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九年级数学上册《圆》易错点提示与技巧分类梳理
(本资料所选用例题均来自各地历年中考试卷，例题不拘难易，只求阐述相关知识点)
一、圆的定义
1.易错提示：
? 圆是圆周，是曲线，而不是指圆面。
2.技巧：
（1）圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）圆上各点到圆心的距离都等于半径；在平面内，到圆心距离等于半径的点都在同一个圆上。
二、弦与直径

易错提示：
? 弦与直径的关系：直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径，因此，在提到“弦”时，如果没有特殊说明，不要忘记直径这种特殊的弦。（直径是圆中最长的弦）
三、弧和半圆

1.易错提示：
? 半圆是弧，但弧不一定是半圆。
2.技巧：
（1）优弧和半圆通常用三个字母表示，劣弧通常用两个字母表示。
（2）知道弧的两个端点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论。
（3）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。同一条弦分别与所对的优弧、劣弧组成两个不同的弓形。
四、等圆、等弧
易错提示：
? 等弧只能出现在同圆或等圆之中，等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。
五、圆的对称性
1.易错提示：
? 不能说“圆的对称轴是直径”，因为直径是线段，对称轴是直线。（圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。）
2.技巧：
圆有无数条对称轴；圆是旋转对称图形，它关于圆心有任意角的旋转对称性。
六、垂径定理及其推论
技巧：
一条直线如果具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”。
典例：如图，在⊙O中，OC弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是 。

解析：由已知，AB=4，OC=1，
结合垂径定理得：BC=AB=2
在Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2=12+22=52
则OB=
七、圆心角及圆心角定理

1.易错提示：
? 运用圆心角定理时，应注意其成立的条件是“在同圆或等圆中”。
? 由弦相等推出弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧。
2.技巧：
圆心角、弧、弦直接的关系可归纳为：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么所对应的其余各组量也分别相等。
八、圆周角及圆周角定理
1.易错提示：
? 圆周角必须具备两个特征：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交，如图，只有③是圆周角。切记，同一条弧所对的圆周角有无数个。

2.技巧：
（1）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
（2）圆周角定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”。
（3）同弧指同一条弧，同一条会所对的圆周角有无数个，它们的度数都相等；等弧是指同一个圆中能重合的弧或等圆中能重合的弧。
典例：如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的大小为 。

解析：根据圆周角定理，得∠BAC=∠BOC=×78°=39°
九、圆内接四边形
易错提示：
? 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆。（圆内接四边形的对角互补）
典例：如图，梯形ABCD内接于圆⊙O，AD∥BC，∠BAD=49°，则∠AOC的度数为

解析：由AD∥BC，∠BAD=49°知∠B=180°—49°=131°
由圆内接四边形的性质知∠D+∠B=180°
∴∠D=180°—∠B=180°—131°=49°
由圆周角定理知∠AOC-2∠D=2×49°=98°
十、点和圆的位置关系
判断技巧：半径r，点到圆心的距离d
(1)点C在圆外←→d＞r
(2)点B在圆上←→d=r
(3)点A在圆内←→d＜r

十一、确定圆的条件和三角形的外接圆
1.易错提示1：
? “不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，切记这里的“不在同一条直线上”是前提，“确定一个圆”即应理解为“有且只有一个圆”。
2.技巧：
过不在一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，事实上，三条线段的垂直平分线交于一点。
3. 易错提示2：
? 任意一个三角形都有外接圆，而且有且只有一个外接圆。
典例：如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（ ）

A. 4 B.6 C.8 D.12
解析：∵∠B=60°∴∠AOC=2∠B=120°
又∵OP⊥AC，∴∠POC=∠AOC=60°
∴∠OCP=30°，∴OC=2OP= 4。故选A
十二、直线与圆的位置关系
技巧：
判断直线和圆的位置关系的方法：
（1）根据直线和圆的公共点个数。
（2）根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系。
①直线l和⊙O相交←→d＜r；如图1
②直线l和⊙O相切←→d=r；如图2
③直线l和⊙O相离←→d＞r；如图3

典例：直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是
解析：当直线l和⊙O相交时，圆心到直线的距离d＜r，
因为d=6，所以r＞6
十三、切线的判定定理
1.易错提示：
? 判定圆的切线时，必须有两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径。两者缺一不可。
2.方法技巧：
要判定直线是圆的切线，常见的判定方法：
方法一：如果已知直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到一条半径，证明这条半径与已知直线垂直即可，可记做：“连半径，证垂直”。
方法二：如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径即可，可记做：“作垂直，证半径”。
典例：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB，E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过D点。
（1）求证：AB是⊙O的切线
（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长。

解析：（1）证明：如图，连接OD,
由圆周角定理，得∠DOB=2∠DCB
∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB
又∵∠A+∠B=90°，∴∠DOB+∠B=90°
∴∠DBO=90°，∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线。
（2）如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，
∵OM⊥CD，∴CM=DM
又∵OC=OE，∴DE=2OM=2
∵Rt△BDO中，BE=EO，
∴DE=BO，∴BO=4，∴OD=OE=2
由勾股定理得BD=2
十四、切线的性质定理
1.易错提示：
? 切线的判定定理与切线的性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用的；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他结论时使用的，两者在使用时不要混淆。
2.技巧：
有圆的切线时，常常连接圆心和切点得到切线垂直于半径，这是圆中常作的辅助线。
典例：如图，P是⊙O外的一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（ ）

A.18πcm B. 16πcm C. 20πcm D. 24πcm
解析：连接AO，∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，∴AO2+PA2=PO2，
∴AO===10（cm）
∴⊙O的周长为2π×AO=20πcm。
故选C。
十五、切线长和切线长定理
定理应用技巧：如图,

P为⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，由切线长定理可得两个结论：PA=PB；∠APO=∠BPO。
典例：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则
∠BAC= 。

解析：由切线长定理知PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA,
∴∠PBA= =70°，
∴∠BAC=90°—70°=20°。
十六、三角形的内切圆
易错提示：
? 三角形的内切圆的圆心是三角形的内心，所以无论钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部。
十七、圆和圆的位置关系
1.判断方法：如果两圆的半径分别为r1和r2（r1＜r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则两圆的位置关系如下表：
两圆的位置关系 d与r1和r2之间的关系
外离 d＞r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 r2-r1＜d＜r1+r2
内切 d= r2-r1
内含 d＜r2-r1

2.技巧：

十八、正多边形和圆

1.易错提示：
? 各边相等的圆内接多边形是正多边形；但是各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形。
2.技巧：
在解决正多边形的有关计算时，通过作正n边形的半径和边心距，把正多边形的有关计算转化到直角三角形中进行，利用勾股定理如R2=r2+(a)2，其中正多边形的半径为R，边心距为r，边长为a，即可完成一些特殊的正多边形的计算。
典例：已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ）
A.6 B.12 C.6 D.12

解析：如图，在Rt△AOG中，OG=.∠AOG=30°
∴AG=OA
由勾股定理，得OA2=OG2+AG2
即OA2=3+OA2，解得OA=2，
∴AG=OA=1，
∴AB=2AG=2，
∴正六边形的周长为6AB=12
十九、弧长公式
方法技巧：
（1）在弧长公式l=中有三个量l、n、R，已知其中的任意两个量，可求出第三个量。
（2）若题目中没有明确给出精确度，可用含“π”的数表示弧长。
典例：如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长 （结果保留π）

解析：连接OB，OC，如图，

∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°
∵∠OAB=30°，OA=2，
∴OB=OA=1，∠AOB=60°
∵BC∥OA，∴∠AOB=∠OBC=60°.
又∵OC=OB，
∴△OBC为等边三角形，∴∠COB=60°.
∴的弧长l= = 。
二十、扇形面积公式
方法点拨：
（1）S扇形 =和S扇形 =lR（l为弧长，R为半径），两个扇形面积公式在运用时，要根据题目条件灵活运用，无论选用哪个公式，R必须已知。
（2）扇形的周长为l+2R。
（3）弓形的面积：如图，S弓形= S扇形 —S△AOB

典例：一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为 。
解析：由扇形面积公式S扇形 =得S扇形 = =3π。
二十一、圆锥的侧面积和全面积

公式梳理：
圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r+l)
典例：已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 。
解析：根据圆锥的侧面积公式，得S侧=πrl=π×3×5=15πcm2

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