资源简介 3.2.2 复数的乘法和除法学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质.知识点一 复数的乘法思考 怎样进行复数的乘法运算?答案 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.梳理 (1)复数的乘法设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,定义z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(2)复数乘法的运算律①对任意复数z1,z2,z3,有交换律z1·z2=z2·z1结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3②对复数z,z1,z2和自然数m,n有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=z·z.(3)共轭复数的性质设z的共轭复数为,则:①z·=|z|2=||2.②=()2.③=·.知识点二 复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化,比如=,你能写出复数的除法法则吗?答案 设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),则==+i.梳理 (1)复数的倒数已知z=a+bi(a,b∈R),如果存在一个复数z′,使z·z′=1,则z′叫做z的倒数,记作.(2)复数的除法法则设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),则==+i(a,b,c,d∈R且c+di≠0).特别提醒:复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).1.复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除,再加减.( √ )2.两个共轭复数的和与积是实数.( √ )3.若z1,z2∈C,且z+z=0,则z1=z2=0.( × )类型一 复数的乘除运算例1 计算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);(2)(1+i);(3)(-2+3i)÷(1+2i);(4)-.解 (1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.(2)(1+i)=(1+i)=(1+i)=+i=-+i.(3)(-2+3i)÷(1+2i)====+i.(4)方法一 -====2i.方法二 -=-=i+i=2i.反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母,类比多项式的乘法进行.(2)复数的除法一般先写成分式形式,再把分母实数化,类比实数中的分母有理化进行.跟踪训练1 计算:(1)(1-i)(1+i);(2);(3).解 (1)原式=(1-i)(1+i)=2=-1+i.(2)原式===i.(3)原式==i-1.类型二 共轭复数的性质及应用例2 已知复数z满足:z·+2iz=8+6i,求复数z的实部与虚部的和.解 设z=a+bi(a,b∈R),则z·=a2+b2,∴a2+b2+2i(a+bi)=8+6i,即a2+b2-2b+2ai=8+6i,∴解得∴a+b=4,∴复数z的实部与虚部的和是4.反思与感悟 (1)z·=|z|2=||2是共轭复数的常用性质.(2)实数的共轭复数是它本身,即z∈R?z=,利用此性质可以证明一个复数是实数.(3)若z≠0且z+=0,则z为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数.跟踪训练2 已知复数z满足|z|=1,且(3+4i)z是纯虚数,求z的共轭复数.解 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi且|z|==1,即a2+b2=1.①因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i,而(3+4i)z是纯虚数,所以3a-4b=0,且3b+4a≠0.②由①②联立,解得或所以=-i或=-+i.类型三 in的周期性例3 计算:(1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i);(2)-;(3)+2016+.解 (1)原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i)=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)=47-39i.(2)原式=-=-=3-i=i-i=0.(3)原式=+1008+0=+(-i)1008=i+1.反思与感悟 (1)in的周期性①i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+).②in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+).(2)记住以下结果,可提高运算速度①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i.②=-i,=i.③=-i.④设ω=-+i,则ω2=--i,ω3=1,1+ω+ω2=0.跟踪训练3 计算:1+i+i2+i3+…+i2012.解 ∵i2=-1,i3=i·i2=-i,i4=(i2)2=1,i5=i4·i=i,∴i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1且i+i2+i3+i4=0,∴1+i+i2+i3+…+i2012=1+(i+i2+i3+i4)×503=1.1.若复数z=,其中i为虚数单位,则等于( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案 B解析 ∵z====1+i,∴=1-i,故选B.2.设复数z1=1+i,z2=m-i,若z1·z2为纯虚数,则实数m可以是( )A.iB.i2C.i3D.i4答案 B解析 z1·z2=(1+i)(m-i)=m+1+(m-1)i.∵z1·z2为纯虚数,∴ 即得m=-1,∵i2=-1,∴实数m可以是i2,故选B.3.已知i为虚数单位,图中复平面内的点A表示复数z,则表示复数的点是( )A.M B.NC.P D.Q答案 D解析 由图可知z=3+i.∴复数====2-i表示的点是Q(2,-1).故选D.4.复数z的共轭复数记作.已知(1+2i)(-3)=4+3i,则z=________.答案 5+i解析 ∵(1+2i)(-3)=4+3i,∴-3=,=3+,=3+=3+=5-i,则z=5+i.5.已知复数z的共轭复数为,且z·(-3i)=,求z.解 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由z·(-3i)=,得z-3zi=1+3i,即a2+b2+3b-3ai=1+3i,由复数相等的充要条件,得解得或所以z=-1或z=-1-3i.1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、分母都乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.3.复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥梁是设复数z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1.设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·等于( )A.-2B.-2iC.2D.2i答案 C解析 ∵z=1+i,∴=1-i,则+i=+i·(1-i)=1-i+i+1=2.2.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )A.-4B.-C.4D.答案 D解析 ∵(3-4i)z=|4+3i|,∴z====+i,则z的虚部是.3.若z+=6,z·=10,则z等于( )A.1±3i B.3±iC.3+i D.3-i答案 B解析 设z=a+bi(a,b∈R),由题意得得或∴z=3±i.4.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·等于( )A.B.C.1D.2答案 A解析 z=====.z·=·=.5.已知复数z=(b∈R)的实部为-1,则复数-b在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 z====+i,又复数z=(b∈R)的实部为-1,则=-1,即b=6.∴z=-1+5i,则=-1-5i.复数-b=-1-5i-6=-7-5i,在复平面内对应的点的坐标为(-7,-5),位于第三象限.故选C.6.i为虚数单位,i607的共轭复数为( )A.iB.-iC.1D.-1答案 A7.当z=时,z100+z50+1的值等于( )A.1B.-1C.iD.-i答案 D解析 z2==-i,则z100+z50+1=(-i)50+(-i)25+1=i12×4+2+(-1)25·i6×4+1+1=-1-i+1=-i.二、填空题8.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.答案 1解析 =2-ai=b+i,即 得 ∴a+b=1.9.设复数z1=2-i,z2=1-3i,则复数+的虚部为________.答案 1解析 ∵+=+=++i=-+i++i=i,∴虚部为1.10.定义一种运算:=ad-bc,则复数的共轭复数是________.考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 -1-3i解析 =3i(1+i)+2=-1+3i,∴其共轭复数为-1-3i.11.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数对应的点位于第________象限.答案 二解析 由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,所以==-1+2i,对应的点在第二象限.三、解答题12.已知i是虚数单位,且复数z满足(z-3)(2-i)=5.(1)求z及|z-2+3i|;(2)若z·(a+i)是纯虚数,求实数a的值.解 (1)∵(z-3)(2-i)=5,∴z=+3=+3=(2+i)+3=5+i.∴|z-2+3i|=|3+4i|==5.(2)由(1)可知,z=5+i,∴z·(a+i)=(5+i)(a+i)=(5a-1)+(a+5)i.又z·(a+i)是纯虚数,∴5a-1=0且a+5≠0,解得a=.13.已知z是复数,z+2i与均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解 z是复数,z+2i与均为实数,可设z=x-2i(x∈R),==,可得x=2.因为复数(z+ai)2=(2-2i+ai)2=-a2+4a+4(a-2)i,因为复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,所以所以即2所以实数a的取值范围为(2,4).四、探究与拓展14.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为________.考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 解析 易知(m+ni)(n-mi)=mn-m2i+n2i+mn=2mn+(n2-m2)i.若复数(m+ni)(n-mi)为实数,则m2=n2,即(m,n)共有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),6种情况,所以所求概率为=.15.已知z,ω为复数,(1+3i)z为纯虚数,ω=,且|ω|=5,求ω.解 设z=m+ni(m,n∈R),因为(1+3i)z=(1+3i)(m+ni)=m-3n+(3m+n)i为纯虚数,所以m-3n=0,且3m+n≠0,①ω===.由|ω|=5,得+=(5)2,即m2+n2=250.②由①②可得或代入ω=,得ω=±(7-i). 展开更多...... 收起↑ 资源预览