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第6节　带电粒子在匀强磁场中的运动
1．了解带电粒子在匀强磁场中的运动规律。
2．掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式及应用。
3．理解质谱仪和回旋加速器的工作原理。
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中的运动
实验操作
轨迹特点
不加磁场时
电子束的径迹是直线
给励磁线圈通电后
电子束的径迹是圆
保持电子速度不变，改变磁感应强度
磁感应强度越大，轨迹半径越小
保持磁感应强度不变，改变电子速度
电子速度越大，轨迹半径越大
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变带电粒子的能量。
(2)洛伦兹力大小不变，且总与带电粒子速度方向垂直，正好起到了充当向心力的作用。
3．运动规律：沿着与磁场垂直方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。

二、质谱仪和回旋加速器
1．质谱仪
(1)原理图：如图所示。
(2)加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：qU＝mv2。①
(3)偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB＝。②
(4)由①②两式可以求出粒子的运动半径r、质量m、比荷等。其中由r＝ 可知电荷量相同时，半径将随质量变化。
(5)质谱仪的应用：可以测定带电粒子的质量和分析同位素。
2．回旋加速器
(1)构造：两个中空的半圆金属盒D1和D2，处于与盒面垂直的匀强磁场中，D1和D2间有一定的电势差，如图所示。
(2)工作原理
①电场的特点及作用
特点：两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的电场。
作用：带电粒子经过该区域时被加速。
②磁场的特点及作用
特点：D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中。
作用：带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，从而改变运动方向，半个周期后再次进入电场。
只要回旋加速器足够大，带电粒子就能一直加速吗？
提示：不能。按照狭义相对论，当粒子的速度足够大时，粒子的质量随着速度的增加而增大，而质量的变化会导致其回旋周期的变化，从而破坏了与电场变化周期的同步，不能进一步加速。
(1)带电粒子进入匀强磁场后一定做匀速圆周运动。(　　)
(2)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期与速度无关。(　　)
(3)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动，不可能做类平抛运动。(　　)
(4)带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无关。(　　)
(5)因不同原子核的质量不同，所以同位素在质谱仪中的轨迹半径不同。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
课堂任务　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
说明：三幅图中只有b显示了产生磁场的线圈，为了观察a、c进行了放大，c只展示了电子束的路径。
活动1：a、b图说明了什么？
提示：电子质量很小可以忽略不计，如果没有磁场，电子被加速后做直线运动，如果加上与速度垂直的磁场，电子束将做圆周运动。
活动2：电子束为什么在匀强磁场中做圆周运动？是什么样的圆周运动？
提示：因为洛伦兹力与速度始终垂直，只改变速度的方向不改变速度的大小(即洛伦兹力不对带电粒子做功)，所以电子在匀强磁场中所受的洛伦兹力大小也不变，又因为洛伦兹力总与速度垂直，正好起到了向心力的作用，所以电子束做匀速圆周运动。
活动3：改变电子的入射速度大小或改变磁场的磁感应强度大小，会观察到什么现象？
提示：圆周运动的轨道半径随之变化。
活动4：图c中v与B不垂直时电子的径迹为什么是螺旋形的？
提示：我们可以将速度分解为垂直B和平行B两个方向的分速度(如图)，其中平行于B方向的速度不会受磁场影响，故在此方向做匀速直线运动，而垂直B的速度和b图一样不断改变方向做匀速圆周运动，最终合成为螺旋运动。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹
带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时：
①当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动；
②当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动；
③当v与B既不垂直也不平行时，带电粒子做螺旋运动。
(2)匀速圆周运动的半径和周期
①半径公式r＝
洛伦兹力方向总与速度方向垂直，洛伦兹力充当向心力。根据牛顿第二定律，qvB＝m，解得r＝。
②周期公式T＝
圆周运动的周期T＝，代入r＝，解得T＝，故周期与速度和半径无关。
(3)洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvBsinθ
F＝qE
方向
F⊥B且F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
作用效果
因为F⊥v，所以只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功，可能做负功，也可能不做功
例1　(多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍。两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动，与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子(　　)
A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍
B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍
D．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
(1)电子运动轨迹的半径由什么决定？
提示：由r＝可知，电子运动半径由v、B共同决定，但此处速率相同，仅由B决定。
(2)电子运动的周期由什么决定？
提示：由T＝可知，电子运动的周期仅由B决定。
[规范解答]　电子在两匀强磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可得evB＝，可得r＝，即＝＝，A正确；由a＝得，＝＝，B错误；根据周期公式T＝可得＝＝，C正确；根据角速度与周期成反比，可得＝，D错误。
[完美答案]　AC
带电粒子在匀强磁场中受到的洛伦兹力与速度垂直，从而使粒子做匀速圆周运动?前提是v⊥B?，遵循圆周运动的所有规律。其半径和周期公式经常用到，应牢记。
　如图，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为(　　)
A．2 B. C．1 D.
答案　D
解析　由Ek＝mv2可知当动能为原来的一半时，速度是原来的，由R＝可知R1＝，R2＝，又R1＝2R2，可得＝，D正确。
课堂任务　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：甲图中确定轨迹圆心的依据是什么？
提示：轨迹半径和速度垂直，两个半径的交点必然是圆心。
活动2：乙图中确定轨迹圆心的依据是什么？
提示：速度的垂线必过圆心，弦的中垂线必通过圆心，两线交点必为圆心。
活动3：丙图中各个角度的关系是什么？
提示：粒子速度的偏向角(φ)等于轨迹圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)轨迹圆心的确定
①圆心一定在垂直于速度的直线上
已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。
②圆心一定在弦的中垂线上
已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)轨迹半径的确定
方法一(由动力学关系求)：由于Bqv＝，所以半径R＝；
方法二(由几何关系求)：以甲、乙、丙三图为例，一般由数学知识(勾股定理、三角函数、三角形的边角关系等)通过计算来确定，解直角三角形是最常用的方法。
(3)运动时间的确定
方法一(由圆心角求)：t＝·T；
方法二(由弧长求)：t＝。
(4)要正确地识别或作出图象必须注意“4点、6线、3角”
4点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度直线与出射速度直线的交点。
6线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度直线和出射速度直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度直线交点的连线。
3角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图丙所示)。粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。
例2　如图所示，虚线圆所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力，求：
(1)电子在磁场中运动轨迹的半径R；
(2)电子在磁场中运动的时间t；
(3)圆形磁场区域的半径r。
(1)电子在磁场中运动的圆心角是多少？
提示：圆心角等于速度的偏向角，也就是θ。
(2)“沿直径方向射入磁场”包含了什么信息？
提示：根据几何关系可以证明，若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入，一定会沿另一半径方向射出。
[规范解答]　(1)由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
evB＝，解得R＝。
(2)设电子做匀速圆周运动的周期为T，则T＝＝
由如图所示的几何关系得圆心角α＝θ，
故t＝T＝。
(3)由如图所示几何关系可知，
tan＝，解得r＝tan。
[完美答案]　(1)　(2)　(3)tan
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的解题三步法
如图所示，三个速度大小不同的同种带电粒子(重力不计)，沿同一方向从图中长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时相对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中运动的时间之比为(　　)
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．3∶2∶1 D．1∶∶
答案　C
解析　粒子在磁场中运动的周期的公式为T＝，所以三个粒子在磁场中的周期相同，三个粒子的速度偏转角分别为90°、60°、30°，所以偏转角为90°的粒子在磁场中运动的时间为T，偏转角为60°的粒子的运动的时间为T，偏转角为30°的粒子的运动的时间为T，所以有T∶T∶T＝3∶2∶1，C正确。
课堂任务　质谱仪
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：S1、S2之间的电场起什么作用？
提示：使粒子加速，获得一定的速度。
活动2：同位素的特点是什么？经过加速电场获得的动能有什么特点？
提示：同位素的特点是电荷量相等，质量不等。由于电荷量相等，经过同一加速电场获得的动能相等。
活动3：怎么鉴别同位素？
提示：由r＝＝可知，动能相等，质量不同，所以在磁场中的轨迹半径不同，同位素会打到照相底片不同的位置。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
质谱仪
①构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
②原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2。
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m。
由以上两式可得r＝ ，m＝，＝。
例3　质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示。离子源S产生的各种不同正离子束(速度可看做为零)，经加速电场(加速电场极板间的距离为d、电势差为U)加速，然后垂直进入磁感应强度为B的有界匀强磁场中做匀速圆周运动，最后到达记录它的照相底片P上。设离子在P上的位置与入口处S1之间的距离为x。
(1)求该离子的比荷；
(2)若离子源产生的是电荷量为q、质量为m1和m2的同位素离子(m1＞m2)，它们分别到达照相底片上的P1、P2位置(图中未画出)，求P1、P2间的距离Δx。
(1)离子进入磁场时的速度如何求解？
提示：离子在电场中加速，由动能定理求解。
(2)离子在磁场中做圆周运动的半径如何求解？
提示：由洛伦兹力公式和牛顿第二定律求解。
[规范解答]　(1)离子在电场中加速，
由动能定理得qU＝mv2①
离子在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得qBv＝m②
由①②式可得＝③
(2)由①②式可得粒子m1在磁场中的运动半径
r1＝ ④
对离子m2，同理得r2＝ ⑤
所以照相底片上P1、P2间的距离
Δx＝2(r1－r2)＝ ( －)。
[完美答案]　(1)　(2) ( －)
质谱仪通过圆周运动中半径不同分开同位素。由于电荷量相同，在电场中获得的能量相同，质量不同，半径便不相同。
　现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比值约为(　　)
A．11 B．12 C．121 D．144
答案　D
解析　设加速电压为U，质子做匀速圆周运动的半径为r，原来磁场的磁感应强度为B，质子质量为m，一价正离子质量为M。质子在入口处从静止开始加速，由动能定理得，eU＝mv，质子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，ev1B＝m；一价正离子在入口处从静止开始加速，由动能定理得，eU＝Mv，该正离子在磁感应强度为12B的匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径仍为r，洛伦兹力提供向心力，ev2·12B＝M；联立解得M∶m＝144∶1，D正确。
课堂任务　回旋加速器
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期有什么特点？
提示：带电粒子做圆周运动的周期T＝。对一个特定的带电粒子，在固定不变的匀强磁场中，其周期是一个定值。
活动2：回旋加速器交流电的周期和带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期应有什么关系？
提示：二者的周期必须相等，这样才能保证粒子每次经过缝隙时都能被加速。
活动3：什么时候粒子达到最大速度？
提示：由r＝知，当粒子做圆周运动的半径等于D形盒的半径时，粒子达到最大速度。
活动4：回旋加速器使带电粒子获得的动能与交流电压有关吗？
提示：由r＝、Ekm＝mv2得：Ekm＝，又因为Ekm＝nqU，所以交流电压不会影响带电粒子获得的动能，只会影响加速的次数。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
回旋加速器
①构造：如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中。
②原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关。
③粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次。
④粒子在回旋加速器中运动的时间：设在电场中运动的时间为t1，狭缝间距为d，交变电压为U，加速度大小为a，则a＝＝，v＝，t1＝＝；在磁场中运动的时间为t2＝(n－1)＝(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1?t2，一般认为在回旋加速器中运动的时间近似等于t2。
例4　回旋加速器的工作原理如图1所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m、电荷量为＋q，加在狭缝间的交变电压如图2所示，电压值的大小为U0，周期T＝。一束该种粒子在t＝0时刻从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零。现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用。求：
(1)出射粒子的动能Em；
(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0。
(1)出射粒子的速度由什么决定？
提示：由r＝可知，v由磁感应强度B和D形盒半径r决定。
(2)总时间是被加速的次数直接乘以带电粒子在磁场中的半个周期吗？
提示：由于此处考虑粒子在狭缝中的运动时间，总时间应为t0＝(n－1)·＋Δt(Δt是经过狭缝被加速的总时间)。
[规范解答]　(1)粒子运动半径为R时qvB＝m，且Em＝mv2，解得Em＝。
(2)设粒子被加速n次达到动能Em，
则Em＝nqU0，解得n＝。
粒子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为Δt。
加速度a＝，匀加速直线运动nd＝a·(Δt)2，
解得Δt＝。
由t0＝(n－1)·＋Δt，
解得t0＝－。
[完美答案]　(1)　(2)－
?1?粒子在狭缝中的运动时间可用等效法分析。
?2?粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒最大半径R决定，而与加速电压无关。
　(多选)如图甲是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒。在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连。带电粒子在磁场中运动的动能Ek随时间t的变化规律如图乙所示，忽略带电粒子在电场中的加速时间，则下列判断正确的是(　　)
A．在Ek-t图中应有t4－t3＝t3－t2＝t2－t1
B．高频电源的变化周期应该等于tn－tn－1
C．粒子加速次数越多，粒子最大动能一定越大
D．要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的面积
答案　AD
解析　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度大小无关，因此，在Ek－t图中应有t4－t3＝t3－t2＝t2－t1，A正确；带电粒子在回旋加速器中每运行一周加速两次，高频电源的变化周期应该等于2(tn－tn－1)，B错误；由r＝＝可知Ekm＝，粒子获得的最大动能取决于D形盒的半径，当轨道半径与D形盒半径相等时就不能继续加速，C错误，D正确。

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