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解析几何——离心率专题
1、 基本概念
类型 椭圆 双曲线
图像
关系
计算方法
2、 的基本计算
1. 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是　 　．
2. 在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为　 　．
3、 与几何意义有关的问题
1. 直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为　　　．
2. 已知双曲线的离心率是，则该双曲线两渐近线夹角是　 　．
3. 过双曲线的焦点作渐近线垂线，垂足为若的面积为（为坐标原点），则双曲线离心率为　 　．
4. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
4、 与椭圆双曲线定义有关的
（1） 直接应用定义
1. 圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线C的离心率等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2. 设，分别是双曲的左，右焦点，双曲线上存在一点使得，则双曲线C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
（2） 与三角形有关的
3. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是　 　．
4. （2018广一模文）在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5. 点是双曲线：与圆的一个交点，且，其分别为双曲线的两个焦点，由双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6. 设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是　 　．
7. 如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为　 　．
8. 已知双曲线的左、右端点分别为两点，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为　 　．
9. 椭圆与双曲线有公共焦点、，它们在第一象限的交点为，且，，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为　 　．
10. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11. 设，分别是双曲的左，右焦点，点在此双曲线上，且，则双曲线C的离心率等于（ ）
A．． B． C． D．
12. 设，是椭圆：=1的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
． ． ． ．
13. 已知F是双曲线的左焦点，是右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
14. ★已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
15. 已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16. ★设点分别为椭圆的左右焦点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
17. ★如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线 离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5、 与通径、焦半径有关的
曲线类型 椭圆 双曲线 抛物线
图像
长度
1. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的倍，则的离心率为　 　．
2. 双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰好过它们的公共焦点，则双曲线C的离心率等于　 　．
3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、 综合问题
1. 已知双曲线的右焦点为，焦距为，左顶点为，在轴上有一点，满足，则该双曲线的离心率的值为　 　．
2. 已知双曲线的右焦点为F，过F作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若，则的离心率为　 　．
4. 若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______．



解析几何——离心率专题（解析版）
1、 基本概念
类型 椭圆 双曲线
图像
关系
计算方法
2、 的基本计算
1. 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是　 　．【答案】
2. 在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为　 　．【答案】
3、 与几何意义有关的问题
1. 直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为　　　．【答案】
2. 已知双曲线的离心率是，则该双曲线两渐近线夹角是　 　．
【答案】
3. 过双曲线的焦点作渐近线垂线，垂足为若的面积为（为坐标原点），则双曲线离心率为　 　．【答案】
4. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率（ D ）
A． B． C． D．
4、 与椭圆双曲线定义有关的
（1） 直接应用定义
1. 圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线C的离心率等于（ D ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2. 设，分别是双曲的左，右焦点，双曲线上存在一点使得，则双曲线C的离心率等于（ D ）
A． B． C． D．
（2） 与三角形有关的
3. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是　 　．【答案】
4. （2018广一模文）在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为（ A ）
A． B． C． D．
5. 点是双曲线：与圆的一个交点，且，其分别为双曲线的两个焦点，由双曲线的离心率为（ A ）
A． B． C． D．
6. 设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是　 　．【答案】
7. 如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为　 　．
【解析】设，则由双曲线定义可知：
，可得； ，可得，
又，所以，故有
在中，由余弦定理可得：，可得
8. 已知双曲线的左、右端点分别为两点，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为　 　．
【解析】由图可知，，所以是正三角形．
，易得
9. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ A ）
A． B． C． D．
【解析】本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，
从而，又因为，则直角三角形中，，
且，，所以，故选A．
10. 椭圆与双曲线有公共焦点、，它们在第一象限的交点为，且，，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( B )
A．2　　　B． C． D．
11. 设，分别是双曲的左，右焦点，点在此双曲线上，且，则双曲线C的离心率等于（ B ）
A．． B． C． D．
【解析】连接，则，故有，
则有，所以，故
12. 设，是椭圆：=1的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，则的离心率为( C )
． ． ． ．
【解析】在中，，得
13. 已知F是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为 （ B ）
A． B． C． D．
【解析】从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角．由对称性可得只需即可．且均可用表示，是通径的一半，得：，，所以，即
14. ★已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ D ）
A. B. C. D.
【解析】为焦点三角形的内角，且对边为焦半径，所以利用正弦定理对等式变形：，再由解得：，再利用焦半径的范围为可得（由于依题意，非左右顶点，所以焦半径取不到边界值）：，解得
15. 已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
【解析1】考虑在椭圆上的点与焦点连线所成的角中，当位于椭圆短轴顶点位置时，达到最大值．所以若椭圆上存在的点，则短轴顶点与焦点连线所成的角，考虑该角与的关系，由椭圆对称性可知，，所以，即，进而即，解得，再由可得
【解析2】由可得，进而想到焦点三角形的面积：，另一方面：，从而，因为在椭圆上，所以，即，再同思路一可解得：
【解析3】可想到，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程．设，则有，则，即点一定在以为圆心，为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径时才可有交点，所以，同思路一可解得
【解析4】开始同思路三一样，得到所在圆方程为，因为在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：代入消去可得：，整理后可得：，由可得：，同思路一即可解得：
16. ★设点分别为椭圆的左右焦点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ D ）
A. B. C. D.
【解析】本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点”，则的横纵坐标分别位于中，所以致力于计算的坐标，设，题目中，由可得也在以为直径的圆上．即，所以联立方程：，即，由已知可得也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：，再根据的范围可得：，解得
17. ★如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线 离心率的取值范围为（ B ）
A． B． C． D．
【解析】本题与焦半径相关，所以考虑的几何含义，可得为直角三角形，且，结合可得，因为关于原点对称，所以即为的左焦半径．所以有，则 ，即关于的函数，，所以
5、 与焦半径、通径有关的
曲线类型 椭圆 双曲线 抛物线
图像
长度
5. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的倍，则的离心率为　 　．【答案】
6. 双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰好过它们的公共焦点，则双曲线C的离心率等于（ B ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，在抛物线中，；在双曲线中，，所以有，可得，选B
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为（ A ）
A． B． C． D．
【解析】由双曲线可知，所以，因为点，即，所以，即最大值为
8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
【解析】为钝角三角形，且
即，，即
6、 综合问题
1. 已知双曲线的右焦点为，焦距为，左顶点为，在轴上有一点，满足，则该双曲线的离心率的值为　 　．【答案】2
2. 已知双曲线的右焦点为F，过F作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为(　C　)
A． B． C． D．
3. 已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若，则的离心率为　 　．【答案】
4. 若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ D ）
A． B． C． D．
【解析】双曲线的渐近线方程为，
由双曲线与直线有交点，则有，即有，
则双曲线的离心率的取值范围为，故选D．
5. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______．【答案】
【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为，
由于的斜率为，所以，且，所以是等边三角形，所以，所以，，
所以，
所以，由双曲线的定义可知，所以双曲线的离心率为．

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