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第10讲 对数运算和对数函数
[玩前必备]
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④＝logaM.
(2)对数的性质
①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数的图象与性质
a>1
0图象
/
/
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0
当0(5)当x>1时，y<0
当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
[玩转典例]
题型一 指数式与对数式的互化
例1　将下列指数式与对数式互化：
(1)2－2＝；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)64＝；(5)log39＝2；(6)logxy＝z.
[玩转跟踪]
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A.e0＝1与loge1＝0 B.8＝2与log82＝
C.log24＝2与4＝2 D.log33＝1与31＝3
题型二 对数运算性质的应用
例2　计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
(3)3－2＋103lg3＋.
[玩转跟踪]
1.计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)
(3)1)9+5.
题型三 换底公式的应用
例3　已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.
[玩转跟踪]
1.(1)(log29)·(log34)等于(　　)
A. B.
C.2 D.4
(2)log2·log3·log5＝________.
题型四 对数函数的概念
例4　指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；
(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1
[玩转跟踪]
1.若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为(　　)
A.y＝log2x B.y＝2log4x
C.y＝log2x或y＝2log4x D.不确定
题型五 对数函数的图象
例5　如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为(　　)
A.、、、
B.、、、
C.、、、
D.、、、
[玩转跟踪]
1.(1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　)
A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1)
(2)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A.0＜a＜b＜1
B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1
D.b＞a＞1
题型六 对数函数的性质和应用
角度一:对数函数的定义域
例6　(1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是(　　)
A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)
C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
(2)若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.
角度二:对数函数单调性的应用
例7　求函数y＝log(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值.
例8　比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
角度三:对数函数的综合应用
例9　已知函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性.
[玩转练习]
1.2－3＝化为对数式为(　　)
A.log2＝－3 B.log(－3)＝2
C.log2＝－3 D.log2(－3)＝
2.若loga＝c，则下列关系式中正确的是(　　)
A.b＝a5c B.b5＝ac
C.b＝5ac D.b＝c5a
3.方程2＝的解是(　　)
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝9
4.已知loga 2＝m，loga 3＝n，则a2m＋n等于(　　)
A.5 B.7
C.10 D.12
5.log242＋log243＋log244等于(　　)
A.1 B.2
C.24 D.
6.化简log612－2log6的结果为(　　)
A.6 B.12
C.log63 D.
7.计算log916·log881的值为(　　)
A.18 B.
C. D.
8.计算下列各式的值：
(1)；
(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 )2＋lg ＋lg 0.06.
9.下列函数是对数函数的是(　　)
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
10.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是(　　)
A.(－，＋∞) B.(－∞，－)
C.(－，) D.(－，1)
11.函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是(　　)
/
12.若a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________.
13.比较下列各组数的大小：
(1)log2________log2；
(2)log32________1；
(3)log4________0.
14.若集合A＝，则?RA等于(　　)
A.(－∞，0]∪
B.
C.(－∞，0]∪
D.
15.函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.a
16.函数f(x)＝lg()的奇偶性是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.即奇又偶函数 D.非奇非偶函数
17.函数y＝log(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－2,2) D.(－2,6)
18.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________.
19.已知f(x)＝(logx)2－3logx，x∈[2,4].试求f(x)的最大值与最小值.
第11讲 函数的零点
[玩前必备]
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
/
/
/
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
3.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[玩转典例]
题型一 求函数的零点
例1　求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
(3)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________
[玩转跟踪]
1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B．－2,0 C. D．0
2.求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点.
题型二 函数零点个数或所在区间的判断
例2　(1)设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
(2)函数f(x)＝的零点个数是________．
[玩转跟踪]
1.(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　　)
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
题型三 参数范围问题
例3　(1)函数f (x)＝∣4x－x2∣－a的零点的个数为3，则a＝ ．
(2) 函数y＝－m有两个零点，则m的取值范围是________．
例4　已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围.
[玩转跟踪]
1.设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围.
题型四 用二分法求方程的近似解
例5　设??
??
=
3
??
+3???8，用二分法求方程
3
??
+3???8=0在区间(1，2)上近似解的过程中，计算得到??
1
<0，??
1.25
<0，??
1.5
>0，??
1.75
>0，则方程的根落在区间( )
A. (1，1.25) B. (1.25，1.5) C. (1.5，1.75) D. (1.75，2)
[玩转跟踪]
1.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算_____．以上横线上应填的内容为(　　)
A．(0，0.5)，f(0.25) B．(0，1)，f(0.25) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.05)，f(0.125)
[玩转练习]
1.函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A.－，－1 B.，1
C.，－1 D.－，1
2.函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)
A.2 B.－2 C.±2 D.不存在
4.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 007个，则f(x)的零点个数为(　　)
A.1 007 B.1 008
C.2 014 D.2 015
5.函数f(x)＝的零点为________.
6.若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，则f(1)＝________.
7．若函数f(x)＝bx＋2有一个零点为，则g(x)＝x2＋5x＋b的零点是(　　)
A. －　　　 B. 1或－6 C. －1或6　 　D. 1或6
8．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
9．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
10．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
12．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
13．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
第12讲 函数应用
[玩前必备]
1.几类已知函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
3.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
[玩转典例]
题型一　一次函数模型
例1　大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃.
(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求0≤x≤12时，a，x，y间的函数关系式；
(2)当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？
[玩转跟踪]
1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
/
(1)通话2分钟，需要付电话费________元；
(2)通话5分钟，需要付电话费________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________.
题型二　二次函数模型
例2　某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：
R＝－2x－x＋13x1＋11x2－28.
(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略；(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)
(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略(其中x1，x2∈N).
[玩转跟踪]
1.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强.
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
题型三　分段函数模型
例3　某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？
(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
[玩转跟踪]
1.某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
题型四　指数型函数模型
例4　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
[玩转跟踪]
1.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．(已知：lg 0.5≈0.301 0，
lg 0.9≈0.045 8)
(1)求t年后，这种射放性元素的质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
题型五　对数型函数模型
例5　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[玩转跟踪]
1.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
题型六　建立拟合函数模型解决实际问题
例6　某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
[玩转跟踪]
1.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并说明理由；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[玩转练习]
1.在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1
3
5
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是(　　)
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x＋1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
2.一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)
A.y＝20－2x(x≤10) B.y＝20－2x(x＜10)
C.y＝20－2x(5≤x≤10) D.y＝20－2x(5＜x＜10)
3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套(　　)
A.2 000双 B.4 000双
C.6 000双 D.8 000双
4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数.若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)
A.15 B.40 C.25 D.130
5.某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)(　　)
A.6.9 m B.7.0 m C.7.1 m D.6.8 m
6.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品最佳售价应为每个________元.
7.北京市的一家报摊主从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
8.下列函数中，增长速度最慢的是(　　)
A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x6 D.y＝6x
9.甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为(　　)
/
10.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(　　)
A.y＝0.9 B.y＝(1－0.1)m
C.y＝0.9m D.y＝(1－0.150x)m
11.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　)
A.y＝0.2x B.y＝(x2＋2x)
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
12.已知某工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为________.
13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10 lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
第13讲 三角函数概念和诱导公式
[玩前必备]
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cos α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
＋
－
＋
－
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
5．下列各角的终边与角α的终边的关系
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
图示
/
/
/
与角α终边的关系
相同
关于原点对称
关于x轴对称
角
π－α
－α
＋α
图示
/
/
/
与角α终边的关系
关于y轴对称
关于直线y＝x对称
6.六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
[玩转典例]
题型一　终边相同的角和区域角
例1　(1)终边在直线y＝x上的角的集合是________．
(2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．
例2 写出终边落在阴影部分的角的集合．
/
[玩转跟踪]
1.　(1)设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A．M＝N B．M?N
C．N?M D．M∩N＝?
(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.
2.已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α求：(1)A∩B；(2)A∪B.
题型二　弧度制的应用
例3　已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
[玩转跟踪]
1.已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
题型三　三角函数的概念
例4　(1)(课标全国，7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
(2)(江西，14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．
[玩转跟踪]
1．(大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
2.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
题型四 同角三角函数关系的应用
例5 (福建，6)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A. B．－
C. D．－
例6 (四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
[玩转跟踪]
1．(新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则(　　)
A．sin α＞0 B．cos α＞0
C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
2．(广东，4)已知sin(＋α)＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
3.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
题型五　诱导公式的应用
例7　(1)已知cos＝，求cos的值；
(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
例8　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
[玩转跟踪]
1.(1)已知sin＝，则cos的值为________．
(2)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝__________________________________.
[玩转练习]
1．若点(4，a)在y＝x的图象上，则tan π的值为(　　)
A．0 B. C．1 D.
2．若点P在－角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．已知α是第四象限角，且sin α＝－，则tan α＝(　　)
A. B．－ C. D．－
4．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
5．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，3] B．(－2，3)
C．[－2，3) D．[－2，3]
6．已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝(　　)
A．3 B. C．－ D．－3
7．已知△ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点P(sin A－cos B，3cos A－1)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________.
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
10．化简＝________.
11．已知角α的终边经过点P(－4,3)，求
的值．
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
第14讲 三角函数图像与性质
[玩前必备]
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
/
/
/
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；
[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－＋kπ，＋kπ)
(k∈Z)上递增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(＋kπ，0)
(k∈Z)
(，0)(k∈Z)
对称轴
方程
x＝＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, , π, , 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.
3．三角函数图象变换
/
[玩转典例]
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 （1）求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
(2)y＝lg(－tan x)．
例2 求下列函数的最大值和最小值和值域．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.
[玩转跟踪]
1.　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
2.求函数y＝ 的定义域．
3.函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
题型二　三角函数的单调性
例3　求函数y＝3cos的单调递增区间．
[玩转跟踪]
1.求函数y＝cos的单调递增区间．
2.求函数y＝tan的单调区间．
题型三　三角函数的周期性对称性和奇偶性
例4　已知函数y＝2cos.
(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)把该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．
[玩转跟踪]
1．把函数y＝cos的图象向右平移φ个单位长度，正好关于y轴对称，求φ的最小正值．
2.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是(　　)
3.在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
题型四 三角函数的图像变换
例5 把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(　　)
A．y＝sin，x∈R B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R D．y＝sin，x∈R
[玩转跟踪]
1．把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
题型五　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例6　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
/
[玩转跟踪]
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
/
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
类型六　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
例7　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
[玩转跟踪]
1.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
[玩转练习]
1．下列函数中，最小正周期为4π的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin  D．y＝cos 2x
2．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只需将y＝f(x)的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
4．若f(x)＝tan，则(　　)
A．f(0)>f(－1)>f(1)
B．f(0)>f(1)>f(－1)
C．f(1)>f(0)>f(－1)
D．f(－1)>f(0)>f(1)
5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为(　　)
/
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
6．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
7．函数f(x)＝cos的单调递减区间是________．
8.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f的值为________．
/
9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的最小正周期为T，且在一个周期内的图象如图所示．
/
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(mx)＋1(m>0)的图象关于点M对称，且在区间上不是单调函数，求m的取值所构成的集合．
10．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f(x)≤对x∈R 恒成立．且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间．
第15讲 三角函数恒等变换
[玩前必备]
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
(2)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
(3)tan(α＋β)＝，
tan(α－β)＝(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z)，
2．二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)sin 2α＝2sinαcosα．
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
(3)tan 2α＝(α≠kπ＋且α≠kπ＋，k∈Z)．
3．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
4．公式的常见变形
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
(2)sin2α＝；
cos2α＝；
sin αcos α＝sin 2α.
[玩转典例]
题型一　两角和与差公式
例1　(1) 计算cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值为________．
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
例2　设cos (α－)＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，求cos .
例3　化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
例4　若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
[玩转跟踪]
1．(重庆，6)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)
A. B. C. D.
2.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求cos β的值．
3.已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α、β∈.求：
(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．
4.已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
题型二　二倍角和辅助角公式
例5　已知sin 2α＝，<α<，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值.
例6　在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，求tan(2A＋2B)的值.
例7　将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式．
(1)sin x－cos x；
(2)sin＋cos.
[玩转跟踪]
1.(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；
(2)tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1).
2.已知sin＝，03.已知函数f(x)＝cos 2x－sin 2x，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期与值域；
(2)求f(x)的单调递增区间．
题型三　三角函数化简综合应用
例8　(广东，16)已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
[玩转跟踪]
1．(广东，16)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
[玩转练习]
1．已知α∈，cos α＝－，则tan等于(　　)
A．7 B. C．－ D．－7
2．已知sin α＝，则sin2α－cos2α的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
3．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cos β等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是(　　)
A．－ B. C. D．－
5．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α、β均为锐角，则β等于(　　)
A. B.
C. D.
6．若＝，则tan 2α等于(　　)
A. B．－ C. D．－
7．函数y＝sin x(3sin x＋4cos x)(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对(M，T)为(　　)
A．(5，π) B．(4，π)
C．(－1，2π) D．(4，2π)
8．如果tan α、tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________．
9．已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
10．已知＝，tan(α－β)＝，则tan β＝________．
11．已知tan＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
第16讲 三角函数综合
[玩转典例]
题型一 三角函数的性质及其应用
例1　已知函数f(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin x cos x＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及最小值；
(3)写出函数f(x)的单调递增区间．
(4)写出函数f(x)的对称轴和对称中心.
(5)函数f(x)向右平移t个单位为偶函数，求t的最小正值。
[玩转跟踪]
1．(安徽高考)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
2.(新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
3.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是 .
4.（2019天津理7）已知函数/是奇函数，将/的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为/.若/的最小正周期为/，且/，则/
A./ B./ C./ D./
题型二 三角函数的图像和图像变换
例2　（2017山东）设函数/，其中/．
已知/．
（Ⅰ）求/；
（Ⅱ）将函数/的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移/个单位，得到函数/的图象，求/在/上的最小值．
[玩转跟踪]
1．(辽宁卷) 将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
2.【2017课标1，9】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．/把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
题型三 由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例3　(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝ .
/
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为 ．
/
[玩转跟踪]
1．(四川，6)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
2.(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　　)
/
A. B.
C. D.
题型三　三角函数大题
例4　已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
[玩转跟踪]
1．(北京，16)函数f(x)＝3sin的部分图象如下图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
2．(山东，18)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间[π，]上的最大值和最小值．
[玩转练习]
1．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
2．(2018·洛阳统考)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)
A. B.
C. D.
3．(2018·合肥模拟)函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　)
/
A．[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z)
B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z)
C．[－1＋4k,1＋4k](k∈Z)
D．[－3＋8k,1＋8k](k∈Z)
5．将函数f(x)＝sin x－cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是(　　)
A. B. C. D.
6．(2018·云南11校跨区调研)函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)
A. B．2 C．1 D.
7．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝ .
/
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝ .
/
9．(2018·济南模拟)已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是 ．
10．(2018·长春调研)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为 ．
11．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)求ω的值，并求出函数f(x)的单调递增区间；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．
12．(2017·山东)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
第1讲 集合的概念与运算
[玩前必备]
1.元素与集合的概念
(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合.
(2)集合元素的特性：确定性、互异性.
2.元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a?A
a不属于集合A
3.集合的分类
(1)空集：不含任何元素的集合，记作?.
(2)非空集合：
①有限集：含有有限个元素的集合.
②无限集：含有无限个元素的集合.
4.常用数集的表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
5.列举法
把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.
6.描述法
(1)集合的特征性质
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.
(2)特征性质描述法
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.
7.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A?B
(或B?A)
/
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A?B
(或B?A)
/
集合相等
集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集
A＝B
/
子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
8.集合的运算
(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
/
/
/
符号
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
[玩转典例]
题型一 集合的基本概念
例1　(大纲全国，1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
[玩转跟踪]
1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)
A.3 B.6 C.8 D.10
2.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
3.(探究与创新)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集.
题型二 集合的表示方法
例3 下面三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
问：(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
例4 已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.
[玩转跟踪]
1.已知x，y为非零实数，则集合M＝＋为(　　)
A.{0,3} B.{1,3}
C.{－1,3} D.{1，－3}
2.(探究与创新)已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}：
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
题型三 集合间的基本关系
例5　(2013·江苏，4)集合{－1，0，1}共有________个子集.
例6 设集合，，则( )
A． B．/ C．/ D．/
例7 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.
求实数m的取值范围.
[玩转跟踪]
1.设M为非空的数集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A－B＝{x|x∈A且x?B},若集合M＝{1,2,3,4,5},集合N＝{x|x＝2k－1,k∈Z},则集合M－N的子集个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.无数个
3.已有集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合.
题型四 集合的基本运算
例8 (2016·全国Ⅰ,1)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0},B＝{x|2x－3>0},则A∩B＝(　　)
A. B. C. D.
例9 (2015·四川,1)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0},集合B＝{x|1＜x＜3},则A∪B＝(　　)
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
例10 (1)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
/
A．{x|－3C．{x|－1≤x＜0} D．{x|x<－3}
(2).(2011·江西，2)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　　)
A.{x|－1≤x＜0} B.{x|0C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}
例11　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围.
[玩转跟踪]
1.(2016·安徽安庆市第二次模拟)若集合P＝{x||x|＜3,且x∈Z},Q＝{x|x(x－3)≤0,且x∈N},则P∩Q等于(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{0,1,2,3}
2.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
/
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(?IS) D.(M∩P)∪(?IS)
3.(探究与创新)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
[玩转练习]
1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(　　)
A．－3∈A B．3?B
C．A∩B＝B D．A∪B＝B
2．设集合M＝{－1,1}，N＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．N?M B．M?N
C．N∩M＝? D．M∪N＝R
3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8 C．5 D．4
4.(2018·济南模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为(　　)
/
A．{x|x<3} B．{x|－3C．{x|x<2} D．{x|－25．(2018·潍坊模拟)设集合A＝N，B＝，则A∩B等于(　　)
A．[0,3) B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}
6．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于(　　)
A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
7．已知集合A＝{x|－1A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
8.满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的个数是________.
9.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________.
10.已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________.
11.已知全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，?IA＝{5}，求实数a，b.
12.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
13.设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}.
(1)分别求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C?B，求实数a的取值构成的集合.
14.已知集合A＝{x|0＜x－a≤5}，B＝{x|－＜x≤6}.
(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝A，求a的取值范围.
第2讲 充分必要条件和命题
[玩前必备]
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
?x∈M，p(x)
?x0∈M，綈p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，綈p(x)
[玩转典例]
题型一 充分条件与必要条件的判断
例1　（湖南高考）设集合则 “”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
例2　设 ??∈?? ，则“
??
2
?5??<0”是“ |???1|<1 ”的（ ? ?）
A．充分而不必要条件???????????/ B．必要而不充分条件?
C．充要条件???????????/ D．既不充分也不必要条件
【玩转跟踪】
1．设 ??∈?? ，则“|???2|<1”是“
??+2
???1
>0 ”的（???? ）
A．充分而不必要条件???????????/ B．必要而不充分条件?
C．充要条件???????????/ D．既不充分也不必要条件
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的（ ）
A．充分而不必要条件???????????/ B．必要而不充分条件?
C．充要条件???????????/ D．既不充分也不必要条件
题型二 根据充要条件求解参数的取值范围
例3　已知全集U＝R，非空集合 ??={??|
???2
???3
<0},??={??|(?????)(???
??
2
?2)<0}
（1）当时，求；
（2）命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【玩转跟踪】
1．设p：－2 A．(4，＋∞) B．(－∞，－4)
C．(－∞，－4] D．[4，＋∞)
2．设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A．[0，] B．(0，)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．(－∞，0)∪(，＋∞)
题型三　含有一个量词的命题
命题点1　全称命题、特称命题的真假
例4　(1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是(　　)
A．?n∈R，n2≥n
B．?n0∈R，?m∈R，m·n0＝m
C．?n∈R，?m0∈R，mD．?n∈R，n2(2)给出下列四个命题：
①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；
③?x∈R，x2﹣2x＞0； ④?x∈R，2x+1为奇数；
以上命题的否定为真命题的序号依次是 （ ）
A．①④ B．②④ C．①②③④ D．③
命题点2　含一个量词的命题的否定
例5　(1)命题p：/，/的否定是/　　/
A．/：/，/ B．/：/，/
C．/：/，/ D．/：/，/
(2)命题/，/的否定/是（ ）[来源:学。科。网]
A．/ B．/
C．/ D．/
[玩转跟踪]
1.写出下列命题的否定并判断真假：
(1)不论m取何实数，方程x2＋x＋m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相/平分；
(4)被8整除的数能被4整除．
2.写出命题“/，使得/”的否定_______．
题型四　全称和特称命题中参数的取值范围
例6 已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．
[玩转跟踪]
1. 若?x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(2，3]
C. D．{3}
[玩转练习]
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1，a，b}，则“a＝2”是“A?B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．条件“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设??∈??，则“2???≥0”是“|??+1|≤1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．使不等式
x
2
?x?6<0 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．?2 C．?25．设集合 ??={??|
??
2
≤4} ， ??={??|?3≤??≤2} ，则“??∈??” 是“??∈??”的（? ）
A．充分而不必要条件???????????/ B．必要而不充分条件?
C．充要条件???????????/ D．既不充分也不必要条件
6．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
7．已知条件p：
??
2
?3???4≤0 ；条件q：
??
2
?6??+9?
??
2
≤0 ，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
8．若“/，/”为真命题，则实数/的取值范围是 （ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
9．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．存在x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
C．任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy D．存在x＜0，y＜0，都有x2＋y2≤2xy
10．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（ ）
A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
11．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0 D．存在x0∈R，使得x<0
12．写出下列命题的否定形式，并判断其真假
（1）?x∈R，x2－x＋≥0； （2）对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3；
第3讲 不等式的性质和基本不等式
[玩前必备]
1．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b?b?
传递性
a>b，b>c?a>c
?
可加性
a>b?a＋c>b＋c
?
可乘性
?ac>bc
注意c的符号
?ac同向可加性
?a＋c>b＋d
?
同向同正可乘性
?ac>bd
?
可乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N＋，n>1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0?>(n∈N＋，n>1)
2．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
3．基本(均值)不等式≤
(1)基本(均值)不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
4．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．
5．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
6．利用基本(均值)不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
[玩转典例]
题型一 不等式的性质应用
例1　(1)给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a（2）已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P≥Q C．P（3）已知12【玩转跟踪】
1．下列命题中一定正确的是(　　)
A．若a>b，且>，则a>0，b<0
B．若a>b，b≠0，则>1
C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b，且ac>bd，则c>d
2．已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
3.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
题型二 基本不等式求最值
角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值
例2　(1)已知0A. B. C. D.
(2)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
(3)①已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值；
②已知x为正实数且x2＋＝1，求x的最大值；
③求函数y＝的最大值．
角度二：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值
例3　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
[探究1]　本例的条件不变，则的最小值为________．
[探究2]　本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________．
[探究3]　若将本例中的“a＋b＝1”换为“a＋2b＝3”，如何求解？
题型三 均值不等式实际应用
例4　某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
[玩转跟踪]
1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．
[玩转练习]
1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　)
A.< B.<
C．a2|b|
2．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋c≥b－c B．ac>bc
C.>0 D．(a－b)c2≥0
3．给出下列条件：
①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.
其中可使＋≥2成立的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
5．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．3－2
C．－1 D．3－2
6．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(　　)
A．1＋ B．2
C．3 D．4
7．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值为________．
8．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
9．设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小顺序是________．
10.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
/
11．若－112．已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.
(1)求xy的最大值；
(2)求＋的最小值．
13．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)
第4讲 一元二次不等式
[玩前必备]
1.一元二次不等式的概念
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
2.一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
/
/
/
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}

R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
[玩转典例]
题型一 解不含参的一元二次不等式
例1　解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6>0；
(2)3x2＋5x－2≥0；
(3)x2－4x＋5>0.
【玩转跟踪】
1解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
题型二 解含参的一元二次不等式
例2　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
【玩转跟踪】
1．若a>0，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．
2．设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A．[0，] B．(0，)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．(－∞，0)∪(，＋∞)
题型三　三个“二次”间的关系及应用
例3　已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
例4　若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．
[玩转跟踪]
1.已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
题型四　不等式恒成立、能成立问题
例5 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
例6 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．
例7 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
[玩转跟踪]
1. 设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
2.若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
题型五　不等式恒成立、能成立问题
例8　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[玩转跟踪]
1.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
[玩转练习]
1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－22．若0A. B.
C. D.
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－24．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1A．5 B．－5 C．－25 D．10
5．与不等式≥0同解的不等式是(　　)
A．(x－3)(2－x)≥0 B．0C.≥0 D．(x－3)(2－x)>0
6．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－17．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
8．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)
A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}
C．{x|159．不等式x2＋3x－4<0的解集为________．
10．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
11．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
12．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
第5讲 函数的概念
[玩前必备]
1.函数
(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.
(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
2.区间
设a，b∈R，且a＜b.
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
/
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
/
{x|a≤x＜b}
半开半
闭区间
[a，b)
/
{x|a＜x≤b}
半开半
闭区间
(a，b]
/
3.无穷区间的表示
定义
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x＜a}
{x|x≤a}
R
符号
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a)
(－∞，a]
(－∞，＋∞)
4.函数的常用表示方法
表示方法
定义
列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.
图象法
用“图形”表示函数的方法叫做图象法.
解析法
(公式法)
如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法).
5.分段函数定义
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.
[玩转典例]
题型一 函数的概念和判断
例1　下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)
A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
/
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝
D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
[玩转跟踪]
1.下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　)
/
2.在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是函数关系？
/
题型二 同一函数的判断
例2 下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A.y＝x－1和y＝
B.y＝x0和y＝1
C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D.f(x)＝和g(x)＝
[玩转跟踪]
1.下列函数完全相同的是(　　)
A.f(x)＝|x|，g(x)＝()2
B.f(x)＝|x|，g(x)＝
C.f(x)＝|x|，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x＋3
2.下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)
A.f(x)＝x－1与g(x)＝
B.f(x)＝x与g(x)＝
C.f(x)＝x与g(x)＝
D.f(x)＝与g(x)＝x＋2
题型三 函数的定义域
例3　(1)函数f(x)＝ln＋的定义域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
(2)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，－)
C．(－1,0) D．(，1)
[玩转跟踪]
1. 已知函数的定义域为[－2，2]，则的定义域为(　　)
A．[－1，1] B．[－2，2] C．[1，3] D．[－1，5]
2.(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定义域是________．
(2)函数y＝的定义域为__________________________________．
题型四 求函数的解析式
例4 (1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)＝________.
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.
(4)已知/，对于任意实数x、y，等式/恒成立，求/．
[玩转跟踪]
1.(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
(2)(2013·安徽)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，则f(x)＝________.
题型五 分段函数
例5　已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值.
[玩转跟踪]
1.已知函数f(x)＝则f[f()]＝________；
2.已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
[玩转练习]
1.函数y＝＋的定义域是(　　)
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1，或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
2.已知函数f(x)＝2x－1，则f(x＋1)等于(　　)
A.2x－1 B.x＋1
C.2x＋1 D.1
3.设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
4.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)y＝＋；
(3)y＝2x＋3；
(4)y＝.
5.已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)
A.0 B.
C.1 D.2
6.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
(1)f[g(1)]＝______；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝______.
7.已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________.
8.已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f[f(2)]的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值.
9. 如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
10.设函数f(x)＝则f的值是________.
11.已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x).
12.求下列函数的解析式：
(1)已知f＝x2＋＋1，求f(x)；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式.
第6讲 函数的单调性
[玩前必备]
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，
改变量 Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
改变量 Δx＝x2－x1＞0，当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
增函数
减函数
图象描述
/
自左向右看图象是上升的
/
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前 提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条 件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结 论
M为最大值
M为最小值
[玩转典例]
题型一 函数单调性的判断和证明
例1　判断并证明函数y＝在(－1，＋∞)上的单调性．
例2.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
例3. 函数/的单调递增区间为 .
[玩转跟踪]
1.已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数.
2.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有(　　)
A.函数f(x)先增后减
B.f(x)是R上的增函数
C.函数f(x)先减后增
D.函数f(x)是R上的减函数
3.画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.
题型二 函数单调性的应用
角度一：利用函数的单调性求最值
例4　　(1)函数f(x)＝的最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
角度二：利用函数的单调性求解不等式
例5　1.(1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)(2) 已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
探究与创新
设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：
(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)；
(2)f(2)＝1；
(3)在(0，＋∞)上是增函数.
如果f(2)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围.
角度三：利用函数的单调性求参数
例6 (1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2).已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是________.
题型三 分类讨论二次函数单调性和最值
例7 求函数在闭区间上的单调性和最小值．
【玩转跟踪】
1．已知函数，求在上的最大值与最小值．
2．已知函数，当，时，求的最大值与最小值．
题型四 抽象函数单调性和最值
例8 已知函数对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.
（1）求证：在R上是减函数；
（2）求在[－3,3]上的最大值和最小值．
【玩转跟踪】
1.已知函数的定义域为，，且当时，且．
求的值；
证明在定义域上的增函数；
解不等式．
[玩转练习]
1.下列说法中，正确的有(　　)
①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A.y＝|x| B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋4
3.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是(　　)
A.(－∞，40) B.[40,64]
C.(－∞，40]∪[64，＋∞) D.[64，＋∞)
4.若f(x)为R上的增函数，kf(x)为R上的减函数，则实数k的取值范围是(　　)
A.k为任意实数 B.k＞0
C.k＜0 D.k≤0
5.函数y＝x|x－1|的单调递增区间是________.
6. 函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
7.求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数.
8.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A.a＞－ B.a≥－
C.－≤a＜0 D.－≤a≤0
9.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　)
A.f(－1)C.f(2)10.讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性.
11.已知函数f(x)在实数集中满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)在定义域内是减函数.
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2a－3)＜0，试确定a的取值范围.
第7讲 函数的奇偶性
[玩前必备]
1.函数奇偶性的定义
(1)奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数.
(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数.
2.奇、偶函数图象的对称性
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
(2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
3.判断奇偶性的步骤
./
4.奇偶性的有关结论
(1)若奇函数在处有意义，则有.
(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同;
偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。
[玩转典例]
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
[玩转跟踪]
1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
2.判断函数的奇偶性：；
例2 判断函数的奇偶性.
[玩转跟踪]
1.判断函数的奇偶性，并指出它的单调区间.
题型二 已知函数奇偶性求参数值
例3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，
b＝________.
(2)设函数为奇函数，则a＝________.
[玩转跟踪]
1.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
2.定义在上的奇函数，则常数____,_____
题型三 奇偶性求解析式或函数值
例4 已知是R上的偶函数，且当x>0时，，则当时，＝________.
思考：如果改为是R上的奇函数，则当时，＝ ________.
例5 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式
[玩转跟踪]
1.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式.
2.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
题型四 函数奇偶性与单调性的综合应用
例6 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)例7 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
[玩转跟踪]
1.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；
③g(a)>g(－b)； ④g(－a)⑤g(－a)>f(－a)．
2.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[玩转练习]
1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
2.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A. B. C. D.1
3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)
4.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A.－ B. C. D.－
5.偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________.
6.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，
求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.
7.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
8.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a－a2)，则实数a的取值范围是________.
10.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围.
第8讲 幂函数与函数应用
[玩前必备]
1.幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较
/
(3)幂函数的性质比较
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；
x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞) 时，减；
x∈(－∞，0)时，减
(4)幂函数的共性
α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
[玩转典例]
题型一 幂函数的概念
例1　函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.
[玩转跟踪]
1.已知函数/为偶函数，且在/上为增函数.
题型二 幂函数的图像
例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为(　　)
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2,2， D.2，，－2，－
[玩转跟踪]
1.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1,0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
D.n＜－1，m＞1
题型三 幂函数的性质
例3　若(2m＋1) >(m2＋m－1) ，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－1,2) D.
例4　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)－1与－1；
(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.
[玩转跟踪]
1.若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
2．比较下列各组数的大小：
(1)0.5与0.5；(2)－3.143与－π3；
(3)与.
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A.y＝x－2 B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝x
题型四 函数应用
例5　经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
[玩转跟踪]
1.手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．
①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？
②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？
③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
[玩转练习]
1．下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝ D．y＝x＋1
2．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
3．已知f(x)＝，若0A．f(a)B．f C．f(a)D．f 4．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为(　　)
A．－3 B．2 C．－3或2 D．3
5.如图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(　　)
/
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则m与n的大小关系为________．
8．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
10．点(，3)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)11．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
/
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
12．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
第9讲 指数运算和指数函数
[玩前必备]
1.基本概念
整数指数
n次方根
分数指数
an＝/
a0＝1(a≠0)
a－n＝(a≠0)
如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n＞1且n∈N＋)，则x叫做a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算.
＝；
＝；
＝
(a>0，n，m∈N＋)
2.根式的性质
(1)()n＝a(n＞1且n∈N＋)；
(2)＝
3.有理指数幂的运算法则
若a>0，b>0，则有任意有理数α，β有如下运算法则：
(1)aαaβ＝aα＋β；
(2)(aα)β＝aα·β；
(3)(ab)α＝aα·bα.
4.指数函数的定义
函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
5.指数函数的图象与性质
底数
a＞1
0＜a＜1
图象
/
/
性质
定义域R，值域(0，＋∞)
图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
[玩转典例]
题型一 根式的运算
例1　求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) － ，x∈(－3,3)
[玩转跟踪]
1.化简下列各式：
(1) ；(2) ；(3) .
题型二 分数指数幂的运算
例2　(1)计算：－0＋＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)化简： ÷(a＞0).
(3)已知＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
[玩转跟踪]
1.计算下列各式的值：
(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a·b)·÷(a＞0，b＞0).
2.已知x＋y＝12，xy＝9且x题型三 指数函数的概念
例3　(1)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④⑤
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.
[玩转跟踪]
1.若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　)
A．a＝1或－1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a>0且a≠1
2.若函数y＝(2a－3)x是指数函数，则实数a的取值范围是________________．
题型四 指数函数的图象
例4　（1））如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)
/
A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c
(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________．
(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象．
[玩转跟踪]
1.(1)函数y＝|2x－2|的图象是(　　)
/
(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________.
题型五 指数函数的性质和应用
角度一:指数型函数的定义域、值域
例5　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝.
[玩转跟踪]
1.函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A.(－3,0]
B.(－3,1]
C.(－∞，－3)∪(－3,0]
D.(－∞，－3)∪(－3,1]
2.函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________.
角度二:指数型函数的单调性
例6　判断f(x)＝的单调性，并求其值域.
[玩转跟踪]
1.求函数y＝的单调区间.
例7　比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；(2)与0.70.3；
(3)0.60.4与0.40.6.
[玩转跟踪]
1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
角度三:指数函数的综合应用
例8　已知函数f(x)＝.
(1)证明f(x)为奇函数.
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明.
(3)求f(x)的值域.
[玩转跟踪]
1.设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数.
(1)求a的值；
(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
[玩转练习]
1.下列各式正确的是(　　)
A.()3＝a B.()4＝－7
C.()5＝|a| D.＝a
2.＋的值是(　　)
A.0 B.2(a－b)
C.0或2(a－b) D.a－b
3.计算[(－)2]的结果是(　　)
A. B.－
C. D.－
4.下列各式运算错误的是(　　)
A.(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B.(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C.(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D.[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18.
5.2＋＋－·＝________.
6.下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A.y＝(－3)x B.y＝－3x
C.y＝3x－1 D.y＝x
7.y＝x的图象可能是(　　)
/
8.y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是(　　)
A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)
C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)
9.指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________.
10.函数y＝的值域是________.
11.函数y＝1－x的单调递增区间为(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0,1)
12.若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.
C.(－∞，1) D.
13.设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)
A.y3＞y1＞y2 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2
14.某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成________个.
15.已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.

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