资源简介

　动量观点的应用
真题再现
1.(2019·高考江苏卷)质量为M的小孩站在质量为m的滑板上，小孩和滑板均处于静止状态，忽略滑板与地面间的摩擦．小孩沿水平方向跃离滑板，离开滑板时的速度大小为v，此时滑板的速度大小为(　　)
A.v　　　　　　　　　　 B.v
C.v D.v
解析：选B.对小孩和滑板组成的系统，由动量守恒定律有0＝Mv－mv′，解得滑板的速度大小v′＝，选项B正确.
2.(2017·高考江苏卷)甲、乙两运动员在做花样滑冰表演，沿同一直线相向运动，速度大小都是1 m/s.甲、乙相遇时用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，速度大小分别为1 m/s和2 m/s.求甲、乙两运动员的质量之比.
解析：由动量守恒定律得m1v1－m2v2＝m2v′2－m1v′1
解得＝
代入数据得＝.
答案：见解析
考情分析
命题研究
分析近几年高考，动量、动量守恒定律是本部分的重点知识，难度不大.2019年把动量列入必考内容后，预计对该部分的命题方向呈现多样化，不仅题型上有突破，既有选择题，又有计算题；而且对知识点的考查上广泛很多．对动量、冲量的计算、碰撞与爆炸中的动量守恒都将有命题点
　冲量与动量定理的应用
【高分快攻】
1．应用动量定理解题的步骤
2．动量定理的两个重要应用
(1)应用I＝Δp求变力的冲量
如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用I＝Ft求变力的冲量，可以求出变力作用下物体动量的变化Δp，等效代换变力的冲量I.
(2)应用Δp＝FΔt求动量的变化
例如，在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量变化(Δp＝p2－p1)需要应用矢量运算方法，计算比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化．
【典题例析】
(2019·高考全国卷Ⅰ)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展．若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为4.8×106 N，则它在1 s时间内喷射的气体质量约为(　　)
A．1.6×102 kg　　　　　 B．1.6×103 kg
C．1.6×105 kg D．1.6×106 kg
[解析]　根据动量定理有FΔt＝Δmv－0，解得＝＝1.6×103 kg/s，所以选项B正确．
[答案]　B
【题组突破】
1．(多选)一质量为2 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动．F随时间t变化的图线如图所示，则(　　)

A．t＝1 s时物块的速率为1 m/s
B．t＝2 s时物块的动量大小为4 kg·m/s
C．t＝3 s时物块的动量大小为5 kg·m/s
D．t＝4 s时物块的速度为零
解析：选AB.根据F－t图线与时间轴围成的面积的物理意义为合外力F的冲量，可知在0～1 s、0～2 s、0～3 s、0～4 s内合外力冲量分别为2 N·s、4 N·s、3 N·s、2 N·s，应用动量定理I＝mΔv可知物块在1 s、2 s、3 s、4 s末的速率分别为1 m/s、2 m/s、1.5 m/s、1 m/s，物块在这些时刻的动量大小分别为2 kg·m/s、4 kg·m/s、3 kg·m/s、2 kg·m/s，则A、B项均正确，C、D项均错误．
2．(2018·高考北京卷)2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．某滑道示意图如图，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h＝10 m，C是半径R＝20 m圆弧的最低点．质量m＝60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝4.5 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求长直助滑道AB的长度L；
(2)求运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小；
(3)若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小．
解析：(1)根据匀变速直线运动公式，有
L＝＝100 m.
(2)根据动量定理，有I＝mvB－mvA＝1 800 N·s.
(3)运动员经C点时的受力分析如图所示．
根据动能定理，运动员在BC段运动的过程中，有
mgh＝mv－mv
根据牛顿第二定律，有FN－mg＝m
联立解得FN＝3 900 N.
答案：见解析
　动量守恒定律在碰撞、爆炸和反冲中的应用
【高分快攻】
1．应用动量守恒定律解题的步骤
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)；
(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)；
(3)规定正方向，确定初、末状态动量；
(4)由动量守恒定律列出方程；
(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．
2．三种碰撞的特点
弹性碰撞
动量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2，
机械能守恒：m1v＋m2v＝m1v′ ＋m2v′
完全非弹性
碰撞
动量守恒、末速度相同：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v′，机械能损失最多：机械能的损失
ΔE＝－(m1＋m2)v′2
非弹性碰撞
动量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2，
机械能的损失机械能有损失：ΔE＝(m1v＋m2v)－(m1v′ ＋m2v′)　
碰撞问题遵守的三条原则
(1)动量守恒：p1＋p2＝p′1＋p′2.
(2)动能不增加：Ek1＋Ek2≥E′k1＋E′k2.
(3)速度要符合实际情况
【典题例析】
如图所示，在光滑水平面上有质量为m的小物块a以初速度v0水平向右运动，在小物块a左右两侧各放置完全相同的小物块b、c，小物块b、c上各固定一个轻弹簧，小物块b、c的质量均为km，其中k＝1、2、3…，弹簧始终处于弹性限度内．求：
(1)小物块a第一次与小物块c碰撞时，弹簧的最大弹性势能为多大？
(2)若小物块a至少能与小物块c碰撞2次，k的最小值为多少？
[解析]　(1)小物块a和c相互作用，两者速度相等时弹簧的弹性势能最大，对于小物块a和c，根据动量守恒定律有mv0＝(m＋km)v
根据能量转化和守恒定律有
Epmax＝mv－(m＋km)v2
联立解得Epmax＝·mv.
(2)设小物块a第一次离开小物块c时，小物块a和c的速度分别为v1、v2，对于小物块a和c根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋kmv2
根据机械能守恒定律有mv＝mv＋kmv
联立解得，小物块a的速度为v1＝v0
小物块c的速度为v2＝v0
小物块a离开c后与小物块b作用，当小物块a离开b时，小物块a和小物块b的速度分别为v′1、v′2，对于小物块a和b，根据动量守恒定律有mv1＝mv′1＋kmv′2
根据机械能守恒定律有mv＝mv′ ＋kmv′
联立解得v′1＝v0
若小物块a和c至少碰撞2次，则有v′1＞v2
由数学知识可得k2－4k－1＞0
解得k＞2＋
而k＝1、2、3…
故kmin＝5.
[答案]　(1)·mv　(2)5
【题组突破】
角度1　碰撞问题分析
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)汽车A在水平冰雪路面上行驶．驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B.两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B车向前滑动了4.5 m，A车向前滑动了2.0 m．已知A和B的质量分别为2.0×103 kg和1.5×103 kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小g＝10 m/s2.求
(1)碰撞后的瞬间B车速度的大小；
(2)碰撞前的瞬间A车速度的大小．
解析：(1)设B车的质量为mB，碰后加速度大小为aB.根据牛顿第二定律有
μmBg＝mBaB①
式中μ是汽车与路面间的动摩擦因数
设碰撞后瞬间B车速度的大小为v′B，碰撞后滑行的距离为sB.由运动学公式有v′＝2aBsB②
联立①②式并利用题给数据得
v′B＝3.0 m/s.③
(2)设A车的质量为mA，碰后加速度大小为aA.根据牛顿第二定律有
μmAg＝mAaA④
设碰撞后瞬间A车速度的大小为v′A，碰撞后滑行的距离为sA.由运动学公式有
v′＝2aAsA⑤
设碰撞前的瞬间A车速度的大小为vA.两车在碰撞过程中动量守恒，有
mAvA＝mAv′A＋mBv′B⑥
联立③④⑤⑥式并利用题给数据得
vA＝4.25 m/s.⑦
答案：见解析
角度2　爆炸现象分析
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空．当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动．爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量．求
(1)烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；
(2)爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度．
解析：(1)设烟花弹上升的初速度为v0，由题给条件有
E＝mv①
设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为t，由运动学公式有
0－v0＝－gt②
联立①②式得
t＝ .③
(2)设爆炸时烟花弹距地面的高度为h1，由机械能守恒定律有
E＝mgh1④
火药爆炸后，烟花弹上、下两部分均沿竖直方向运动，设爆炸后瞬间其速度分别为v1和v2.由题给条件和动量守恒定律有
mv＋mv＝E⑤
mv1＋mv2＝0⑥
由⑥式知，烟花弹两部分的速度方向相反，向上运动部分做竖直上抛运动．设爆炸后烟花弹向上运动部分继续上升的高度为h2，由机械能守恒定律有
mv＝mgh2⑦
联立④⑤⑥⑦式得，烟花弹向上运动部分距地面的最大高度为
h＝h1＋h2＝.⑧
答案：见解析
角度3　多过程问题中的动量守恒
3．(2019·泰州高三二模)质量m＝1 kg的小物块在高h1＝0.3 m的光滑水平平台上压缩弹簧后被锁扣K锁住，弹簧储存了一定的弹性势能，打开锁扣K，物块将以水平速度v0向右滑出平台后做平抛运动，并恰好能从光滑圆弧形轨道BC的B点的切线方向无碰撞地进入圆弧形轨道，B点的高度h2＝0.15 m，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点与光滑水平面相切，在水平面上有一物块M，m滑下与M发生碰撞后反弹，反弹的速度大小刚好是碰前速度的，碰撞过程中无能量损失，g＝10 m/s2，求：
(1)物块m压缩弹簧时储存的弹性势能Ep；
(2)物块M的质量．
解析：(1)小物块由A运动到B做平抛运动，h1－h2＝gt2，解得：t＝ s
由几何关系：R＝h1，h1－h2＝，∠BOC＝60°
设小球平抛时的初速度为v0，
则＝tan 60°
弹性势能Ep等于小物块在A点的动能，
Ep＝mv
解得：Ep＝0.5 J.
(2)设小物块到C点时的速度为v1，
小物体从A点到C点过程，机械能守恒
由机械能守恒定律，mv＋mgh1＝mv
m与M碰撞过程动量守恒，有：mv1＝mv3＋Mv2
m与M碰撞过程能量守恒，有：
mv＝mv＋Mv其中v3＝－
由以上各式解得：M＝2.0 kg.
答案：(1)0.5 J　(2)2.0 kg

命题角度
解决方法
易错辨析
动量守恒的条件判断
掌握三个守恒条件
准确判断系统合外力是否为零或内力远大于外力，或者分析是否为碰撞或爆炸
弹性碰撞分析
动量守恒定律、机械能守恒定律
无能量损失是最大特点
完全非弹性碰撞分析
动量守恒定律
掌握碰撞后速度相等这一条件
爆炸现象求解
动量守恒的条件是内力远大于外力
注意爆炸后各部分的速度方向，有可能不在同一平面内
　动量守恒定律的综合应用
【高分快攻】
1．解题策略
(1)弄清有几个物体参与运动，并划分清楚物体的运动过程．
(2)进行正确的受力分析，明确各过程的运动特点．
(3)在光滑的平面或曲面上的运动，还有不计阻力的抛体运动，机械能一定守恒；碰撞过程、子弹打击木块、不受其他外力作用的两物体相互作用问题，一般考虑用动量守恒定律分析．
(4)如含摩擦生热问题，则考虑用能量守恒定律分析．
2．动量与能量的综合问题，常取材“滑块—滑板”模型、“传送带”模型、“弹簧—物块”模型等，设置多个情景、多个过程，考查力学三大观点的综合应用．要成功解答此类“情景、过程综合”的考题，就要善于在把握物理过程渐变规律的同时，洞察过程的临界情景，结合题给条件(往往是不确定条件)，进行求解(注意结合实际情况分类讨论)．
【典题例析】
(2019·高考全国卷Ⅲ)静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA＝1.0 kg，mB＝4.0 kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l＝1.0 m，如图所示．某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek＝10.0 J．释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动．A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.20.重力加速度取g＝10 m/s2.A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短．
(1)求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
(2)物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
(3)A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
[解析]　(1)设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正，由动量守恒定律和题给条件有
0＝mAvA－mBvB①
Ek＝mAv＋mBv②
联立①②式并代入题给数据得
vA＝4.0 m/s，vB＝1.0 m/s.③
(2)A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为a.假设A和B发生碰撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B.设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B向左运动的路程为sB，则有
mBa＝μmBg④
sB＝vBt－at2⑤
vB－at＝0⑥
在时间t内，A可能与墙发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此碰撞是否发生，A在时间t内的路程sA都可表示为
sA＝vAt－at2⑦
联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
sA＝1.75 m，sB＝0.25 m⑧
这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边0.25 m处．B位于出发点左边0.25 m处，两物块之间的距离s为
s＝0.25 m＋0.25 m＝0.50 m．⑨
(3)t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为v′A，由动能定理有
mAv′2　A－mAv＝－μmAg(2l＋sB)⑩
联立③⑧⑩式并代入题给数据得
v′A＝ m/s?
故A与B将发生碰撞．设碰撞后A、B的速度分别为v″A和v″B，由动量守恒定律与机械能守恒定律有
mA(－v′A)＝mAv″A＋mBv″B?
mAv′＝mAv″＋mBv″?
联立???式并代入题给数据得
v″A＝ m/s，v″B＝－ m/s?
这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动．设碰撞后A向右运动距离为s′A时停止，B向左运动距离为s′B时停止，由运动学公式
2as′A＝v″，2as′B＝v″?
由④??式及题给数据得
s′A＝0.63 m，s′B＝0.28 m?
s′A小于碰撞处到墙壁的距离．由上式可得两物块停止后的距离
s′＝s′A＋s′B＝0.91 m．?
[答案]　(1)4.0 m/s　1.0 m/s　(2)B先停止　0.50 m
(3)0.91 m
【题组突破】
角度1　“子弹打木块”模型
1．(2019·扬州大联考)如图所示，在固定的足够长的光滑水平杆上，套有一个质量为m＝0.5 kg的光滑金属圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量为M＝1.98 kg的木块，现有一质量为m0＝20 g的子弹以v0＝100 m/s的水平速度射入木块并留在木块中(不计空气阻力和子弹与木块作用的时间，g＝10 m/s2)，求：
(1)圆环、木块和子弹这个系统损失的机械能；
(2)木块所能达到的最大高度．
解析：(1)子弹射入木块过程，动量守恒，有
m0v0＝(m0＋M)v
在该过程中机械能有损失，损失的机械能为
ΔE＝m0v－(m0＋M)v2
解得：ΔE＝99 J.
(2)木块(含子弹)在向上摆动过程中，木块(含子弹)和圆环在水平方向动量守恒，有
(m0＋M)v＝(m0＋M＋m)v′
又木块(含子弹)在向上摆动过程中，机械能守恒，有
(m0＋M)gh＝(m0＋M)v2－(m0＋M＋m)v′2
联立解得：h＝0.01 m.
答案：见解析
角度2　“滑块类”模型
2．如图所示，水平地面上OP段是粗糙的，OP长为L＝1.6 m，滑块A、B与该段的动摩擦因数都为μ＝0.5，水平地面的其余部分是光滑的．滑块B静止在O点，其质量mB＝2 kg.滑块A在O点左侧以v0＝5 m/s的水平初速度向右运动，并与B发生碰撞．A的质量是B的k(k取正整数)倍，滑块均可视为质点，取g＝10 m/s2.
(1)若滑块A与B发生完全非弹性碰撞，求A、B碰撞过程中损失的机械能；
(2)若滑块A、B构成的系统在碰撞过程中没有机械能损失，试讨论k在不同取值范围时滑块A克服摩擦力所做的功．
解析：(1)设滑块A碰B后的共同速度为v，A、B碰撞过程中损失的机械能为ΔE
由动量守恒定律有mAv0＝(mA＋mB)v①
由能量守恒定律有ΔE＝mAv－(mA＋mB)v2②
联立①②式并代入数据解得ΔE＝ J．③
(2)设碰撞后A、B速度分别为vA、vB，且设向右为正方向，由于弹性碰撞，有：
mAv0＝mAvA＋mBvB④
mAv＝mAv＋mBv⑤
联立④⑤式并代入数据解得vA＝ m/s⑥
vB＝ m/s⑦
假设滑块A、B都能在OP段滑动，滑块A、B在OP段的加速度(aA＝aB＝μg)相等，
由⑥⑦式知在任意时刻vB>vA，滑块A、B不会再一次发生碰撞．
由题知，当滑块A刚好能够到达P点有
mAv＝μmAgL
代入数据解得k＝9
讨论：
a．当k＝1时，vA＝0，滑块A停在O点，A克服摩擦力所做的功为WfA＝0.
b．当1WfA＝mAv＝25k J.
c．当k>9时，滑块A从OP段右侧离开，A克服摩擦力所做的功为WfA＝μmAgL＝16 kJ.
答案：见解析
角度3　“弹簧类”组合模型
3．(2019·徐州二模)如图所示，质量为m3＝2 kg的滑道静止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半径为R＝0.3 m的四分之一圆弧，圆弧底部与滑道水平部分相切，滑道水平部分右端固定一个轻质弹簧．滑道CD部分粗糙，其他部分均光滑．质量为m2＝3 kg的物体2(可视为质点)放在滑道的B点，现让质量为m1＝1 kg的物体1(可视为质点)自A点由静止释放．两物体在滑道上的C点相碰后粘在一起(g＝10 m/s2)．
(1)求物体1从释放到与物体2相碰的过程中，滑道向左运动的距离．
(2)若CD＝0.2 m，两物体与滑道的CD部分的动摩擦因数都为μ＝0.15，求在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能．
(3)在(2)的条件下，物体1、2最终停在何处？
解析：(1)物体1从释放到与物体2碰撞的过程中，物体1和滑道组成的系统在水平方向上动量守恒，设物体1水平位移大小为s1，滑道的水平位移大小为s3，有
0＝m1s1－m3s3，s1＝R
解得s3＝＝0.15 m.
(2)设物体1、物体2刚要相碰时物体1的速度大小为v1，滑道的速度大小为v3，由机械能守恒定律有
m1gR＝m1v＋m3v
由动量守恒定律有0＝m1v1－m3v3
物体1和物体2相碰后的共同速度大小设为v2，由动量守恒定律有
m1v1＝(m1＋m2)v2
弹簧第一次压缩至最短时由动量守恒定律可知物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大，设为Epm.从物体1、2碰撞后到弹簧第一次压缩至最短的过程中，由能量守恒定律有
(m1＋m2)v＋m3v－μ(m1＋m2)g·CD＝Epm
联立以上方程，代入数据解得Epm＝0.3 J.
(3)分析可知物体1、2和滑道最终将静止，设物体1、2相对滑道CD部分运动的路程为s，由能量守恒定律有
(m1＋m2)v＋m3v＝μ(m1＋m2)gs
代入数据可得s＝0.25 m
所以物体1、物体2最终停在C点和D点之间与D点间的距离为0.05 m处．
答案：见解析

1．“子弹打木块”模型是碰撞中常见模型，其突出特征是在子弹打击木块的过程中有机械能损失，此类问题的一般解法可归纳如下：
(1)分析子弹打击木块的过程，弄清楚子弹是停留在木块中和木块一起运动还是穿透木块和木块各自运动；
(2)子弹在打击木块的过程中，由于时间较短，内力远远大于外力，故在打击的过程中动量守恒；　
(3)子弹在打击木块过程中产生的机械能损失，一般有两种求解方法：一是通过计算打击前系统的机械能与打击后系统的机械能的差值得出机械能的损失；二是通过计算在子弹打击木块的过程中，子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解．
2．利用弹簧进行相互作用的碰撞模型，一般情况下均满足动量守恒定律和机械能守恒定律，此类试题的一般解法是：
(1)首先判断弹簧的初始状态是处于原长、伸长还是压缩状态；
(2)分析碰撞前后弹簧和物体的运动状态，依据动量守恒定律和机械能守恒定律列出方程；
(3)判断解出的结果是否满足“实际情境可行性原则”，如果不满足，则要舍掉该结果．
注意：(1)由于弹簧的弹力是变力，所以弹簧的弹性势能通常利用机械能守恒定律或能量守恒定律求解；
(2)要特别注意弹簧的三个状态：原长(此时弹簧的弹性势能为零)、压缩到最短或伸长到最长的状态(此时弹簧连接的两个物体具有共同的速度，弹簧具有最大的弹性势能)，这往往是解决此类问题的突破点．

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