有f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,21].(2)对(1)中函数f(x)求导得f′(x)=-18(x-2)(x-12)且f′(x)的变化情况如下表:x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)-0+0-f(x)9 072?极小值?极大值?0所以当x=12时,f(x)取得极大值.因为f(0)=9 072,f(12)=11 664,f(21)=0,所以定价为30-12=18(元),能使一个星期的商品销售利润最大.[B 能力提升]11.若一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则圆柱侧面积的最大值为( )A.2πr2 B.πr2C.4πr2 D.πr2解析:选A.设内接圆柱的底面半径为r1,高为t,则S=2πr1t=2πr12=4πr1.所以S=4π.令(r2r-r)′=0得r1=r.此时S=4π·r·=4π·r·r=2πr2.12.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则x的取值为( )A.0.016 2 B.0.032 4C.0.024 3 D.0.048 6解析:选B.依题意,存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,贷款的收益是0.048 6kx2,其中x∈(0,0.048 6).所以银行的收益是y=0.048 6kx2-kx3(0令y′=0,得x=0.032 4或x=0(舍去).当00;当0.032 4所以当x=0.032 4时,y取得最大值,即当存款利率为0.032 4时,银行获得最大收益.13.如图,已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的长和宽.解:设AD=2x(0则A(x,0),AB=y=4-x2,所以矩形面积为S=2x(4-x2)(0即S=8x-2x3,S′=8-6x2,令S′=0,解得x=或x=-(舍去).当00;当所以,当x=时,S取得最大值,此时S最大值=.即矩形的长和宽分别为,时,矩形的面积最大.14.(选做题)为了解决老百姓“看病贵”的问题,国家多次下调药品价格,各大药厂也在积极行动,通过技术改造来提高生产能力,降低能耗从而降低药品生产的成本.某药厂有一条价值a 万元的药品生产线,经过预测和计算,得到生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满足:①y与(a-x) 和x2的乘积成正比;②当x=时,y=a3,并且技术改造投入比率为∈(0,t],t为常数且t∈(0,2].(1)求y=f(x)的解析式及定义域;(2)为了有更大的降价空间,要尽可能地降低药品的生产成本,求y的最大值及相应的x值.解:(1)设y=f(x)=k(a-x)x2,当x=时,y=a3,即a3=k··,解得k=8.所以f(x)=8(a-x)x2.因为0<≤t,所以函数的定义域是.(2)因为f(x)=8(a-x)x2,所以f′(x)=-24x2+16ax,令f′(x)=0,则x=0(舍去)或x=.当0<x<时,f′(x)>0,所以f(x)在上是增函数;当x>时,f′(x)<0,所以f(x)在上是减函数.所以x=为函数f(x)=8(a-x)x2的极大值点.当≥,即1≤t≤2时,ymax=f=a3;当<,即0<t<1时,ymax=f=.综上可得,当1≤t≤2时,投入万元,y的最大值为a3;当0<t<1时,投入万元,y的最大值为.课件30张PPT。第三章 导数及其应用第三章 导数及其应用本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 展开更多...... 收起↑ 资源列表 3.4 应用案巩固提升.doc 3.4 生活中的优化问题举例.ppt