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求数列的通项公式专题训练
1.归纳法（数学归纳法）
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）（3）
（4）（5），，，…
解：（1）变形为：101－1，1021，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：
（2） （3）
（4）. （5）
点评：关键是找出各项与项数n的关系。
例2. 已知数列满足,.
(1).计算 ,,,的值;
(2).根据以上计算结果猜想的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.
答案：(1)由 和,得.
(2)由以上结果猜测:
用数学归纳法证明如下:①当时,左边,右边,等式成立.
②假设当时,命题成立,即成立.
那么,当时,
这就是说,当时等式成立.
由①和②,可知猜测对于任意正整数都成立.
针对性训练：① 3 33 333 333 3333 … （）
②… （）
2. 公式法
直接利用等差或等比数列的通项公式写出，这种方法适用于已知数列类型的题目，也是最基本的方法之一。
例1. 已知数列中，，且是等比数列．求数列的通项公式；
解：∵是等比数列且，
，，
∴，∴
例2 ：等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.
　　 解：设数列公差为d(d>0)　　
∵成等比数列，


3. 与的关系
，即已知数列前n项和，求通项。
例3：已知下列两数列的前n项和的公式，求的通项公式。
（1）。 （2）
解： （1）=1
===3
此时，。∴=3为所求数列的通项公式。
（2），
当时
由于不适合于此等式 。 ∴
点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
针对训练:
1. 已知数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式.
解析：由已知条件可得, 则,
所以当时,,
当时,, ? ?
故.
2.设数列的前n项和为,若且当时,,则的通项公式为_______________.

解析：当时,由可得，
∴,即,
∴数列是首项为,公差为的等差数列,
∴.
当时,,
又,∴.
4.叠加法
递推公式为=+f(n)或=+f(n)，通常把原递推公式转化为-=f(n) 或-=f(n)，利用逐差相加法求解。
例4. 若在数列中，，，求通项。
解析：由得，
所以，
，
…，
，
将以上各式相加得：，
又所以 =
针对性训练：已知数列中，求的通向公式
解： 由已知得，，
令，代入个等式累加，即



5.叠乘法
递推公式为=f(n)或=f(n)，通常把原递推公式转化为=f(n) 或=f(n)，利用逐商相乘法求解。
例5 .已知数列满足，求的通向公式。
　　 解：由条件知，分别令n=1，2，3……，(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累乘之，即
　　
针对性训练：设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.
解：已知等式可化为：
()(n+1), 即
时，
==

6.构造法
1)构造等比数列
若有递推关系（其中p，q均为常数，），一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，构造等比数列求解。
例.已知数列满足,且.求数列的通项公式.
解析：∵,
∴.
由,知,可得.
∴.
∴数列是以为首项,2为公比的等比数列.
∴
即.
针对训练：已知数列中，，．求的通项公式；
解：由，
得，
，
数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
从而，


2)构造等差数列
作除法：
例1.在数列中,, .求:数列的通项公式;
解：(1)将,两边同除以,
得.
∴,即数列｛｝是等差数列
则.
∴.
取倒法：
例2. 已知数列满足,且，求数列的通项公式
解：∵,
∴, 即
∴数列是等差数列
则,所以
针对训练. 已知数列满足当时，，且．求数列的通项公式；
解析：(1)证明 由得：，
由及逆推式，，
两边同除以，得，
所以，数列是等差数列
则 ，
所以=
作差法
例1.已知数列满足:.求出数列的通项公式；
解：(1)因为 .
所以 ，
两式相减得：
当，时也符合上式，所以通项公式为：

针对训练.设数列满足．求的通项公式；
解：数列满足．
时，．
两式相减得，．
当时，，上式也成立．
．

待定系数法
例. 在数列中，,求通项.
解：原递推式可化为
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为.
即：
故.

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