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分段函数问题的解答方法
所谓分段函数是指函数的定义域分为几段，且每一段的解析式又不一样的函数。归结起来分段函数问题主要包括：①分段函数解析式的求法；②分段函数值的求法；③分段函数值域与最值的求法；④分段函数单调性的判断（或证明）；⑤分段函数奇偶性的判断（或证明）。那么在实际解答数学问题中，如何解答与分段函数相关的问题呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、某汽车以52千米/小时的速度从A地到260千米远处的B地，在B地停留1 小时后，再以65千米/小时的速度返回A地，试将汽车离开A地后行走的路程S表示成时间t的函数；
2、已知f(x)=2x-1， g(x)= ，（x≥0），
-1 ， (x＜0)。
①求f〔g(x)〕， ②求g〔f(x)〕；
3、已知f(x)= ln(x+1)，（x＞-1）， g(x)=-x+2。
，（x-1），
①求f〔g(x)〕， ②求g〔f(x)〕。
〖解析〗
1、【知识点】①行驶问题的结构特征；②行驶问题中涉及的基本量及其关系；③解答行驶问题的基本思路与方法；
【解题思路】问题是行驶问题，行驶问题的基本量包括行驶速度，行驶时间和行驶路程，这三个基本量的关系为，行驶路程=行驶速度行驶时间；根据题意，问题中包含三个行驶过程：①从A地出发到达B地，S=52t；②在B地停留,S=260；③从B地返回A地,S=65(t-)；
【详细解答】问题中包含三个行驶过程： 52t， 0①从A地出发到达B地，S=52t；②在B地 S= 260， 5停留,S=260；③从B地返回A地,S=65(t-6)； 65（t-）, 2、【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法；
【解题思路】f〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)又是一个分段函数，从而得到f〔g(x)〕也是一个分段函数，且自变量的分段与g(x)的分段一致，从而得到函数f〔g(x)〕的解析式；
g〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由g(x)是分段函数，需先确定2x-1≥0和2x-1＜0中x的取值范围，从而得到函数 g〔f(x)〕的解析式；
【详细解答】 f(x)=2x-1， f〔g(x)〕= 2-1，（x≥0），g〔f(x)〕= ，x≥，
g(x)= ，（x≥0）， -3， (x＜0)， -1， x＜；
-1 ， (x＜0），
2、【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法；
【解题思路】f〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)的函数值需满足-x+2＞-1或-x+2-1，从而得到f〔g(x)〕是一个分段函数，且自变量的分段为x＜3或x≥3，从而得到函数 f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由f(x)是分段函数，得到g〔f(x)〕也是一个分段函数，自变量的分段与f(x)的分段一致，从而得到函数 g〔f(x)〕的解析式；
【详细解答】 g(x)=-x+2，f(x)= ln(x+1)，（x＞-1），f〔g(x)〕= ln(-x+3)，（x＜3），
-ln(x+1)+2，（x＞-1）， ，（x-1）， ，（x≥3）；
g〔f(x)〕=- +2，（x-1）；
『思考问题1』
（1）【典例1】的特点是：①已知两个函数的解析式，其中一个函数是 函数；② 求复合函数的解析式，涉及到自变量确定 的问题；
（2）【典例1】是求复合函数f(g(x))的解析式的问题，解答的基本思路是 代入，由分段函数各段的定义域确定非分段函数中自变量x的取值范围，再求复合函数的解析式。
〔练习1〕解答下列问题：
1、函数f(x)=〔x〕的函数值表示不超过x的最大整数，例如〔-3.5〕=-4，,〔2.1〕=2，当x∈（-2.5,3〕时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数的图像；
2、已知f(x)=3x-6， +x（x≥0）
g(x)=
1 (x＜0)
①求f〔g(x)〕， ②求g〔f(x)〕；
3、已知f(x)= 2x-1，g(x)= -3x+2，求f〔g(x)〕。
【典例2】解答下列问题：
1、设函数f(x)= +1，x1，则f(f(3))=（ ）
A ，x＞1，B 3 C D
2、已知函数f(x)= f(x+1) ，x＜4， 3、已知函数f(x)= +1，x≥0，若f(x)=10，
求f(2+3)的值； ，x≥4， 则x= ； -2x，x＜0，
4、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 ；
-x-2a，x≥1，
5、设函数f(x)= 3x-1，x＜1，则满足f(f(a))= ，的a的取值范围是（ ）（2015全国高考山东卷） ，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
6、已知函数f(x)= -2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，设（x）=max{ f(x)，g(x)}，（x）=min{ f(x)，g(x)}，max{ p，q}表示p，q中的较大值，min{ p，q}表示p，q中的较小值，记（x）的最小值为A，（x）的最大值为B，则A-B=（ ）（2013全国高考辽宁卷）
A 16 B -16 C -2a-16 D +2a-16
7、某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时期段进行分别计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价
（单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时） （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时）
50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388
时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）
〖解析〗
1、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数值的定义与求法；
【解题思路】根据自变量3，确定求值的解析式，并求出f(3)的函数值，把求出的结果作为自变量，确定求值的解析式，运用函数值的求法得出结果；
【详细解答】3>1， f(3)= ， x1， f()=+1=， f(f(3))= ，
D正确，选D。
2、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数值的定义与求法；③对数的定义与性质；
【解题思路】根据对数的性质可知，3<2+3<4，确定求值的解析式，并求出f(2+3)的函数值，把求出的结果作为自变量，由4<3+3<5，确定求值的解析式，运用函数值的求法得出结果；
【详细解答】3<,2+3<4， f(2+3)= f(2+3+1)= f(3+3)，4<3+3<5， f(3+3)= = = = ， f(2+3)=f(3+3)= 。
3、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数值的定义与求法；
【解题思路】这里是已知f(x)的值，求自变量的问题，现在是自变量未知，需要从x<0和x≥0两种情况分别考虑：①当x<0时，由-2x=10，得到x=-5；②当x≥0时，由+1=10，得到x=3；
【详细解答】①当x<0时， f(x)= -2x=10， x=-5；②当x≥0时， f(x)= +1=10，
x=3；当f(x)=10时，x=-5或x=3。
4、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数值的定义与求法；③参数分类讨论的原则与方法；
【解题思路】根据a0，可从a>0和a<0两种情况考虑：①当a>0时，由自变量1-a和1+a确定各自求值的解析式，从而得到关于参数a的方程，解这个方程就可得到a的值；②当a<0时，由自变量1-a和1+a确定各自求值的解析式，从而得到关于参数a的方程，解这个方程就可得到a的值；
【详细解答】①当a>0时，1-a<1，1+a>1， f(1-a)=2（1-a）+a=2-a，f(1+a)=-（1+a）-2a=-3a-1，
f(1-a)=f(1+a)，2-a=-3a-1，a=-<0，此时无解；②当a<0时，1-a>1，1+a<1， f(1-a)=-（1-a）-2a=-1-a，f(1+a)=2（1+a）+a=3a+2， f(1-a)=f(1+a)，-1-a=-3a+2，a=- <0，当a0，f(1-a)=f(1+a)时，a=- 。
5、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数值的定义与求法；③指数函数的定义与性质；④参数分类讨论的原则与方法；
【解题思路】根据问题条件，可从a≥1和a<1两种情况考虑：①当a≥1时，由f(a)= >1，得到f(f(a))= =；②当a<1时，由f(a)=3a-1可知，若3a-1≥1，即a≥时，f(f(a))= =，若3a-1<1，即a<时，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4；从而可以得到当f(f(a))= 时，实数a的取值范围；
【详细解答】①当a≥1时，f(a)= >1，f(f(a))= =；②当a<1时，f(a)=3a-1，若3a-1≥1，即a≥时，f(f(a))= =，若3a-1<1，即a<时，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4；当f(f(a))= 时，实数a的取值范围是[，+）。
6、【知识点】①函数解析式的定义与求法；②分段函数的定义与性质；③分段函数值的求法；
【解题思路】设该家庭高峰时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，低谷时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，该家庭本月应付的电费为y元，由题意可得：
0.568， 0＜50， 0.288， 0＜50，
= 28.40+0.598（-50），50＜250， = 14.40+0.318（-50），50＜250，
148.00+0.668（-250），＞250， 78.00+0.3888（-250），＞250，
从而可以求出该家庭本月应付的电费；
【详细解答】设该家庭高峰时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，低谷时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，该家庭本月应付的电费为y元，由题意可得：
0.568， 0＜50， 0.288， 0＜50，
= 28.40+0.598（-50），50＜250， = 14.40+0.318（-50），50＜250，
148.00+0.668（-250），＞250， 78.00+0.3888（-250），＞250，
y=+=28.40+0.598150+14.40+0.31850=148.40（元）；
『思考问题2』
（1）【典例2】是分段函数的求值问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，注意分段函数的结构特征，掌握分段函数求值的基本方法；
（2）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果。
〔练习2〕解答下列各题：
1、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（ ）（2016唐山期末）
A（-，-1］ lnx，x≥1，B （-1，） C ［-1，） D （0，）
2、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)= ，x＜A，
（A，c为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品 ，x≥A，用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）
A 71,25 ，x＜1， B 75,16 C 60,25 D 60，16
3、设函数f(x)= ，x≥1，则使得f(x) 2成立的x的取值范围是 ；

4、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率（℅）
不超过500元部分 5
超过500元至2000元部分 10
超过2000元至5000部分 15
某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？
【典例3】解答下列问题；
1、已知函数f(x)= -2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，设（x）=max{ f(x)，g(x)}，（x）=min{ f(x)，g(x)}，max{ p，q}表示p，q中的较大值，min{ p，q}表示p，q中的较小值，记（x）的最小值为A，（x）的最大值为B，则A-B=（ ）（2013全国高考辽宁卷）
A 16 B -16 C -2a-16 D +2a-16
2、用min｛a,b,c｝表示a、b、c 三个数中的最小值，设f(x)=min｛,x+2,10-x｝ (x≥0)，则f(x)的最大值为 (2013黑龙江重点中学质检)
1、【知识点】①函数图像的定义与作法；②分段函数的定义与性质；③分段函数最值的求法；
④一元二次函数的定义与性质；⑤函数最值的定义与求法；⑥数形结合的数学思想与方法；
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数f(x) y
与g(x)的图像如图所示：由函数f(x)图像的顶点
坐标为（a+2，-4a-4），函数g(x)图像的顶点坐标 f(x)
为（a-2，-4a+12），且每个函数图像的顶点都在另 g(x)
一个函数的图像上，由A，B分别是二次函数f(x)， O x
g(x)的顶点的纵坐标，从而可求出 A-B的值；
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数f(x)与
g(x)的图像如图所示：函数f(x)图像的顶点坐标为（a+2，-4a-4），g(x)图像的顶点坐标为（a-2，-4a+12），且每个函数图像的顶点都在另一个函数的图像上，由题意可知A，B分别是二次函数f(x)，g(x)的顶点的纵坐标， A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16，B正确，选B。
2、【知识点】①一次函数的定义与性质；②指数函数的定义，图像与性质；③分段函数的定义与性质；④分段函数最值的求法； y
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数g(x)= ，
h（x）=x+2，u(x)=10-x的图像如图所示，由图可得：
，0x2，根据0x2，f(x)单增，
f(x)= x+2，2＜x4，0x2时，=f（2） 0 x
10-x，x＞4，==4；2＜x4，f(x)单增，2＜x4时，=f（4）=4+2=6；x＞4，f(x)单减， x＞4时，＜f（4）=10-4=6，当x≥0时，=f（4）=4+2=6；
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数g(x)= ，h（x）=x+2，u(x)=10-x的图像如图所示，由图可得：，0x2，当0x2，f(x)单增，0x2时，=f
f(x)= x+2，2＜x4，（2）==4；当2＜x4，f(x)单增，2＜x4时，=f 10-x，x＞4，（4） =4+2=6；当x＞4，f(x)单减， x＞4时，＜
f（4）=10-4=6，当x≥0时，=f（4）=4+2=6。
『思考问题3』
（1）【典例3】是分段函数的值域与最值问题，解答时需注意分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大值，最小值是各段最小值中的最小值；
（2）解答分段函数的值域与最值问题，还要注意数形结合的数学思想和方法的灵活运用，
通过函数的图像寻找解答问题的突破口，从而达到解决问题的目的。
〔练习3〕解答下列各题：
1、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值； ，x＜1，
2、设函数f(x)= ，x≥1，则使得f(x) 2成立的x的取值范围是 。
【典例4】解答下列问题：
1、函数f(x)=|x|(1-x)在区间A上是增函数，那么区间A是（ ）
A （-∞，0） B ［0，］ C 〔0，+∞） D （，+∞）
2、函数f(x)=- +2|x|+3的单调递增区间为 ；
3、判断函数f(x)= +的单调性；
2-1 (x≥0)
4、判断函数f(x)= 的单调性。
-3x (x＜0)
〖解析〗
1、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③函数单调性判断（或证明）的基本方法；
【解题思路】根据绝对值的意义把函数化为分段函数，对每一段的函数运用判断单调性的基本方法判断其单调性，从而得出结果；
【详细解答】 f(x)= - +x，x≥0，作出函数f(x)的 y
-x，x<0，图像如图所示，由
图知，函数f(x)在［0，］上单调递增，B正确， 0 1 x
选B。
2、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③函数单调性判断（或证明）的基本方法；
【解题思路】根据绝对值的意义把函数化为分段函数，对每一段的函数运用判断单调性的基本方法判断其单调性，从而得出结果；
【详细解答】 f(x)= -+2x+3，x≥0，作出函数f(x)的 y
--2x+3，x<0，图像如图所示，
由图知函数f(x)的单调递增区间为（-∞，-1），(0，1)， -1 0 1 x
函数f(x)的单调递增区间是（-∞，-1），(0，1)。
3、【知识点】①二次根式的定义与性质；②分段函数的定义与性质；③函数单调性的定义与性质；④函数单调性的判断（或证明）的基本方法；
【解题思路】根据二次根式的定义与性质把函数化为分段函数，对每一段的函数运用判断单调性的基本方法判断其单调性，从而得出结果；
【详细解答】 f(x)= + ①当x≥3时, f(x)=2x，显然是单调
=|x-3|+|x+3|= 2x，x≥3, 递增函数；②当-3x<3时，f(x)=6是常值函数，不具有单调性；
6, -3x<3，③当x<-3时，f(x)=-2x，显然是单调递减函数；函数f(x)在
-2x，x<-3，〔3，+∞）上单调递增，在（-∞，-3）上单调递减。
4、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③函数单调性的判断（或证明）的基本方法；
【解题思路】根据分段函数的定义与性质，先判断函数在各段上的单调性，再综合得出结果；
【详细解答】①当x≥0时， f(x)= 2-1，作出函数 y
f(x)的图像如图所示，由图知，函数f(x)在〔0，+∞）上
单调递增；②当x<0时， f(x)= -3x，显然函数f(x)在
（-∞，0）上单调递减，函数f(x)在〔0，+∞）上 0 x
单调递增，在（-∞，0）上单调递减，
『思考问题4』
（1）【典例4】是分段函数单调性的判断（或证明）问题，解答时注意分段函数在各段上的解析式不一样的特征；
（2）分段函数单调性判断（或证明）的基本方法是：①判断（或证明）函数在各段上的
性；②综合得出结果。
〔练习4〕解答下列问题： ， x≥0，
1、判断分段函数 f(x)= -x+1 ， x＜0 的单调性；
2、判断函数f(x)= 的单调性。
【典例5】:解答下列问题：
1、判断下列函数的奇偶性： x+2 ，(x＜-1），
（1）f(x)=+x ，(x＜0) ； （2）f(x)= 0 ，(|x|≤1)。
- +x ，（x＞0） -x+2 ，(x＞1)，
2、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，当x∈(0,1〕时，f(x)= (2-x) (a＞0)。
（1）当x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为，解关于x的不等式f(x)＞。
〖解析〗
1、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③函数奇偶性判断（或证明）的基本方法；
【解题思路】根据分段函数的特征，判断函数在各段上f(-x)与f(x)的关系，结合奇偶性判断（或证明）的基本方法综合得出结果；
【详细解答】（1）从函数的解析式可知，函数的定义域显然关于原点对称，①当x＞0时， -x＜0， f(-x)= -x=-x=-（-+x）=- f(x)；②当x<0时， -x>0， f(-x)= --x=--x=-（+x）=- f(x)；函数f(x)是奇函数。
（2）从函数的解析式可知，函数的定义域显然关于原点对称，①当x＞1时， -x＜-1， f(-x)=-x+2= f(x)；②当x<-1时， -x>1， f(-x)=-（-x）+2=x+2= f(x)；③当-1≤x≤1时， -1≤-x≤1，， f(-x)= f(x)显然成立；函数f(x)是偶函数。
2、【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③函数周期性的定义与性质；④对数函数的定义与性质；
【解题思路】（1）根据函数是R上的偶函数和 f(x)在(0,1〕上的解析式，求出函数f(x)在,[-1，0）上的解析式，由f(x+2)=f(x)在R上恒成立可知，函数f(x)是以2为周期的正确函数，从而得到当x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；（2）运用正确函数的性质，只需考虑函数f(x)在[-1，1]的情况，就可解答问题；
【详细解答】（1）设x∈[-1，0），则-x∈(0,1〕，函数f(x)是R上的偶函数， f(x)= f(-x)= (2+x)， f(x)= (2-x)，x∈(0,1〕，对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，
（2+x）， x∈[-1，0），函数f(x)是以2为周期的正确函数，设
x∈〔2k-1,2k），则x-2k∈〔-1,0），函数f(x)是以2为周期的正确函数， f(x)= f(x-2k)
=(2+x-2k)= (x+2-2k)，设x∈（2k,2k+1]，则x-2k∈（0,1]，函数f(x)是以2为周期的正确函数， f(x)= f(x-2k)=(2-x+2k)= (-x+2+2k)，当x∈〔2k-1,2k+1〕时，f(x)= (x+2-2k)，x∈〔2k-1,2k），
(-x+2+2k)，x∈（2k,2k+1]。 y
（2）作出函数f(x)= (2-x)，x∈(0,1〕，如图所示，
（2+x）， x∈[-1，0）， -1 0 1 x
由图知函数f(x)在[-1，0）上单调递增，在(0,1〕上单调递减，= f(0)= 2
=，a=4，f(x)＞（2-x）>，x∈(0,1〕， 2-x>，2->x>0,
（2+x）>，x∈[-1，0），2+x>，-2-2『思考问题5』
（1）【典例5】是判断（或证明）分段函数奇偶性的问题，解答这类问题需要注意分段函数的特征；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性的基本方法是：①验证函数的定义域是否敢于原点对称；②分段验证f(-x)与f(x)的关系；③综合得出结果。
〔练习5〕解答下列问题： x+1， (x＞0)
1、判断函数 f(x)= 1 ， (x=0) ，的奇偶性
-x+1 ，(x＜0），
2、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)= -x，0x1，若对任意的xR，不等式f(x) ＞f(x-a)恒成立，则实数a的取值范围是 -1,1＜x＜2 （2018—2019成都市高一上期调研考试） x-3，x≥2

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