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漳平一中2020届高三上学期期中考试
数学试题（文科）
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则=
A. B. C. D.
2．已知复数为虚数单位)，则z的共轭复数为
A. B. C. D.
3．若向量，则与共线的向量可以是
A.（，-1） B.（-1，） C.（-，-1） D.（）
4．已知命题，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
5．设实数满足，则目标函数
A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值
C.有最小值-1，最大值3 D.既无最小值，也无最大值
6．在中，的对边分别为，若，则＝
A. B. C. D.
7．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是
A． B． C． D．
8．已知集合，在集合中任取三个
元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记
这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的
三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例
如，则 ，），阅读如图所
示的程序框图，运行相应的 程序，任意输入一个，则输
出的值为
A．792 B．693
C．594 D．495
9．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则
该几何体的体积为
A. B.
C. D.
10．已知定义域为R的函数恒满足且当时，，设 ， 则
A. B. C. D.
11．已知数列的首项，且满足，则的最小值为
A． B． C． D．
12．已知函数，若，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．
13．已知向量与的方向相反，，则 .
14．已知，则 .
15．各项均为正数的等比数列的公比成等差数列，则= .
16．在三棱锥中，面面，，，
则三棱锥的外接球的表面积是___ ___.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列中， ，.
(1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，并且，试求数列的前项和.
18．（12分）已知函数
(1）求
(2）当的值域.
19．（12分）在平面四边形中，，，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
20．（12分）如图，四棱锥中，，
，为中点．
（1）证明：平面；
（2）若是边长为的正三角形，平面，求点到平面的距离．
21．（12分）设
(1)判断函数的单调性；
(2)是否存在实数,使得关于的不等式在(1，)上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明理由.

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2）若点的直角坐标为，曲线与直线交于两点，求的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
(1）解关于的不等式
(2）若的解集非空，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
A
B
C
A
D
B
D
C
D
二、填空题：13．5； 14．－1； 15．； 16．.
三、解答题：
17．解：（I）设数列的公差为，根据题意得：
解得：， ………………………………………5分
的通项公式为 ……………………………………………………6分
(Ⅱ） ，
是首项为公比为的等比数列 ………………………………9分
＝ ………………………………12分
18．解：（1）
……………………3分
…………4分
……………………………………5分
(2） ……………………………………7分
当时，取最大值1 ……………9分
当时 ……11分
………………………………12分
19．解：(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，………1分
于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，
解得CD＝2(CD＝－3舍去)． …………………………………………………3分
在△CDE中，由正弦定理，得． …………………………4分
于是，sin∠CED＝＝＝，
即sin∠CED＝． …………………………………………………6分
(2)由题设知，0＜∠CED＜，
由(1)知，cos∠CED＝＝．……………………………8分
而∠AEB＝－∠CED，
所以cos∠AEB＝cos(－∠CED)＝coscos∠CED＋sinsin∠CED
＝－×＋×＝．……………………………………10分
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，
故BE＝＝＝4． ……………………………………………12分
20．（Ⅰ）证明：取的中点，连结．………1分
∵为的中点，∴，且．
又∵，且，
∴，且．故四边形为平行四边形．
∴．………………3分
又平面，平面，∴平面． ………………5分
（Ⅱ）∵平面，∴，
由于，∴
∵，∴平面，∴
由于，，∴
在直角梯形中，，，，
∴，
∴………………………………………………8分
取的中点，连结，则⊥，且
∵平面，∴，∴⊥平面．
又
∴………………………………………………10分
设点到平面的距离为，
∵平面 ∴
∴，
∴
∴点到平面的距离为．………………………………………………12分
21．解：(1)∵∴， ……………………1分
设.
∴，∴在上为减函数．………3分
∴，∴………………4分
∴函数在上为减函数． …………………………………5分
(2)在上恒成立在上恒成立，
设，∴，且有
若，显然不满足条件， …………………………………7分
若，则时，恒成立，
∴在上为减函数
∴在上恒成立，
∴在上恒成立， …………………………………9分
若，则时，∴， 时，
∴在上为增函数，
当时， >0,
不能使在(1，)上恒成立， …………………………11分
∴ ………………………………………………12分
22.解：(Ⅰ）直线的普通方程为： …………………………2分
曲线C的直角坐标方程为： …………………………5分
(Ⅱ）把直线的参数方程（为参数）代入曲线C的方程化简得：
………………………………8分
∴，<0
∴∣PA∣+∣PB∣== = = ………10分
?23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：
即：
由得
由得 ………………………………4分
综上原不等式的解为………………………………5分
(Ⅱ）原不等式等价于的解集非空
令，即
∴即，…9分
∴．…………………………………………………………10分

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