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电场力的性质　
电场强度的计算　
【典题】
/
如图在半径为R的圆周上均匀分布着六个不同的点电荷,则圆心O处的电场强度大小和方向为(　　)
A.
2????
??
2
　由O指向F
B.
4????
??
2
　由O指向F
C.
2????
??
　由O指向C
D.
4????
??
　由O指向C
答案B
解析
/
由点电荷的电场强度公式可知,在A位置的点电荷在O点产生的电场强度大小为E=
????
??
2
,在D点的点电荷在O点产生的电场强度大小为E'=
3????
??
2
,电场强度是矢量,求合电场强度应用平行四边形定则,作出电场强度的示意图,如图所示.则A点的电场强度与D点的电场强度合成后大小为E1=ED-EA=
2????
??
2
,方向指向A点;B点的电场强度与E点的电场强度合成后大小为E2=EB+EE=
2????
??
2
,方向指向E点;C点的电场强度与F点的电场强度合成后大小为E3=EC+EF=
2????
??
2
,方向指向F点,故E1、E2、E3大小相等,且E3刚好在E1与E2的角平分线上,由几何关系可知两者之间的夹角为120°,故将E1、E2合成后大小仍为E4=
2????
??
2
,方向指向F点,再将E4与E3合成,则最终O点的合电场强度为EO=E3+E4=
4????
??
2
,方向由O指向F,故选B.
/
求解电场强度的方法
(1)公式法
用E=
??
??
、E=
????
??
2
、E=
??
??
求解.
(2)微元法
微元法就是将研究对象分割成若干微小的单元,若从研究对象上选取某一“微元”加以分析,将“微元”视为点电荷,利用相关公式求解.
(3)叠加法
在几个点电荷产生的电场中,若每个点电荷单独存在时产生的电场在某点的电场强度分别为E1、E2、E3……,则该点的合电场强度E等于各个点电荷单独产生的电场在该点的电场强度E1、E2、E3……的矢量和.
(4)补偿法
由题设中所给条件建立的非标准模型,在原来问题的基础上再补充一些条件,由这些补充条件建立另一个容易求解的标准模型,这样,求解非标准模型的问题就转变为求解一个完整的标准模型的问题.
(5)利用处于静电平衡中的导体求解电场强度
处于静电场中的导体在达到静电平衡时,导体内部的电场强度为零.其本质是感应电荷的电场强度和外电电场的电场强度叠加后为零,即有E感+E外=0,常利用此式求感应电荷的电场强度.
典题演练提能·刷高分/
1.
/
(2019湖北重点中学模拟)如图所示,A、B、C为放置在光滑绝缘水平面上的三个带电小球,球A固定且带电荷量为+Q;小球B和C带电荷量分别为-q和+2q,由长为L绝缘细杆相连,静止在水平面上.若A与B相距d,A、B和C视为点电荷,且三者在同一直线上,下列说法正确的是(　　)
A.其他条件不变,将A释放后不能保持静止
B.绝缘细杆长L=(
2
-1)d
C.A在B、C处产生的电场强度关系为EB=
2
EC
D.其他条件不变,小球A的电荷量增加为+2Q,B、C及细杆组成的系统所受合外力不为零
答案B
解析三个在同一直线上的自由电荷,只要满足“两大夹一小”“两同夹一异”“近小远大”的条件,它们均能静止,选项A错误;对B电荷由平衡条件得
??????
??
2
=
2??
??
2
??
2
,对C电荷同理得
????·2??
(??+??
)
2
=
2??
??
2
??
2
,解以上两式得B与C之间的距离为L=(
2
-1)d,选项B正确;由点电荷的电场强度公式得EB=
????
??
2
,EC=
????
(??+??
)
2
,则EB=2EC,选项C错误;A的电荷量增加为+2Q,A在B、C两点产生的电场强度大小关系应满足EB=2EC,则A对B、C及细杆组成的系统所受的合外力仍为零,选项D错误.
2.
/
如图所示,一匀强电场的电场线与圆O所在平面平行,AB为圆的一条直径,C为圆周上一点,圆的半径为R,∠AOC=60°,在A点有一粒子源,能向圆O所在平面内各个方向以动能Ek发射同种带电粒子,粒子质量为m,电荷量为q,由观察可知经过B、C的粒子动能分别为5Ek和3Ek,则(　　)
A.匀强电场的电场强度为
2
3
??
k
3????
B.匀强电场的电场强度为
2
??
k
????
C.匀强电场的方向垂直OC
D.匀强电场的方向与AC平行
答案C
解析在匀强电场中,沿任意方向相等距离电势差相等,由题意可知A到B电场力做功4Ek,则由A到O电场力做功2Ek,由A到C电场力做功2Ek,即O、C为等势点,OC为等势线,则电场线垂直OC,根据几何关系可得匀强电场的电场强度为
4
3
??
k
3????
,C正确.
3.如图,竖直线OO'是等量异种电荷+Q和-Q连线的中垂线,A、B、C三点的位置如图所示,都处在一矩形金属盒内,且AC=BC.下列说法正确的是(　　)
/
A.若无金属盒,A、B、C三点电势大小关系是φA=φB>φC
B.若有金属盒,A、B、C三点电势大小关系是φA=φC>φB
C.金属盒上感应电荷在A、B、C三点的电场强度方向均水平向右
D.金属盒上感应电荷在A、B、C三点电场强度大小关系是EB>EC>EA
答案D
解析若无矩形金属盒,AC是一条等势线,则φA=φC,A错误;金属盒处于静电平衡,整个金属盒是一个等势体,φA=φC=φB,故B错误;金属盒内部电场强度处处为零,金属盒上的感应电荷的电场强度与等量异种电荷+Q和-Q产生的电场强度大小相等、方向相反,而+Q和-Q在A、B、C三点产生的电场强度方向水平向右,则金属盒上的感应电荷在A、B、C三点电场强度方向均水平向左.+Q和-Q在A、B、C三点产生的电场强度大小关系为EB>EC>EA,则感应电荷在A、B、C三点电场强度大小关系是EB>EC>EA.故C错误,D正确.
4.
/
(多选)如图所示,水平面内的等边三角形ABC的边长为L,两个等量异种点电荷+Q和-Q分别固定于A、B两点.光滑绝缘直导轨CD的上端点D位于A、B中点的正上方,且与A、B两点的距离均为L.在D处质量为m、电荷量为+q的小球套在轨道上(忽略它对原电场的影响),并由静止释放,已知静电力常量为k,重力加速度为g.忽略空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
A.D点的电场强度大小为k
??
??
2
B.小球到达CD中点时,其加速度为零
C.小球刚到达C点时,其动能为
3
2
mgL
D.小球沿直轨道CD下滑过程中,其电势能先增大后减小
答案AC
解析点电荷+Q和-Q在D点的电场强度的大小相等,则它们的合电场强度的方向平行于AB指向-Q一侧;由库仑定律知+Q、-Q在D点的电场强度的大小EA=EB=
????
??
2
,根据平行四边形定则可知D点的合电场强度大小为
????
??
2
,A正确;小球到达CD中点时,对小球进行受力分析,受到重力、弹力、平行AB的电场力,其所受合力不为零,加速度不为零,B错误;因为平面COD是一等势面,所以小球从D到C的过程中电场力不做功,只有重力做功,根据动能定理得,mg·OD=
1
2
mv2,由几何关系可得OD=Lsin 60°=
3
2
L,小球的动能Ek=
1
2
mv2=
3
??????
2
,所以C正确;由于小球沿直轨道CD下滑过程中,电场力一直不做功,电势能不变,D错误.
5.
/
(多选)如图所示,匀强电场的方向与长方形abcd所在的平面平行,ad=
3
cm,ab=3 cm,电子从a点运动到b点的过程中电场力做的功为4.5 eV;电子从a点运动到d点的过程中克服电场力做的功为4.5 eV.以a点的电势为电势零点,下列说法正确的是(　　)
A.c点的电势为3 V
B.b点的电势为4.5 V
C.该匀强电场的电场强度方向为由b点指向d点
D.该匀强电场的电场强度大小为300 V/m
答案BD
解析电子从a点运动到b点的过程中,电场力做的功为4.5 eV,即Wa b=qUa b=q(φa-φb)=4.5 eV,由于φa=0,解得φb=4.5 V,同理可得Wa d=qUa d=q(φa-φd)=-4.5 eV,解得φd=-4.5 V,根据Ua d=Ub c,即φa-φd=φb-φc,代入数据解得φc=0,故A错误,B正确;由A、B项分析可知,a、c两点的电势相等,所以ac连线为匀强电场中的等势线,根据电场线与等势线垂直,故C错误;过d点作ac的垂线,设垂足为f,由几何关系可得df=adcos 30°,根据E=
??
????
????
=
4.5
3
×
3
2
×1
0
-2
V/m=300 V/m,故D正确.
命题角度2带电体的受力分析　
高考真题体验·对方向/
1.
/
(2019全国Ⅰ·15)如图,空间存在一方向水平向右的匀强电场,两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下,两细绳都恰好与天花板垂直,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.P和Q都带正电荷
B.P和Q都带负电荷
C.P带正电荷,Q带负电荷
D.P带负电荷,Q带正电荷
答案D
解析两个带电小球在匀强电场中均处于平衡状态,只有两小球带异种电荷、相互间为吸引力,才可能平衡.小球P带负电荷时,匀强电场提供的力与小球Q对小球P的吸引力抵消,合力为零,此时小球Q带正电荷,匀强电场提供的力与小球P对小球Q的吸引力抵消,合力为零,故A、B、C错误,D正确.
2.
/
(2018全国Ⅰ·16)如图,三个固定的带电小球a,b和c,相互间的距离分别为ab=5 cm,bc=3 cm,ca=4 cm,小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线.设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k,则(　　)
A.a、b的电荷同号,k=
16
9
B.a、b的电荷异号,k=
16
9
C.a、b的电荷同号,k=
64
27
D.a、b的电荷异号,k=
64
27
答案D
解析由题意知,小球c处在直角三角形的直角上,如果a、b为同种电荷,对小球c的库仑力,要么是吸引力,要么是排斥力,合力不可能平行于a和b连线,故a、b的电荷应异号;由三角关系tan θ=
??
??
??
??
3
2
??
??
??
??
??
4
2
=
3
4
,解得k=
64
27
,故C正确.
/
1.对库仑力的理解
(1)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵守牛顿第三定律,不论两个带电体的电荷量是否相等,它们间的作用力一定大小相等、方向相反,并与它们的质量无关.
(2)库仑力具有力的共性,运算遵循力的平行四边形定则.
2.库仑力作用下平衡问题的处理思路
(1)明确研究对象;
(2)对研究对象进行受力分析,注意电场力的方向;
(3)根据平衡条件列方程求解.
典题演练提能·刷高分/
1.
/
(2019山东平度模拟)如图所示,竖直固定的光滑绝缘细杆上O点套有一个电荷量为-q(q>0)的小环,在杆的左侧固定一个电荷量为Q(Q>0)的点电荷,杆上a、b两点与Q正好构成等边三角形,c是ab的中点.将小环从O点无初速度释放,通过a点的速率为v.若已知ab=Oa=l,静电力常量为k,重力加速度为g.则(　　)
A.在a点,小环所受弹力大小为
??????
??
2
B.在c点,小环的动能最大
C.在c点,小环的电势能最大
D.在b点,小环的速率为
??
2
+2????
答案D
解析在a点,小环所受的电场力沿aQ方向,大小为k
????
??
2
,水平方向小环受力平衡,所以小环受到向右的弹力,大小等于电场力沿水平方向的分力
??????
??
2
sin 60°=
3
??????
2
??
2
,选项A错误;在c点时,小环水平方向受到电场力和杆的弹力作用,竖直方向受到重力作用,合力竖直向下,小环有竖直向下的加速度,所以在c点时小环的动能不是最大,选项B错误;c点距离Q最近,电势最高,带负电的小环在c点的电势能最小,选项C错误;因为a、b两点到Q的距离相等,所以a、b两点电势相等,小环从a点到b点,电场力做功为0,应用动能定理得mgl=
1
2
??
??
??
2
?
1
2
mv2,解得vb=
??
2
+2????
,选项D正确.
2.
/
如图,一粗糙绝缘竖直平面与两个等量异种点电荷连线的中垂线重合.A、O、B为竖直平面上的三点,且O为等量异种点电荷连线的中点,AO=BO.现有带电荷量为q、质量为m的小物块视为质点,从A点以初速度v0向B滑动,到达B点时速度恰好为0.则(　　)
A.从A到B,小物块的加速度逐渐减小
B.从A到B,小物块的加速度先增大后减小
C.小物块一定带负电荷,从A到B电势能先减小后增大
D.从A到B,小物块的电势能一直减小,受到的电场力先增大后减小
答案B
解析小球由A到B做减速运动,运动过程中受到重力、向右的电场力、向左的支持力、向上的摩擦力;加速度a=
??
f
-????
??
=
??????-????
??
,运动过程中电场强度先增大后减小,电场力先增大后减小,加速度先增大后减小,B正确,A错误;小球一定带负电,但电场力不做功,电势能不变,C、D错误.
3.
/
如图所示,两平行带电金属板水平放置,若在两板中间a点从静止释放一质量为m的带电微粒,微粒恰好保持静止状态,现将两板绕过a点的轴(垂直纸面)逆时针旋转60°,再在a点静止释放一同样的微粒.以下相关描述正确的是(　　)
A.微粒仍然保持静止
B.微粒斜向右上方做匀加速直线运动
C.欲使该微粒保持静止,需施加一大小为mg,方向与水平面成30°斜向右上方的外力
D.欲使该微粒保持静止,需施加一大小为
3
2
mg,方向与水平面成60°斜向右上方的外力
答案C
解析
/
平行金属板水平放置时,释放的带电微粒恰好静止,可判断微粒所受到的电场力与重力大小相等、方向相反.当将两极板逆时针旋转θ=60°时,电场力也逆时针旋转θ=60°,重力保持不变,此时微粒所受合力方向为向左下方,且合力大小等于重力大小,等于mg,微粒将向左下方做匀加速直线运动,A、B错误;欲使该微粒保持静止,需施加的外力与重力和电场力的合力等大反向,故C正确,D错误.
4.
/
如图所示,真空中竖直放置半径为R的光滑半圆环,圆环最低点固定一个点电荷Q;质量为m、电荷量为+q的小圆环最初静止在图中所示的B点,此时θ=30°.现让小圆环从右侧最高点由静止释放.已知重力加速度为g,静电力常量为k.带电荷量为Q的点电荷,距离电荷为r处的电势可以表示为φ=
????
??
,求:
(1)半圆环最低点固定的点电荷的电荷量Q;
(2)小环向下运动过程中的最大速度vm.
答案(1)
????
??
2
????
　(2)
(
2
-1)????
解析
/
(1)小圆环在B点静止,此时小圆环所受合力为零.即2k
????
??
2
cos 60°=mg
Q=
????
??
2
????
(2)对小圆环,当切向加速度为零,即在图中的B点时,速度达到最大
k
????
2
??
+mgRsin 30°=k
????
??
+
1
2
??
??
m
2
解得vm=
(
2
-1)????
5.
/
如图甲在水平地面上放置一个质量为m=0.1 kg、带电荷量为q=0.01 C的物体,物体与地面之间的动摩擦因数为μ=0.4,地面上存在水平向左的电场,物体由静止开始向左运动,电场强度E随物体的位移x变化的图象如图乙所示.g取10 m/s2,求:
(1)运动过程中物体的最大加速度;
(2)物体的速度达到最大时距出发点的距离.
答案(1)6 m/s2　(2)2.4 m
解析(1)由牛顿第二定律,得F-μmg=ma
当电场力F=qE=1 N时,物体所受的合力最大
加速度最大,代入解得a=6 m/s2.
(2)由图象可得电场强度随位移是变化的,所以物体受到的电场力随位移是变化的,当电场力等于摩擦力时,加速度为0,速度最大,则F'=qE'=μmg
E'=40 N/C.
由图得到E与x的函数关系式E=100-25x,当E'=40 N/C时,解得x=2.4 m.
6.
/
(2019河南开封模拟)如图所示,在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场,电场强度大小E=3.0×104 N/C.有一个质量m=4.0×10-3 kg的带电小球,用绝缘轻细线悬挂起来,静止时细线偏离竖直方向的夹角θ=37°.g取10 m/s2,sin 37°=0.60,cos 37°=0.80,不计空气阻力的作用.
(1)求小球所带的电荷量及电性;
(2)如果将细线轻轻剪断,求细线剪断后,小球运动的加速度大小;
(3)从剪断细线开始经过时间t=0.20 s,求这一段时间内小球电势能的变化量.
答案(1)1.0×10-6 C　正电荷　(2)12.5 m/s2　(3)减少4.5×10-3 J
解析
/
(1)小球受到重力mg、电场力F和细线的拉力FT的作用,如图所示,由共点力平衡条件有:F=qE=mgtan θ
解得:q=
????tan??
??
=1.0×10-6 C
电场力的方向与电场强度的方向相同,故小球所带电荷为正电荷.
(2)剪断细线后,小球做匀加速直线运动,设其加速度为a,由牛顿第二定律有:
????
cos??
=ma,解得:a=
??
cos??
=12.5 m/s2
(3)在t=0.20 s的时间内,小球的位移为:l=
1
2
at2=0.25 m
小球运动过程中,电场力做的功为:
W=qElsin θ=mglsin θtan θ=4.5×10-3 J
所以小球电势能的变化量(减少量)为:ΔEp=4.5×10-3 J

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