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人教版八年级数学（上册）通关宝典
第十一章 三角形

一、与三角形有关的线段
1、三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的分类

3、三角形的三边关系
三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。
4、三角形中的高、中线与角平分线
高 从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
线段 线段的位置 交点名称
中线 三条中线交于三角形的内部 重心
角平分线 三条角平分线交于三角形的内部 内心
高 锐角三角形，三条高线交于三角形的内部 直角三角形，其中两条恰好是直角边 钝角三角形，其中两条在三角形的外部 垂心
注意： 三角形的中线、高线、角平分线都是线段，而不是直线。
5、三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形具有稳定性，而四边形容易变形，即四边形具有不稳定性。
二、与三角形有关的角
1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
2、三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图，∠ACD是△ABC的一个外角。
（2）定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
作用：
① 判断三条已知线段能否组成三角形。
② 当已知两边时，可确定第三边的范围。
③ 证明线段不等关系。
三、多边形的内角和
1. 多边形的有关概念
（1）　 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫做n多边形。
注意：
　　①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；
　　②首尾顺次相连，二者缺一不可;
　　③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
多边形对角线的条数：①.从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把n边形分成三角形. ②.边形共有条对角线.
内角: 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。
外角：由多边形的一条边和它的相邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）正多边形
在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
注意：
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形。
2. 多边形的内角和与外角和
（1）多边形的内角和公式
n边形的内角和为
注意：
内角和与边数成正比。边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边，内角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍。
（2）多边形的外角和
n边形的n个外角的和为360°
注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。
正n边形的每个内角等于，每个外角等于。
四、镶嵌
1. 平面镶嵌
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面.也称为镶嵌。也叫平面密铺。
2. 用一种正多边形进行镶嵌
用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形等。每个内角的度数能够整除360°的正多边形都能进行镶嵌。
特别提醒：在进行平面镶嵌时，要保证镶嵌必须满足两个条件：
（1）拼接在同一顶点处的每个角的和恰好等于360°；
（2）相邻的多边形有公共边。

第十二章 全等三角形
一、 全等三角形
1. 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等变换包括以下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
2. 全等三角形
定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
对应元素 把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边点叫做对应边，重合的角叫做对应角。
表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。△ABC与△DEF全等，记作：△ABC≌△DEF，读作三角形ABC全等于三角形DEF
性质 （1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等.
二、全等三角形的判定方法
名称 图形 内容 适用范围
边边边 （SSS） 三边对应相等的两个三角形全等 所有三角形
边角边 （SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 所有三角形
角边角 （ASA） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 所有三角形
角角边 （AAS） 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 所有三角形
斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 直角三角形
知能点拔
证明三角形全等的常见思路



三、角平分线的性质
1. 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
如图，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，∴PD=PE
2. 性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
如图，∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，PD=PE，∴ 点P在∠AOB的角平分线上，即OC平分∠AOB。

第十三章 轴对称
一、轴对称
1.定义
轴对称图形 轴对称
定义 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线称为它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线称为这两个图形的对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
联系 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。 如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体，那么它就成一个轴对称图形。
区别 （1）轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； （2）对称轴不一定只有一条。 （1）轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； （2）只有一条对称轴。
2. 轴对称的性质
（1） 线段的垂直平分线
① 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
② 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
③ 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）轴对称的性质：如果两个图形关于某一条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直
平分线。
二、作轴对称图形
1. 轴对称变形的性质
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。
（2）新图形上的每一个点都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
2. 作轴对称的方法
找 在原图形上找特殊点（如线段的端点）；
作 作各个特殊点关于某对称轴的对称点；
连 依次连接各对称点。
3. 用坐标表示轴对称
（1）已知关于x轴或y轴对称的点的坐标规律：
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）。
注意：
已知关于x=h和y=k对称的点的坐标规律：
点（x, y）关于x=h对称的点的坐标为（-x+2h，y）；
点（x, y）关于y=k对称的点的坐标为（x，-y+2k）。
（2）画一个图形关于坐标轴的对称图形
只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连结这些点，就可以得到与这个图形成轴对称的图形。
三、等腰三角形
1. 等腰三角形
定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
等腰三角形的性质 （1）性质1，等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）（2）性质2， 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线所在的直线就是它的对称轴。
等腰三角形的判定 （1）利用定义（2）如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）
等腰三角形的其他性质：
① 等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
② 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③ 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则＜a
④ 等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2. 等边三角形
定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也是正三角形
等边三角形的性质 （1）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°（2）等边三角形具有三条“三线合一”的线；是轴对称图形，共有三条对称轴，是三条高线、中线、角平分线所在的直线
等边三角形的判定 （1）利用定义（2）三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
3. 直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

第十四章 整式乘除与因式分解

一、整式乘法
1. 同底数幂的乘法
一般地，我们有am·an＝am+n （m、n为正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
2. 幂的乘方
一般地，我们有（am）n =amn （m、n为正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
3. 积的乘方
一般地，我们有（ab）n =anbn （n为正整数），即积的乘方，等于各因式乘方的积．
4. 整式的乘法法则
单项式乘以单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘以多项式 用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加
多项式乘以多项式 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
二、乘法公式
1. 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。
2. 完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．
3. 添括号的法则
a+b+c =a+（b+c） a-b-c =a-（b+c）
三、整式的除法
1. 同底数幂的除法
am＋an =am-n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
知能点拔：（1）a0＝1 （a≠0），即任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
（2）公式可逆用：am-n =am÷an
（3）公式也可推广到三个或三个以上的同底数幂分别相乘。如am÷an÷ak =am-n-k （a≠0）
2. 整式的除法
（1）单项式除以单项式
法则：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母。则连同它的指数作为商的一个因式.
实质：把单顶式除法转化成有理数除法或同底数幂的底数。
（2）多项式除以单项式
法则：多项式除以单项式，先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
字母表示： （am+bm）÷m =am÷m +bm÷m =a+b
四、因式分解
1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。分解因式必须进行到每一个多项式中的因式都不能再分解为止。
2. 因式分解的方法
提因式分解法：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，把多项式中各项的公因式提到括号外面，将多项式写成乘积形式，这种因式分解的方法叫提公因式法。用字母表示为：ma+mb+mc = m（a+b+c）
公式法：
① 平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
② 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
十字相乘法：采用画交叉十字分解系数，把多项式分解成两个因式的乘积形式。
即：

第十五章 分式
一、分式
1. 定义
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A为分子，B为分母。
2. 分式有（无）意义的条件以及分式值为0的条件
（1）使分式有意义的条件是B≠0；
（2）使分式无意义的条件是B=0；
（3）使分式为0的条件是A=0且B≠0。
二、分式的基本性质
1. 分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
用字母表示为：，，其中A、B、C是整式，C≠0。
2. 约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式(不为1的因式），不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
依据：分式的基本性质
公因式：分式的分子和分母都含有的公共的因式。
最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
3. 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，即把几个异分母的分式分别化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。
通分的关键：确定各分母的最简公分母。
三、分式的运算
1. 分式的乘除
（1）乘法法则：
（2）除法法则：
（3）乘方法则：一般地，当n为正整数时，分子、分母分别乘方。用字母表示为：
2. 分式的加减
分式的加减法则
（1） 同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：
（2）异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：
3. 分式的混合运算
（1）分式混合运算的顺序
先乘方、后乘除、再加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
（2）运算的结果一定要化成最简分式（或整式）。
4. 整数指数幂
（1）正整数指数幂的运算性质
① （m，n是正整数）
② （m，n是正整数）
③ （n是正整数）
④ （a≠0，m，n是正整数，m＞n）
⑤ （n是正整数）
（2） 零指数幂：当a≠0时，a0 =1 （任何不等于零的数的零次幂都等于1）
（3） 负整数指数幂
一般地，当n为正整数时，（a≠0），这就是说，a-n （a≠0）是an 的倒数，由此，引入负整数幂后，指数的取值范围就推广到全体实数。
（4） 用科学记数法表示负整数指数幂
一个数x是0四、分式方程
1. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2. 增根：使最简公分母为0的根
3. 解分式方程的一般步骤
⑴ 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的原因）
⑵ 解整式方程，得到整式方程的解。
⑶ 检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
4. 列分式方程解应用题的一般步骤
① 审题，弄清题意；
② 设未知数，根据题意，设未知数；
③ 根据题意列方程；
④ 解方程求出未知数的值；
⑤ 检验，看未知数的值是否符合题意，是否符合方程；
⑥ 下结论，写出方程的解。









八年级数学下册通关宝典 第 6 页 共 14 页

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