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(共27张PPT)
1.3.5
二次函数性质的再研究
【学习目标】
1．理解二次函数的图象特征及其解析式．


2．探讨二次函数的性质．
二次函数的系数


已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 1-3-5 所示．
















图 1-3-5


确定符号：a______，b______，c______，b2－4ac______.
<0
>0
>0
>0
练习 1：若 y＝x2＋ax＋b 在[0,1]上的最大值为 1，最小值为
0，且 a≤－2，则 a＝________，b＝________.
－2
1
最小值为________．
－8
x＝－2
练习 3：二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象如图 1-3-6，
那么|OA|·|OB|＝(
)


















图 1-3-6
B
练习 4：二次函数 y＝(k＋1)x2－2(k－1)x＋3(k－1)的图象的
)
顶点在 x 轴上，则 k＝(


A．1


C．1 或－1



B．－2


D．1 或－2
D
【问题探究】
1．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 在什么情况下是偶函数？可
以是奇函数吗？
答案：当 b＝0 时为偶函数；不可能是奇函数．
2．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的单调性是由哪些要素来确
定的？试写出其单调区间．

答案：二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的单调性由开口方向和对
称轴确定的．
题型 1
求二次函数的值域
【例 1】 根据函数单调性求出下列函数的值域：


(1)f(x)＝x2＋4x－1，x∈[－4，－3]；


(2)f(x)＝－2x2－x＋4，x∈[－3，－1]；


(3)f(x)＝2x2－4x－1，x∈(－1,3)；

解：(1)f(x)＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5，


在[－4，－3]上单调递减，y∈[－4，－1]．
在 x∈[－3，－1]上单调递增，y∈[－11,3]．


(3)f(x)＝2x2－4x－1＝2(x－1)2－3，


x∈(－1,3)，当 x＝1 时，取得最小值为－3，


又∵f(－1)＝5，f(3)＝5，∴y∈[－3,5)．
求二次函数在某个区间的最值，最容易出现的

错误是直接代两头(将两端点代入)，当然这样做，有时答案也

对，那是因为在该区间函数刚好单调，这纯属巧合．求二次函

数在某个区间的最值时，应先配方，找到对称轴和顶点，再结

合图形进行求解．
【变式与拓展】
解：二次函数 y＝3－2x－x2 的对称轴为







画出函数的图象，由图 D21，可知：当 x
＝－1 时，ymax＝4.
图D21
题型 2
轴定区间动问题的分类讨论
【例 2】 设函数 f(x)＝x2－2x－2(其中 x∈[t，t＋1]，t∈R)

的最小值为 g(t)，求 g(t)的表达式．

解：f(x)＝x2－2x－2＝(x－1)2－3，

当 t＋1≤1，即 t≤0 时，由图 D14 可知：截取减区间上的

一段，g(t)＝f(t＋1)＝t2－3.


















图 D14
当 1

D15，g(t)＝f(1)＝－3.


当 t＋1>2，即 t>1 时，截取增区间上的一段，如图 D16，


g(t)＝f(t)＝t2－2t－2.
图 D15
图 D16
这是一道与二次函数有关的含参数的问题，本


例的二次函数的对称轴固定，而区间不固定，因此需要讨论该


区间相对于对称轴的位置关系．
【变式与拓展】

2．二次函数 y＝－2x2＋x＋1，定义域为[t，t＋1](t 为可变
常数)，下列命题中错误的是(
)
A
题型 3 区间定轴动问题的分类讨论
【例 3】 求函数 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上的最大值
和最小值．
解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1.
∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为 x＝a 的抛物线．
当 a<0 时(如图 D17)，f(x)的最大值为 f(2)＝3－4a，f(x)的
最小值为 f(0)＝－1.
图 D17
当 0≤a≤1 时(如图D18)，f(x)的最大值为 f(2)＝3－4a，f(x)

的最小值为 f(a)＝－a2－1.
图 D18
图 D19
当 1
最小值为 f(a)＝－a2－1.
当 a≥2 时(如图 D20)，f(x)的最大值为 f(0)＝－1，f(x)的最
小值为 f(2)＝3－4a.
图 D20
本例是与二次函数有关的含参数的问题，本例


的二次函数是区间固定，对称轴变化，因此要讨论对称轴相对


于该区间的位置关系，例 2 和例 3 是二次函数中分类讨论中的


最基本的两种题型，应引起足够的重视．
【变式与拓展】


3．已知函数 f(x)＝－x2＋kx 在[1,3]上是单调函数，则实数
k 的取值范围为____________．
k≤2 或 k≥6
【例 4】 已知函数 f(x)＝x2＋ax＋3－a，若当 x∈[－2,2]时，

f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．

易错分析：对二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，当 x∈R，

f(x)≥0 恒成立时，有Δ≤0.

片面理解为当 ax2＋bx＋c≥0(a>0)，x∈[－2,2]恒成立时，
这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误．在二次

函数最值问题中，“轴变区间定问题”要对对称轴进行分类讨

论，“轴定区间变问题”要对区间进行分类讨论．
解：设 f(x)的最小值为 g(a)．

又 a＜－4，故－7≤a＜－4.
综上所述，实数 a 的取值范围为－7≤a≤2.
[方法·规律·小结]
1．二次函数的解析式有三种形式．


(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n (a≠0)，其中，顶点为(m，n)．


(3)两根式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为二次函数的
图象与 x 轴的两个交点的横坐标．
3．二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关，因此，
其单调性的判断通常用数形结合法．
4．与二次函数有关的不等式恒成立问题要注意二次项系数
为零的特殊情形．

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