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抽象函数问题的解答方法
所谓抽象函数是指没有确定的解析式，但已知在R上满足的一个恒等式的函数；这种函数具有两个特征：①函数没有确定的解析式；②函数在R上满足一个恒等式。在实际的数学问题中，归结起来抽象函数问题主要包括：①抽象函数解析式的求法；②抽象函数函数值的求法；③抽象函数单调性的判断（或证明）方法；④抽象函数奇偶性的判断（或证明）方法。那么在数学问题的解答过程中，到底如何解答抽象函数问题呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列各题：
1、已知f(0)=1，对任意的实数x，y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求函数f(x)的解析式（2013山西高三诊断）
2、已知函数y=f(x)对任意的x，y∈R,均有f(x)+f(y)=3f（xy）-2x(x-y+1),且f(1)=2，求函数f(x)的解析式；
3、定义在R上的函数y=f(x)，对任意的a，b∈R，均有f(a+b)=f(a)-b(a-2b-2)，且f(0)=-1,求函数f(x)的解析式。
〖解析〗
1、【知识点】①抽象函数的定义与性质；②解析式的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数解析式的求法；
【解题思路】根据问题条件可知是求抽象函数的解析式的问题，运用抽象函数求值的基本方法—赋值法，这里已知f(0)的值，针对恒等式x，y中需赋一个0，另一个赋x，结合恒等式只能赋x=0,y=-x， f(0+x)=f(0)+x(0+x+1)，从而得到函数f(x)的解析式；
【详细解答】对任意的实数x，y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，令x=0，y=-x可得f(0+x)=
f(0)+x(0+x+1)， f(x)= +x+1；
2、【知识点】①抽象函数的定义与性质；②解析式的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数解析式的求法；
【解题思路】根据问题条件可知是求抽象函数的解析式的问题，运用抽象函数求值的基本方法—赋值法，这里已知f(1)的值，针对恒等式x，y中需赋一个1，另一个赋x，结合恒等式可赋x=x,y=1， f(x)+f(1)=3f(x)-2x(x-1+1)，从而得到函数f(x)的解析式；
【详细解答】对任意的实数x，y都有f(x)+f(y)=3f(xy)-2x(x-y+1)，令x=x，y=-1可得f(x)+f(1)=3f(x)-2x(x-1+1)， f(x)= +1；
3、【知识点】①抽象函数的定义与性质；②解析式的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数解析式的求法；
【解题思路】根据问题条件可知是求抽象函数的解析式的问题，运用抽象函数求值的基本方法—赋值法，这里已知f(0)的值，针对恒等式a，b中需赋一个0，另一个赋x，结合恒等式只能赋a=0,b=x， f(0+x)=f(0)-x(0-2x-2)，从而得到函数f(x)的解析式；
【详细解答】对任意的实数a，b都有f(a+b)=f(a)-b(a-2b-2)，令a=0，b =x可得f(0+x)=
f(0)-x(0-2x-2)， f(x)= 2+2x-1；
『思考问题1』
（1）【典例1】的共同特点是：①函数的 为R；②已知函数f(x) 在R上满足的一个 等式；
（2）【典例1】是已知 在R上满足的一个恒等式，求f(x)的解析式的问题，解答这种问题的基本方法是 法。
〔练习1〕解答下列问题：
1、定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)=2f(x)+f(y)-x(x-2y+3)（x、y∈R），且f(1)=1，求函数f(x)的解析式；
2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x，y∈R，都有f(xy)=2f(x)+f(y)-x(x-y-2),且f(1)=-1, 求函数f(x)的解析式；
3、设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)-y(2x+y-1),则f(x)的解析式为 。
【典例2】解答下列问题：
1、定义在R上的函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy（x、y∈R），且f(1)=2，求f(-2).
2、已知函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且f(1)=- ，求f(3)和f(-3)的值。
『解析』
1、【知识点】①抽象函数的定义与性质；②抽象函数求值的基本方法；③赋值法的基本方法；
【解题思路】由问题条件已知f(1)=2，可运用恒等式求出f(2)的值，根据2+（-2）=0，从而想到求出f(0)的值，有了f(0)的值，就可以求出f(-2)的值；
【详细解答】1+（-1）=0，令x=y=0，f(0+0)=f(0)+f(0)+0， f(0)=0，令x=1，y=-1，f(1-1)=f(1)+f(-1)+21（-1）， f(-1)=0，令 x=y=-1，f(-1-1)=f(-1)+f(-1)+ 2（-1）（-1）， f(-2)=2；
2、【知识点】①抽象函数的定义与性质；②抽象函数求值的基本方法；③赋值法的基本方法；
【解题思路】由问题条件已知f(1)=- ，可运用恒等式求出f(2)的值，再运用恒等式可求出f(3)的值，根据3+（-3）=0，从而想到要求f(-3)的值，需要先求出f(0)的值，有了f(0)的值，就可以求出f(-3)的值；
【详细解答】1+1=2，令x=y=1，f(1)+f(1)=f(1+1)， f(2)=- ，令x=1，y=2，f(1)+f(2)+=f(1+2)， f(3)=- -=-2，0+0=0，令 x=y=0，f(0)+f(0)=f(0+0)， f(0)=0，；令x=3，y=-3，f(3)+f(-3)=f(3-3)= f(0)=0，， f(-3)=- f(3)=2；
『思考问题2』
（1）【典例2】是抽象函数的求值问题，解答这类问题需要理解抽象函数的定义，注意抽象函数的结构特征，掌握抽象函数求值的基本方法；
（2）抽象函数求值的基本方法是 法，具体步骤为：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
〔练习2〕解答下列各题：
1、定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)=f(x)+f(y)（x、y∈R），且f(2)=1，求f(-4)；
2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,求f(-3)的值。
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且当x＞0时，f(x)＜0，
f(1)=- （2012云南大理二模）
（1）判断并证明函数f(x)在R上的单调性；
（2）求f(x)在区间〔-3，3〕上的最大值和最小值。
2、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0,当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)。
（1）证明：f(0)=1；
（2）证明：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；
（3）证明：函数f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x).f(2x-)＞1,求x的取值范围。
〖解析〗
1、【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数单调性的判断（或证明）的基本方法；
【解题思路】（1）根据问题条件可知，判断（或证明）函数的单调性，只能用定义法，这里比较f()， f()的大小可借助于恒等式运用赋值法进行，怎样赋值是解答问题的关键，注意问题中当x＞0时，f(x)＜0的条件，现在已经有->0，这样需要在x，y中赋一个-，由恒等式x+y=，从而可知x，y中的另一个只能赋，代入恒等式就可以得到结论；（2）根据（1）的结论，可得f(x)在〔-3，3〕上单调递减，从而得到= f(-3)，
= f(3)，求出f(-3)，f(3)的值就可得出结果；
【详细解答】（1）设，∈R ，且>，->0，当x＞0时，f(x)＜0， f(-)<0，
令x=-，y=，函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）, f(-)+
f()=f(-+)=f()， f()-f()=f(-)<0，函数f(x)在R上单调递减；（2）由（1）可知函数f(x)在R上单调递减，函数f(x)在〔-3，3〕上单调递减，
= f(-3)，= f(3)， f(1)=- ， f(2)= f(1+1)= f(1)+ f(1)= - - =- ，f(3)= f(2+1)= f(2)+ f(1)= - - =-2， f(0)= f(0+0)= f(0)+ f(0)，
f(0)=0，f(0)= f(3-3)= f(3)+ f(-3)=0， f(-3)+=-f(3)=-（-2）=2, 当x∈〔-3，3〕时，= f(-3)=2，= f(3)=-2。
1、【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数单调性的判断（或证明）的基本方法；⑤不等式的解法；
【解题思路】（1）根据问题条件可知，f(0)≠0,令a=b=0，得到f(0+0)=f(0).f(0)，从而可以得到f(0)=1证明结论成立；（2）由（1）可得f(0)=1>0，问题条件已知当x＞0时，f(x)＞1>0，现在只需证明当x<0时，f(x)＞0就可得到结论，设x<0，则-x>0，令a=x,b=-x,依据对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)得到f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x),可以证明f(x)>0；（3）根据问题条件可知，判断（或证明）函数的单调性，只能用定义法，这里比较f()， f()的大小可借助于恒等式运用赋值法进行，怎样赋值是解答问题的关键，注意问题中当x＞0时，f(x)>1的条件，现在已经有->0，这样需要在x，y中赋一个-，由恒等式x+y=，从而可知x，y中的另一个只能赋，代入恒等式就可以得到结论；（4）根据（3）的结论，可得f(x)在R上单调递增，根据f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0)
.f(3x-)> f(0) 3x->0，解这个不等式即可得到结果；
【详细解答】（1）令a=b=0，对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)， f(0+0)=f(0).f(0)， f(0)（f(0)-1）=0， f(0)≠0, f(0)-1=0， f(0),=1；（2）设x<0，则-x>0，令a=x,b=-x, 对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)，f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x), f(x)= >0， f(0)=1>0，当x＞0时，f(x)＞1>0，对任意的 x∈R，恒有f(x)＞0；（3）设，∈R ，且>，->0，当x＞0时，f(x)>1， f(-)>1，令a=-，b=，函数y=f(x)对任意的a、b∈R, 均有f(a+b)=f(a).f(b), f(-+)=f().f(-)， f()=f().f(-)，
= f(-)>1，函数f(x)是R上的增函数；（4）根据（3）的结论，可得f(x)在R上单调递增，f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0).f(3x-)> f(0) 3x->0，0『思考问题3』
（1）【典例3】中的函数的共同特点是：①函数没有 的解析式；②已知函数在R上满足的一个 等式；具有这种特点的函数称为 函数；
（2）抽象函数单调性的判断（或证明）的方法仍然是 法；其基本方法是：①在R上任取，，且 ；②通过赋值法比较函数值f()，f()的大小；③ 得出结果；
（3）在抽象函数单调性的判断（或证明）中，比较函数值f()，f()的大小是采用的
法，具体赋什么值应该从已知 来 考虑。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2；
2、设函数f(x)是定义在R上的函数，且对任意的实数m、n都有f(m).f(n)=f(m+n)，当x＜0时，f(x)＞1.
①证明：f(0)=1；
②证明：当x＞0时，0＜f(x)＜1；
③f(x)是R上的减函数。
3、已知函数f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时，f(x)＞0.
证明：函数f(x)是R上的增函数。
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)对任意的x，y∈R都成立，且f(0) ≠0,则函数f(x)是 函数（填“奇”或“偶”）；
2、已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求证：函数f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12)。
〖解析〗
1、【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数奇偶性的判断（或证明）的基本方法；
【解题思路】（1）根据问题条件可知，函数的定义域为R关于原点对称，判断（或证明）函数的奇偶性，只需验证f(-x)与 f(x)的关系，这里怎样赋值是解答问题的关键，注意问题的条件f(0) ≠0, f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），令x=0，y=x，可以得到f(0+x)+f(0-x)=2f(0).f(x)，只要求出f(0)的值问题就可解决，令x=y=0，得到f(0+0)+f(0-0)=2f(0).f(0)，由f(0) ≠0,得出f(0) =1；
【详细解答】函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），令x=y=0，f(0+0)+f(0-0)=2f(0).f(0)，2f(0)（f(0)-1）=0， f(0) ≠0, f(0)-1=0， f(0) =1，令令x=0，y=x， f(0+x)+f(0-x)=2f(0).f(x)， f(x)+f(-x)=2f(x)， f(-x)= f(x)，
函数f(x)是偶函数。
2、【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数奇偶性的判断（或证明）的基本方法；
【解题思路】（1）根据问题条件可知，函数的定义域为R关于原点对称，判断（或证明）函数的奇偶性，只需验证f(-x)与 f(x)的关系，这里怎样赋值是解答问题的关键，注意问题的条件函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，得出f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),从而有f(x)+f(-x)=f(0)=0，于是问题得到解决；（2）由（1）知函数f(x)是奇函数，从而得到f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，得到f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，令x=y=6，得到f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)
=-2a-2a=-4a，
【详细解答】（1）函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), f(x)+f(-x)=f(0)=0，函数f(x)是奇函数；（2）由（1）知函数f(x)是奇函数，f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，f(6)=-2a，令x=y=6， f(6+6)=f(6)+f(6)=-2a-2a=-4a，f(12)=-4a。
『思考问题4』
（1）【典例4】中的函数的共同特点是：①函数没有 的解析式；②已知函数在R上满足的一个 等式；具有这种特点的函数称为 函数；
（2）抽象函数奇偶性的判断（或证明）的方法是 法；其基本方法是：①确定函数的定义域是否关于原点对称；②通过赋值法验证f(-x)与f(x)的关系；③ 得出结果；
（3）在抽象函数奇偶性的判断（或证明）中，验证f(-x)与f(x)的关系是采用的 法，具体赋什么值应该从已知 来 考虑。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），且f(0)≠0，试证明函数f(x)是偶函数；
2、已知函数f(x)是等腰在R上的不恒为0的函数，且对任意的a，b∈R，都有f(a.b)=af(b)+bf(a)成立。
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论。

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