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椭圆内接四边形面积的计算及应用

摘要：本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形.
关键词： 椭圆；焦点； 面积
1.椭圆内接焦点四边形（过一个焦点,以右焦点为例）
1.1定义：在椭圆中,AB,CD为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形ACBD为椭圆内接焦点四边形.
1.2性质：(1)四边形ACBD的面积（其中, ）.
证明：如右图所示,有,并且设AB,
CD的斜率分别为,,故有：AB: CD：
联立方程：及 同理有：
故 （为AB与CD的夹角）,
令 就有： .
（2）推论A: 当时,.
B:当时,,并且有,.
推论证明A：当时,说明AB, CD相互垂直,有,,代入面积公式就有,再利用均值不等式有 .
B : 当时, 有,代入就有成立.以下证明,.
证明：不妨把椭圆的方程化为(与不同是为零),已知有AB,CD与x轴的夹角相等,设A、B、C、D四个点的坐标为,,,.直线AB、DC、AC、BD的斜率分别为,,,.又点A、C在曲线C上,（1）及（2）,用（2）带入（1）有,同理可得.
已知有AB,CD与x轴的夹角相等,,
（3）及（4）由这两个式子得：
（5）
（6）
由（5）及（6）得到：
=0 （7） =0（8）
同理有：
将（8）代入有： （9）
又 再将（8）代入得到：
（10）
用（9）-（10）得到：

若=0 故有：
结合平行截割线定理有：AB与DC平行,并且都平行于x轴,它与
AB,AC,DC,DB的斜率不为零矛盾,

说明直线AB,DC与x轴的夹角相等.同理可证明AD,BC与x轴的夹角也相等,
有,.

1.3实例应用
已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线L与曲线相交于A、B两点.当L的斜率为1时,C(0,b)到AB的距离为,延长CF交椭圆于点B,求ACBD的面积.
解：由于e= 并且 、F(c,0)故AB的方程为： 又C(0,b)
所以C到AB 的距离为d= 故椭圆的标准方程为： 又, 即AB与CD垂直,代入公式有：=
2椭圆内接焦点四边形（过两个焦点）
2.1定义：在椭圆中,AB,CD为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于四点A、B、C、D.则有四边形ACBD为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形.
2.2性质
(1)面积：四边形面积 [,]
证明: 如右图所示,有(-c,0),,并
且设AB,CD的斜率分别为,,故有
AB: CD： .
联立方程：及
同理有：
(为AB与CD的夹角)[,].
（2）推论A: 当时,.
B: 当时,,并且有,.
2.3实例应用
设椭圆的左右焦点分别为(-1,0),.右准线交x轴于点A,.过,分别作两条直线与椭圆相交于四个点D、E、M、N.并且DE与x轴的夹角为.MN与直线L交于点G,并且有.求：（1）椭圆的标准方程.(2)四边形DMEN的面积.
解：（1）由于(-1,0),.又有A,
故有： 同理, 所以椭圆的标准方程为：
(2)由于已知了DE与x轴的夹角为,故有,又, 所以有
设AN与DE的夹角为,
代入公式有：
3椭圆内接以焦点为顶点的四边形
3.1定义在椭圆 中,,为其左右焦点,A、B为椭圆上任意的两点.则四边形称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形.
3.2性质
（1）面积： 四边形的面积为
证明：由椭圆的定义可知道：
（1）由余弦定理有：
(2)
由（1）与（2）
同理有:
（为与的夹角; 为BF1与BF2的夹角）.
（2）推论：当与互为补角时,有：.
证明：当与互为补角时,,所以有： 将其代入面积公式中就有;
,(当时取到“=”).
3.3实例应用
已知,为椭圆的两个焦点,A、B为椭圆上任意的两个焦点,并且与为补角,求：
(1)当时,求的值.
(2)当取得最小值时,与的度数分别为多少？此时面积的最小值为多少？
解：（1）由已知a=8,b=5,又
,并且与为补角,故有：
所以有：
(2)由推论可以知道:












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