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第十一章 三角形
11.1　与三角形有关的线段
11.1.1三角形的边

1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形 ．
2．三边都相等的三角形叫做 等边三角形 ，有两边相等的三角形叫做 等腰三角形 ．
3．三角形的分类：
按边分类：

(2)按角分类：

4．三角形两边之和 大于 第三边，两边之差 小于 第三边．

11.1.2　三角形的高线、中线与角平分线

5．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的 高 ．
6．在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的 中线 ．
7．三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的 角平分线 .
8．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的 重心 ．

11.1.3三角形的稳定性

1．三角形具有 稳定性 ，四边形具有 不稳定性 。
2．桥梁拉杆等都是三角形结构，这是利用三角形的 稳定 性。
3．伸缩门，活动衣架等应用了四边形的 不稳定性 。

11．2　与三角形有关的角
11.2.1三角形的内角

1．三角形的内角和定理： 三角形的内角和等于180° ．
2．证明三角形内角和定理一般是将三个内角转化到一个 平角 中去。
3．直角三角形的两锐角 互余 ．
4．在两个角互余的三角形是 直角三角形 。

11.2.2三角形的外角

1．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 外角 ．
2．三角形的外角等于与它不相邻的 两个内角和 ．

11．3　多边形及其内角和
11.3.1多边形

1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形 ．
2．多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的 外角 ．
3．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的 对角线 ．
4．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 正多边形 。
5．从n边形(n>3)的一个顶点出发可以画 (n－3) 条对角线．
6．过n边形的一个顶点画对角线能得到 (n－2) 个三角形．

11.3.2　多边形的内角和
1．多边形的内角和等于 (n－2)·180° ．
2．多边形的外角和等于 360°．
3．n边形的边数每增加1条，它的内角和增加 180°，外角和 不变 。

第十二章 全等三角形
12．1　全等三角形

1．能够完全 重合 的两个图形叫全等形。
2．能够完全 重合 的两个三角形叫全等三角形。
3．全等三角形的 对应边 相等，对应角 相等 。
4．经过平移、翻折、旋转后的图形与原图形 全等 。
方法技能：１．找全等三角形的对应元素的方法：
(1)在两个全等三角形中，最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角；
(2)对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；
(3)重合的边(角)是对应边(角)，公共边(角)是对应边(角)，对顶角是对应角．
２．全等三角形性质的应用：
(1)求线段：全等三角形的对应边相等，可直接确定对应边的数量关系，也可间接求相关线段的长度等；
(2)求角：全等三角形的对应角相等，可直接确定对应角的数量关系，也可间接求相关角的大小等。

12.2三角形全等的判定

1．三边对应 相等 的两个三角形全等，简写成“ 边边边 ”或“ SSS ”。
2．三角形三边的长度确定了，这个三角形的 形状 和 大小 就
方法技能：1．证全等寻找等边的方法：
(1)图形语言中的隐含条件，如公共边；
(2)利用中点的定义证明两条线段相等；
(3)多条线段共线时，利用线段的和(差)关系证明两条线段相等。
2．证明两个三角形全等书写的步骤：
(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证明(公共边相等可以直接作条件用)；
(2)写出在哪两个三角形中；
(3)列出三个条件用大括号括起来；
(4)写出全等的结论及依据．
3．有两边和它们的 夹角 分别相等的两个三角形全等，简写成“ 边角边 ”或“ SAS ”．
4．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形 不一定 全等。
方法技能：
1．SAS的用法：运用SAS判定两个三角形全等时，一定要按边→角→边的顺序排列这三个条件．注意属于一个三角形的边和角写在等号的同一边．
2．证全等寻找等角的方法：
(1)公共角相等，对顶角相等，直角相等；
(2)等角加(减)等角，其和(差)相等；
(3)同角或等角的余(补)角相等；
(4)根据角平分线、平行线得角相等．
5．_两角__和它们的__夹边__分别相等的两个三角形全等，简写成“ ASA_”或“_角边角__”。
6．两角和其中一角的_对边__分别相等的两个三角形全等，简写成“_AAS___”或“_角角边_”。
7．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等 ，简写成“ 斜边、直角边 ”或“ HL ”。
8．直角三角形全等是三角形中的特殊类型，判定两个直角三角形全等时可用 SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS 还可以用 HL 判定。
方法技能：
判定两个直角三角形全等的思路：
已知条件 寻找条件 判定方法
一锐角对应相等 直角与已知锐角的夹边对应相等 ASA
对应相等直角或已知锐角的对边对应相等 AAS
斜边对应相等 一条直角边对应相等 HL
一锐角对应相等 AAS
一直角边对应相等 斜边对应相等 HL
另一直角边对应相等 SAS
已知边相邻的锐角对应相等 ASA
已知边所对的锐角对应相等 AAS

12．3　角的平分线的性质

1．角的平分线上的点到角的两边的距离__相等__。
2．命题证明的一般步骤为：（1）明确命题中的 已知和求证 ；（2）根据题意画出图形并用 数学符号 表示已知求证；（3）写出 证明 过程。
方法技能：
1．应用角的平分线的性质时，角的平分线、角的平分线上的点到角的两边的距离两个缺一不可，不能错用为角的平分线上的点到角的两边任意点的距离相等．
2．用角的平分线的性质证明线段相等，可以直接得出结论，不需要再证明三角形全等来完成．
易错提示：
应用角的平分线的性质时，易忽略“到角的两边的距离”而出错．
3．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的 平分线上 ．
4．三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离 相等 。
方法技能：
1．角的平分线的判定的主要作用是证明一个点在某个角的平分线上或两个角相等，它与角的平分线的性质恰好是条件和结论的交换，在运用时不要混淆．
2．当遇到“证某线平分某角”时，首先要想到角的平分线的判定，即向角的两边作垂线，证明垂线段相等．
3．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三边的距离相等．
易错提示：
忽略角的平分线的判定定理中的条件而出错．

第十三章 轴对称
13．1.1　轴对称

1．如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做 轴对称图形 ，这条直线就是它的 对称轴 。
2．如果两个图形沿着一条直线折叠，一个图形能够与另一个图形重合，则这两个图形关于 这条直线 成轴对称。这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 对称点 。
方法技能：
1．轴对称和轴对称图形的区别与联系：
(1)区别：轴对称涉及两个图形，轴对称图形只涉及一个图形；
(2)联系：①都有对称轴；②如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称；③成轴对称的两个图形和轴对称图形沿着对称轴折叠，都能重合，即对称轴两旁部分组成的图形全等．
2．判断轴对称图形的条件：①存在直线(对称轴)；②沿这条直线折叠，两旁的部分能够互相重合．
易错提示：
1．混淆轴对称图形与轴对称．
2．判断轴对称图形的对称轴条数易出错．

13.1.2线段的垂直平分线

1．经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段 垂直平分线 。
2．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等 。
3．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。

13．2　画轴对称图形

1．一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的 大小 、 形状 完全相同。
2．连接任意一对对应点的线段被对称轴 垂直平分 ，只要画出图形中的一些特殊点的 对称轴 ，作某些图形关于某直线对称的图形，只要作出图形中的一些特殊点的 对称点 ，再连接这些 对称点 ，就可以得到原图形关于某直线对称的图形．
方法技能：
画轴对称图形的方法：找出特殊点，作出各特殊点关于对称轴的对称点，顺次连接各对称点即可。

13．2　　用坐标表示轴对称

1．点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是 (a，－b) ；点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标是 (－a，b) ；点P(a，b)关于原点对称的点的坐标是 (－a，－b) ．
2．在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形，只要找到一些特殊点的对称点的 坐标 ，描出并连接这些点，就得到这个图形的轴对称图形。
方法技能：
1．关于坐标轴对称的点的坐标特征：
(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；
(2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．
2．作一个多边形关于坐标轴对称的图形，只需作出多边形各个顶点关于坐标轴的对称点，并顺次连接这些点即可．
易错提示：
混淆关于x轴和y轴对称的点的横、纵坐标的变化特征而出错．

13.3.1等腰三角形

1．有两边相等的三角形是 等腰 三角形。
2．等腰三角形的性质：
①等腰三角形是 轴对称 图形，它的对称轴是 底边上的高（顶角的平分线或底边上的中线）所在的直线 ；
②等腰三角形的两底角 相等 （简写成“ 等边对等角 ”）；
③等腰三角形的 顶角的平分线 、 底边上的中线 、底边上的高线 相互重合（简写成“ 三线合一 ”）。
3．一个三角形有两个角 相等 ，则这两个角所对的边也 相等 ，简称为“ 等角对等边 ”。

13.3.2等边三角形

1．等边三角形的三个内角都 相等 ，并且每一个角都等于 60°；
2． 三边 都相等的三角形是等边三角形； 三个内角 都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

13．4　课题学习　最短路径问题

1．两点的所有连线中， 线段 最短。
2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段 最短。
3．已知直线l上一动点和直线l外两定点：(1)当两定点在l的异侧 连接两点 得最短路径；
(2)当两定点在l的同侧，作其中一定点 关于直线l 的对称点可求最短路径。
方法技能：
解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值．
易错提示：
混淆什么情况下用“两点之间，线段最短”，什么情况下用“垂线段最短”而出错．

第十四章 整式的乘法与因式分解
14．1　同底数幂的乘法

1．幂的有关概念：an中a叫做__底数__，n叫做_指数___，an是 幂 ，它表示 n个a相乘 。
2．同底数幂相乘，_底数 不变，指数__相加__．用字母表示为am·an＝ am＋n (m，n为正整数)。
3．同底数幂的性质的逆向运用，am＋n＝ am·an (m，n为正整数)。

14.1.2幂的乘方

1．幂的乘方法则：(am)n＝ amn (m，n都是正整数)．即幂的乘方， 底数不变，指数相乘 。
2．在进行幂的乘方与幂的乘法混合运算时,先 乘方 ,后 乘法 ；
3．幂的乘方的运算的逆向应用,即 amn = (am)n (m，n都是正整数)。

14.1.3积的乘方

1．积的乘方，等于把积的 每一个因式分别乘方 ，再把所得的__幂 相乘，用字母表示为(ab)n＝ anbn 。
2．积的乘方的运算的逆向应用，即 anbncn = (abc)n (n为正整数)。

14.1.2整式的乘法

1．单项式乘以单项式：
单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 同底数幂 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为 积的一个因式 。
2．单项式乘以多项式：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 每一项 ，再把 所得的积相加 。
3．多项式乘以多项式：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 乘另一个多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 ，即(a＋b)(m＋n)＝ am＋an＋bm＋bn .。

*整式的除法

1．同底数幂的除法法则：am÷an＝ am－n (a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．即同底数幂相除， 底数不变 ， 指数相减 。
2．a0＝ 1 (a≠0)．即任何不等于0的数的0次幂都等于 1 。
3．单项式相除，把 系数 与 同底数幂 分别相除作为商的 因式 ，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数 作为商的一个因式。
4．多项式除以单项式，先把这个多项式的 每一项 都除以 这个单项式 ，再把所得的商 相加 。

14.2乘法公式
14.2.1平方差公式

1．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差 ，用字母表示为（a+b）（a-b）= a2-b2 。
2．能用平方差公式进行运算的式子特征：①二项式与二项式的积；②有一项相同，另一项 互为相反 。

14.2.2完全平方公式

1．完全平方公式：(a±b)2= a2±2ab+b2 ，即两个数的和（或差）的平方，等于它们的 平方和 加上（或减去） 它们的积的2倍 。
2．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 不变号 ；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 改变符号 。
2．添括号与去括号是 互逆 变形，可互相检验。

14.3因式分解
14.3.1提公因式法
1．把一个多项式化为几个 整式 的 积 的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 分解因式 。
2．多项式的各项中都含有的因式叫做这个多项式的 公因式 ，如果一个多项式的各项含有公因式，把这个公因式提出来，将多项式化成几个因式积的形式，这种分解因式的方法叫 提公因式法 。

14.3.2公式法

1．平方差公式a2-b2= （a+b）（a-b），即两个数的平方差等于这两个数的 和 与这两个数的 差 的积。
2．有公因式一定要先 提取公因式 ，分解因式必须进行到每一个多项式因式不能 再分解 为止。
3．完全平方公式：a2 ±2ab+b2=（a±b）2，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的2倍 ，等于这两个数 和或差 的平方。
4．象a2 +2ab+b2或a2 -2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

第十五章 分式
15．1.　分式
15.1.1从分数到分式

1．如果A，B表示两个整式，并且B中含有 字母 ，那么式子 做分式，其中A叫做 分子，B叫做 分母 ．
2．对于分式 ，当 B≠0 时，分式 有意义 ，当 A＝0，且B≠0 时，分式的值为零。

15.1.2分式的基本性质

1．分式的分子与分母乘(或除以)同一个 不等于0 的整式，分式的值不变。
2．约分是分子、分母同时除以分子、分母的 公因式 ，分子与分母没有公因式的分式称为 最简分式 。
3．分式的通分是根据分式的 基本性质 ，把分式的分子和分母同时乘以 不为0的整式 ，将分式的分母化为 同分母 的过程。
4．把一个分式的分子与分母的 公因式 约去叫做分式的约分。
5．分子与分母没有 公因式 的分式，叫做最简分式。
6．不改变分式的值，把异分母分式化成 同分母 的分式，这样的分式变形叫做分式的通分，各分母的所有因式的 最高次幂的积 ，叫做最简公分母。

15.2分式的运算
15.2.1分式的乘除

1．分式乘法：分式乘以分式，用分子的积作为积的 分子 ，分母的积作为积的 分母 ．即= 。
2．分式除法：分式除以分式，把除式的分子、分母 颠倒 位置后，与被除式 相乘 ，即= = 。
3．分式的乘方就是把分子、分母分别 乘方 ，即= ，其中n为正整数。
4．分式的乘、除、乘方混合运算，应先算 乘方 ，再算 乘除 ，再注意先确定运算结果的符号，以及乘除同级运算顺序是 从左到右 。

15.2.2分式的加减

1．同分母分式相加减，分母　不变 ，把分子　相加减　，用式子表示为　＝。
2．异分母分式相加减，先　通分　，变为同分母的分式，再　加减　，式子表示为　＝＝　　。
3．分式的混合运算和有理数的混合运算一样，要按运算顺序进行运算，即先 乘方 ，再，乘除 ，最后 加减 ，遇到括号要先算 括号内 的，如果能运用运算律，要尽量运用运算律简化运算。

15.2.3整数指数幂

1．任何一个不为零的数的负p次幂都等于这个数的 p次幂的倒数 ，即= （a≠0，p为正整数）。
2．整数指数幂的运算性质：= （m、n为整数）；= （m、n为整数）；= （n为整数）。
3． 小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10n的形式，其中 1 ≤ a ＜ 10 ，n是正整数，n是小数点后第一个非零的数前面零的个数（包括整数部分的一个零）。

15.3分式方程

1．解分式方程的基本思路是将分式方程化为 整式方程 ，具体做法是 去分母 ，即方程两边同乘以 最简公分母 。
2．解分式方程必须 验根 ，使 公母 不为0的解才是原方程的解，否则不是分式方程的解。
3．列分式方程解决实际问题的步骤：①审题，找出等量关系；②没未知数；⑧列出分式方程；④解分式方程并 验根 ；⑤作答。












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