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　功、功率　动能定理及其应用
功的计算　
高考真题体验·对方向/
(多选)(2016全国Ⅱ·19)两实心小球甲和乙由同一种材料制成,甲球质量大于乙球质量.两球在空气中由静止下落,假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比,与球的速率无关.若它们下落相同的距离,则(　　)
A.甲球用的时间比乙球长
B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
答案BD
解析设所受阻力为Ff,根据题意Ff=kr.根据牛顿第二定律,mg-Ff=ma,a=g-
????
??
=g-
????
??·
4π
3
??
3
=g-
3??
4π??
??
2
,r越大,a越大,两小球密度相同,m甲>m乙,所以r甲>r乙,故a甲>a乙,C选项错误;物体在空中的运动时间t=
2?
??
,h相同,所以t甲2???
,可得v甲>v乙,B选项正确;物体下落过程中克服阻力做功Wf=Ff·h=kr·h,所以Wf甲>Wf乙,D选项正确.
/
总功的计算方法
(1)用动能定理W=ΔEk或功能关系W=ΔE,即用能量的变化量等效替代合力所做的功.(也可计算变力功)
(2)总功等于合外力的功.
先求出物体所受各力的合力F合,再根据W总=F合lcos α计算总功,但应注意α应是合力与位移l的夹角.
(3)总功等于各力做功的代数和.
分别求出每一个力做的功:W1,W2,W3,…,再把各个外力的功求代数和,即W总=W1+W2+W3+….
典题演练提能·刷高分/
1.(多选)(2019山东济宁五校联考)在某一粗糙的水平面上,一质量为2 kg的物体在水平恒定拉力作用下做匀速直线运动,当运动一段时间后,拉力逐渐减小,且当拉力减小到零时,物体刚好停止运动,图中给出了拉力随位移变化的关系图象.重力加速度g取10 m/s2.根据以上信息能得出的物理量有(　　)
　　　　　　　　　　　　　
/
A.物体与水平面间的动摩擦因数
B.合外力对物体所做的功
C.物体做匀速运动时的速度
D.物体运动的时间
答案ABC
解析由题意知物体开始做匀速直线运动,故拉力F与滑动摩擦力Ff大小相等,物体与水平面间的动摩擦因数为μ=
??
????
=0.35,选项A正确;减速过程由动能定理得WF+WFf=0-
1
2
mv2,根据F-x图象中图线与横轴围成的面积可以估算力F做的功WF,而Wf=-μmgx,由此可求得合外力对物体所做的功,及物体做匀速运动时的速度v,选项B、C正确;因为物体做变加速运动,所以运动时间无法求出,选项D错误.
2.(多选)如图所示,内壁光滑半径大小为R的圆轨道固定在竖直平面内,一个质量为m的小球静止在轨道的最低点A点.现给小球一个瞬时水平打击力,使小球沿轨道在竖直平面内运动.当小球运动重新回到A点时,再沿它的运动方向给第二次瞬时打击力.经过二次击打后,小球才能够通过轨道的最高点,已知第一次和第二次对小球的打击力做的功分别为W和3W,则W的值可能为(　　)
/
A.
1
2
mgR B.
3
4
mgR
C.
5
7
mgR D.mgR
答案BCD
解析小球在竖直面内运动只有重力做功,故机械能守恒;小球要到达圆轨道最高点,那么对小球在最高点应用牛顿第二定律可得:mg≤
??
??
2
??
,所以小球的机械能E=2mgR+
1
2
mv2≥
5
2
mgR;小球在运动过程中始终未脱离轨道,且必须经过两次击打,小球才能运动到圆轨道的最高点,故第一次击打后,小球运动的高度不大于R,所以有W≤mgR,W+3W≥
5
2
mgR,所以,
5
8
mgR≤W≤mgR,故BCD正确,A错误,故选BCD.
3.如图所示,水平平台上放置一长为L、质量为m的均匀木板,板右端距离平台边缘为s,板与台面间动摩擦因数为μ,重力加速度为g.现对板施加水平推力,要使板脱离平台,推力做功的最小值为(　　)
/
A.μmg(L+s) B.μmg
??
2
+??
C.μmg(L-s) D.μmg
3??
4
+??
答案B
解析要使板脱离平台,即让板的重心脱离平台,则板运动的距离为
??
2
+s,需要克服摩擦力做功为Wf=μmg
??
2
+??
,即推力做功的最小值为μmg
??
2
+??
,故B正确,ACD错误.
/
4.一物体由静止开始运动,其加速度a与位移x关系图线如图所示.下列说法正确的是(　　)
A.物体最终静止
B.物体的最大速度为
2??
??
0
C.物体的最大速度为
3??
??
0
D.物体的最大速度为
3
2
??
??
0
答案C
解析由a-x图象可知,物体先做匀加速直线运动,后做加速度减小的加速运动,到2x0位置时速度最大,A错误;设最大速度为v,根据动能定理得ma0x0+
1
2
ma0x0=
1
2
mv2,解得v=
3??
??
0
,C正确.
功率的计算　
高考真题体验·对方向/
(多选)(2018全国Ⅲ·19)地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送到地面.某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同;两次提升的高度相同,提升的质量相等.不考虑摩擦阻力和空气阻力.对于第①次和第②次提升过程,(　　)
/
A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
答案AC
解析由两次提升的高度相同可知,①②图形不重合部分面积应相等,可得②过程的总时间为2.5t0,上升所用时间之比为2t0∶2.5t0=4∶5,A选项正确;加速上升阶段牵引力最大,两次提升的质量和加速度都相同,根据牛顿第二定律,最大牵引力Fm-mg=ma,最大牵引力相等,B选项错误;最大输出功率为Pm=Fm·vm,已知最大牵引力相等,①过程的最大速度是②过程的2倍,故电机输出的最大功率之比为2∶1,C选项正确;设整个过程中电机所做的功为W,根据动能定理W-mgh=0,提升的质量和高度都相等,所以电机所做的功也相等,D选项错误.
/
机车启动中的三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm=
??
??
min
=
??
??
阻
(式中Fmin为最小牵引力,其值等于阻力F阻).
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中,匀加速过程结束时,功率最大,速度不是最大,即v=
??
??
??
??
阻
.
(3)机车以恒定功率运行时,牵引力做的功W=Pt.由动能定理得Pt-F阻x=ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小.
典题演练提能·刷高分/
1.(2019河南平顶山模拟)质量m=20 kg的物体,在大小恒定的水平外力F的作用下,沿水平面做直线运动.0~2 s内F与运动方向相反,2~4 s内F与运动方向相同,物体的v-t图象如图所示.g取10 m/s2,则(　　)
/
A.拉力F的大小为100 N
B.在4 s时拉力的瞬时功率为120 W
C.4 s内拉力所做的功为480 J
D.4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
答案B
解析取物体初速度方向为正方向,由题图可知物体与水平面间存在摩擦力,由题图可知0~2 s内,-F-Ff=ma1,且a1=-5 m/s2;2~4 s内,-F+Ff=ma2,且a2=-1 m/s2,联立以上两式解得F=60 N,Ff=40 N,选项A错误;由P=Fv得4 s时拉力的瞬时功率为120 W,选项B正确;由W=Fx,可知0~2 s内,W1=-Fx1,2~4 s内,W2=Fx2,由题图可知x1=10 m,x2=2 m,代入数据解得,4 s内拉力所做的功为-480 J,选项C错误;摩擦力做功W'=Ffs,摩擦力始终与速度方向相反,故s为路程,由题图可求得总路程为12 m,4 s内物体克服摩擦力做的功为480 J,选项D错误.
2.一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物,当重物的速度为v1时,起重机的功率达到最大值P,之后起重机保持该功率不变,继续提升重物,最后重物以最大速度v2匀速上升,不计钢绳重力.则整个过程中,下列说法正确的是(　　)
A.钢绳的最大拉力为
??
??
2
B.重物匀加速过程的时间为
??
??
1
2
??-????
??
1
C.重物匀加速过程的加速度为
??
??
??
1
D.速度由v1增大至v2的过程中,重物的平均速度

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