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带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动　
高考真题体验·对方向
1.
(2019全国Ⅱ·17)如图,边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外.ab边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子.已知电子的比荷为k,则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.14kBl,54kBl B.14kBl,54kBl
C.12kBl,54kBl D.12kBl,54kBl
答案B
解析
本题考查带电粒子在有界磁场中的运动.当电子从a点射出时,电子在磁场中运动的半径为ra=14l,而Bqva=mva2ra,即va=Bqram=14kBl;当电子从d点射出时,电子在磁场中运动的半径为rd,如图,根据几何关系得rd2=l2+(rd-l2)2,解得rd=54l,所以,vd=54kBl,B正确,A、C、D错误.
2.
(2017全国Ⅱ·18)如图,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点.大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同方向射入磁场.若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在三分之一圆周上.不计重力及带电粒子之间的相互作用.则v2∶v1为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3∶2 B.2∶1 C.3∶1 D.3∶2
答案C
解析
最远的出射点和入射点的连线为粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径,如图所示.由几何关系可以得到,当速度为v1入射时,半径R1=R2,当速度为v2入射时,半径R2=32R,再由R=mvqB可得,v2∶v1=3∶1,故选项C正确.
1.处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧
(1)粒子进入单边磁场时,进、出磁场具有对称性.
(2)带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.这类题目中往往含有“最大”“最高”“至少”“恰好”等词语,其最终的求解一般涉及极值,但关键是从轨迹入手找准临界状态.
①当粒子的入射方向不变而速度大小可变时,由于半径不确定,可从轨迹圆的缩放中发现临界点.
②当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时,轨迹圆大小不变,只是位置绕入射点发生了旋转,可从定圆的动态旋转中发现临界点.
(3)当速率一定时,粒子运动的弧长越长,圆心角越大,运动时间越长;当速率变化时,圆心角大的,运动时间长.
2.带电粒子在圆形匀强磁场区域运动的几个有用结论
(1)粒子沿径向射入则沿径向射出.
(2)设粒子在磁场中运动轨迹圆半径为R,磁场区域圆半径为r,有以下结论:①当Rr时,则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的速度偏转角最大(所有的弦长中直径最长).③当R=r时,保持粒子的入射速率和入射点不变,改变速度的方向,射出圆形磁场后速度方向相同,或以相同速度(速度大小相等方向相同)从不同点射入圆形磁场的粒子汇聚到磁场边界同一点,这称为磁聚焦现象.
典题演练提能·刷高分
1.
(2019安徽马鞍山模拟)如图所示,abcd为一正方形边界的匀强磁场区域,磁场边界边长为L,磁场方向垂直边界平面向里.三个粒子以相同的速度从a点沿ac方向射入,粒子1从b点射出,粒子2从c点射出,粒子3从cd边垂直于磁场边界射出,不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用.根据以上信息,可以确定(　　)
A.粒子1带负电,粒子2不带电,粒子3带正电
B.粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1
C.粒子1和粒子3在磁场中运动时间之比为4∶1
D.粒子3的射出位置与d点相距L2
答案B
解析根据左手定则可知,粒子1带正电,粒子2不带电,粒子3带负电,选项A错误;由几何关系知,粒子1在磁场中的轨迹为四分之一圆周,半径r1=Lsin 45°=22L,在磁场中运动时间t1=14T=14×2πr1v=2πL4v,粒子3在磁场中的轨迹为八分之一圆周,半径r3=Lsin45°=2L,在磁场中运动时间t3=18T=18×2πr3v=2πL4v,则t1=t3,选项C错误;由r1∶r3=1∶2及r=mvqB可知粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1,选项B正确;粒子3的射出位置与d点相距(2-1)L,选项D错误.
2.
(2019山东滕州模拟)如图所示,匀强磁场的边界为直角三角形abc,一束带正电的相同粒子以不同的速度v沿bc方向从b点射入磁场,不计粒子的重力.关于粒子在磁场中的运动情况,下列说法正确的是(　　)
A.入射速度越大的粒子,在磁场中的运动时间越长
B.入射速度越大的粒子,在磁场中的运动轨迹越长
C.从ab边射出的粒子在磁场中的运动时间都相等
D.从ac边射出的粒子在磁场中的运动时间都相等
答案C
解析带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动,轨迹半径r=mvqB,速度越大,半径越大,从ac边出射的粒子,速度越大,运动轨迹越短,对应的圆心角θ越小,根据t=θ2πT和T=2πmqB可知,粒子在磁场中的运动时间越短,选项A、B、D错误;从ab边出射的粒子速度的偏向角都相同,而粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角等于速度的偏向角,由t=θ2πT可知,粒子在磁场中的运动时间相等,选项C正确.
3.(多选)如图所示,在一个等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),沿纸面从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域,若该三角形的两直角边长均为2l,则下列关于粒子运动的说法中正确的是(　　)
A.若该粒子的入射速度为v=qBlm,则粒子一定从CD边射出磁场,且距点C的距离为l
B.若要使粒子从CD边射出,则粒子从O点入射的最大速度应为v=2qBlm
C.若要使粒子从AC边射出,则粒子从O点入射的最大速度应为v=qBl2m
D.粒子以不同大小的速度入射时,在磁场中运动的最长时间为πmqB
答案ACD
解析若粒子的入射速度为v=qBlm,根据洛伦兹力提供向心力可知Bqv=mv2r,解得r=l;根据几何关系可知,粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场,选项A正确;根据洛伦兹力提供向心力可知,v=Bqrm,因此半径越大,速度越大.根据几何关系可知,若要使粒子从CD边射出,粒子轨迹与AD边相切时半径最大,由几何关系可知,最大半径满足(rm+l)2=rm2+rm2,解得rm=(2+1)l,则若要使粒子从CD边射出,该粒子从O点入射的最大速度应为v=(2+1)qBlm,选项B错误;若要使粒子从AC边射出,则该粒子从O点入射的最大轨迹半径为12l,因此最大速度应为v=qBl2m,选项C正确;粒子从AC边射出时在磁场中运动的时间最长.粒子运行周期为2πmBq,根据几何关系可知,粒子在磁场中偏转对应的最大圆心角为180°,故在磁场中运动的最长时间为πmqB,选项D正确.
4.如图所示,在水平面内存在一半径为2R和半径为R的两个同心圆,半径为R的小圆和半径为2R的大圆之间形成一环形区域.小圆和环形区域内分别存在垂直于水平面、方向相反的匀强磁场.小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B.位于圆心处的粒子源S沿水平面向各个方向发射速率为qBRm的正粒子,粒子的电荷量为q、质量为m,为了将所有粒子束缚在半径为2R的圆形内,环形区域磁感应强度大小至少为(　　)
A.B B.45B C.53B D.43B
答案C
解析粒子在小圆内做圆周运动的半径为r=mvBq=R,由轨迹图可知,粒子从A点与OA成30°角的方向射入环形区域,粒子恰好不射出磁场时,轨迹圆与大圆相切,设半径为r,由几何知识可知∠OAO2=120°.由余弦定理可知,(2R-r)2=r2+R2-2Rrcos 120°,解得r=35R,由qvB'=mv2r,则B'=mvqr=5mv3qR=53B,故选C.
5.
如图所示,在某电子设备中有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B.AC、AD两块挡板垂直纸面放置,夹角为90°.一束电荷量为+q、质量为m的相同粒子,从AD板上距A点为L的小孔P处以不同速率垂直于磁场方向射入,速度方向与AD板的夹角为60°,不计粒子的重力和粒子间的相互作用.求:
(1)直接打在AD板上Q点的粒子,其从P点运动到Q点的时间是多少?
(2)直接垂直打在AC板上的粒子,其运动速率是多大?
答案(1)2πm3qB　(2)23qBL3m
解析(1)根据已知条件画出粒子的运动轨迹,如图中Ⅰ轨迹所示.
粒子打在AD板上的Q点,圆心为O1,由几何关系可知,轨迹对应的圆心角∠PO1Q=120°
由洛伦兹力提供向心力,则有qvB=mv2R
圆周运动的周期公式T=2πRv
联立解得T=2πmqB
则运动的时间为t=120°360°T=2πm3qB.
(2)粒子垂直打到AC板上,运动轨迹如图中Ⅱ轨迹所示.
由图可知圆心为O2,∠APO2=30°,设粒子运动的轨迹半径为r,由几何关系得rcos 30°=L
由洛伦兹力提供向心力得
qvB=mv2r
解得v=23qBL3m.

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