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一 平移、旋转和轴对称
一、图形的平移
1.平移的意义:平移是在不改变物体或图形形状、大小和自身方向的情况下,把物体或图形沿水平或垂直方向移动。
2.图形平移的两要素:平移的方向和平移距离。
3. 确定图形平移的方向:可以根据箭头的指向确定图形平移的方向。
4. 确定图形平移距离的方法:选定原图形中的某一条线段或某一个点,数一数与平移后图形中对应线段或对应点之间隔了几格,隔了几格图形就平移了几格。
5.在方格纸上画简单图形平移后的图形的方法:
(1)找出原图形中具有代表性的点(或线段)。
(2)将原图形各点(或线段)按要求平移。
(3)把平移后的点(或线段)顺次连接。
二、图形的旋转
1.旋转方向:与时针旋转方向相同的是顺时针旋转,相反的是逆时针旋转。
2.旋转的三要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度。
3.在方格纸上画简单图形旋转90°后的图形的方法:
(1)确定旋转中心和关键线段。
(2)绕着旋转中心,根据旋转方向和旋转角度,画出旋转后的对应线段,注意与原线段长度相等。
(3)顺次连接所画线段的端点。
三、轴对称图形
1.轴对称图形的判断方法:如果一个图形对折后,折痕两边能够完全重合,那么这个图形就是轴对称图形。
2.轴对称图形的对称轴:轴对称图形对折后,折痕两边完全重合,折痕所在的直线叫作轴对称图形的对称轴,对称轴一般用虚线画出来。
3. 长方形有2条对称轴,正方形有4条对称轴。
4.找对称轴的方法:找一个图形的对称轴,一般用对折的方法。
5.补全一个简单的轴对称图形的方法:
(1)确定已知图形的几个关键点。
(2)在对称轴的另一侧找出关键点的对应点。
(3)顺次连接对应点,画出轴对称图形的另一半。
6. 在解决补全图形的问题时,使之成为轴对称图形的基本方法:
(1)对应法:通过观察、比较和分析,找准对应量之间的关系,就能实现由未知到已知的转化。这种运用对应关系解题的方法就是对应法。
(2)操作法:通过拼摆、折一折,剪一剪等动手操作活动,使直观形象向抽象思维过渡,突破难点,获得
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　易错点:平移了多少格不是指原图形和平移后的图形之间隔了多少格,而是指原图形和平移后的图形的对应线段或对应点隔了多少格。
为了区分旋转前、后的图形,一般将旋转前的图形改用虚线画出来。
只有掌握旋转的特征和三要素才能正确进行判断图形的旋转问题。
易错点:对称轴是一条直线而不是一条线段。
易错点:长方形沿水平和垂直方向对折后,折痕两边能完全重合;长方形沿两条对角线对折后,折痕两边不能完全重合,所以长方形对角线所在的直线不是长方形的对称轴,所以长方形只有2条对称轴。
二　 认识多位数
一、认识整万数
1.认识亿以内的计数单位,掌握整万数的读写方法:
(1)认识计数单位:“万”“十万”“百万”“千万”。
一万一万地数,10个一万是十万;十万十万地数,10个十万是一百万;一百万一百万地数,10个一百万是一千万。
(2)相邻两个计数单位之间的进率是10。
(3)整万数的意义:表示多少个万。
(4)整万数的读法:去掉末尾的4个0,前面是多少就读多少,再在后面加一个“万”字。
(5)整万数的写法:“万”字前面是多少就写多少,再在后面添4个0。
2.数位和数级:
(1)数位:把这些计数单位按一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫作数位。
(2)数级:我国习惯上把多位数按每四个数位一分级,即从个位起,每四个数位为一级。个位、十位、百位、千位是个级;万位、十万位、百万位、千万位是万级;亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级。
二、认识含有万级和个级的数
1.万级、个级都不含0的数的读写方法:
(1)分级的方法:读写较大的数时,通常要先对这个数进行分级,分级的方法是从个位起,每四个数位是一级。
(2)分级写数:写数时,要分级去写,先写万级的,再写个级的。
(3)分级读数:读数时,要从高位起一级一级地往下读。读万级的时候,按照个级的读法去读,再在后面加一个“万”字。
2.万级、个级中间或末尾有0的数的读写方法:
(1)读数时,万级和个级末尾的0都不读,其他数位上有一个0或连续几个0,都只读一个“零”。
(2)写数时,对应数位顺序表去写,哪个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写0占位。
三、认识含有亿级和万级的数
1.认识亿级的计数单位:一千万一千万地数,10个一千万就是一亿;再接着数下去,10个一亿是十亿,10个十亿是一百亿,10个一百亿是一千亿……亿、十亿、百亿、千亿都是计数单位。
2.整亿数的写法:写整亿数时,一级一级地写,亿级的写法与万级、个级的写法相同,数位上是几就写几,哪一个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写0占位。
3.整亿数的读法:整亿数的读法与万以内数的读法相同,只是后面加个“亿”字。
4.含有亿级的数位顺序表:
(1)从数级、数位、计数单位三个方面整理数位顺序表:万级的左边是亿级。亿位的左边一位是十亿位,计数单位是十亿;十亿位的左边一位是百亿位,计数单位是百亿;百亿位的左边一位是千亿位,计数单位是千亿。
(2)十进制计数法:10个一亿是十亿,10个十亿是一百亿,10个一百亿是一千亿,像这样每相邻两个计数单位之间的进率是10的计数方法,叫作十进制计数法。
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四、比较数的大小及整万数或整亿数的改写
1.比较数的大小的方法和整万数的改写:
(1)整万数的大小比较方法:位数不同时,位数多的那个数就大。位数相同时,从最高位上的数开始比较,最高位上的数大的那个数就大;如果最高位相同,就比较下一位,依次类推,直到比较出大小为止。也可以将整万数改写成用“万”作单位的数,更方便比较。
(2)整万数改写成用“万”作单位的数的方法:去掉个级的4个0,同时加上“万”字。
2.把整亿数改写成用“亿”作单位的数:
将亿位后面的8个0省略,换成一个“亿”字。
五、近似数
1.认识近似数:生活中一些事物的数量,有时不需要用精确的数表示,而只用一个与它比较接近的数来表示,这样的数是近似数。
2.区分精确数和近似数:
区分精确数和近似数要结合生活实际。精确数是一个准确的数,与实际大小完全相等;近似数是一个与实际大小相近的数,表述时通常有“约”“大约”等字样。
3.求近似数的方法:用“四舍五入”法求近似数,要把这个数按要求保留到某一位,并把它后面的尾数省略。尾数最高位上的数如果是4或比4小,就把尾数的各位都改写成0;如果是5或比5大,要在尾数的前面加1,再把尾数的各位改写成0。
4.用“万”或“亿”作单位求一个数的近似数的方法:
(1)用“万”作单位求近似数时,把万位后面尾数的最高位(千位)上的数“四舍五入”,并把尾数用“万”字代替。
(2)用“亿”作单位求近似数时,把亿位后面尾数的最高位(千万位)上的数“四舍五入”,并把尾数用“亿”字代替。
5.省略最高位后面的尾数求一个数的近似数的方法:把尾数最高位即左起第二位上的数“四舍五入”,并把尾数全部改写成0。
　　近似数是接近精确值的数,大小发生了变化,所以不能用“=”连接,应用“≈”连接。
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读数时一定要写汉字,不能写阿拉伯数字。如32000000读作:三千二百万,而不是3千2百万。
计数单位与数位的区别:计数单位是指计算物体个数的单位;数位指一个数中每个数字所占的位置。
要点提示:分级时一定要注意是从右到左四个数位为一级,也就是从低位到高位进行分级。
要点提示:每一级有4个计数单位。个级表示多少个一,万级表示多少个万。
举例:2100170
读作:二百一十万零一百七十
　知识巧记
读准大数并不难,
正确分级是关键。
万级是几读作几,
加个“万”字莫忘记。
每级末尾如有0,
不必读出记心间。
其他数位连续0,
只读一个记仔细。
举例:
100200000000读作:
(　　　　　)
错解:一千亿零二亿
正解:一千零二亿
举例:4124106000
读作:四十一亿二千四百一十万六千
易错点:误认为计数单位之间的进率都是10,这是不对的,一定要注意“相邻”二字。
举例:比较大小。
3054000/30054000
错解:>
正解:<
比较两个数的大小,先要看这两个数的位数,位数多的那个数就大。
　知识巧记
大数比较看数位,
数位相同看首位,
首位相同比下位,
比出大小好解答。
　知识巧记
四舍五入方法好,
求近似数有法找。
取到哪位看下位,
别忘同5作比较。
用“四舍五入”的方法求近似数的关键是找准省略的尾数最高位上的数。
三　 三位数乘两位数
一、三位数乘两位数的笔算
1.三位数乘两位数的笔算方法:先用两位数个位上的数和十位上的数依次去乘三位数,用两位数哪一位上的数去乘,乘得的数的末位就和那一位对齐,再把两次乘得的积加起来。
*由三位数乘两位数的笔算方法可以类推出多位数乘多位数的笔算方法:先用第二个乘数每一位上的数依次去乘第一个乘数,用哪一位上的数去乘,乘得的数的末位就和那一位对齐,再把所有乘得的积加起来。
2.在计算乘数中间有0的乘法时,不要漏乘任何数位上的数,也不要漏写任何一个乘积。乘积是0时,也要把它写在相应的数位上。
二、运用数量关系解决问题
1.单价的表示方法及单价、数量、总价之间的关系:
(1)单价和数量的概念:单价是每件商品的价格;数量是指购买商品的多少。
(2)单价可以用符合单位的形式表示。
(3)单价、数量、总价之间的关系:
总价=单价×数量　　单价=总价÷数量　　 数量=总价÷单价
2.速度的表示方法及速度、时间、路程之间的关系:
(1)速度的概念:在行程问题中,表示单位时间内所行的路程叫速度,可以用每时、每分或每秒行多少路程来表示。
(2)速度也可以用复合单位表示,如千米/时。
(3)速度、路程、时间之间的关系:
路程=速度×时间　　速度=路程÷时间　　 时间=路程÷速度
三、积的变化规律
1.积的变化规律:两个数相乘,一个乘数不变,另一个乘数乘几,得到的积就等于原来的积乘几。
2.解决问题:
(1)运用综合法、积的变化规律解决求面积问题:
在解决问题时,有时运用积的变化规律求解会更简便。
(2)运用积不变的规律解决求时间问题:
①在乘法中,要想使积不变,两个乘数的变化方向就要相反。一个乘数乘一个数(0除外),另一个乘数就要除以相同的数。
②车辆行驶时,如果路程一定,速度越快,所用的时间就越短。
四、乘数末尾有0的乘法的简便计算
乘数末尾有0的三位数乘两位数的简便算法:把0前面的部分末位对齐先乘,再看两个乘数的末尾一共有几个0,就在得数的末尾添上几个0。
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由两位数乘两位数的笔算方法及三位数乘一位数的笔算方法类推出三位数乘两位数的笔算方法。
举例:115×21=(　　)
1
1
5
×
2
1
1
1
5
2
3
0
3
4
5
错解:345
正解:2415
此题错在用乘数“21”十位上的“2”去乘115时,乘得的积的末位没有和“2”对齐。
易错点:“元/支”“元/本”等都是复合单位,书写时要按从左往右的顺序写,中间的斜线要从右上往左下倾斜。
举例:
判断:如果两个乘数乘4,积也要乘4。 (　　)
错解:??
正解:?
当两个乘数同时乘一个数时,积就要把这个数乘两次。
易错点:乘数末尾0的个数要数准。
四　用计算器计算
　一、认识计算器
1.计算器是一种计算工具,有很多计算功能,日常生活中使用计算器很普遍。
2.计算器的类型:
现在常用的计算器有算术型计算器和科学型计算器。用算术型计算器进行计算必须考虑运算顺序,而用科学型计算器进行计算无需考虑运算顺序。
3.常用键的名称及功能:
ON是开机键,使用计算器时要先按一下这个键,接通计算器的电源;OFF是关机键,按此键便关闭电源;AC是消除键;CE是改错键。在运算过程中,若发现已经输入的数据不正确,可按消除键消除输入的错误数据,或改错键,清除当前输入的数据。
运算符号键:+ -× ÷ 和=,可用于进行四则运算和得出结果。
数字键:0123456789,每按一下数字键,显示器右端就会出现这个键上标的数字。
4.使用计算器的方法:
(1)先按开机键接通电源,然后根据运算顺序依次按数字键和运算符号键。如果在输入的过程中出现错误,可按消除键全部清除后重新操作,要想得出结果应按=键,用完计算器后要按关机键,关闭电源。
(2)用计算器计算没有括号的同级运算式题时,只要按从左到右的顺序依次按相应键,便会显示正确的结果。每算完一道题要先清屏,再算另一道题,避免前面输入的信息与后一道题的信息累计。
(3)用算术计算器计算整数四则混合运算的两步式题,要根据运算顺序分步操作。当运算顺序与算式的书写顺序不一致时,要先把第一步的计算结果记录下来,把计算器清屏归“0”后,再进行第二步计算。
二、用计算器探索规律
1.遇到特殊的计算,发现规律后再计算会更方便。
2.除法算式中,被除数不变,除数乘几,商就等于原来算式的商除以几(0除外)。
3.除法算式中,除数不变,被除数乘几,商就等于原来算式的商乘几(0除外)。
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　计算器主要包括两部分:显示屏和键盘。其中键盘包括功能键、运算符号键和数字键。
举例:
判断:用计算器进行计算时,发现输错了当前的数据,按ON/AC可以修改错误。 (　　)
错解:??
正解:?
运用改错键进行改错。
　知识巧记
计算器,本领大,
任何计算都不怕。
同级运算按顺序,
确定顺序莫着急。
算完一题需清屏,
再算下题才可行。
当运算顺序与算式的书写顺序不一致时,用算术型计算器计算要根据运算顺序分两步计算。
科学型计算器能识别运算顺序,可以直接根据算式的书写顺序按键,算式中的括号按括号键,不必根据运算顺序分步操作。
在遇到数据较大的计算时,如果算术型计算器无法显示,那么可以通过化大为小的方法来寻找规律,然后根据得出的规律直接写出得数。
五　解决问题的策略
一、画线段图描述和分析问题
1.明确解题思路:
可以用画线段图的方法整理题中的已知条件和所求问题,找出数量关系,得出解题方法。
2.画线段图整理信息。
3.看图分析数量关系。
4.解决问题。
5.检验。
总结:(1)画线段图可以将题意形象地表示出来,同时也能直观、清楚地反映出数量之间的关系,容易找到解题方法。
(2)和差问题用数量关系表示:(和+差)÷2=大数,(和-差)÷2=小数。
二、用画图的策略解决有关面积计算的问题
解题步骤:
(1)明确解题思路:
解决图形面积计算的问题,如果画示意图,可以将题意表达得更清楚。要结合题中的已知条件和问题,按一定的顺序画图。
(2)画图理解题意:
画图是解决有关面积计算问题的最有效的策略,借助示意图可以更好地理解题中的数量关系。
(3)看图分析数量关系:
根据示意图中标注的条件和问题可以清楚地观察到所给条件和所求问题之间的关系,找出突破口。
(4)解决问题:
①解决长一定,宽增加或宽一定,长增加的问题:
此类问题若画出示意图,可以更好地理解题中的数量关系。
a.宽增加,长一定,增加的面积应该用原来的长乘增加的宽来求。
b.长增加,宽一定,增加的面积应用原来的宽乘增加的长来求。
②当长和宽都未知的问题:
当长和宽都未知时,要将题目的条件适当补充详细,也可根据条件画出两种变化示意图。还可以先画图表示原来的长方形,再在这个长方形的基础上独立画出增加的部分,并在图中标出相关的条件和问题。
③运用画直观图法解决有关面积计算的问题:
a.用画直观示意图的方法整理相关信息。
b.借助所画示意图分析实际问题中的数量关系,确定解决问题的正确思路。
c.解决数量关系中比较隐蔽或稍复杂的长方形面积计算问题。
三、运用画线段图法解决行程问题
画线段图是分析行程问题比较有效的方法,有助于分析、理解题中的数量关系,使问题得以解决。
行程问题中的数量关系:路程=速度×时间。
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　用线段图整理相关信息,把条件和问题之间的关系呈现出来,解决有关部分与总体关系的实际问题。
易错提示:画线段图时,要先画标准量,同时注意线段长度的大致比例。要在线段图上标注出条件和问题。
当题中出现“一倍”或“几倍”时,可以先画线段图进行分析,确定“一倍”的量,把“一倍”的量看作“一份”,“几倍”的量就是“几份”。
易错点:由于长方形的长和宽都未知,必须将条件详细描述出来。
求两地间的距离:甲、乙二者所用的时间相同,但所走的路程不同。相同时间内,甲比乙多行的路程可以求出,甲每小时比乙多行的路程也可求出,通过这两个量就能求出甲、乙二者所用的时间,进而求出两地间的距离。
六　运　算　律
　　一、加法交换律、结合律
1.加法交换律:
①定义:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
②用字母表示:a+b=b+a
教材55页例1中要求跳绳的有多少人,只要把跳绳的男生人数和女生人数合起来即可。可以用男生人数加上女生人数,也可以用女生人数加上男生人数。通过列式计算,交换两个加数的位置,和不变。
2.加法结合律:
①定义:三个数相加,先把前两个数相加,再和第三个数相加,或者先把后两个数相加,再和第一个数相加,和不变。
②用字母表示:(a+b)+c=a+(b+c)
教材56页,要求跳绳和踢毽子的一共有多少人,只要把跳绳的男生人数、女生人数和踢毽子的女生人数三部分合起来即可。可以先算出跳绳的有多少人,再加上踢毽子的人数;也可以先算出女生有多少人,再加上男生人数。
二、应用加法运算律进行简便计算
1.计算连加时,先观察哪两个数或哪几个数相加可以凑成整十、整百、整千……数,然后运用加法运算律,可以使计算简便。
教材57页例2,要求三个年级一共有多少人参加比赛,只要把三个年级的人数合起来即可,用加法计算,列式为“29+46+54”,用简便方法计算,先观察发现46和54可以凑成100,运用加法结合律可以先把这两个数相加,即29+(46+54)。
2.解决问题:
①运用“凑整”法解决连加算式的简便问题:
连加的简算方法一般离不开“凑整”法,“凑整”法是指把相加的数凑成整十、整百、整千……数,在这个过程中可以调换加数的位置,有时还可以把某个数拆成整十、整百、整千……数加减另一个数的形式。
②运用对应法解决求等差数列的和的问题:
求一组等差数列的和,可用“(首项+末项)×项数÷2”的公式解题。
三、乘法交换律、结合律以及相关的简便计算
1.乘法交换律:
①定义:两个数相乘,交换两个乘数的位置,积不变。
②用字母表示:a×b=b×a
教材60页例3,图中有三组同学在踢毽子,每组5人,要求一共有多少人在踢毽子,只要把每组的人数与分成的组数相乘即可。用“组数×人数”或用“人数×组数”,所得出的结果是不变的。
拓展:多个数相乘,任意交换乘数的位置,积不变。
如a×b×c×d×e=a×c×e×b×d=a×d×b×c×e
2.乘法结合律:
①定义:三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,积不变。
②用字母表示:(a×b)×c=a×(b×c)。
教材61页例4,要求6个年级一共要选派多少人参加比赛,可以先算出每个年级参赛的人数,再算6个年级参赛的总人数;也可以先求6个年级一共有多少个班,再和每班的人数相乘,求出一共有多少人参赛。
3.运用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算:
在连乘算式中,当某两个乘数的积正好是整十、整百、整千……数时,运用乘法交换律或乘法结合律先把这两个数相乘,能使计算简便。
4.解决简算问题:
①运用拆分法解决乘法简算问题:
运用拆分法将某个乘数拆分成几个数相乘的形式,使其中的乘数与其他乘数的积能“凑整”,使计算简便。
②运用转化法解决乘除混合运算问题:
在没有括号的乘除混合运算中,有时交换乘数或除数的位置(交换时,一定要带上前面的运算符号),能使计算简便。
四、乘法分配律
1.定义:两个数的和(或差)与一个数相乘,可以先把这两个数分别与这个数相乘,再相加(或相减)。
2.用字母表示:(a+b)×c=a×c+b×c或(a-b)×c=a×c-b×c。
教材62页例5,要求四、五年级一共要领多少根跳绳。方法一:先算出四、五年级一共有多少个班,再算出两个年级一共要领多少根跳绳;方法二:先算出四、五年级各领多少根跳绳,再算出一共要领多少根跳绳。观察发现,因为是一道题的两种解法,结果相同,因此得出结论:两个数的和与一个数相乘,可以先把这两个数分别与这个数相乘,再相加,这就是乘法分配律。
五、运用乘法分配律进行简便计算
1.两个数相乘,如果有一个乘数接近整百数,可将其转化成整百数加或减一个数的形式,再运用乘法分配律进行计算,可使计算简便。
2.运用乘法分配律进行简算时,要注意拆分形式为(a+b)×c=a×c+b×c或(a-b)×c=a×c-b×c。
3.解决简算问题:
①运用“建模”法解决简算问题:
几个算式中都有相同的乘数,可以将这个相同的乘数提取出来,将另外几个乘数组合在一起算,如a×d+b×d+c×d=(a+b+c) ×d或a×d-b×d-c×d=(a-b-c) ×d。
②运用转化法解决稍复杂的简算问题:
可以多次运用乘法分配律,使计算简便。
六、解决问题
1.用乘法分配律解决相遇问题:
解决问题之前,可以先画图或列表理清题目的已知条件和问题,再从不同的角度去思考,就会得到不同的解题方法。
2.运用观察法解决乘除混合运算中的简算问题:
在乘除混合运算中,如果算式中没有括号,移动各数的位置时,要把数前面的运算符号一起移动。
3.运用“建模”法解决复杂的简算问题:
在乘加、乘减算式中,找出相同的乘数,巧用乘法分配律是解答此题的关键。
方法指导:加法交换律和加法结合律适用连加运算,乘法交换律和乘法结合律适用连乘运算。
　　
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用字母表示数,渗透了符号化思想。符号化思想就是用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学的内容。
举例:用简便算法计算29+16+24,3个数连加,运用加法结合律可以简便运算。16+24正好是40,先算比较简便。
　29+16+24
=29+(16+24)
=29+40
=69
在应用加法运算律进行简算时,有时会同时用到两种运算律。
易错点:加法交换律和乘法交换律改变的是加数和乘数的位置,结果不变。
在应用乘法运算律简算时,有时会同时用到两种或两种以上的运算律。
要点提示:加法结合律和乘法结合律改变的是运算顺序,结果不变。
举例:用简便方法计算25×102。
可以把102看作100+2,再根据乘法分配律就可以算出结果。
　25×102
=25×(100+2)
=25×100+25×2
=2500+50
=2550
　知识巧记
连加计算仔细看,
考虑加数是关键。
整十、整百与整千,
结合起来会简便。
交换律记心间,
交换位置和不变。
结合律应用广,
加数凑整更简单。
　　3.解决简算问题:
①运用转化法解决简算问题:
根据乘法分配律,把乘法算式中的一个乘数变为两个数的和的形式使解题简单化。
②运用拆分法解决简算问题:
通过转化,使两个乘法算式中含有相同的乘数,再逆用乘法分配律,可使计算简便。
简算时,要先仔细观察题中所给的数是否符合运算律,再灵活应用。
易错点:运用乘法分配律进行计算时,乘数需和两个加数分别相乘。
　知识巧记
根据乘法分配律,把乘法算式中的一个乘数变为两个数的和的形式是解决根据乘法分配律填等式的关键。
计算方法:两位数乘几百零几,可以先把几百零几改写成几百加几,分别用两位数去乘整百数和一位数,再把两次乘得的积加起来。
计算方法:如果两个数分别与同一个数相乘,这两个数的和是整十、整百、整千……的数,那么可以根据乘法分配律的逆运算来计算,这样计算比较简便。
七　三角形、平行四边形和梯形
　一、三角形
1.认识三角形:
(1)生活中的三角形:生活中的三角形无处不在,如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。生活中一些物体的包装盒的面,一些积木的面等都是三角形。
(2)画三角形:(步骤)
①先画一条线段。
②再以第一条线段的一个端点为端点画第二条线段。
③最后连接另两个端点,围成封闭图形。
(3)三角形的特点:
①三角形有3条边、3个角和3个顶点。
②三角形的3条边都是线段。
③三角形的三条线段要首尾相接地围起来。
(4)三角形的定义:三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。
(5)三角形各部分的名称:
/
①围成三角形的三条线段就是三角形的边,每两条边所组成的角就是三角形的角,每个角的顶点就是三角形的顶点。
②三角形有3个顶点、3条边和3个角。
(6)认识三角形的底和高:
①从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。
/
(7)三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。
①把三角尺的一条直角边与指定的底边重合。
②沿底边平移三角尺,直到另一条直角边与该底边相对的顶点重合。
③再从该顶点沿三角尺的另一条直角边向底边画一条虚线段,这条虚线段就是三角形的高。
④最后标上直角符号。
(8)解决问题:
①运用类推法解决数三角形的问题:
从三角形的一个顶点向对边引若干条线段,将三角形分成了若干个小三角形,所分成的三角形的个数与对边上的线段的条数相等。如果对边被分成n段,则三角形有【n+(n-1)+(n-2)+…+1】个。
②运用分析法解决求用时最短的路线问题:
要想使每次走的路线最短,就应从每个顶点向与对面路垂直的方向走,即点到对边的垂直线段最短。
2.三角形的三边关系:
(1)在拼成的三角形中,任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。
判断给定的三条线段能否围成三角形,只要计算出其中两条较短的线段的长度和,若它们的和大于第三条线段的长度,就一定能围成三角形。
(2)解决问题:
①运用推理法解决围三角形的问题:
根据三角形三边的关系“任意两边长度的和大于第三边”找出最长边的极限长度,其他两条边的长度就可以确定了。
②运用枚举法解决围三角形问题:
有序思考,先不重复、不遗漏地列举出所有可能,再去掉不能围成三角形的组合是解决此题的关键。
3.三角形的内角和:
(1)三角形的内角和:(教材78页例4)
①计算三角尺的内角和:
/
90°+30°+60°=180°　　　　　90°+45°+45°=180°
②探究任意三角形的内角和:
a.剪出不同的三角形,用量角器量出每个三角形的3个内角的度数,再把各内角的度数相加。
从计算结果中发现:任意一个三角形的内角和都等于180°。
b.将每个三角形的3个角都撕下来,拼在一起。
c.将每个三角形的3个角都向内折,拼在一起。
观察发现:三角形的3个角拼在一起形成了一个平角,平角是180°,即3个内角的度数之和是180°。
③求三角形中未知角的度数的方法:(教材79页“练一练”)
a.明确解题思路:已知三角形中两个内角∠1和∠2的度数,求∠3的度数。因为在一个三角形中,三个内角的度数和是180°,所以只要用180°减去已知的两个内角的度数和,或连续减去已知的两个内角的度数即可。
b.归纳总结:在一个三角形中,已知两个角的度数,求第三个角的度数,用内角和180°连续减去已知的两个内角的度数或减去已知的两个内角的度数即可。
④钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°,直角三角形中两个锐角的度数和等于90°。
(2)解决问题:
①运用找中间量法解决求三角形中未知角的度数问题:
/
给出∠1和∠4的度数,求∠2。
巧妙地运用平角及三角形内角和的知识是解答此题的关键。
②运用推理法解决求角的度数的问题:
/
给出∠1+∠2=∠3=57°,∠4=14°,∠5=145°,求∠2的度数。
知道三角形的内角和等于180°是解答此题的关键。
4.三角形的分类。
(1)回顾角的分类:等于90°的角是直角;大于0°小于90°的角是锐角;大于90°而小于180°的角是钝角;等于180°的角是平角;等于360°的角是周角。
(2)三角形按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
(3)各类三角形之间的联系:
各类三角形之间的联系可以用下图表示,把所有的三角形看作一个整体,锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分。
/
3个角都是锐角的三角形是锐角三角形;有1个角是直角的三角形是直角三角形;有1个角是钝角的三角形是钝角三角形。
(4)运用有序分割法解决把多边形分成三角形的问题:
把一个五边形分成3个三角形,要以一个顶点为起点,向和它不相邻的顶点连线。
5.等腰三角形和等边三角形:
(1)等腰三角形及其特征:
①定义:两条边相等的三角形是等腰三角形。
②等腰三角形各部分的名称:在等腰三角形中,相等的两边叫作腰,另一条边叫作底,两腰的夹角叫作顶角,底边与两腰的两个夹角叫作底角。
③特征:等腰三角形的两个底角相等,等腰三角形是轴对称图形,底边上的高在它的对称轴上。
(2)等边三角形及其特征:
①定义:3条边都相等的三角形是等边三角形,也叫作正三角形。
②特征:等边三角形的3个角相等,等边三角形是轴对称图形,等边三角形有3条对称轴。
③三角形按边分类:
/
二、认识平行四边形
1.定义:两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
2.特征:
(1)平行四边形有4条边、4个角。
(2)平行四边形的两组对边分别平行。
(3)平行四边形的两组对边分别相等。
3.平行四边形的底和高的认识:
从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段,是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。
三、认识梯形
1.定义:只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
2.认识梯形的底和高:
互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底,不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。
3.梯形的分类:
(1)直角梯形:如果梯形的一条腰和梯形的底互相垂直,那么这条腰就是梯形的高,这样的梯形叫作直角梯形。
(2)等腰梯形:两腰相等的梯形叫作等腰梯形。
/
　要点提示:三角形具有稳定性。
三角形是由三条线段首尾相接围成的图形。
易错点:过同一条直线上的3个点不能画出三角形;围成三角形的3个顶点不能在同一条直线上。
要点提示:如果有三条线段,而没有说是首尾相接围成的图形,就不是三角形。
三角形的底和高一一对应。
三角形都有高,由于三角形的种类不同,三角形高的位置也就不同。
易错点:从三角形的一个顶点到对边的线段中,只有垂直线段才是高。
技巧:要求最短路线就是求三角形的高,画出三条高后,分别量出长度,便可比较出哪条路线最短。
举例:
判断:任意三根小棒都可以围成三角形。 (　　)
错解:??
正解:?
此题错在忽略了三角形3条边的长度关系,误认为任意长度都可以围成三角形。
将三角形的3个角向内折,拼成一个平角的过程体现了转化思想。转化思想是指在遇到复杂的、陌生的新问题时,可以根据题目中存在的相等关系,把新问题通过换角度、换方式、换叙述等办法进行变化,使陌生问题熟悉化、多元问题一元化、复杂问题简单化、抽象问题具体化、一般问题特殊化,最终使问题获得解决的思维策略。
　　举例:
判断:三角形中两个锐角的度数和一定大于90°。 (　　)
错解:??
正解:?
这个结论只适用于锐角三角形,在直角三角形和钝角三角形中不成立。
举例:
填空:把一个大三角形平均分成两个小三角形,每个小三角形的内角和是(　　)。
错解:90°
正解:180°
任意一个三角形的内角和都等于180°。
易错点:无论什么三角形,内角和都等于180°。
举例:
判断:有2个角是锐角的三角形是锐角三角形。 (　　)
错解:??
正解:?
3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
三角形按角分类时,每一类三角形中都至少有2个锐角。
要点提示:一个三角形中至少有2个角是锐角,最多有1个直角或钝角。
知识巧记
两等边为腰,
两腰夹顶角。
另边为底边,
与腰成底角。
底角等底角,
特征掌握好。
　　
　　知识点:等边三角形是特殊的等腰三角形。
举例:
判断:等腰三角形上面的一个角叫顶角。 (　　)
错解:??
正解:?
等腰三角形两腰所夹的角叫顶角。
知识点:两条边相等的三角形叫等腰三角形,与角的大小无关。在钝角三角形和直角三角形中,如果有两条边相等,就可以成为等腰三角形。
易错点:平行四边形有无数条高,但过一个顶点向每条对边都只能画一条高;平行四边形的高和底是相互依存的关系。
知识巧记
对边平行且相等,
形状易变不稳定。
防盗钢窗伸缩门,
日常生活广泛用。
在梯形中可以画出无数条高,所有高的长度都相等,且互相平行。
等腰梯形中,腰的长度可以和一条底的长度相等,即等腰梯形可以有3条边的长度相等。
八　确 定 位 置
一、列和行的含义(教材98页例1)
1.理解图意:教材中给出的是一张某班学生的座位图,小军的位置可以用以前学过的方法进行描述,如小军坐在第4组第3个;小军坐在第3排第4个……选择的参照物不同,描述的小军的位置也不同。为了便于交流,需要有一个统一的标准。
2.理解列和行的含义:
从上面的情景图中抽象出平面图,用一个“/”表示一名同学。可以用列和行来描述同学们的位置,通常把竖排叫作列,横排叫作行。
3.确定第几列、第几行的规则:
一般情况下,确定第几列要从左向右数,确定第几行要从前向后数。按照这一规则,就能确定出是第几列和是第几行了。
二、用数对表示位置
1.用数对表示小军的位置:小军坐在第4列第3行,可以用数对(4,3)表示,小括号中的第一个数表示列数,第二个数表示行数。像(4,3)这样的一组数就是数对。
2.数对的作用:
用有顺序的两个数可以组成数对,数对可以表示出一个确定的位置。
3.数对的写法:
数对的写法:书写时,用小括号把代表列数和行数的数或字母括起来,并用逗号隔开,如第5列第3行用数对表示是(5,3)。
4.用数对表示平面图中物体的位置:
用数对可以表示平面图中物体的位置,数对中的第一个数相同,表示物体的位置在同一列;数对中的第二个数相同,表示物体的位置在同一行。
5.解决问题:
(1)借助数对知识解决图形平移问题:
在平面图上,物体向左、右平移时,行数不变,向左平移,列数减去平移的格数;向右平移,列数加上平移的格数。物体向上、下平移时,列数不变,向上平移,行数加上平移的格数;向下平移,行数减去平移的格数。
(2)借助数对知识解决图形旋转问题:
当一个图形绕着某个点旋转180°后,连接对应点的线段都经过旋转点,并且被旋转点平分。
/
要点提示:确定位置时,通常把竖排叫作列,横排叫作行。一般情况下,确定第几列要从左向右数,确定第几行要从前向后数。
知识点:数对中的第一个数表示第几列,第二个数表示第几行,两个数之间要用逗号隔开,并且两个数的外面要用小括号括起来。
易错点提示:数对(4,3)不能写成数对(3,4),这两个数对表示的含义完全不同。
在数对中,列和行既可以用数表示,也可以用字母表示,有时列和行还可以用数和字母分别表示。
知识巧记
要用数对把位标,
弄清行列很重要。
竖排为列横排行,
列先行后不能调。
一个位置一括号,
逗号分隔表明了。

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