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共点力的平衡
知识梳理
分析动态平衡问题的方法
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化；(2)确定未知量大小、方向的变化
相似三角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式；(2)确定未知量大小的变化情况
2．处理动态平衡问题的一般思路
1.平行四边形定则是基本方法，但也要根据实际情况采用不同的方法，若出现直角三角形，常用三角函数表示合力与分力的关系.
2.图解法的适用情况：图解法分析物体动态平衡问题时，一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化.
3.用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律：
(1)若已知F合的方向、大小及一个分力F1的方向，则另一分力F2的最小值的条件为F1⊥F2；
(2)若已知F合的方向及一个分力F1的大小、方向，则另一分力F2的最小值的条件为F2⊥F合.
所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最佳结果所需满足的极值条件.求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。
3.对临界的条件/极值的求解认识
1.一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。
2.在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定,但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。


精讲1 共点力平衡的一般解决情况
1．合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反．
2．分解法：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件．
3．正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件．

课堂练习
考点1：三力平衡
【例1】如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢竖直下降。关于此过程中绳上拉力大小的变化，下列说法中正确的是( )

A．不变 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．可能不变，也可能增大
答案C

【例2】如图所示,将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O′处(O为球心),弹簧另一端与质量为m的小球相连,小球静止于P点,已知容器半径为R,与水平面间的动摩擦因数为μ,OP与水平方向的夹角为θ=30°,下列说法正确的是 ( )
?
A.容器相对于水平面有向左的运动趋势 B.容器对小球的作用力竖直向上
C.轻弹簧对小球的作用力大小为 D.弹簧原长为R+
答案D

【变式1】(多选)如图所示，在固定好的水平和竖直的框架上，A、B两点连接着一根绕过光滑的轻小滑轮的不可伸长的细绳，重物悬挂于滑轮下，处于静止状态.若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点，则下列判断正确的是( )
A.只将绳的左端移向A′点，拉力变小
B.只将绳的左端移向A′点，拉力不变
C.只将绳的右端移向B′点，拉力变小
D.只将绳的右端移向B′点，拉力变大
答案BD


考点2：多力平衡
【例1】（多选）在广场游玩时,一小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上,并将小石块静止置于水平地面上,如图所示。若水平的风速逐渐增大(设空气密度不变),则下列说法正确的是( )
A. 细绳的拉力逐渐增大
B. 地面受到小石块的压力逐渐减小
C. 小石块滑动前受到地面施加的摩擦力逐渐增大，滑动后受到的摩擦力不变
D. 小石块有可能连同气球一起被吹离地面
答案AC

【例2】（多选）如图所示，质量为M的木块C放在水平地面上，固定在C上的竖直轻杆的顶端分别用细绳a和b连接小球A和小球B，小球A、B的质量分别为mA和mB，当与水平方向成30°角的力F作用在小球B上时，A、B、C刚好相对静止一起向右匀速运动，且此时绳a、b与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则下列判断正确的是( )
A．力F的大小为mBg
B．地面对C的支持力等于(M＋mA＋mB)g
C．地面对C的摩擦力大小为3/2mBg
D．mA＝mB
答案：ACD

【变式1】（多选）如图12所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面C上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态。则( )
A．水平面对C的支持力小于B、C的总重力
B．B一定受到C的摩擦力
C．C一定受到水平面的摩擦力
D．若将细绳剪断，物体B开始沿斜面向下滑动，则水平面对C的摩擦力可能为零
答案AC

【变式2】如图所示，位于粗糙斜面上的物体P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连。已知物体P和Q以及P与斜面之间的动摩擦因数都是μ，斜面的倾角为θ，物体P的质量为m，物体Q的质量为2m，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计，若用一沿斜面向下的力F拉P，使其匀速下滑，试求：

(1)连接两物体的轻绳的拉力FT的大小；
(2)拉力F的大小。
答案
(1)连接两物体的轻绳的拉力FT的大小是2mg(sinθ+μcosθ)；
(2)拉力F的大小是mgsinθ+7μmgcosθ



精讲2 三角形法解决动态平衡的三种情况
? 这里的三角形法是指动态三角形法、相似三角形法和正弦定理三种方法（这种方法只能应用于平衡状态下，因为平衡状态下物体受力为零，分力能组成闭合的三角形，方便讨论大小变化及最值）
1.图解法/动态三角形：
图解法分析物体动态平衡问题时，一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一
个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化

课堂练习
【例1】如图所示，有一倾角为θ的斜面，斜面上有一能绕固定轴B转动的木板AB，木板AB与斜面垂直，把球放在斜面和木板AB之间，不计摩擦，球对斜面的压力为F1，对木板的压力为F2．将板AB绕B点缓慢推到竖直位置的过程中，则（ ）
F1和F2都增大
B．F1和F2都减小
C．F1增大，F2减小
D．F1减小，F2增大
答案A

【变式1】质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上.用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示.用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
F逐渐变大，T逐渐变大
B.F逐渐变大，T逐渐变小
C.F逐渐变小，T逐渐变大
D.F逐渐变小，T逐渐变小
答案A

【变式2】如图,一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为N1,球对木板的压力大小为N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦,在此过程中( )
A.N1始终减小,N2始终增大
B.N1始终减小,N2始终减小
C.N1先增大后减小,N2始终减小
D.N1先增大后减小,N2先减小后增大
答案：B

2.相似三角形：
?一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都在发生变化，此时就适合选择相似三角形来解题了
?物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平
行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向

【例1】如图所示，一轻杆AB，A端铰于低墙上，B端用细线系住跨过低墙顶上的C点(光滑)用力F拉住，并在B端挂一重物．现缓慢地拉线使杆向上转动，杆与墙的夹角逐渐减小．在此过程中，杆所受的压力FN和拉力F的大小变化情况是( )
FN和F均变大
B．FN变小，F变大
C．FN变大，F变小
D．FN不变，F变小
答案D


【变式1】半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的大小变化的情况是( )
A．FN不变，FT变小
B．FN不变，FT先变大后变小[来源:学+科+网]
C．FN变小，FT先变小后变大
D．FN变大，FT变小
答案A

【变式2】如图所示，用粗铁丝弯成半圆环，半圆环最高点B处固定一个小滑轮，小圆环A用细绳吊着一个质量为m的物块并套在半圆环上。细绳另一端跨过小滑轮，用力F拉动，使A缓慢向上移动（不计一切摩擦，绳子不可伸长）．则在物块移动过程中，关于拉力F和铁丝对A的支持力N，以下说法正确的是（ ）

A．F变大 B．N变大 C．F变小 D．N变小
答案C

3.正弦定理/辅助圆（老师可根据情况选择性讲解）
?物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都在发生变化，但是两
者之间的夹角不变
?结合数学知识，圆内某弦与圆上一点形成的夹角不变可得，此时就适合借助辅助圆来解决。

【例1】（多选）如图所示的装置，用两根细绳拉住一个小球，两细绳间的夹角为，细绳AC呈水平状态.现将整个装置在纸面内顺时针缓慢转动，共转过90°.在转动的过程中，CA绳中的拉力F1和CB绳中的拉力F2的大小发生变化，即 ( )

A．F1先变小后变大 B．F1先变大后变小 C．F2逐渐减小 D．F2最后减小到零
答案BCD

【变式1】(多选)如图所示,两根轻绳一端系于结点O,另一端分别系于固定圆环上的A、B两点,O为圆心.O点下面悬挂一物体M,绳OA水平,拉力大小为F1,绳OB与绳OA的夹角α=120°,拉力大小为F2.将两绳同时缓慢顺时针转过75°,并保持两绳之间的夹角α始终不变,物体始终保持静止状态.则在旋转过程中,下列说法正确的是( )

A.?F1逐渐增大 B.F1先增大后减小 C.F2逐渐减小 D.F2先减小后增大
答案BC

精讲3 多维空间受力分析
?该类问题一般取材于生活实例，例：降落伞、照相机的三脚架、悬挂式的盆栽...
?
?此类问题每根绳/杆上的力分解为水平和竖直方向两个力，在水平方向（如三脚架俯视图）三个分
力的合力一定为零，我们只需要分析竖直方向的力即可；转化为平面解决
课堂练习
【例1】如图,某工地上起重机将重为G的正方形工件缓缓吊起。四根等长的钢绳(质量不计),一端分别固定在正方形工件的四个角上,另一端汇聚于一处挂在挂钩上,绳端汇聚处到每个角的距离均与正方形的对角线长度相等.则每根钢绳的受力大小为( )

A. B. C. D.
答案：D

【变式1】如图所示,置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机,三脚架的三根轻质支架等长,与竖直方向均成30°角,则每根支架中承受的压力大小为( )

A. B. C. D.
答案D


精讲4 平衡条件的临界条件（极值求解）
1.临界条件：某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。物体平衡的临界状态是指物体所处的平衡将要被破坏，而尚未被破坏的状态。
?当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述.
2.极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.一般用图解法或解析法进行分析.
3.解决极值问题和临界问题的方法
?(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.
?(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).
?(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.

课堂练习
【例1】用两根绳子吊起一个重物，物体的重力为G=100N，如图所示（sin37°=0.6，sin53°=0.8）求：
（1）AO绳所受的拉力F1和BO绳所受的拉力F2分别为多少？
（2）如果绳AO和绳BO能承受的最大拉力都是200N，若逐渐增加物体重力，则AO和BO那根绳子先断？为什么？



答案：（1）80N,60N，（2）AO

【变式1】如图所示,三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点,A、B两端被悬挂在水平天花板上,相距2L.现在C点悬挂一质量为m的重物,为使CD绳保持水平,在D点可施加力的最小值为 ( )

A. B. C. D.
答案：C

【变式2】如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求:
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ的大小.

答案（1）;（2）60°

课后作业
1.如图所示，用两个弹簧秤A和B，互成角度地拉橡皮条，使结点O达到图中所示位置，在保持O点位置和B弹簧秤拉力方向不变的情况下，将弹簧秤A缓慢地沿顺时针方向转动，那么在此过程中，A与B的示数将分别( )
A．变大；变小
B．变小；变小
C．先变小再变大；变小
D．先变大再变小；变大
答案C



2.（多选）如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案：BD

3.如图所示，A、B两物体紧靠着放在粗糙水平面上，A、B间接触面光滑。在水平推力F作用下两物体一起加速运动，物体A恰好不离开地面，则物体A的受力个数为( )

A．3 B．4 C．5 D．6
答案：A

4.如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔,质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住.现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移.在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小变化情况是 ( )

A.F不变,N增大 B.F不变,N减小 C.F增大,N减小 D.F减小,N不变
答案：D


5.（多选）一铁架台放于水平地面上,其上有一轻质细线悬挂一小球,开始时细线竖直,现将水平力F作用于小球上,使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置,铁架台始终保持静止,则在这一过程中( )
A.细线拉力逐渐增大
B.铁架台对地面的压力逐渐增大
C.铁架台对地面的压力逐渐减小
D.铁架台所受地面的摩擦力逐渐增大
答案AD

6.（多选）如图所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放在斜面上，轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的滑轮固定在c点，滑轮2下悬挂物体b，系统处于静止状态。若将固定点c向右移动少许，而a与斜劈始终静止，则(不计滑轮重力)( )
细线对物体a的拉力增大
B．斜劈对地面的压力减小
C．斜劈对物体a的摩擦力减小
D．地面对斜劈的摩擦力增大
答案：AD

7.如图所示，倾角为θ的固定光滑斜面底部有一垂直斜面的固定档板C。劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与挡板C和质量为m的物体B连接，劲度系数为k2的轻弹簧两端分别与B和质量也为m的物体A连接，轻绳通过光滑滑轮Q与A和一轻质小桶P相连，轻绳AQ段与斜面平行，A和B均静止。现缓慢地向小桶P内加入细砂，当k1弹簧对挡板的弹力恰好为零时，求：

（1）小桶P内所加入的细砂质量；
（2）小桶下降的距离。

答案











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共点力的平衡
知识梳理
分析动态平衡问题的方法
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化；(2)确定未知量大小、方向的变化
相似三角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式；(2)确定未知量大小的变化情况
2．处理动态平衡问题的一般思路
1.平行四边形定则是基本方法，但也要根据实际情况采用不同的方法，若出现直角三角形，常用三角函数表示合力与分力的关系.
2.图解法的适用情况：图解法分析物体动态平衡问题时，一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化.
3.用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律：
(1)若已知F合的方向、大小及一个分力F1的方向，则另一分力F2的最小值的条件为F1⊥F2；
(2)若已知F合的方向及一个分力F1的大小、方向，则另一分力F2的最小值的条件为F2⊥F合.
所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最佳结果所需满足的极值条件.求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。
3.对临界的条件/极值的求解认识
1.一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。
2.在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定,但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。


精讲1 共点力平衡的一般解决情况
1．合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反．
2．分解法：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件．
3．正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件．

课堂练习
考点1：三力平衡
【例1】如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢竖直下降。关于此过程中绳上拉力大小的变化，下列说法中正确的是( )

A．不变 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．可能不变，也可能增大

【例2】如图所示,将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O′处(O为球心),弹簧另一端与质量为m的小球相连,小球静止于P点,已知容器半径为R,与水平面间的动摩擦因数为μ,OP与水平方向的夹角为θ=30°,下列说法正确的是 ( )
?
A.容器相对于水平面有向左的运动趋势 B.容器对小球的作用力竖直向上
C.轻弹簧对小球的作用力大小为 D.弹簧原长为R+

【变式1】(多选)如图所示，在固定好的水平和竖直的框架上，A、B两点连接着一根绕过光滑的轻小滑轮的不可伸长的细绳，重物悬挂于滑轮下，处于静止状态.若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点，则下列判断正确的是( )
A.只将绳的左端移向A′点，拉力变小
B.只将绳的左端移向A′点，拉力不变
C.只将绳的右端移向B′点，拉力变小
D.只将绳的右端移向B′点，拉力变大

考点2：多力平衡
【例1】（多选）在广场游玩时,一小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上,并将小石块静止置于水平地面上,如图所示。若水平的风速逐渐增大(设空气密度不变),则下列说法正确的是( )
A. 细绳的拉力逐渐增大
B. 地面受到小石块的压力逐渐减小
C. 小石块滑动前受到地面施加的摩擦力逐渐增大，滑动后受到的摩擦力不变
D. 小石块有可能连同气球一起被吹离地面

【例2】（多选）如图所示，质量为M的木块C放在水平地面上，固定在C上的竖直轻杆的顶端分别用细绳a和b连接小球A和小球B，小球A、B的质量分别为mA和mB，当与水平方向成30°角的力F作用在小球B上时，A、B、C刚好相对静止一起向右匀速运动，且此时绳a、b与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则下列判断正确的是( )
A．力F的大小为mBg
B．地面对C的支持力等于(M＋mA＋mB)g
C．地面对C的摩擦力大小为3/2mBg
D．mA＝mB



【变式1】（多选）如图12所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面C上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态。则( )
A．水平面对C的支持力小于B、C的总重力
B．B一定受到C的摩擦力
C．C一定受到水平面的摩擦力
D．若将细绳剪断，物体B开始沿斜面向下滑动，则水平面对C的摩擦力可能为零

【变式2】如图所示，位于粗糙斜面上的物体P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连。已知物体P和Q以及P与斜面之间的动摩擦因数都是μ，斜面的倾角为θ，物体P的质量为m，物体Q的质量为2m，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计，若用一沿斜面向下的力F拉P，使其匀速下滑，试求：

(1)连接两物体的轻绳的拉力FT的大小；
(2)拉力F的大小。





精讲2 三角形法解决动态平衡的三种情况
? 这里的三角形法是指动态三角形法、相似三角形法和正弦定理三种方法（这种方法只能应用于平衡状态下，因为平衡状态下物体受力为零，分力能组成闭合的三角形，方便讨论大小变化及最值）
1.图解法/动态三角形：
图解法分析物体动态平衡问题时，一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一
个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化
课堂练习
【例1】如图所示，有一倾角为θ的斜面，斜面上有一能绕固定轴B转动的木板AB，木板AB与斜面垂直，把球放在斜面和木板AB之间，不计摩擦，球对斜面的压力为F1，对木板的压力为F2．将板AB绕B点缓慢推到竖直位置的过程中，则（ ）
F1和F2都增大
B．F1和F2都减小
C．F1增大，F2减小
D．F1减小，F2增大

【变式1】质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上.用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示.用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
F逐渐变大，T逐渐变大
B.F逐渐变大，T逐渐变小
C.F逐渐变小，T逐渐变大
D.F逐渐变小，T逐渐变小

【变式2】如图,一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为N1,球对木板的压力大小为N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦,在此过程中( )
A.N1始终减小,N2始终增大
B.N1始终减小,N2始终减小
C.N1先增大后减小,N2始终减小
D.N1先增大后减小,N2先减小后增大




2.相似三角形：
?一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都在发生变化，此时就适合选择相似三角形来解题了
?物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平
行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向

【例1】如图所示，一轻杆AB，A端铰于低墙上，B端用细线系住跨过低墙顶上的C点(光滑)用力F拉住，并在B端挂一重物．现缓慢地拉线使杆向上转动，杆与墙的夹角逐渐减小．在此过程中，杆所受的压力FN和拉力F的大小变化情况是( )
FN和F均变大
B．FN变小，F变大
C．FN变大，F变小
D．FN不变，F变小

【变式1】半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的大小变化的情况是( )
A．FN不变，FT变小
B．FN不变，FT先变大后变小[来源:学+科+网]
C．FN变小，FT先变小后变大
D．FN变大，FT变小




【变式2】如图所示，用粗铁丝弯成半圆环，半圆环最高点B处固定一个小滑轮，小圆环A用细绳吊着一个质量为m的物块并套在半圆环上。细绳另一端跨过小滑轮，用力F拉动，使A缓慢向上移动（不计一切摩擦，绳子不可伸长）．则在物块移动过程中，关于拉力F和铁丝对A的支持力N，以下说法正确的是（ ）

A．F变大 B．N变大 C．F变小 D．N变小

3.正弦定理/辅助圆（老师可根据情况选择性讲解）
?物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都在发生变化，但是两
者之间的夹角不变
?结合数学知识，圆内某弦与圆上一点形成的夹角不变可得，此时就适合借助辅助圆来解决。

【例1】（多选）如图所示的装置，用两根细绳拉住一个小球，两细绳间的夹角为，细绳AC呈水平状态.现将整个装置在纸面内顺时针缓慢转动，共转过90°.在转动的过程中，CA绳中的拉力F1和CB绳中的拉力F2的大小发生变化，即 ( )

A．F1先变小后变大 B．F1先变大后变小 C．F2逐渐减小 D．F2最后减小到零



【变式1】(多选)如图所示,两根轻绳一端系于结点O,另一端分别系于固定圆环上的A、B两点,O为圆心.O点下面悬挂一物体M,绳OA水平,拉力大小为F1,绳OB与绳OA的夹角α=120°,拉力大小为F2.将两绳同时缓慢顺时针转过75°,并保持两绳之间的夹角α始终不变,物体始终保持静止状态.则在旋转过程中,下列说法正确的是( )

A.?F1逐渐增大 B.F1先增大后减小 C.F2逐渐减小 D.F2先减小后增大

精讲3 多维空间受力分析
?该类问题一般取材于生活实例，例：降落伞、照相机的三脚架、悬挂式的盆栽...
?
?此类问题每根绳/杆上的力分解为水平和竖直方向两个力，在水平方向（如三脚架俯视图）三个分
力的合力一定为零，我们只需要分析竖直方向的力即可；转化为平面解决
课堂练习
【例1】如图,某工地上起重机将重为G的正方形工件缓缓吊起。四根等长的钢绳(质量不计),一端分别固定在正方形工件的四个角上,另一端汇聚于一处挂在挂钩上,绳端汇聚处到每个角的距离均与正方形的对角线长度相等.则每根钢绳的受力大小为( )

A. B. C. D.
【变式1】如图所示,置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机,三脚架的三根轻质支架等长,与竖直方向均成30°角,则每根支架中承受的压力大小为( )

A. B. C. D.

精讲4 平衡条件的临界条件（极值求解）
1.临界条件：某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。物体平衡的临界状态是指物体所处的平衡将要被破坏，而尚未被破坏的状态。
?当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述.
2.极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.一般用图解法或解析法进行分析.
3.解决极值问题和临界问题的方法
?(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.
?(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).
?(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.



课堂练习
【例1】用两根绳子吊起一个重物，物体的重力为G=100N，如图所示（sin37°=0.6，sin53°=0.8）求：
（1）AO绳所受的拉力F1和BO绳所受的拉力F2分别为多少？
（2）如果绳AO和绳BO能承受的最大拉力都是200N，若逐渐增加物体重力，则AO和BO那根绳子先断？为什么？




【变式1】如图所示,三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点,A、B两端被悬挂在水平天花板上,相距2L.现在C点悬挂一质量为m的重物,为使CD绳保持水平,在D点可施加力的最小值为 ( )

A. B. C. D.

【变式2】如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求:
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ的大小.


课后作业
1.如图所示，用两个弹簧秤A和B，互成角度地拉橡皮条，使结点O达到图中所示位置，在保持O点位置和B弹簧秤拉力方向不变的情况下，将弹簧秤A缓慢地沿顺时针方向转动，那么在此过程中，A与B的示数将分别( )
A．变大；变小
B．变小；变小
C．先变小再变大；变小
D．先变大再变小；变大

2.（多选）如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

3.如图所示，A、B两物体紧靠着放在粗糙水平面上，A、B间接触面光滑。在水平推力F作用下两物体一起加速运动，物体A恰好不离开地面，则物体A的受力个数为( )

A．3 B．4 C．5 D．6



4.如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔,质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住.现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移.在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小变化情况是 ( )

A.F不变,N增大 B.F不变,N减小 C.F增大,N减小 D.F减小,N不变

5.（多选）一铁架台放于水平地面上,其上有一轻质细线悬挂一小球,开始时细线竖直,现将水平力F作用于小球上,使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置,铁架台始终保持静止,则在这一过程中( )
A.细线拉力逐渐增大
B.铁架台对地面的压力逐渐增大
C.铁架台对地面的压力逐渐减小
D.铁架台所受地面的摩擦力逐渐增大

6.（多选）如图所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放在斜面上，轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的滑轮固定在c点，滑轮2下悬挂物体b，系统处于静止状态。若将固定点c向右移动少许，而a与斜劈始终静止，则(不计滑轮重力)( )
细线对物体a的拉力增大
B．斜劈对地面的压力减小
C．斜劈对物体a的摩擦力减小
D．地面对斜劈的摩擦力增大




7.如图所示，倾角为θ的固定光滑斜面底部有一垂直斜面的固定档板C。劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与挡板C和质量为m的物体B连接，劲度系数为k2的轻弹簧两端分别与B和质量也为m的物体A连接，轻绳通过光滑滑轮Q与A和一轻质小桶P相连，轻绳AQ段与斜面平行，A和B均静止。现缓慢地向小桶P内加入细砂，当k1弹簧对挡板的弹力恰好为零时，求：

（1）小桶P内所加入的细砂质量；
（2）小桶下降的距离。











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