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函数定义域相关问题的解答方法
函数的定义域是指自变量的所有取值组成的集合，它包括：①自然定义域（使函数解析式有意义的所有自变量组成的集合）和实际定义域（是指自然定义域中使实际问题有意义的自变量组成的集合）两种类型。与函数定义域相关的问题归结起来分为两种题型：①求函数的定义域；②已知函数的定义域求解析式中参数的值（或潜在范围）。那么在函数的学习过程中，如何才能准确，快捷的解答此类问题呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题：
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)= +的定义域为（ ）
A （-3,0］ B （-3,1］ C （-,-3）（-3,0］ D （-,-3）（-3,1］
2、若函数f(x)= ，则f(x)的定义域为（ ）
A （- ,0） B （- ,0］ C （- ，+,） D （0，+）
3、函数f(x)= 的定义域为 （2012全国高考江苏卷）
4、一个矩形的周长是40cm，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为 ，定义域为
5、求下列函数的定义域：
（1）y=； （2）y=2x-1+； （3）y=-1；
（4）y=；（5）；（6）y= (a＞0且a≠1)；
（7）y=； （8）y=；

（9）y=； （10）y=。
〖解析〗
1、【知识点】①二次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③指数函数的定义与性质；④不等式或不等式组的解法；
【解题思路】根据二次根式和分式有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组就可求出函数的定义域； x+3>0，
【详细解答】函数f(x)有意义，必有1-0，-32、【知识点】①二次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④不等式或不等式组的解法；
【解题思路】根据二次根式，分式和对数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；

【详细解答】函数f(x)有意义，必有（2x+1）>0，- 2x+1>0，
3、【知识点】①二次根式的定义与性质；②对数函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法；
【解题思路】根据二次根式和对数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域； x>0，
【详细解答】函数f(x)有意义，必有1-2x0，04、【知识点】①矩形的定义与性质；②函数解析式的求法；③函数的定义域的求法；④不等式或不等式组的解法；
【解题思路】根据矩形周长的定义求出函数的解析式，由解析式可知函数的自然定义域为R，
但结合矩形的特征，x的取值必须小于周长的，从而求出函数的实际定义域；
详细解答】根据矩形周长的定义可得，2（x+y）=40，y=20-x；由矩形的性质得到05、【知识点】①二次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③指数函数的定义与性质；
④对数函数的定义与性质；⑤余弦函数的图像与性质；⑥不等式或不等式组的解法；
【解题思路】（1）根据分式有意义的条件得到关于x的不等式，然后求解不等式，就可得到函数的定义域；（2）根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，然后求解不等式，从而得到函数的定义域；（3）根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（4）根据分式，二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（5）根据二次根式，对数函数，三角函数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（6）根据二次根式，对数函数有意义的条件结合底数a的取值分两种情况得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（7）根据分式，二次根式有意义的条件结合绝对值的意得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（8）根据分式，对数函数，零指数幂有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（9）根据分式，二次根式，对数函数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；（10）根据分式，对数函数，二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域；
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有-x+10，由-x+1=+可知在R上恒不为0，函数f(x)的定义域为R；（2）函数f(x)有意义，必有13-4x0，x，函数f(x)的定义域为（-，]；（3）函数f(x)有意义，必有1-x0， x1，
x+30， x-3，
- 3x1，函数f(x)的定义域为[-3，1]；
（4）函数f(x)有意义，必有 x+30， x-3，-3x<-2或-2 x+2≠0, x≠2, 定义域为[-3，-2） （-2 ，+）；
（5）函数f(x)有意义，必有25-0，-5x5， -5x<-或- cosx>0， 2k-函数f(x)的定义域为[-5，-）（-，）（，5]；（6）函数f(x)有意义，
必有 （x-1）0，①当a>1时， x-11， x2， x2，②当0x-1>0, x-1>0, x>1， 0①当a>1时，函数f(x)的定义域为[2，+）， x-1>0,
②当0x≠2， -10，
x-1或x1，x<-2或-22，函数f(x)的定义域为（-，-2）（-2，-1] [1，2）（2，+）； （8）函数f(x)有意义，必有 ln（4x+3）≠0，
4x+3≠1, 4x+3>0,
x>-， 5x-4≠0,
x≠，-，函数f(x)的定义域为（-，-）（-，）
（，+）；
（9）函数f(x) 有意义， 必有 |x-2|-10， x-21或x-2-1，
（x-1）≠0， x-1≠1, x3，函数f(x)
x-1>0， x>1，的定义域为[3，+）；
（10）函数f(x) 有意义，必有，--3x+4>0，-4x+1>0， x>-1，的定义域为（-1，1）；
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知；解决这类问题的基本方法是：①根据函数解析式有意义的 列出不等式（或不等式组函数的解析式求函数定义域的问题，函数的定义域包括：① 定义域；② 定义域）（注意解析式有意义的所有条件）；②求解不等式（或不等式组）；③得出结果；
（2）函数解析式有意义的基本准则是：①偶次方根的被开方数为 数；②分式的分母不能为 ；③零次幂的底数不能为 ；④对数的真数必需 0，底数必须 0且不等于 ；⑤指数的底数必需 0且不等于 ；⑥实际问题还要考虑实际问题本身有意义。
〔练习1〕解答下列问题：
1、函数f(x)=（+2x-3）的定义域是（ ）（2015全国高考重庆卷）
A 〔-3，1〕 B (-3，1) C（-∞，-3〕∪〔1，+∞） D （-∞，-3）∪（1，+∞）
2、函数f(x)= + 的定义域为（ ）（2013全国高考山东卷）
A （-3,0］ B （-3,1］ C（-∞，-3〕∪（-3,0］ D （-∞，-3）∪（-3,1］
3、设函数f(x)=ln ，则函数g(x)= f()+ f()的定义域是 ；
4、求下列函数的定义域：
①f(x)= ②f(x)= ③f(x)=
④f(x)= ⑤y=； ⑥y=；
⑦y=； ⑧y=(a＞0且a≠1).
【典例2】解答下列问题：
1、若函数y=f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)= 的定义域是（ ）
A ［0,1］ B ［0,1） C ［0,1）（1,4］ D （0,1）
2、设函数f(x)的定义域为（0,1〕，求下列函数的定义域：
①y=f(3x)； ②y=f()；
③y=f(x+) +f(x-)； ④y=f(x+a)+f(x-a)。
3、已知函数f(x)的定义域为［0,2］，求函数f(+1)的定义域；
〖解析〗
1、【知识点】①函数y=f(x)的意义；②分式的定义与性质；③不等式或不等式组的解法；④复合函数的定义与性质；
【解题思路】根据函数g(x)有意义的条件和函数y=f(x)的定义域，2x为整体未知数得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数g(x)的定义域；
【详细解答】函数g(x)有意义，必有02x2， 0x1，0x<1，函数g(x) x-1≠0， x≠1, 的定义域为[0，1）；B
正确，选B；
2、【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法；
【解题思路】（1）根据函数f(x)的定义域，把3x视为整体未知数，得到关于x的不等式组，
然后求解不等式组，从而得到函数f(3x)的定义域；（2）根据函数f(x)的定义域，把 视
为整体未知数，得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数f()的定义域；
（3）根据函数f(x)的定义域，把 x+和x-分别视为整体未知数，得到关于x的不等式
组，然后求解不等式组，从而得到函数y=f(x+) +f(x-)的定义域；（4）根据函数f(x)的
定义域，把 x+a和 x-a分别视为整体未知数，得到关于x的不等式组，然后求解不等式组
（注意对参数a进行分类考虑），从而得到函数y=f(x+a)+f(x-a)的定义域为；
【详细解答】（1）函数f(x)的定义域为（0,1〕，0<3x1，0的定义域为（0，]；（2）函数f(x)的定义域为（0,1〕，0<1，x1，函数 y=f()
的定义域为[1，+）；（3）函数f(x)的定义域为（0,1〕，0函数y=f(x+) +f(x-)的定义域为（，]；（4）函数f(x)的定义域为（0,1〕，
0< x+a1， -a0时，不等式组的解集为，①当03、【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法；
【解题思路】根据函数f(x)的定义域，把 +1视为整体未知数，得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数f(+1)的定义域；
【详细解答】函数f(x)的定义域为[0,2]，0+12--11-1x1，
函数f(+1)的定义域为[-1，1]；
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知函数f(x)的定义域求函数f〔g(x)〕的定义域的问题，解决这类问题的基本思路是将函数f(x)的定义域 函数g(x)的值域；
（2）如果已知函数f(x)的定义域，求函数f〔g(x)〕的定义域的基本方法是：①将函数f(x)的定义域视为函数g(x)的值域得到不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出结果。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)的定义域是（0,2〕，求下列函数的定义域：
①y=f() ②y=f(2x+3)
③y=f(x+)+f(x-) ④y=f()
2、已知函数f(x)的定义域为［0,1］，求函数f(-1)的定义域；
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(2x+1)的定义域为[-1，5]，求函数f(x)的定义域；
2、已知f()的定义域是〔-1,1〕，求f(x)的定义域；
3、已知函数f(2x-1)的定义域是〔0,1〕,求函数f(1-3x)的定义域；
4、已知函数y=f（）的定义域是〔，4〕，求函数f(x)的定义域；
〖解析〗
1、【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③函数值域的求法；
【解题思路】根据函数f(2x+1)的定义域，求出函数g(x)=2x+1的值域，从而得到函数f(x)的定义域；
【详细解答】函数f(2x+1)的定义域为[-1，5]，设g(x)=2x+1，-1g(x) 11，
函数f(x)的定义域为[-1，11]；
2、【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③指数函数的定义与性质；④函数值域的求法；
【解题思路】根据函数f()的定义域，求出函数g(x)= 的值域，从而得到函数f(x)的定义域；
【详细解答】函数f()的定义域为[-1，1]，设g(x)= ，g(x) 2，
函数f(x)的定义域为[，2]；
3、【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③函数值域的求法；④不等式或不等式组的解法；
【解题思路】根据函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求出函数g(x)=2x-1的值域，从而得到函数f(x)的定义域，在把 1-3x视为整体未知数，得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数f(1-3x)的定义域；
【详细解答】函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，设g(x)=2x+1，-1g(x) 1，
函数f(x)的定义域为[-1，1] -11-3x1，0x，函数f(1-3x)的定义域为[0，]；
4、【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④函数值域的求法；
【解题思路】根据函数f()的定义域，求出函数g(x)= 的值域，从而得到函数f(x)的定义域；
【详细解答】函数f()的定义域为[，4]，设g(x)= ，-1g(x) 2，
函数f(x)的定义域为[-1，2]；
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知函数f〔g(x)〕的定义域求函数f(x)的定义域的问题，解决这类问题的基本思路是根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；
（2）已知函数f〔g(x)〕的定义域，求函数f(x)的定义域的基本方法是：①根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；②将函数g(x)视为 未知数；③得出结果。。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x+3)的定义域是〔-4,5〕,求函数f(x)的定义域；
2、已知函数f（2x-3）的定义域是〔-5,1〕，求函数f(x)的定义域；
3、已知函数f()的定义域是〔-1,1〕，求函数f(x)的定义域；
4、已知函数y=f（）的定义域是〔1,2〕，求函数f(x)的定义域；
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围；
2、若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 ；
3、已知函数y=lg［(-1)+(a+1)x+1］的定义域为R，求实数a的取值范围。
〖解析〗
1、【知识点】①三次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③一元二次函数的定义，图像与性质；④一元二次方程根的判别式；
【解题思路】根据函数f(x)的定义域为R，得到 a+ax-3≠0在R上恒成立，进一步得到方程a+ax-3=0无实数解，从而可得 =+12a<0，求解这个不等式就可得到实数a的取值范围；
【详细解答】函数f(x)的定义域为R，a+ax-3≠0在R上恒成立，方程a+ax-3=0无实数解，=+12a<0，-122、【知识点】①二次根式的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③一元二次函数的定义，图像与性质；④一元二次方程根的判别式；
【解题思路】根据函数f(x)的定义域为R，得到 -10在R上恒成立，进一步得到 1在R上恒成立，从而得到 -2ax-a0在R上恒成立，由此得到=4+4a0，求解这个不等式，就可得到实数a的取值范围是；
【详细解答】函数f(x)的定义域为R，-10在R上恒成立，1在R上恒成立，-2ax-a0在R上恒成立，=4+4a0，-1a0，函数f(x)的定义域为R，实数a的取值范围是[-1，0]；
3、【知识点】①对数函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③一元二次函数的定义，图像与性质；④一元二次方程根的判别式；⑤分类讨论的数学思想与方法；
【解题思路】根据函数f(x)的定义域为R，得到 (-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，结合a的不同求证对不等式的影响，对各种情况分别考虑，就可求出实数a的取值范围是；
【详细解答】函数f(x)的定义域为R， (-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，①当a=-1时，(-1)+(a+1)x+1>01>0成立；②当a=1时，(-1)+(a+1)x+1>02x+1>0，x（-，-）时，2x+1<0与题意不符；③当a≠1时，由(-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，-1>0， a>1或a<-1，a>或a<-1，综上所述，当
=-4(-1)< 0， a>或a<-1，函数f(x)的定义域为R时，实数a的取值范围是（-，-1]（，+）；
『思考问题4』
（1）求实际问题或几何问题涉及的函数的定义域时，既要考虑函数的 有意义又要考虑实际问题或几何问题有意义；
（2）【典例4】是已知函数的定义域，求函数解析式中参数的取值范围的问题，解决这类问题的基本方法是：①根据函数的解析式和定义域得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围；
2、若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 。

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