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关于斜向发射炮弹水平方向动量是否守恒的探讨
题目：(2019-2020学年天一大联考高中毕业班阶段性测试(三)第13题)
一礼炮车(不包含礼炮弹)的质量为M=2000kg，礼炮弹的质量为m=5kg，发射时炮口和水平地面成60°角。在某次试射礼炮弹成功后，礼炮车在水平地面上后退了0.1m，若礼炮车受到的地面阻力是车重的一半，不考虑炮弹发射时间，重力加速度g取10m/s2,求礼炮弹离开炮口时的速度大小.
答案解析：
设炮弹离开炮口时速度大小为v0，炮车后退速度为v，炮车后退过程由动能定理可得
解得v=1m/s。
其中k =0.5 s=0.1m
取炮车后退方向为正，炮弹离开炮口瞬间，炮弹和炮车在水平方向符合动量守恒，则在水平方向由动量守恒得
Mv-mv0cos60°=0
解得v0=800m/s.
1：参考解答存在问题。
炮弹离开炮口时，炮车具有速度v，炮弹在炮筒里，炮弹相对于炮车的速度方向与地面夹角为60°，炮弹的速度方向与地面夹角不是60°。速度关系如图：

图 1 速度关系示意图
设炮车的水平分速度和竖直分速度分别为vx和vy。
由炮车和炮弹水平方向动量守恒，得
Mv-mvx=0 解得 vx=400m/s
速度关系：

解得
炮弹速度为

2 ：水平方向动量吗.
竖直方向炮车和炮弹组成得系统动量不守恒，水平方向动量守恒吗？动量守恒得条件是若在某个方向系统所受合外力为零，则该方向系统动量守恒。对于炮车和炮弹组成的系统，水平方向上炮车受到地面的阻力，严格地说水平方向动量是不守恒的。但是如果地面阻力远小于炮车和炮弹之间的内力(即火药爆炸产生的作用力)，还是可以近似利用动量守恒求解的。这是利用动量守恒的一个普遍情况。
参考解答认为地面阻力相对于内力可以忽略，故水平方向动量守恒。然而，究竟地面阻力是否远小于内力，需要通过计算判断，而不能不经分析就断然作出结论。
下面建立物理模型，计算地面阻力与炮车和炮弹间的作用力，比较二者大小。
通过上述计算，炮车后退速度为1m/s，相对于炮弹速度较小。故可以认为炮弹离开炮筒时速度大小v0=800m/s，速度方向和地面夹角α=60°。火药爆炸时对炮车和炮弹的作用力较复杂，取平均作用力F计算，即认为炮车和炮弹之间的作用力是恒定的，炮弹在炮筒中作匀加速直线运动，从0加速到v0=800m/s，设炮筒长为l =2.5m.(取此数值是符合实际情况的)

图 2
炮弹和炮车受力如图：

图 3 受力示意图(左图为炮弹受力，右图为炮车受力)
F为炮车和炮弹之间的内力，N为炮筒对炮弹的弹力，FN为地面对炮车的弹力，f为地面对炮车的阻力.
对炮弹，由动能定理得，
①
解得
②
对炮车，由竖直方向受力平衡得
FN=Mg+Fsinα+Ncosα=Mg++mgcos2α
=(M+m)g+ ③
阻力为
④
阻力占内力百分比为
⑤
由⑤式可知，地面对系统阻力占内力的44.8%，故阻力的冲量不能忽略，对于炮车和炮弹组成的系统水平方向动量不守恒。
由⑤式可以看出，阻力是否远小于内力，与炮筒倾角α、炮弹速度、炮车质量 M、
以及炮车和地面的摩擦系数k有关。对于该类题目，在命题时需要选择合适且不违背客观实际的数据才能避免错误。这一点需要命题人注意.
3：如何修改才能满足水平方向动量守恒？
记炮车和炮弹质量比值为β=M/m，动摩擦因数用μ表示，摩擦力与炮车与炮弹间作用力比值为
⑥
方案1 修改动摩擦因数
由⑥式，若炮车与地面间光滑或动摩擦因数很小，则水平方向动量守恒。对于该题，可将动摩擦因数由0.5改为0.1，则 f /F= 8.96%，可近似认为动量守恒。
方案2修改炮筒仰角α.
炮筒仰角α对f / F比值也有影响，f/F的比值与仰角关系如图4所示，图中纵轴表示百分比。当仰角为60°，为44.8%。可以看出，降低仰角，也可以减少摩擦力与内力的比值。

图 4 f/F 的比值与仰角α关系
若取f / F=10%，可求出α=0.17=30.6°。对于该题目，可将炮筒仰角改为30°，也可近似认为炮车和炮弹组成的系统水平方向动量守恒。

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