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2019-2020学年江苏省南京一中马群分校九年级（上）
第一次月考数学试卷
一、选择題（本大题共6题，每题2分，共12分）
1．（2分）方程x2﹣2＝0的解为（　　）
A．2 B． C．2与﹣2 D．与
2．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝32°，则∠BOC的度数为（　　）

A．30° B．64° C．50° D．28°
3．（2分）将方程x2﹣6x+2＝0配方后，原方程变形为（　　）
A．（x+3）2＝﹣2 B．（x﹣3）2＝﹣2 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7
4．（2分）方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
5．（2分）下列说法正确的是（　　）
A．相等的圆周角所对的弧相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．平分弦的直径一定垂直于弦
D．任意三角形一定有一个外接圆
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P、Q两点，点P在点Q的右边，若P点的坐标为（﹣1，2），则Q点的坐标是（　　）

A．（﹣4，2） B．（﹣4.5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣5.5，2 ）
二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分）
7．（2分）请写一个以x为未知数的一元二次方程，且所写方程的两实数根互为相反数．你写的方程为　 　（只填一个）．
8．（2分）已知⊙O的半径为5cm，点O到直线MN的距离为4cm，则⊙O与直线MN的位置关系为　 　．
9．（2分）如图，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个一边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为　 　．

10．（2分）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为　 　．

11．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是　 　．
12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为　 　°．

13．（2分）若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的内切圆半径是　 　．
14．（2分）如图，⊙O的半径OC⊥AB，垂足为E，若∠B＝48°，则∠A的度数为　 　．

15．（2分）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为4cm，若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，则AB的取值范围是　 　．

16．（2分）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为　 　．

三、解答（本大愿共9小，共“分）
17．（18分）解方程
（1）x2﹣2x﹣1＝0

（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）

（3）y（y+10）＝24

18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为1，求出m的值及方程的另一个根．

19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，
（1）求∠ABD的度数．
（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．

20．（7分）某公司2016年10月份营业额为64万元，12月份营业额达到100万元，
（1）求该公司11、12两个月营业额的月平均增长率．
（2）如果月平均增长率保持不变，据此估计明年1月份月营业额．


21．（9分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．


22．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为　 　件（用含a的代数式表示）：
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的QO分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）求证：∠EDF＝∠DAC．


24．（10分）如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是优弧BD上的一个动点（不与点B、D重合）．
（1）当圆心O在∠BAD内部，∠ABO+∠ADO＝60°时，∠BOD＝　 　°；
（2）当圆心O在∠BAD内部，四边形OBCD为平行四边形时，求∠A的度数；
（3）当圆心O在∠BAD外部，四边形OBCD为平行四边形时，请直接写出∠ABO与∠ADO的数量关系．



25．（10分）证明：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．


2019-2020学年江苏省南京一中马群分校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择題（本大题共6题，每题2分，共12分）
1．（2分）方程x2﹣2＝0的解为（　　）
A．2 B． C．2与﹣2 D．与
【解答】解：移项得x2＝2，
解得x＝±．
故选：D．
2．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝32°，则∠BOC的度数为（　　）

A．30° B．64° C．50° D．28°
【解答】解：∵，
∴∠BOC＝2∠A，
∵∠A＝32°，
∴∠BOC＝64°，
故选：B．
3．（2分）将方程x2﹣6x+2＝0配方后，原方程变形为（　　）
A．（x+3）2＝﹣2 B．（x﹣3）2＝﹣2 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7
【解答】解：方程x2﹣6x+2＝0，变形得：x2﹣6x＝﹣2，
配方得：x2﹣6x+9＝7，即（x﹣3）2＝7，
故选：C．
4．（2分）方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】解：根据题意得x1+x22．
故选：B．
5．（2分）下列说法正确的是（　　）
A．相等的圆周角所对的弧相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．平分弦的直径一定垂直于弦
D．任意三角形一定有一个外接圆
【解答】解：A、在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A不符合题意；
B、在等圆或同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故B不符合题意；
C、根据垂径定理知，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、任意三角形一定有一个外接圆，故D符合题意；
故选：D．
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P、Q两点，点P在点Q的右边，若P点的坐标为（﹣1，2），则Q点的坐标是（　　）

A．（﹣4，2） B．（﹣4.5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣5.5，2 ）
【解答】解：作MN⊥PQ于N，连接MP，
由垂径定理得，QN＝NP，
设⊙M的半径为r，
∵P点的坐标为（﹣1，2），
∴NP＝r﹣1，
由勾股定理得，r2＝（r﹣1）2+4，
解得，r＝2.5，
则PN＝QN＝1.5，
∵PQ平行于x轴，
∴Q点的坐标是（﹣4，2），
故选：A．

二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分）
7．（2分）请写一个以x为未知数的一元二次方程，且所写方程的两实数根互为相反数．你写的方程为　x2﹣1＝0　（只填一个）．
【解答】解：设方程两根分别为1与﹣1，
因为1+（﹣1）＝0，1×（﹣1）＝﹣1，
所以以1和﹣1为根的一元二次方程为x2﹣1＝0．
故答案为：x2﹣1＝0．
8．（2分）已知⊙O的半径为5cm，点O到直线MN的距离为4cm，则⊙O与直线MN的位置关系为　相交　．
【解答】解：∵圆心O到直线MN的距离是4cm，小于⊙O的半径为5cm，
∴直线MN与⊙O相交．
故答案为：相交．
9．（2分）如图，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个一边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为　16﹣（4x×2﹣x2）＝9　．

【解答】解：设剪去的边长为x，
那么根据题容易列出方程为16﹣（4x×2﹣x2）＝9，
故答案为：16﹣（4x×2﹣x2）＝9．
10．（2分）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为　40°　．

【解答】解：∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
又∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
11．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是　m≤1　．
【解答】解：由题意知，△＝4﹣4m≥0，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为　75　°．

【解答】解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°
∴∠A＝30°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∴∠DOF＝150°，
∴∠DEF的度数为75°．
故答案为：75．

13．（2分）若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的内切圆半径是　2　．
【解答】解：∵62+82＝102，
∴这个三角形为直角三角形，
∴此三角形的内切圆半径2．
故答案为2．
14．（2分）如图，⊙O的半径OC⊥AB，垂足为E，若∠B＝48°，则∠A的度数为　21°　．

【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠OEB＝90°，
∵∠B＝48°，
∴∠O＝180°﹣90°﹣48°＝42°，
∴∠A∠O＝21°．
故答案为：21°
15．（2分）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为4cm，若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，则AB的取值范围是　6＜AB≤10　．

【解答】解：当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5cm，小圆的半径为4cm，
∴AB＝26cm．
∵大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交，
∴6＜AB≤10．
16．（2分）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为　61°　．

【解答】解：连接OD，
∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴点A，B，C，D共圆，
∵点D对应的刻度是58°，
∴∠BOD＝58°，
∴∠BCD∠BOD＝29°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝61°．
故答案为：61°．

三、解答（本大愿共9小，共“分）
17．（18分）解方程
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）
（3）y（y+10）＝24
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴（x﹣1）2＝2，
∴x＝1±；
（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
∴x＝3或x＝5；
（3）∵y（y+10）＝24，
∴y2+10y﹣24＝0，
∴（y+12）（y﹣2）＝0，
∴y＝﹣12或y＝2；
18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为1，求出m的值及方程的另一个根．
【解答】解：（1）∵在方程x2﹣mx﹣2＝0中，△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8≥8，
∴不论m为任意实数，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）将x＝1代入原方程，得：1﹣m﹣2＝0，
解得：m＝﹣1，
∴原方程为x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2．
答：m的值为﹣1，方程的另一个根为﹣2．
19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，
（1）求∠ABD的度数．
（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）∵∠C＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°；

（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3．

20．（7分）某公司2016年10月份营业额为64万元，12月份营业额达到100万元，
（1）求该公司11、12两个月营业额的月平均增长率．
（2）如果月平均增长率保持不变，据此估计明年1月份月营业额．
【解答】解：（1）设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为25%．
（2）100×（1+25%）＝125（万元）．
答：明年1月份月营业额为125万元．
21．（9分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

【解答】解：（1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．


（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．

∵OE⊥AB
∴BDAB16＝8cm
由题意可知，ED＝4cm
设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2＝OB2
∴（x﹣4）2+82＝x2
解得x＝10．
即这个圆形截面的半径为10cm．
22．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
（1）若降价a元，则平均每天销售数量为　2a+20　件（用含a的代数式表示）：
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【解答】解：（1）根据题意得：
若降价a元，则多售出2a件，
平均每天销售数量为：2a+20，
故答案为：2a+20，
（2）设每件商品降价x元，
根据题意得：
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
40﹣10＝30＞25，（符合题意），
40﹣20＝20＜25，（舍去），
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的QO分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）求证：∠EDF＝∠DAC．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD过O，
∴DF是⊙O的切线；

（2）证明：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴∠FDC＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠FDC＝∠DAC，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠EDF＝∠DAC．

24．（10分）如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是优弧BD上的一个动点（不与点B、D重合）．
（1）当圆心O在∠BAD内部，∠ABO+∠ADO＝60°时，∠BOD＝　120　°；
（2）当圆心O在∠BAD内部，四边形OBCD为平行四边形时，求∠A的度数；
（3）当圆心O在∠BAD外部，四边形OBCD为平行四边形时，请直接写出∠ABO与∠ADO的数量关系．

【解答】解：（1）连接OA，如图1，
∵OA＝OB，OA＝OD，
∵∠OAB＝∠ABO，∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAB+∠OAD＝∠ABO+∠ADO＝60°，即∠BAD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°；
故答案为120；
（2）∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∵∠BOD＝2∠A，
∴∠BCD＝2∠A，
∵∠BCD+∠A＝180°，即3∠A＝180°，
∴∠A＝60°；
（3）当∠OAB比∠ODA小时，
如图2，
∵OA＝OB，OA＝OD，
∵∠OAB＝∠ABO，∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD﹣∠OAB＝∠ADO﹣∠ABO＝∠BAD，
由（2）得∠BAD＝60°，
∴∠ADO﹣∠ABO＝60°；
当∠OAB比∠ODA大时，
同理可得∠ABO﹣∠ADO＝60°，
综上所述，|∠ABO﹣∠ADO|＝60°．


25．（10分）证明：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
【解答】证明：①如图（1），当点O在∠BAC的一边上时，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C，
∵∠BOC＝∠A+∠C，
∴∠BAC∠BOC；

②如图（2）当圆心O在∠BAC的内部时，延长BO交⊙O于点D，连接CD，则
∠D＝∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，
∵∠BOC＝∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），
∴∠BOC＝2∠A，
即∠BAC∠BOC．

③如图（3），当圆心O在∠BAC的外部时，延长BO交⊙O于点E，连接CE，则
∠E＝∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC＝OE，
∴∠E＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠BOC＝2∠A，
即∠BAC∠BOC．

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