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行星、卫星的运动问题
例2　(2019·河南郑州三模)地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所成夹角叫做地球对该行星的观察视角，如图中θ所示。当行星处于最大观察视角时是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时机。已知某行星的最大观察视角为θ0，则该行星绕太阳转动的角速度与地球绕太阳转动的角速度之比为(　　)
A. B. C. D.
(1)何时观察视角最大？
提示：当地球与行星的连线与行星轨道相切时，观察视角最大。
(2)如何求角速度？
提示：根据万有引力等于向心力即可求解。
[解析]　由题意可知，当地球与行星的连线与行星轨道相切时，观察视角最大，设R为地球的轨道半径，可得行星的轨道半径r＝Rsinθ0，得：＝sinθ0。设太阳的质量为M，根据万有引力提供向心力，则有：G＝mω2r，得：ω2＝，行星绕太阳转动的角速度与地球绕太阳转动的角速度之比为：＝＝，故A正确，B、C、D错误。
[答案]　A
环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即＝m＝mrω2＝mr·()2＝ma；
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg天体。
(3)三点提醒
①a、v、ω、T、r只要一个量发生变化，其他量也发生变化；
②a、v、ω、T与环绕天体的质量无关；
③对于人造地球卫星，当r＝R地时，v＝7.9 km/s为第一宇宙速度。
(4)四点注意
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。
③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。
④区别轨道半径与距天体表面的高度。
4．(2019·安徽省江南十校二模)2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器成功软着陆在月球背面预选区域。发射后，嫦娥四号探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球附近，成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入距离月球表面高度为h的环月轨道。若忽略月球自转，月球的半径为R，将嫦娥四号探测器的环月轨道视为圆形轨道，运动周期为T，引力常量为G，不计因燃料消耗而损失的质量，则下列说法正确的是(　　)
A．嫦娥四号在轨道上的速度与月球的第一宇宙速度之比是
B．嫦娥四号在轨道上的速度与月球的第一宇宙速度之比是
C．嫦娥四号在轨道上的加速度与月球表面的重力加速度之比是
D．嫦娥四号在轨道上的加速度与月球表面的重力加速度之比是
答案　C
解析　由G＝m，得v＝ ，所以嫦娥四号在轨道上的速度与月球的第一宇宙速度之比是，A、B错误；由G＝ma，得a＝，所以嫦娥四号在轨道上的加速度与月球表面的重力加速度之比是，C正确，D错误。
5．(2019·广东惠州二模)(多选)2018年7月27日出现了“火星冲日”的天文奇观，火星离地球最近最亮。当地球位于太阳和火星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学称之为“火星冲日”。火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表。则根据提供的数据可知(　　)
质量
半径
与太阳间距离
地球
M
R
r
火星
约0.1M
约0.5R
约1.5r
A．在火星表面附近发射飞行器的速度至少为7.9 km/s
B．理论上计算可知下一次“火星冲日”的时间大约在2020年10月份
C．火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为2∶5
D．火星运行的加速度比地球运行的加速度大
答案　BC
解析　根据近地卫星的向心力由万有引力提供，由＝m，可得近地卫星的最小发射速度v＝，火星质量是地球质量的0.1倍，火星半径是地球半径的0.5倍，所以v火＝＝ ＜ ＝v地，即在火星表面附近发射飞行器的最小速度小于在地球表面发射飞行器的最小速度(7.9 km/s)，故A错误；根据开普勒第三定律可知：＝，解得T火＝＝1.5 年≈1.8年，设至少再次经过时间t火星再次冲日，则t－t＝2π，解得t＝2.25年＝2年零3个月，则理论上计算可知下一次“火星冲日”的时间大约在2020年10月份，故B正确；根据＝mg，解得g＝，则＝×＝0.1×()2＝，故C正确；根据G＝ma可知，火星运行的加速度比地球运行的加速度小，故D错误。
高考考向3　航天器的变轨问题
例3　(2019·湖北荆州高三四月质检)2018年12月8日凌晨2点24分，中国长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心起飞，把嫦娥四号探测器送入地月转移轨道，“嫦娥四号”经过地月转移轨道的P点时实施一次近月调控后进入环月圆形轨道Ⅰ，再经过系列调控使之进入准备“落月”的椭圆轨道Ⅱ，于2019年1月3日上午10点26分，最终实现人类首次在月球背面软着陆。若绕月运行时只考虑月球引力作用，下列关于“嫦娥四号”的说法正确的是(　　)
A．“嫦娥四号”的发射速度必须大于11.2 km/s
B．沿轨道Ⅰ运行的速度大于月球的第一宇宙速度
C．沿轨道Ⅰ运行至P点的加速度小于沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度
D．经过地月转移轨道的P点时必须进行减速后才能进入环月圆形轨道Ⅰ
(1)卫星在圆形轨道Ⅰ上P点所受的万有引力与向心力是否相等？
提示：相等。
(2)卫星经过地月转移轨道的P点时，所受万有引力与向心力是否相等？
提示：不相等，万有引力小于向心力。
[解析]　嫦娥四号仍在地月系里，没有脱离地球的束缚，故其发射速度需小于第二宇宙速度而大于第一宇宙速度，故A错误；卫星在轨道Ⅰ的轨道半径大于月球的半径，由公式v＝ 可知，沿轨道Ⅰ运行的速度小于月球的第一宇宙速度，故B错误；卫星经过P点时的加速度由万有引力产生，不管在哪一轨道，只要经过P点，加速度都相同，故C错误；卫星经过地月转移轨道的P点时，如果不调控，卫星将远离月球，即万有引力不足以提供所需的向心力，所以卫星经过地月转移轨道的P点时必须进行减速后才能进入环月圆形轨道Ⅰ，故D正确。
[答案]　D
求航天器变轨问题的三点注意
(1)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道的周期均满足开普勒第三定律＝k。
6．(2019·四川自贡高三一诊)(多选)如图是发射的一颗人造卫星在绕地球轨道上的几次变轨图，轨道Ⅰ是圆轨道，轨道Ⅱ和轨道Ⅲ是依次在P点变轨后的椭圆轨道。下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道Ⅰ上的运行速度大于7.9 km/s
B．卫星在轨道Ⅱ上运动时，在P点和Q点的速度大小相等
C．卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅱ后机械能增加
答案　CD
解析　第一宇宙速度v1＝7.9 km/s是近地卫星的运行速度，是圆轨道卫星最大的环绕速度，根据环绕半径越大线速度越小，可知卫星在轨道Ⅰ上运行时的速度一定小于7.9 km/s，故A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道Ⅱ上运动时，P点为近地点，则在P点的速度大小大于在Q点的速度大小，B错误；根据a＝可知，卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅱ，发动机做正功，机械能增加，D正确。
7．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
答案　C
解析　天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，组合体的质量比天宫二号的质量大，则其动能变大，C正确。
高考考向4　双星与多星问题
例4　(2019·贵阳一模)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波信号。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并之前，它们绕二者连线上的某点做圆周运动，且二者越转越近，最终碰撞在一起，形成新的天体。若将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，则此过程中两中子星的(　　)
A．线速度逐渐变小 B．角速度保持不变
C．周期逐渐变大 D．向心加速度逐渐变大
(1)双星系统中两颗星的轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径之和等于两星之间的距离。
(2)双星系统中两颗星的角速度、周期有什么关系？
提示：相等。
[解析]　设两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，相距L，根据万有引力提供向心力可知：＝m1r1ω2，＝m2r2ω2，又L＝r1＋r2，ω＝，联立解得ω＝，T＝，r1＝L，r2＝L，根据线速度和角速度的关系，有v1＝ωr1＝，v2＝ωr2＝，故随着L变小，线速度变大，角速度变大，周期变小，A、B、C错误；对于向心加速度，有＝m1a1＝m2a2，故可判断向心加速度变大，D正确。
[答案]　D
1.双星系统
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(4)两颗星到环绕中心的距离r1、r2与两星体质量成反比，即＝，两星体的质量与两星体运动的线速度成反比，即＝。
(5)双星的运动周期T＝2π 。
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝。
2．多星系统
(1)一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。
(2)星体所需的向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供。
8．(2019·湖南湖北八市十二校高三第二次调研联考)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统，下列说法错误的是(　　)
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为G
D．四颗星的周期均为2πa
答案　B
解析　四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径为a，A正确，B错误；由＝m′g可知，四颗星表面的重力加速度均为g＝G，C正确；由G＋2Gcos45°＝m×a×，解得四颗星的周期均为T＝2πa，D正确。
9．(2019·山东聊城二模)(多选)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则(　　)
A．b星的周期为T
B．b星的线速度大小为
C．a、b两星的轨道半径之比为
D．a、b两星的质量之比为
答案　BD
解析　两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，所以两颗星的周期相等，则Tb＝Ta＝T，故A错误；a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则ra＋
rb＝l，ra－rb＝Δr，所以ra＝，rb＝。a、b两星的轨道半径之比＝，b星的线速度大小vb＝＝，故B正确，C错误；两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，则G＝mara()2＝mbrb()2，所以a、b两星的质量之比＝＝，故D正确。
易错警示 近地卫星、同步卫星、赤道上的物体相关联的问题
例　(2019·甘肃武威六中二模)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有(　　)
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20 h
分析与解　地球同步卫星c的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度比a大。由G＝ma，得a＝G，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，A错误；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是×2π＝，故B错误；由v＝rω知，a的线速度小于c的线速度，由G＝m，可得v＝，可知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故C正确；由开普勒第三定律＝k知，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误。
答案　C
易错警示　地面上的物体，其所受万有引力不等于随地球自转的向心力。

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