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19.2.2一次函数与方程、不等式
方程、不等式与函数之间有着密切的联系.下面我们先从函数的角度看解一元一次方程.
思考
下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
(1)2x＋1＝3;
(2)2x＋1＝0；
(3)2x＋1＝－1.
可以看出，这3个方程的等号左边都是2x＋1，等号右边分别是3,
0,
－1.从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y＝
2x＋1的函
数值分别为3,
0，－1时，求自变量x的
值.或者说，在直线y＝
2x＋1上取纵坐
标分别为3，0,－1的点，看它们的横坐
标分别为多少(如图).
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解
一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值.
一次函数与一元一次方程的联系：
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变
形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一
元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0，
a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映
在图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
再从函数的角度看解一元一次不等式.
思考
下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
(1)3x＋2＞2;
(2)
3x＋2＜0；
(3)
3x＋2＜－1.
可以看出，这3个不等式的不等号左边都是3x＋2,而不等号及不等号右边却有不同.从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y＝3x＋2的函数值分别大于2、小于0、小于－1时，求自变量x的取值范围.或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于－1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件(如图).
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式
都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0
(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数
y＝ax＋b的函数值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围.
一次函数和一元一次不等式的联系：
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一元一次不等式可以看作是求一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围．
最后，从函数的角度看解二元一次方程组.
问题3
1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15
m处出发，以0.5
m/min的速度上升.两个气球都上升了1
h.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y
(单位：m)关于上升时间x(单位：min)的函数关系；
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x＋5.对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋15.
(2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值
(0≤x≤60)，函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15有相同的值y.如能求出这个x和y，则问题得到解决.
由此容易想到解二元一次方程组
这就是说，当上升20
min时，两个气球都位于海拔25
m的高度.
我们也可以用一次函数的图象解释上述问题
的解答.如图,在同一直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象.这两条直
线的交点坐标为(20,
25)，这也说明
当上升20
min时，两个气球都位于
海拔25
m的高度.
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.
由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一
次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，
解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
方程（组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来.解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.
练习1
利用函数图象解出x：3x－2＝x＋4.
解析：先将方程化为ax＋b＝0的形式，再在坐标系中画出函数y＝ax＋b的图象，然后观察出直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标，从而取定所求x的值．
解：由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函数y＝2x－6的图象，如图所示，
由图可知，直线y＝2x－6与x轴
的交点为(3，0)，
所以x＝3.
练习2
已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时，
(1)y1＞y2；
(2)y1＝y2；
(3)y1＜y2.
解析：解这类题目的关键，是要将比较函数值的大小的问题转化成解不等式的问题．
解：方法一：代数法．
(1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2；
(2)y1＝y2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2；
(3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2.
所以当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2.
方法二：图象法．
在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．观察图象可知，
当x＞2时，y1＞y2；
当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2.
练习3
考虑下面两种移动电话计费方式：
用函数方法解答何时两种计费方式费用相等。
方式一
方式二
月租费（元/月）
30
0
本地通话费（元/分钟）
0.30
0.40
解：设电话费用为y元,通话时间x分钟,则
方式一：
方式二：
y=30+0.3x
y=0.4x
因为函数y=30+0.3x与函数y=0.4x的图象交于点（300，120），因此当通话时间为300分钟时，两种计费方式的费用相等（都是120元）。
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