资源简介

1.3.2 奇偶性
备课资料
奇、偶函数的性质
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.
(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.
(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.
(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.
(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.
(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即
f(x)=.
(8)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；
若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).
若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.
本章复习
整体设计
教学分析
本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体.
三维目标
通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.
重点难点
教学重点：①集合与函数的基本知识.
②含有字母问题的研究.
③抽象函数的理解.
教学难点：①分类讨论的标准划分.
②抽象函数的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题.
思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①第一节是集合，分为几部分？
②第二节是函数，分为几部分？
③第三节是函数的基本性质，分为几部分？
④画出本章的知识结构图.
活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.
讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.
②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.
③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.
④第一章的知识结构图如图1-1所示，
图1-1
应用示例
思路1
例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有( )
A.P∩Q= B.PQ C.P=Q D.PQ
分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=.
答案：A
点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.
变式训练
1.设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( )
A.M=P B.PM C.MP D.M∩P=R
分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴PM.
答案：B
2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},则(A*B)*A等于( )
A.A∩B B.A∪B C.A D.B
分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B.
答案：D
点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合.
例2求函数y=x2+1的最小值.
分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；
思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.
解：方法一（观察法）∵函数y=x2+1的定义域是R,
∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.
方法二:（公式法）函数y=x2+1是二次函数，其定义域是x∈R，则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.
点评：求函数最值的方法：
观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时，通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等，直接观察写出函数的最值；
公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.
例3求函数y=的最大值和最小值.
分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值.
解：（判别式法）由y=得yx2-3x+4y=0，
∵x∈R，∴ 关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.
当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；
当y≠0时，则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,
则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.
∴0综上所得，≤y≤.
∴ 函数y=的最小值是，最大值是.
点评：形如函数y=(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.
例4函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+∞）上一定( )
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
分析：函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a位于区间（-∞，1）内，即a<1.g(x)＝=，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.
设1=(x1-x2)+()=(x1-x2)(1)=(x1-x2).
∵11>0.
又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值.
答案：D
点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值.
变式训练
求函数f(x)=的单调区间.
分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间.
解：函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞).设y=，u=x2-1，
当x≥0时，u=x2-1是增函数，y=也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数f(x)=在［1,+∞)上是增函数.
当x≤0时，u=x2-1是减函数，y=也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数f(x)=在(-∞,-1］上是减函数,
即函数f(x)的单调递增区间是［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］.
点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)有相同的单调性时，函数y=f［g(x)］为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y=f［g(x)］为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间.
注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是［0,+∞)，单调递减区间是(-∞,0］.其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则.
思路2
例1集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若BA，则实数m＝________.
分析：集合B是关于x的方程mx-1=0的解集，∵BA，∴B=或B≠.
当B=时，关于x的方程mx-1=0无解，则m=0；
当B≠时，x=∈A，则有()2-4=0，即4m2+3m-1=0.解得m=-1,.
答案：-1,0,
黑色陷阱：本题任意忽视B=的情况，导致出现错误m=-1,.避免此类错误的方法是考虑问题要全面，要注意空集是任何集合的子集.
变式训练
已知集合A={x|}，B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围.
分析：理解集合A是不等式组的解集是关键，又A∩B=B说明了BA，包含=和B≠两种情况，故要分类讨论解决问题.
解：A={x|-2≤x≤5}，∵A∩B=B，∴BA.∴B=或B≠.
当B=时，p+1>2p-1，解得p<2.
当B≠时，则有解得2≤p≤3.
综上所得实数p的取值范围是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］.
点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；
要重视常见结论A∩B=BA∪B=ABA的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.
例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.
分析：思路一:画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；
思路二:利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.
解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-2|=-4,2x,4, x≤-2,-2x≥2.其图象如图1-2所示:
图1-2
由图象,得函数的最小值是-4，最大值是4.
方法二（数形结合）:函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±2的对应点A、B的距离的差，即y=|PA|-|PB|,如图1-3所示，
图1-3
观察数轴,可得-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|，即函数y=|x+2|-|x-2|有最小值-4，最大值4.
点评：求函数最值的方法：
图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.其步骤是①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值.
数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义,结合图形利用其几何意义求最值.其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值.
例3求函数y=x+,x∈［1,3］的最大值和最小值.
分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性.
解：可以证明当x∈［1,2］时，函数y=x+是减函数，
此时函数的最大值是f(1)=5，最小值是f(2)=4.
可以证明当x∈［2,3］时，函数y=x+是增函数，
此时函数的最大值是f(3)=，最小值是f(2)=4.
综上所得，函数y=x+,x∈［1,3］的最大值为5，最小值为4.
点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间［a,b］上是减函数，在区间［b,c］上是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b)；函数y=f(x)在区间［a,b］上是增函数，在区间［b,c］上是减函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累.
例4求函数y=x4+2x2-2的最小值.
解：函数的定义域是R，设x2=t，则t≥0.
则y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0，
则当t=0时，y取最小值-2，
所以函数y=x4+2x2-2的最小值为-2.
点评：求形如函数y=ax2m+bxm+c(ab≠0)或y=ax+(ab≠0)的最值时，常用设xm=t或=t，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.
例5定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f().
(1) 求证：函数f(x)是奇函数；
(2) 若当x∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.
分析：（1）定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键；（2）定义法证明，其中判定的范围是关键.
解： (1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，
由f(x)+f(y)=f()，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，∴f(0)=0.
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令0f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f()＝f().
∵00,1-x1x2>0，∴>0.
又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)<0，
∴0＜x2-x1<1-x1x2.
∴-1<<0.由题意知f()＞0，
∴f(x1)＞f(x2).
∴f(x)在(0，1)上为减函数，
又f(x)为奇函数，
∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.
点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，
知能训练
1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于( )
A.{1,2,3} B.{2,3} C.{1,2} D.{2}
分析：明确集合P、Q的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q={-3,2},则P∩Q＝{2}.
答案：D
点评：解决本题关键是集合P是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q是方程x2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.
2.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则(S∪T)等于( )
A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}
分析：直接观察（或画出Venn图）得S∪T={1,3,5,6}，则(S∪T)＝{2,4,7,8}.
答案：B
点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn图写出运算结果.
3.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x.
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.
分析：（1）由于已知f（x）是二次函数，用待定系数法求f（x）；（2）结合二次函数的图象，写出最值.
解：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c，
由f（0）＝1，可知c＝1.
而f（x＋1）-f（x）＝［a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c］-（ax2＋bx＋c）＝2ax＋a＋b.
由f（x＋1）-f（x）＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.
因而a＝1，b＝-1.
故f（x）＝x2-x＋1.
（2）∵f(x)=x2-x+1=(x-)2+，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值是f()=，f（x）的最大值是f（-1）＝3.
拓展提升
问题：某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图14所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图15所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.
(1) 求证：四边形EFGH是正方形；
(2) E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
图1-4图1-5
思路分析：（1）由于四块地砖拼出了四边形EFGH，只需证明△CFE、△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形即可；（2）建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x，每块地砖的费用为W，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.
解：(1)图1-5可以看成是由四块如图1-4所示地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF，∠ECF=90°,
∴△CFE为等腰直角三角形，
同理可得△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形.
∴ 四边形EFGH是正方形.
(2)设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，设制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，
W=x2·3a+×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16-x2-×0.4×(0.4-x)］a
=a(x2-0.2x+0.24)
=a［(x-0.1)2+0.23］(0由于a>0，则当x=0.1时，W有最小值，即总费用为最省.
即当CE=CF=0.1米时，总费用最省.
课堂小结
本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法.
作业
复习参考题任选两题.
设计感想
本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结.

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