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　静态平衡 和动态平衡

例2　(2019·河南百师联盟高三上学期七调)(多选)质量均为m的两物块A、B之间连接着一个轻质弹簧，其劲度系数为k，再将物块A、B放在水平地面上一斜面的等高处，如图所示。弹簧处于压缩状态，且物块与斜面均能保持静止，已知斜面的倾角为θ，两物块和斜面间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是(　　)
A．斜面和水平地面间有静摩擦力
B．斜面对A、B组成系统的静摩擦力的合力为2mgsinθ
C．若将弹簧拿掉，物块有可能发生滑动
D．弹簧的最大压缩量为

(1)研究斜面和水平地面间有无静摩擦力时适合选谁为研究对象？
提示：A、B两物块及轻质弹簧、斜面组成的整体。
(2)研究弹簧的最大压缩量时适合选谁为研究对象？
提示：物块A或者物块B。
[解析]　以A、B两物块和轻质弹簧、斜面组成的整体为研究对象进行受力分析知，整体只在竖直方向上受重力及地面的支持力，没有沿水平面的相对运动趋势，故斜面与地面间没有摩擦力作用，故A错误；选A、B组成的系统为研究对象，摩擦力等于重力沿斜面的分力，即f＝2mgsinθ，故B正确；以A为研究对象进行受力分析，在斜面内的力如图1，fA与F弹和mgsinθ的合力大小相等、方向相反，当撤去弹簧，A在斜面内的受力如图2所示，则fA′＝mgsinθ，fA′[答案]　BD
整体法和隔离法的应用技巧
(1)不涉及系统内力时，优先考虑应用整体法，即“能整体、不隔离”。
(2)应用“隔离法”时，要先隔离“简单”的物体，如待求量少、或受力少、或处于边缘处的物体。
(3)将“整体法”与“隔离法”有机结合、灵活应用。
(4)各“隔离体”间的力，表现为作用力与反作用力，对整体系统则是内力。
3．(2019·山东青岛高三一模)(多选)如图，固定在地面上的带凹槽的长直杆与水平面成α＝30°角，轻质环a套在杆上，置于凹槽内质量为m的小球b通过一条细绳跨过固定定滑轮与环a连接。a、b静止时，细绳与杆间的夹角为30°，重力加速度为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是(　　)
A．a受到3个力的作用
B．b受到3个力的作用
C．细杆对b的作用力大小为mg
D．细绳对a的拉力大小为mg
答案　BD
解析　轻质环不计重力，a静止时细绳的拉力与杆对a的弹力平衡，故拉a的细绳与杆垂直，a受到两个力作用，故A错误；对b球受力分析可知，b受到重力，绳子的拉力和杆对b球的弹力，b受到3个力的作用，故B正确；对小球b受力分析如图所示，根据几何关系可得β＝θ＝30°，设细杆对b的作用力大小为N，则：2Ncos30°＝mg，则N＝mg，细绳的拉力大小T＝N＝mg，故C错误，D正确。
4．(2020·云南省师大附中高三上学期月考)一长方体容器静止在水平地面上，两光滑圆柱体A、B放置于容器内，横截面如图所示。若圆柱体A的质量为m、半径RA＝10 cm；圆柱体B的质量为M、半径RB＝15 cm；容器的宽度L＝40 cm。A对容器左侧壁的压力大小用NA表示，B对容器右侧壁的压力大小用NB表示，A对B的压力大小用NAB表示，B对容器底部的压力大小用N表示。下列关系式正确的是(　　)
A．NA＝mg B．NB＝(M＋m)g
C．NAB＝mg D．N＝Mg＋mg
答案　C
解析　如图甲所示，根据图中几何关系可得cosθ＝＝。对球A分析受力如图乙所示，可得NA＝NA′＝mgcotθ＝mg，NAB＝NBA＝＝mg，故A错误，C正确。对A、B整体分析受力如图丙所示，可得NB＝NB′＝NA′＝mg，N＝N′＝(M＋m)g，故B、D错误。
　动态平衡
例3　(2019·四川德阳二诊)如图所示，粗糙水平地面上的长方体物块将一重为G的光滑圆球抵在光滑竖直的墙壁上，现用水平向右的拉力F缓慢拉动长方体物块，在圆球与地面接触之前，下面的相关判断正确的是(　　)
A．水平拉力F逐渐减小
B．球对墙壁的压力逐渐减小
C．地面对长方体物块的摩擦力逐渐增大
D．地面对长方体物块的支持力逐渐增大

(1)球受几个力作用？这几个力随着球下降哪些不变？哪些变？如何变？
提示：球受重力、长方体物块对球的支持力、墙壁对球水平向右的弹力，共三个力的作用。其中重力不变，墙壁对球弹力的方向不变，长方体物块对球的支持力的大小、方向均在变化。
(2)判断A、C、D选项是否正确时，适合选谁为研究对象？
提示：球和长方体物块组成的整体。
[解析]　以球为研究对象，进行受力分析如图1所示：
其中，重力G大小方向均不变，墙壁对球的弹力FN1方向不变，长方体物块对球的支持力FN2大小方向均变化，适合用图解法解题，随着FN2与水平方向夹角逐渐变小，可以看出FN1变大，FN2变大，由牛顿第三定律可知，B错误；设长方体物块的重力为G′，地面对长方体物块的摩擦力为Ff，选整体为研究对象进行受力分析，如图2所示，地面对长方体物块的支持力N等于总重力，即N＝G＋G′，故N不变，D错误；Ff＝μN＝μ(G＋G′)，故地面对长方体物块的摩擦力不变，故C错误；由Ff＝FN1＋F及FN1变大，知F减小，故A正确。
[答案]　A
1.分析三力作用下动态平衡的方法
2．动态平衡中的极值问题
若一个力为恒力，另一个力的方向恒定，在三力的矢量三角形中，以已知力为斜边，未知力为直角边时，大小、方向均未知的力为最小值。
5．(多选)城市中的路灯、无轨电车的供电线路等，经常用三角形的结构悬挂，如图是这一类结构的简化模型。图中轻杆OB可以绕过B点且垂直于纸面的轴自由转动，钢索OA和杆OB的质量都可以忽略不计，设悬挂物的重力为G，∠ABO＝90°，AB>OB。某次产品质量检测和性能测试中保持A、B两点不动，只改变钢索OA的长度，关于钢索OA的拉力F1和杆OB上的支持力F2的变化情况，下列说法正确的有(　　)
A．从图示位置开始缩短钢索OA，钢索OA的拉力F1先减小后增大
B．从图示位置开始缩短钢索OA，杆OB上的支持力F2大小不变
C．从图示位置开始伸长钢索OA，钢索OA的拉力F1增大
D．从图示位置开始伸长钢索OA，杆OB上的支持力F2先减小后增大
答案　BC
解析　分析O点的受力情况，如图所示。设钢索OA的长度为L，杆OB的长度为R，A、B两点间的距离为H，根据相似三角形知识可知＝＝，所以从题图图示位置开始缩短钢索OA，钢索OA的拉力F1减小，杆OB上的支持力F2大小不变，A错误，B正确；从题图图示位置开始伸长钢索OA，钢索OA的拉力F1增大，杆OB上的支持力F2大小不变，C正确，D错误。
6．(2019·山东潍坊二模)如图所示，固定光滑直杆倾角为30°，质量为m的小环穿过直杆，并通过弹簧悬挂在天花板上，小环静止时，弹簧恰好处于竖直位置，现对小环施加沿杆向上的拉力F，使环缓慢沿杆滑动，直到弹簧与竖直方向的夹角为60°。整个过程中，弹簧始终处于伸长状态，以下判断正确的是(　　)
A．弹簧的弹力逐渐增大
B．弹簧的弹力先减小后增大
C．杆对环的弹力逐渐增大
D．拉力F先增大后减小
答案　B
解析　由几何关系可知，弹簧的长度先减小后增加，即伸长量先减小后增加，弹簧的弹力先减小后增大，A错误，B正确；开始时弹簧处于竖直位置，根据平衡条件可得，弹簧的弹力等于环的重力，即F弹＝mg，此时杆对环的弹力为零，当环缓慢沿杆滑动时，弹簧的伸长量先减小后增大，直至弹簧与竖直方向的夹角为60°时，弹簧的长度与初始时刻相等，弹力F弹＝mg，此时垂直于杆方向有F弹cos30°＝mgcos30°，即杆对环的弹力又变为零，故杆对环的弹力先增大后减小，C错误；设弹簧与杆之间的夹角为θ，则在环从开始到弹簧与杆垂直位置的过程中，由平衡知识有F弹cosθ＋F＝mgsin30°，随θ角的增加，F弹减小，则F增大，在环从弹簧与杆垂直位置到弹簧与竖直方向的夹角为60°的过程中，由平衡知识有F＝F弹cosθ＋mgsin30°，随θ角的减小，F弹增大，则F仍然是增大，可知拉力F一直增大，D错误。
　电磁场中的受力平衡问题
例4　(2019·两湖八市十二校联合二模)如图所示，距小滑轮O正下方l处的B点用绝缘底座固定一电荷量为＋q的小球1，绝缘轻质弹性绳一端悬挂在光滑的定滑轮O正上方处的D点，另一端与质量为m的带电小球2连接，发现小球2恰好在A位置平衡，已知OA长为l，与竖直方向的夹角为60°。由于弹性绳的绝缘效果不是很好，小球2缓慢漏电，一段时间后，当滑轮下方的弹性绳与竖直方向夹角为30°时，小球2恰好在AB连线上的C位置。已知静电力常量为k，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．小球2带负电
B．小球2在C位置时所带电荷量为
C．小球2在A位置时所带电荷量为
D．弹性绳原长为l

(1)带电小球2受哪几个力？
提示：竖直向下的重力，沿绳方向的拉力和沿BA方向的库仑力。
(2)弹性绳的弹力大小与伸长量有何关系？
提示：弹力与伸长量成正比。
[解析]　两个小球之间相互排斥，可知两小球带同种电荷，所以小球2也带正电，A错误；小球2在C点时，受力分析如图， 由几何关系可得：F＝mgsin30°＝0.5mg，T＝mgcos30°＝mg，根据库仑定律得：F＝，联立可得：q2＝，故B错误；小球2在A位置时，受到的重力、库仑力和绳子的拉力，三个力之间的夹角互为120°，所以三个力的大小相等，即T′＝F′＝mg，根据库仑定律得：F′＝，小球2在A位置时所带电荷量：q1＝，故C正确；小球2在A位置时，弹性绳的长度：l1＝＋l＝l，小球2在C位置时，弹性绳的长度l2＝＋l，设弹性绳的劲度系数为k′，则：T′＝k′(l1－l0)，T＝k′(l2－l0)，联立可得：l0＝0.5l，故D错误。
[答案]　C
电磁场中的受力平衡问题是指在电场力、安培力、洛伦兹力参与下的平衡问题。处理方法与纯力学问题的分析方法一样，把方法和规律进行迁移应用即可。
7．(2019·河南省郑州市一模)(多选)如图所示，在竖直平面内有一匀强电场，一带电量为＋q、质量为m的小球在力F的作用下，沿图中虚线由M至N做竖直向上的匀速运动。已知力F和M、N之间的夹角为45°，M、N之间的距离为d，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　)
A．电场的方向可能水平向左
B．电场强度E的最小值为
C．当qE＝mg时，小球从M运动到N时电势能变化量为零
D．F所做的功一定为mgd
答案　BC
解析　小球受重力mg、拉力F与电场力qE，由题知小球做匀速直线运动，则其所受合力为零，则F和qE的合力与mg大小相等、方向相反，作出F与qE的合力，如图所示。根据右图可知，电场力在右侧，由于小球带正电，电场方向与电场力方向相同，故电场方向指向右侧，A错误；由图可知，当电场力qE与F垂直时，电场力最小，此时场强也最小，则得：qEmin＝mgsinθ，所以电场强度的最小值为Emin＝＝，B正确；当mg＝Eq时，根据几何关系，电场力水平向右，与MN垂直，小球从M运动到N电场力不做功，即小球从M运动到N电势能的变化量为零，故C正确；由于电场方向不确定，F大小也不确定，所以F做的功不能确定，D错误。
8．(2019·四川达州高三二诊)如图所示，两个带电小球A、B分别处在光滑绝缘的斜面和水平面上，且在同一竖直平面内。用水平向左的推力F作用于B球，两球在图示位置静止。现将B球水平向左移动一小段距离，发现A球随之沿斜面向上移动少许，两球在虚线位置重新平衡。与移动前相比，下列说法正确的是(　　)
A．斜面对A的弹力增大
B．水平面对B的弹力不变
C．推力F变小
D．两球之间的距离变小
答案　C
解析　对小球A受力分析，由平行四边形法则可知，当A球到达虚线位置时斜面对A的弹力NA减小，两球之间的库仑力减小，根据库仑定律可知，两球间距变大，A、D错误；对A、B整体受力分析可知：NB与NA的竖直分量之和等于A、B的重力之和，NA减小，则NA的竖直分量减小，则NB增大，B错误；对B受力分析可知，F等于库仑力F库的水平分量，因F库减小且F库与水平方向的夹角变大，则F库的水平分量减小，即F减小，C正确。
易错警示 滑动摩擦力与支持力的合力方向问题
例　如图所示，一物体A恰能沿斜面体B匀速下滑，设此过程中斜面受到水平地面的摩擦力为f1。若给A施加一个沿斜面向下的推力使其加速下滑，设此过程中斜面受到地面的摩擦力为f2。则下列说法正确的是(　　)
A．f1不为零且方向向右，f2不为零且方向向右
B．f1为零，f2不为零且方向向左
C．f1为零，f2不为零且方向向右
D．f1为零，f2为零
分析与解　物体沿斜面匀速下滑过程，以A为研究对象，A受重力、支持力、滑动摩擦力，三力平衡，摩擦力和支持力的合力竖直向上，大小等于重力，其受力分析如图a所示。以物体A和斜面B整体为研究对象，分析受力情况如图b，整体受重力和地面支持力平衡，水平地面的摩擦力为f1＝0。若沿斜面方向用力向下推物体A，使
物体A加速下滑，对斜面进行研究，受力分析如图c所示，物体对斜面的压力和摩擦力没有变化，压力和摩擦力的合力方向仍竖直向下，斜面的受力情况与物体匀速下滑过程完全相同，所以斜面受到地面的摩擦力为f2＝0，故选D。
答案　D
易错警示　滑动摩擦力的大小与支持力成正比，其比值等于动摩擦因数，通常是固定不变的，因此在单向直线运动中滑动摩擦力与支持力的合力方向不变。
C错误。

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