资源简介

数 学 好 玩
一、绘制校园平面图
活动的方案:
1.想一想,绘制校园平面图前,要先做哪些方面的准备?
A.在校园平面图中需要绘制哪些主要建筑物?
B.需要收集哪些数据?如何收集这些数据呢?
C.如何确定这幅图的比例尺呢?
2.设计绘制校园平面图的活动方案,包括主要步骤和分工。
3.实地测量并记录。
4.绘制校园平面图。
二、神奇的莫比乌斯带
意义:把一根纸条扭转180°后,两头再粘接起来做成的纸带圈,具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面(即双侧曲面),一个正面,一个反面,两个面可以涂成不同的颜色;而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面),一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”(也就是说,它的曲面只有一个)。
用途:用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状,这样皮带可以磨损的面积就变大了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状,就不存在正反两面的问题了,磁带就只有一个面了。
三、可爱的小猫
画小猫的轮廓。
1.根据表格中的表示小猫轮廓的点的数对,在方格中描出各数对表示的点。
2.再按照字母顺序依次连接起来。
3.还要画出眼睛、鼻子和嘴巴。
绘制平面图时,要根据图纸的大小确定比例尺。
一些在平面上无法解决的问题,却不可思议地在莫比乌斯带上获得解决。
数对中的两个数都扩大或缩小相同的倍数,得到的新图形与原来的图形相似。
一　圆柱与圆锥
一、面的旋转
1.点动成线,线动成面,面动成体。
2.将一个长方形以长(宽)为轴,快速旋转后可以形成一个圆柱。
3.将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转,会形成一个圆锥。
二、圆柱和圆锥的特征
1.圆柱有两个面是大小相同的圆,有一个面是曲面;圆锥有一个面是圆,有一个面是曲面。即:
2.圆柱的上、下两个圆面叫作圆柱的底面,圆柱的曲面叫作圆柱的侧面;圆柱的两个底面之间的距离叫作圆柱的高。即:
3.圆锥的圆面叫作圆锥的底面,圆锥的曲面叫作圆锥的侧面;圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高。
4.测量圆锥的高的方法:把圆锥放在水平面上,在圆锥的顶点上放一个平面的东西,比如一块木板,并与底面平行,测量一下这两个平面间的距离,这两个平面间的距离就是圆锥的高。即:
5.测量圆柱的高的方法:把圆柱放在水平面上,选一把直尺和一个直角三角板,使圆柱的底面与直尺的0刻线对齐,使三角板与直尺垂直并靠紧圆柱的底面,此时圆柱的另一个底面对准的刻度值即是圆柱的高。
三、圆柱的表面积
1.圆柱的侧面积。
圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形。
长方形的面积=长方形的长 × 长方形的宽
　　↓　　　　　　 ↓　　　　　　↓
圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×圆柱的高
用字母表示:S侧=Ch
或S侧=πdh
或S侧=2πrh
2.圆柱的表面积。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积
不同的圆柱形实物,它们的表面积也不相同。比如圆柱形烟囱的表面积等于烟囱的侧面积,圆柱形水桶的表面积就是水桶的侧面积加上一个底面积。
四、圆柱的体积
1.意义:圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。
2.圆柱的体积的计算公式。
把一个圆柱的底面平均分成若干个相等的扇形,再把这些扇形按照等分线沿高剪开,等分成若干份,就可以拼成一个近似的长方体。如图:
长方体的体积=　　长　　×　　 宽×高
　　↓　　　　　　↓　 　　　　↓ 　↓
圆柱的体积 =底面周长的一半×半径底面积×高
用字母表示:V=S×h
V=πr2×h
3.求不规则物体的体积。
计算不规则物体的体积,可以借助圆柱形容器和水,给圆柱形容器里装适量的水,量出水的高度,把不规则物体放入容器完全浸入水中,并且水不被溢出,这时测量水的高度,上升的水的体积就是不规则物体的体积。
五、圆锥的体积
1.意义:圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。
2.圆锥的体积公式。
一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等,将圆锥形容器装满沙子,再倒入圆柱形容器,3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的13。
圆锥的体积=圆柱的体积×13
用字母表示为V=13Sh
V=πr2h×13
面的形状不同,快速旋转后形成的立体图形也不同。
圆柱有无数条高,圆锥只有一条高。
圆柱或圆锥的高都是一条垂直于底面的线段。
易错点:剪开圆柱的侧面时一定要沿高剪开才可以得到一个长方形。
易错点:在解决圆柱的表面积的问题时,要根据不同实物的表面情况进行计算。
把圆柱剪拼成一个近似的长方体后,它的体积大小不变,表面积增加。
运用转化的方法把圆柱转化成长方体,找出圆柱和长方体之间的关系,可以推导出圆柱的体积公式。
解决体积问题时,可以运用转化的方法把不规则的物体转化为规则的形体进行计算。
求不规则物体的体积一定要借助规则的容器和水来计算。
计算圆锥的体积要先计算与它等底等高的圆柱的体积,再乘13。
易错题:只有圆柱和圆锥等底等高时,它们的体积才有可比性。
判断圆柱和圆锥的关系,一定要在等底等高的条件下。
二　比　　例
一、比例的认识
1.意义:表示两个比相等的式子,叫作比例。
例如:2∶1=2,6∶3=2;所以2∶1=6∶3。
2.比例的基本性质。
(1)认识比例的项。
在比例里,两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项。
(2)比例的基本性质。
在比例里,两个内项的积等于两个外项的积。
例如:由3∶2=6∶4可知3×4=2×6;或者由x×1.5=y×1.2可知x∶y=1.2∶1.5。
3.判断两个比能否组成比例。
4. (1)解比例。
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫作解比例。
例如:3∶x=4∶8,内项乘内项,外项乘外项,则4x=3×8,解得x=6。
(2)根据比例的意义和基本性质,设未知数、解比例、解决实际问题。
二、比例尺
1.意义。
图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。
比例尺是一个比,它表示图上距离和实际距离的倍比关系,因此不能带有计量单位。
2.比例尺的分类。
比例尺根据实际距离是缩小还是扩大,分为缩小比例尺和放大比例尺。根据表现形式的不同,比例尺还可以分为线段比例尺和数值比例尺。
缩小比例尺:在绘图时,根据需要把实际距离按一定的比例缩小,在纸上画出来。为了计算方便,一般把缩小比例尺写成带比号的形式时,前一项一般化简为“1”,若写成分数的形式,分子应化简为“1”。
放大比例尺:对于机器零件比较小,有时需要把实际长度扩大一定的倍数以后,再画在纸上,这样的比例尺就称为放大比例尺。如:2∶1。为了计算方便,通常把放大比例尺写成后项是“1”的形式。
3.比例尺的应用。
(1)图上距离∶实际距离=比例尺。
例如:图上距离是2 cm,实际距离是4 km,则比例尺为2 cm∶4 km,最后求得比例尺是1∶200000。
(2)实际距离=图上距离÷比例尺。
例如:已知图上距离是2 cm和比例尺为1∶200000,则实际距离为2÷1200000=400000(cm),400000 cm=4 km。
(3)图上距离=实际距离×比例尺。
例如:已知实际距离是4 km和比例尺为1∶200000,则图上距离为400000×1200000=2(cm)。
三、图形的放大和缩小
1.图形的放大与缩小的意义。
(1)使图形按一定的比变大,叫作图形的放大。如:用显微镜看细菌。
(2)使图形按一定的比变小,叫作图形的缩小。如:建筑物效果图。
(3)把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比,形状相同,大小不同。
2.图形放大或缩小的方格。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小,分为三步:
一看:看原图形每边各占几格;
二算:计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格;
三画:按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
组成比例的两个比的比值一定相等。
用比的前项除以比的后项,所得的商就是比值。
根据比例的基本性质也可以判断两个比能否组成比例。
例如:判断6∶3和3∶1能否组成比例,可以用6×1=6,3×3=9,6和9不相等,所以6∶3和3∶1不能组成比例。
方法:用内项的积(外项的积)除以已知的外项(内项)。
计算时要先统一单位。
数值比例尺的比的前项和后项单位相同,线段比例尺通常用1厘米的线段表示某一个实际距离。
缩小比例尺的比的前项是1,放大比例尺的比的后项是1。
在大小相同的地图上,比例尺越大,反映的实际范围越小。运用比例尺、图上距离和实际距离之间的关系可以解决实际问题。
如果一个长方形的各边长度扩大到原来长度的n倍或缩小到原来长度的1n,那么它的周长就扩大到原来长度的n倍或缩小到原来长度的1n。
三　图形的运动
一、图形的旋转
1.旋转的意义。
　图1
在平面内,将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一定的角度,这样的图形运动称为旋转,定点O称为旋转中心,转动的角称为旋转角;如果图形上的点P经过旋转到点P',那么这两个点叫作旋转的对应点。如图1,线段AB绕点O顺时针转动90°得到A'B',这就是旋转,点O就是旋转中心,∠BOB'和∠AOA'都是旋转角。
2.旋转的性质。
(1)经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点的排列顺序相同。
(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
(3)对应点到旋转中心的距离相等。
(4)对应线段相等,对应角相等。
3.旋转画图。
(1)旋转画图的依据:图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点到旋转中心的距离相等。
(2)旋转画图的具体步骤:
①分析题目的要求,找出旋转中心和旋转角度;
②分析所画的图形,找出围成图形的关键点;
③沿一定的方向,按一定的角度,通过截取线段的方法,旋转各个关键点。
二、图形的运动
1.平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小。
2.平移的特点。
(1)平移是指整个图形平行移动,包括图形的每一条线段,每一个点。经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。
(2)平移不改变图形的形状、大小和方向,只改变图形的位置。
3.平移的基本性质。
经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。
4.轴对称图形。
意义:把一个图形沿一条直线对折,两侧的部分能够完全重合,这样的图形叫作轴对称图形。折痕所在的直线叫作轴对称图形的对称轴。
对称的特点:对称的两部分大小相同,方向相反。在轴对称图形中,对应点到对称轴的距离相等。
三、欣赏与设计
1.利用轴对称、平移、旋转等方法绘制精美的图案。
2.在单一图案花边的绘制过程中,基本图形的大小、方向、形状不会发生变化,基本图形平移的格数也是不变的。
3.设计步骤:确定要设计的图案、基本图形、变换方法;将要设计的图案在方格纸上画出来。
旋转的范围是在平面内旋转,否则有可能旋转为立体图形,因此“在平面内”这一条件不可忽略。决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角度;三是旋转方向。
旋转不改变图形的大小和形状,这说明旋转前后的两个图形是完全相同的。
旋转画图的条件:
①图形原来所在的位置;
②图形的旋转中心;
③图形旋转的方向;
④图形旋转的角度。
平移前,先确定一个点,看这个点会平移到哪儿,保证平移的格数正确;注意原来的图中每条线段各占几格,保证和原来的图形一样;新画图形的形状、大小都不变。
轴对称也是图形运动的一种方式。
轴对称、平移和旋转等的知识广泛地应用于平面、立体的建筑艺术和几何图像上。
四　正比例与反比例
一、变化的量
生活中存在着大量相互依存的变量,一种量变化,另一种量也随着变化。
二、正比例
1.正比例的意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量,用字母k表示它们的比值(一定),正比例关系可以表示为yx=k(一定)。
2.应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量,虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化,但它们相对应的数的比值不一定,就不成正比例。
3.画一画。
正比例的图像是一条过原点的直线。
三、反比例
1.反比例的意义。
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫作成反比例的量,它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的积(一定),反比例关系可以表示为x·y=k(一定)。
2.判断两个量是不是成反比例。
要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断,看这两个量的积是否一定;最后作出结论。
3.观察与探究。
当两个变量成反比例关系时,所绘成的图像是一条光滑曲线。
例如:(1)圆的周长和直径成正比例关系,因为圆的周长÷直径=圆周率(一定)。(2)圆的面积和半径不成比例,因为圆的面积÷半径=圆周率×半径(不一定)。
例如:(1)路程一定,速度和时间成反比例,因为速度×时间=路程(一定)。
(2)总价一定,单价和数量成反比例,因为单价×数量=总价(一定)。
总 复 习
数 与 代 数
一、整数的范围
整数包括自然数和负整数,或者说整数由正整数、零和负整数组成。
1.自然数。
自然数的意义:我们在数物体的时候,用来表示物体个数的0,1,2,3,4,5,…叫作自然数.自然数的个数是无限的,没有最大的自然数。
“0”的含义:“0”表示一个物体也没有,在计数中起占位作用,表示该数位上没有计数单位。
2.正数。
正数的定义:以前学过的8,16,200,…这样的数叫作正数。
正数的写法和读法:正数前面也可以加“+”号,例如:
+8读作:正八。
3.负数。
负数的定义:像-1,-5,-132,…这样的数叫作负数。“-”叫负号。
负数的写法和读法:负数前面加“-”号,例如:
-15读作:负十五。
4.整数与自然数的联系及区别。
自然数全是整数,整数不全是自然数,还包括负整数。
5.整数的大小比较:比较两个整数的大小,要看它们的位数,如果位数不同,那么位数多的数就大;如果位数相同,就从最高位比起,最高位上的数大的就大,如果最高位上的数相同,就比较下一位上的数的大小,直到比出大小为止。
6.因数与倍数。
意义:整数a除以整数b,所得的商是一个整数,而没有余数,我们就说a叫作b的倍数,b叫作a的因数。
因数与倍数的特点:一个数的因数的个数是有限的,最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身。
7.奇数与偶数。
意义:个位上的数是1,3,5,7,9的数叫作奇数;个位上的数是2,4,6,8,0的数叫作偶数。
奇数与偶数的特点:奇数都不能被2整除;偶数都能被2整除。
8.质数与合数。
意义:一个数的因数只有1和它本身两个因数,这样的数,叫作质数,也叫作素数;一个数的因数如果除了1和它本身外,还含有其他的因数,这样的数叫作合数。
质数与合数的特点:一个质数有2个因数;一个合数有3个或3个以上的因数。
分解质因数:一个合数可以用几个质数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。(分解质因数也可以用短除的方法)
二、小数
1.小数的意义。
把整数“1”平均分成10份,100份,1000份……这样的1份或几份是十分之几,百分之几,千分之几……可以用小数来表示。
2.小数大小的比较。
比较两个小数的大小,先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大,直到比较出大小为止。
3.数的改写与求近似数。
数的改写与省略这个数某一位后面的尾数改写近似数的方法:为了读写方便,常把较大的数简写成用“万”或“亿”作单位的数。例如:2365500=236.55万(改写成用“万”作单位的数);有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的尾数,写成近似数。例如:2365500≈237万(省略万位后面的尾数);有时还要求保留一位小数的近似数。例如:7.62983≈7.6(保留一位小数)。
三、分数
1.分数的意义:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫作分数。
2.分数单位:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的分数,叫作分数单位。
3.分数的分类。
(1)真分数:分子比分母小的分数叫作真分数。
(2)假分数:分子比分母大或者与分母相等的分数叫作假分数。
4.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变,这叫作分数的基本性质。
5.分数与除法的关系:(1)分数的分子相当于除法中的被除数,分数的分母相当于除法中的除数,分数线相当于除法中的除号。(2)在除法中,除数不能为0,在分数中分母也不能为0,除数、分母为0没有意义。
6.约分:把一个分数化成同它相等,且分子、分母都比较小的分数的过程,叫作约分。
7.最简分数:分子、分母是互质数的分数叫作最简分数。
8.通分:把异分母的分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫作通分。
9.分数大小的比较:分母相同的两个分数,分子大的分数大;分子相同的两个分数,分母小的分数大。
10.把分数转化成小数:根据分数与除法的关系,把分数转化为除法算式,然后计算,就可以得到小数。
11.把小数转化成分数:原来有几位小数,就在1的后面写上几个0作分母,原来的小数去掉小数点作分子,能化简的要化简成最简分数。
12.分数的基本性质与小数的基本性质的关系。
分数的基本性质与小数的基本性质是一致的。小数的末尾添上“0”或者去掉“0”,就相当于把相应的分数的分子、分母同时扩大(或缩小)到原来的10倍(或110)、100倍(或1100)、1000倍(或11000)……
四、百分数
1.百分数的意义。
(1)分母是100的分数叫作百分数。
(2)表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数。百分数通分时,通常用分母的最小公倍数作公分母。
如:0.03=3100
分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)后,分数的大小不变。
百分数通常不写成分数的形式,而采用符号“%”来表示,叫作百分号。
求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。
分数又叫百分比或百分率。
2.百分数应用题知识点归纳:
(1)求常见的百分率,如:达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等。
(2)求一个数比另一个数多(或少)百分之几。实际生活中,人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加或减少的幅度。
求甲比乙多百分之几:(甲-乙)÷乙。
求乙比甲少百分之几:(甲-乙)÷甲。
(3)求一个数的百分之几是多少。
一个数(单位“1”)×百分率
(4)已知一个数的百分之几是多少,求这个数。基本公式:部分量÷百分率
(5)折扣:几折就是十分之几也就是百分之几十。
五、运算的意义
(一)四则运算
1.加法:把两个数合并成一个数的运算叫作加法。在加法里,相加的数叫作加数,加得的数叫作和。加数是部分数,和是总数。
2.减法:已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫作减法。
在减法里,已知的和叫作被减数,已知的加数叫作减数,未知的加数叫作差。被减数是总数,减数和差分别是部分数。
3.乘法:求几个相同加数的和的简便运算叫作乘法。在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫作因数。相同加数的和叫作积。在乘法里,0和任何数相乘都得0。1和任何数相乘都等于任何数。
4.除法:已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫作除法。在除法里,已知的积叫作被除数,已知的一个因数叫作除数,所求的因数叫作商。乘法和除法互为逆运算。在除法里,0不能作除数。因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。
(二)四则运算法则
1.加减法的计算法则。
(1)计算整数的加减法时,把相同数位对齐。
(2)计算小数的加减法时,把小数点对齐。
(3)计算分数的加减法时,当分母相同时,分母不变,分子相加减。
2.乘法的计算法则。
(1)整数乘法的计算法则。
一位数乘一位数:用口诀计算。
多位数乘一位数:用这个一位数依次去乘多位数每一位上的数,哪一位上乘得的积满几十,就向前一位进几。
多位数乘多位数:先用其中一个多位数每一位上的数分别去乘另一个多位数,用哪一位上的数去乘,乘得的数的末位就要和哪一位对齐。然后把每次乘得的数相加。
(2)小数乘法的计算法则:先按照整数乘法的计算法则计算出积,再看两个因数中共有几位小数,就从积的右边起向左边数出几位,点上小数点。
(3)分数乘法的计算法则:用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母,能约分的要约分。
3.除法的计算法则。
(1)整数除法的计算法则:从被除数的高位起,除到被除数的哪一位,就把商写在那一位上。
(2)小数除法的计算法则:除数是整数时,按整数除法的计算法则计算,商的小数点要和被除数的小数点对齐。除数是小数时,先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点向右移几位,被除数的小数点也向右移几位(位数不够添“0”补足),然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
(3)分数除法的计算法则:甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。
4.估算的意义和方法。
(1)估算的意义:依据实际问题的需要,按照取近似值的方法,粗略地口算出结果。
(2)加、减法的估算:用“四舍五入”法取近似值,估成几百或几百几十的数,口算和或差。
(3)估算的用处。
①计算前的估算:有利于人们对运算结果有大致了解。
②计算后的估算:有利于人们对运算结果进行检验。
5.取近似值的方法。
(1)“四舍五入”法。
要保留到哪一位,就看那一位的下一位上的数,下一位上是5或者比5大,就向前一位进1;如果是4,或者比4小,就舍去。
(2)“进一”法。
在取近似值的时候,把舍去的部分去掉后,用所得的数加上1,这种取近似值的方法叫作“进一”法。例如:妈妈买3袋盐,每袋1.1元钱,带3元钱够吗?有26个苹果,每个箱子装5个,需要多少个箱子?
(3)“去尾”法。
在取数的近似值时,把舍去的部分去掉后,所保留的数不变,这种取数的近似值的方法叫作“去尾法”。例如:用3米长的布料做衣服,每件衣服需要1.2米,能做多少件衣服?
(三)计算与运用
1.四则混合运算的顺序。
在没有括号的算式里,如果只含有加减法或乘除法,要从左往右依次计算;如果既含有加减法,又含有乘除法,要先算乘除法,后算加减法。
2.在有括号的算式里,要先算括号里面的,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
(四)运算律
1.加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
2.加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加,它们的和不变。
3.乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4.乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变。
5.乘法分配律:两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加。乘法分配律可以逆用:a×c+b×c=(a+b)×c。
6.减法的性质。
(1)从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)。
(2)a-b-c=a-(b+c)可以逆用:a-(b+c)=a-b-c,如,15.6-(5.6+3.8)=15.6-5.6-3.8=10-3.8=6.2。
7.除法的性质:(1)一个数里连续除以几个数,可以用这个数除以所有除数的积,结果不变,即a÷b÷c=a÷(b×c)。如,32.5÷4÷2.5=32.5÷(4×2.5)=32.5÷10=3.25;(2)a÷b÷c=a÷(b×c)可以逆用:a÷(b×c)=a÷b÷c。
(五)式与方程
1.用字母表示数。
用字母表示常见的数量关系、运算律和运算性质、几何形体的计算公式。
(1)用字母表示数量关系。
路程用s表示,速度用v表示,时间用t表示,三者之间的关系:s=vt,v=st,t=sv;总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系:a=bc,b=ac,c=ab。
(2)运算律和运算性质。
加法交换律:a+b=b+a,加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c),乘法交换律:ab=ba,乘法结合律:(ab)c=a(bc),乘法分配律:(a+b)c=ac+bc,减法的性质:a-(b+c)=a-b-c。
(3)表示几何形体的公式。
长方形的长用a表示,宽用b表示,周长用C表示,面积用S表示,C=2(a+b),S=ab。
正方形的边长用a表示,周长用C表示,面积用S表示,C=4a,S=a2。
2.用字母表示数的写法:(1)数字和字母,字母和字母相乘时,乘号可以记作“·”,或者省略不写,数字要写在字母的前面。　(2)当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写。
(3)将数值代入式子求值:把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。字母表示的是数,后面不写单位名称。
2.简易方程。
(1)方程:含有未知数的等式叫作方程。注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。
(2)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫作方程的解。
六、列方程解应用题
1.列方程解应用题的意义。
用方程式去解答应用题,求得应用题的未知量的方法。
2.列方程解答应用题的步骤。
(1)弄清题意,确定未知数并用x表示;
(2)找出题中的数量之间的等量关系;
(3)列方程,解方程;
(4)检查或验算,写出答案。
3.列方程解应用题的方法。
(1)说出等量关系式;
(2)设未知量为x;
(3)根据等量关系式列出方程并求解;
(4)检验,写答。
4.小学范围内常用方程解的应用题:
(1)一般应用题;
(2)和倍、差倍问题;
(3)几何形体的周长、面积、体积的计算;
(4)分数、百分数应用题;
(5)比和比例应用题。
七、比和比例
意义:比表示两个数相除;比例表示两个比相等的式子。
比的性质:比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
比例的基本性质:在比例里,两个内项的积等于两个外项的积。
八、正比例与反比例
意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例关系;两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫作成反比例的量,它们的关系叫作反比例关系。
用字母表示正比例:yx=k(一定);反比例:xy=k(一定)。
九、常见的量
(1)长度单位:千米(km)、米(m)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)。
1厘米=10毫米　1分米=10厘米　1米=10分米　1米=100厘米　1千米=1000米
(2)面积单位:平方厘米(cm2)、平方分米(dm2)、平方米(m2)、平方千米(km2)、公顷。
1平方米=100平方分米　1平方分米=100平方厘米　1公顷=10000平方米　1平方千米=100公顷
(3)体积单位:立方米(m3)、立方分米(dm3)、立方厘米(cm3)。1立方米=1000立方分米　1立方分米=1000立方厘米
(4)容积单位:升(L)、毫升(mL)。
1升=1000毫升　1升=1立方分米　1毫升=1立方厘米
(5)质量单位:吨(t)、千克(kg)、克(g)。
1吨=1000千克　1千克=1000克
(6)时间单位:世纪、年、月、日、时、分、秒。
1世纪=100年
1年=365天(平年)　一年=366天(闰年)　一、三、五、七、八、十、十二月是大月,大月有31天;四、六、九、十一是小月,小月有30天,平年2月有28天,闰年2月有29天。1天=24时　1时=60分　1分=60秒
(7)货币单位:元、角、分。
1元=10角　1角=10分　1元=100分
用字母表示为(a+b)×c=a×c+b×c。
“0”还可以表示起点、分界点等。“0”是最小的自然数。
“+”号一般可以省略不写。
数字越大的负数反而越小;“0”既不是正数,也不是负数。
比较整数的方法根据整数的位数选择。
因数和倍数是相互依存的,不能单独存在。
判断一个数是奇数还是偶数,就看这个数能否被2整除。
1既不是质数,也不是合数。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
取近似数时,常用“四舍五入”法或“进一”法或“去尾”法把一个数某一位后面的尾数省略。
只有把单位“1”平均分才能用分数表示。
用字母表示:a÷b=ab(b≠0)
　　
部分量÷百分率=一个数(单位“1”)
加数+加数=和;一个加数=和-另一个加数
加法和减法互为逆运算。
一个因数×一个因数=积
一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商　除数=被除数÷商　被除数=商×除数
分母不同时,要先通分,再相加减。
多位数相乘,从个位乘起。
如果小数的位数不够,要在前面添“0”补足。
每次除后余下的数必须比除数小。
计算小数除法,先移动除数的小数点,变成除数是整数的除法再计算。
例如:9873-3522≈9900-3500=6400
在实际生活中,一般情况下用“四舍五入”法取近似数,当计算所用材料时用“进一”法,当计算容纳物品的体积时用“去尾”法。
加法和减法叫作一级运算,乘法和除法叫作二级运算。
用字母表示为a+b=b+a。
用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)。
用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。
如,10-2.3-7.7=10-(2.3+7.7)=10-10=0。
如,18.3÷(1.83×50)=18.3÷1.83÷50=10÷50=0.2。
用字母表示数量关系、公式等更简单。
通常情况下一个数量关系中的字母有规定。
用字母表示运算律比用文字表达更直观。
一般用a表示长,用b表示宽,用h表示高,用S表示面积,用V表示体积,用r表示半径,用d表示直径,用π表示圆周率。
具备方程的条件:含有未知数,是等式,二者缺一不可。
用方程解决问题和用算式解决问题的区别:用方程解决问题是根据等量关系,未知量用x表示,未知数参与列式;用算式解决问题是根据题目中的等量关系,用已知量求出未知量,未知量不参与列式。
比表示两个数的关系,也可以用分数表示;比例表示两个比的关系,也可以写成分数的形式。
判断两种量成什么比例,就看这两种量的比值一定还是积一定。
每相邻的两个体积(容积)单位之间的进率是1000;每相邻的两个质量单位之间的进率是1000。
一般年份除以4,没有余数的便是闰年;遇到整百年份要除以400没有余数才是闰年。
图形与几何
一、平面图形的分类及概念
直线:没有端点,它的长度是无限的。
线段:有两个端点,它的长度是有限的。
射线:有一个端点,它的长度是无限的。
弧线:圆上A、B两点间的部分叫作弧。
角是由一点引出的两条射线所围成的图形。
锐角:大于0°,小于90°的角。
钝角:大于90°,小于180°的角。
直角:等于90°的角。
平角:等180°的角。
周角:等于360°的角。
垂直:在同一平面内相交成直角的两条直线。
平行:在同一平面内不相交的两条直线。
三角形是由三条边围成的平面图形。
按边分:不等边三角形(三条边都不相等)、等腰三角形(有两条边相等)、等边三角形(三条边都相等)。
按角分:锐角三角形(三个角都是锐角)、直角三角形(有一个角是直角)、钝角三角形(有一个角是钝角)。
四边形是由四条边围成的平面图形。
平行四边形(两组对边平行)→长方形(有一个角是直角)
梯形(只有一组对边平行)
直角梯形:有一个角是直角的梯形。等腰梯形:两条腰相等。
圆:一条线段围绕其中一个端点旋转一周,就形成一个圆。
扇形:由两条半径和弧AB所围成的图形叫扇形。
二、立体图形的分类及概念
1.图形的特点。
正方体:由6个正方形围成的立体图形,有8个顶点,12条棱。
长方体:由6个长方形围成的立体图形,有8个顶点,12条棱。
圆柱:由完全相同的两个圆和一个曲面组成。
圆锥:由一个圆和一个曲面组成。
2.平面图形的周长和面积。
长方形的周长=(长+宽)×2,即C=(a+b)×2;面积=长×宽,即S=a×b,用字母“a”“b”分别表示长方形的长和宽。
正方形的周长=边长×4,即C=a×4;面积=边长×边长,即S=a2,用字母“a”表示正方形的边长。
平行四边形的面积=底×高,即S=a×h用字母“a”“h”分别表示平行四边形的底和高。
梯形的面积=(上底长+下底长)×高÷2,即S=(a+b)×h÷2,用字母“a”“b”“h”分别表示梯形的上底长、下底长和高。
三角形的面积=底×高÷2,即S=ah÷2,用字母“a”“h”分别表示三角形的底和高。
圆的周长=π×直径=2π×半径,即C=π×d=2π×r,圆形的面积:S=π×(半径)2=π×r2,用字母“r”、“d”分别表示圆的半径和直径。
3.立体图形的表面积、体积。
长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,用字母表示为S=(a×b+a×h+b×h)×2;长方形的体积=长×宽×高,用字母表示为V=a×b×h,用字母“a”“b”“h”分别表示长方体的长、宽、高。
正方体的表面积=棱长×棱长×6,即C=a×a×6,正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示为V=a×a×a,用字母“a”表示正方体的棱长。
圆柱的表面积=底面积×2+侧面积,S=2×π×r2+2π×r×h,圆柱的体积=底面积×高,V=S×h=π×r2×h,用字母“r”“h”分别表示圆的半径和高。
圆锥的体积=13×底面积×高,即V=13Sh,用字母“S”“h”分别表示圆锥的底面积和高。
三、关于几何的一些操作知识
1.画一个角的步骤如下:
(1)先画一条射线,使量角器的中心点和射线的端点重合,零刻度线和射线重合;
(2)在量角器所取刻度线的地方点一个点;
(3)以画出的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线。
2.垂线的画法:
(1)过直线上一点画这条直线的垂线。
①把三角板的一条直角边与已知直线重合。②沿着直线移动三角板,使三角板的直角顶点与直线上的点重合。③沿三角板的另一条直角边画一条直线,所画的直线就是过已知直线上的一点的直线的垂线。
(2)过直线外一点画这条直线的垂线。
①把三角板的一条直角边与已知直线重合。②沿着直线移动三角板,使三角板的另一条直角边经过已知点。③沿三角板的另一条直角边画一条直线,所画直线就是已知直线的垂线。
3.画平行线的步骤:
(1)固定三角板,沿一条直角边先画一条直线;
(2)用直尺紧靠三角板的另一条直线边,固定直尺然后平移三角板;
(3)再沿三角板的这条直角边画出另一条直线。
4.画一个长是2.5厘米,宽是2厘米的长方形的步骤如下:
(1)画一条2.5厘米长的线段;
(2)从画出的线段两端,在同侧画两条与这条线段垂直的线段,使它们分别长2厘米;
(3)把这两条线段另外的端点连接起来。
5.圆的画法:
(1)分开圆规的两脚,在直线上确定半径;
(2)固定圆规有针尖的脚,确定圆心;
(3)旋转有铅笔尖的一只脚画出一个圆。
四、图形的运动
图形的运动方式:轴对称、平移和旋转。
　 意义:一个图形沿一条直线对折后,两侧的部分能够完全重合,这样的图形叫作轴对称图形;一个图形如果沿着一条直线平行移动,这种现象叫作平移;一个物体如果能够沿着一个轴转动,这种现象叫作旋转。
特点:轴对称图形的对称轴相对的部分到对称轴的距离相等,方向相反;平移后的图形大小、形状和方向都不变;旋转后的图形形状和大小不变,方向改变。
五、图形与位置
表示方法:可以用方向、角度和路程来描述物体的位置;还可以用数对来表示物体的位置;可以用方向,角度和路程描述行驶的路线。
用数对表示物体的位置:第一个数表示列,第二个数表示行。
点组成线,线组成面。
线段是构成图形的基本图形。
三角形、四边形、梯形、平行四边形等都是平面上的线段图形,各条线段首尾顺次连接;圆是平面上的曲线图形。
正方体是长、宽、高都相等的长方体。
圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的13。
围成一个图形的所有边长的总和叫作这个图形的周长。
物体的表面或围成的平面图形的大小,叫作它的面积。
一个立体图形所有的面的面积总和,叫作它的表面积;
一个立体图形所占空间的大小,叫作它的体积。
角的两边张口越大,这个角就越大。
两条垂线的夹角是90°。
互相平行的两条直线间的距离相等。
长方形的对边相等,邻边互相垂直。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
　
　
　运用图形的轴对称、平移和旋转可以设计出美丽的图案。
在平面图上,通常用上北、下南、左西、右东表示方位;用数对表示位置时竖为列,横为行。
统计与概率
一、数据的收集和整理
1.数据的收集。
为了研究某一对象,要先收集与之相关的数据。
2.数据的整理。
根据数据的特点和统计的需要,把收集到的数据归类、分组,按一定的顺序重新排列,编制成统计表或统计图。
二、统计图表和统计特征量
1.统计表:分为单式纵向(或横向)统计表和复式纵向(或横向)统计表。表内一般包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面,表外一般包括总标题、单位说明和制表日期三个方面。
2.统计图。
(1)条形统计图:特点是容易反映出各种数量的多少(如各班人数统计图)。分为单式条形统计图和复式条形统计图两种。
(2)折线统计图:特点是不仅可以表示数量的多少,而且能清楚地表示数量的增减变化情况(如各月销售量统计图)。分为单式折线统计图和复式折线统计图两种。
(3)扇形统计图:特点是能清楚地看出各部分与总数的关系(如各品牌销量占总量百分比统计图)。
三、可能性
1.事件:分为确定事件(描述词:一定、不可能)和不确定事件(描述词:可能)。
2.可能会发生的事件:有的事件发生的可能性大,有的事件发生的可能性小。
四、平均数
1.平均数:一般指算术平均数。求几个数的平均数就是用这几个数的和除以这些数的个数。
平均数的适用范围:应用广泛,与每个数据都有关,另受极端数据影响。
统计图比统计表更加形象具体,使人一目了然。
制作复式统计图时一定要注明图例。
平均数代表一组数的整体水平。

解决问题的策略
要解决的问题不同,用的策略就不同。
策略一:画图。
1.星期五菜谱。荤菜:肉丸子、虾。素菜:白菜、豆腐和冬瓜。要求一份盒饭含有一个荤菜和一个素菜,一共有几种配菜方法。比较常见的是用画图的方法来解决。通过画图比较形象、直观地将几种方法呈现出来。
2.在第一学段学习数的认识时,个、十、百、千等用方块图来呈现更容易接受,且比较形象直观,记得深,记得牢。第二学段数的运算,利用阴影图形的叠放次序将分数乘法的意义和计算法则的推导比较直观地呈现出来。同样的第二学段用折线图来表现变化的量之间的关系将汽车行驶的速度与时间之间的关系形象的表示出来,简单、易懂。
3.画线段图分析问题中的数量关系。
策略二:列表。
1.列表可以帮助我们整理信息,进行推理。
2.列表能帮助我们分析两个量之间的关系,寻找规律。教材中列举的两个实例一个是根据提供的信息选择笑笑和淘气各喜欢什么项目的兴趣小组,另一个是根据提供的妙想的体重变化情况来分析妙想10岁以前,体重是如何随年龄增长而变化的。
策略三:猜想与尝试。
鸡兔同笼问题,有20个头,54条腿,问鸡兔各有多少只。以前我们经常用假设法来解题,重点是放在了具体的解上,现在我们的重点是放在了解决问题策略的学习上,体现了“猜想与尝试”的解决问题的重要策略。可以用不同的方法来得到答案,同时在学生列举、检验的过程中不断调整,使对数的感觉估计的能力、判断能力都得到了发展。第二个例子是通过长方体、正方体的体积等于底面积乘高,来类比猜想圆柱的体积的计算方法。
策略四:从特例开始寻找规律。
这种策略体现了数学中把复杂问题转化为简单问题的“退”的思路。在问题比较复杂时,我们可以退一步去考查它最简单的情形,由最简单问题解决的方法推广至较复杂的问题的情形,最终总结出规律,使复杂的问题得以解决。教材选取的例子是10名同学参加乒乓球比赛,如果每2名同学之间都进行一场比赛,一共要比赛多少场?由参加较少的人数和比赛场次增加的规律可以明显地看出它们之间的变化规律来,n个人参加比赛,将有1+2+……+n-1场比赛。
画图解决问题的优点:画图有助于我们对问题的直观理解,可以帮助我们找到解决问题的思路。
统计与概率单元中大量的一手材料都可以用列表的方法进行整理和推理。
提出你的猜想并验证实施,验证起来就有了目标和方向。
比较具有代表性的,像计算握手次数、按规律填数等题目均可按这一策略来进行解决。

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