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运动图象问题



阅读教材，完成下列问题：
1．坐标系：为了定量地描述物体(质点)的位置以及位置的变化，可以在参考系上建立一个坐标系。如题图1甲所示，在三维空间直角坐标系中，一质点沿直线从A点运动到B点。将A、B两点分别投影到x、y、z轴上，如题图1乙所示，则在此过程中质点的位移大小为：s＝ 。
2．x-t图象：它反映了物体的 随 变化的关系；图线(或点的切线)的斜率表示了物体的 ；图线的交点表示 ；
3．v-t图象：它反映了物体的 随 变化的关系；图线(或点的切线)的斜率表示了物体的 ；图线的交点表示 ；图线与时间轴所围的面积表示 ；


1．A、B、C三质点同时同地沿一直线运动，其s-t图象如题图2所示，则在0～t0这段时间内，下列说法中正确的是( )
A．质点A的位移最大 B．质点C的平均速度最小
C．三质点的位移大小相等 D．三质点平均速度一定不相等
2．如题图3所示，为甲、乙两物体相对于同一坐标的s-t图象，则下列说法正确的是( )
①甲、乙均做匀变速直线运动 ②甲比乙早出发时间t0
③甲、乙运动的出发点相距s0 ④甲的速率大于乙的速率
A．①②③ B．①④ C．②③ D．②③④
3．如题图4所示是物体运动的v-t图象，从t＝0开始，对原点的位移最大的时刻是( )
A．t1 B．t2 C．t3 D．t4
4．甲、乙两小分队进行军事演习，指挥部通过现代通讯设备，在屏幕上观察两小分队的具体行军路线如题图5所示，两个小分队同时同地由O点出发，最后同时到达A点，下列说法中正确的是( )
A．小分队行军路程＞ B．小分队平均速度＞
C．y-x图象表示的是速率v-t图象 D．y-x图象表示的是位移s-t图象
5．如题图6所示为甲、乙两质点的v-t图象，对于甲、乙两质点的运动，下列说法中正确的是( )
A．质点甲向所选定的正方向运动，质点乙与甲的运动方向相反
B．质点甲、乙的速度相同
C．在相同的时间内，质点甲、乙的位移相同
D．不管质点甲、乙是否从同一地点开始运动，它们之间的距离一定越来越大


1．对x-t图象和v-t图象的认识与理解。
【例1】如题图7所示的x-t图象和v-t图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )
A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程
C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距相最远
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
[导学点拨]：①在x-t图象和v-t图象中，图线是否表示物体的运动轨迹？
②在x-t图象和v-t图象中，交点的含义各是什么？
[规律、方法总结]：
⑴几种特殊、相同形状的x-t图象与v-t图象的比较。
x-t图象 v-t图象
①表示从参考点开始的匀速直线运动(斜率表示速度v) ①表示初速为零的匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
②表示物体处于静止状态 ②表示物体做匀速直线运动
③表示物体向与规定的正方向相反的方向做匀速直线运动 ③表示物体做匀减速直线运动
④交点横坐标表示三个运动质点相遇的时刻，纵坐标表示三个运动质点相遇时相对参考点的位移 ④交点表示三个运动质点速度相同的时刻
⑤t1时刻物体相对参考点的位移为x1 ⑤t1时刻物体的速度为v1，图线下方的面积表示物体在0～t1时间内的位移
纵截距表示初始位置横截距表示回到参考点的时刻 纵截距表示初速度横截距表示速度为零的时刻
⑵在x-t图象和v-t图象问题中需要注意的几点是：
①x-t图象和v-t图象是对物体运动的一种描述，并不表示物体的运动轨迹；
②通过x-t图象可以知道某时刻运动物体的位置，以及在这一位置的运动情况，通过v-t图象可以知道某时刻运动物体的速度，以及在这一时刻的运动情况；
③在x-t图象中，若图线为平行于时间轴的直线，则表示物体处于静止状态，若图线为倾斜直线，则表示物体做匀速直线运动，直线的斜率表示了物体的运动速度，若图线为曲线，则表示物体做变速直线运动，曲线上某点切线的斜率表示物体在对应时刻的运动速度；
④在v-t图象中，若图线为平行于时间轴的直线，则表示物体做匀速直线运动，若图线为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动，直线的斜率表示了物体的运动的加速度，若图线为曲线，则表示物体做变加速直线运动，曲线上某点切线的斜率表示物体在对应时刻运动的加速度。
【变式训练1】小球做自由落体运动，与地面发生碰撞，反弹后速度大小与落地速度大小相等，若从释放小球时开始计时，且不计小球与地面发生碰撞的时间，则小球运动的速度图象可能是题图8中的( )

【针对练习1】从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体A、B的速度-时间图象如题图9所示，在0～t0时间内，下列说法中正确的是( )
A．A、B物体的位移都不断增大
B．A物体的加速度不断增大，B物体的加速度不断减小
C．A物体的加速度不断增大，B物体的加速度不断增大
D．A、B两个物体的平均速度大小都大于
2．根据具体情境画出相应的x-t图象和v-t图象。
【例2】(10年全国Ⅰ)汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60s内汽车的加速度随时间变化的图线如题图10所示，则：
⑴画出汽车在0～60s内的v-t图线；
⑵求在这60s内汽车行驶的路程。
[导学点拨]：①本题给出的图象是a-t图象，我们熟悉的是x-t图象和v-t图象，它们间有何联系？
②根据a-t图象判断在0～60s内汽车的运动特征是什么？
③如何处理多过程运动？







[规律、方法总结]：
⑴常见直线运动的运动图象的比较。
x-t图象 v-t图象 a-t图象
匀速直线运动 v＝常数 a＝0
匀加速直线运动(v0＞0，a＞0) a＝常数
匀减速直线运动(v0＞0，a＜0) a＝常数
备注 图线(或点的切线)的斜率表示速度。 ①图线(或点的切线)的斜率表示加速度；②图线与时间轴所围的面积表示位移，图线分布在时间轴的上方，面积为正值，图线分布在时间轴的下方，面积为负值。 图线与时间轴所围的面积表示速度变化量。
⑵在本题第⑵问的求解中，这里只采用了应用图象法求解，还有其他方法可以求解。
⑶由题图10可知，汽车在0～60s内的运动不是匀变速直线运动，因此运用运动学规律进行求解时，则不能直接应用匀变速直线运动规律进行求解，但可以将汽车的整个运动过程分成三段，在0～10s和40～60s内分别以a1＝2m/s2和a3＝－1m/s2做匀变速直线运动，在10～40s内其加速度a2＝0，即为匀速直线运动，再分别应用相应运动规律进行求解，此时由于将运动过程分成了三段，需要紧扣各分段点的运动参量(特别是速度)，它是联系前后两段过程的物理量；
⑷物理学中常常将实际问题进行理想化，即建立出理想化的模型，如质点、点电荷、单摆、弹簧振子等实物模型，匀速直线运动、匀变速直线运动、自由落体运动、平抛运动、匀速圆周运动等运动模型。
【变式训练2】设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为x，现有四个不同物体的运动图象如题图11所示，t＝0时刻物体的速度均为零，则其中物体做单向直线运动的图象是( )

【针对练习2】(全国Ⅰ改编)一质量为m＝40kg的小孩，站在电梯内的体重计上，电梯从t＝0时刻由静止开始上升，在0～6s内体重计示数F的变化如题图12所示，重力加速度g取10m/s2。
⑴试画出在t＝0～6s内电梯上升的v-t图象；
⑵试求在这6s的时间内电梯上升的高度h。
3．应用x-t图象和v-t图象求解相关问题。
【例3】甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变，在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍，在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半，求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
[导学点拨]：①甲乙两车的运动是单一过程还是多过程？如何处理？
②对全程而言，甲乙两车的运动时间和速度变化量有什么关系？
③要求两车路程之比，那么在v-t图象如何表示它们运动的路程？







[规律、方法总结]：
图象的优点在于简洁、直观，因此对于多过程或比较复杂的运动问题，往往可以借助运动图象帮助分析、求解，尤其是一些只需定性分析，而不便于定量计算的运动问题，运用图象法求解可以使问题变得简单、方便。
【变式训练3】如题图13所示，一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧是斜面AB，右侧是曲面AC，已知AB和AC的长度相同，两小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，则( )
A．p小球先到达水平面 B．q小球先到达水平面
C．两小球同时到达水平面 D．无法确定谁先到达水平面
【针对练习3】甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标，从此时开始，甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下个路标时速度又相同，则( )
A．甲车先通过下一个路标 B．乙车先通过下一个路标
C．丙车先通过下一个路标 D．条件不足，无法判断
4．图象的综合应用问题。
【例4】如题图15，若x轴表示时间，y轴表示位置，则该图象反映了某质点做匀速直线运动时，位置与时间的关系，若令x轴和y轴分别表示其它的物理量，则该图象又可以反映在某种情况下，相应的物理量之间的关系。下列说法中正确的是( )
A．若x轴表示时间，y轴表示功能，则该图象可以反映某物体受恒定合外力作用做直线运动过程中，物体动能与时间的关系
B．若x轴表示频率，y轴表示动能，则该图象可以反映光电效应中光电子最大初动能与入射光频率之间的关系
C．若x轴表示时间，y轴表示动量，则该图象可以反映某物在沿运动方向的恒定合外力作用下，物体动量与时间的关系
D．若x轴表示时间，y轴表示感应电动势，则该图象可以反映静置于磁场中的某闭合回路，当磁感应强度随时间均匀增大时，闭合回路的感应电动势与时间的关系
[导学点拨]：①在y-x图象中，y与x是什么函数关系？
②在四个选项中，图象的斜率、截距分别有什么含义？
[规律、方法总结]：
⑴分析、求解图象问题时通常需要注意的内容：简称“一轴、二点、三线、四面”。
①轴：首先，弄清图象纵、横轴分别所代表的物理量，以及所表示的物理量的矢标性；搞清楚图象的物理意义，即纵轴(y轴)所代表的物理量随横轴(x轴)所代表的物理量变化的关系；
②点：其次，理解点的坐标含义，某一横坐标(x)对应一具体纵坐标(y)，常常需要关注的是纵、横截距，交点，拐点等特殊点的含义，以及弄清纵、横坐标正、负值的意义；
③线：再次，看清图线的线型，是直线还是曲线，过不过坐标原点，即弄清函数与自变量之间所满足的是正比例函数、一次函数、二次函数、双曲线、圆或椭圆等关系，理解图线(或线上点的切线)的斜率(或)的含义，注意与的区别，弄清图线分布在正、负半轴(即不同象限内)的意义；
④面：最后，弄清图象的图线与横轴所围面积有无对应的物理意义。
⑵物理图象问题其实就是数学函数图象问题通过纵、横轴的变换，从而赋予了一定的物理含义，因此在分析、求解陌生的物理图象问题时，首先应运用相应的物理规律列出物理方程，再通过方程变形成关于纵、横轴所代表的物理量的函数关系式，最后运用数学方法来分析关系式及图象；
⑶物理图象中的斜率、截距、图线与轴所围面积等，往往都是描述和解决物理问题的重要手段。例如，水平面上被水平拉力F拉动的物体，作出a-F图象，此时图象的纵截距则表示为－μg，图线的斜率则表示为物体质量m的倒数，再如F-x、P-t、U-q图象的面积均表示了功，F-1/v图象的斜率则表示了机车的功率，等等。


1．一弹性小球自4.9m高处自由落下，当它与水平地面每碰撞一次后，速度都减小为碰前的7/9，若题图16描述的是这个弹性小球的全部运动过程，则图线反映的是下列哪个物理量随时间变化的过程( )
A．位移 B．路程 C．速度 D．加速度
2．某位溜冰爱好者在结冰的湖面上做游戏，湖面与岸边基本相平，如题图17甲所示，他先在岸上从O点由静止开始匀加速助跑，2s后到达岸边A处，接着进入湖面开始滑行，又经3s停在了冰上的B点，若该过程中，他的位移是s，速度v，则对s和v随时间变化规律的描述，题图17乙所示图象正确的是( )

3．甲乙两辆汽车在平直公路上的同一地点，同时出发，分别向相反方向做如图所示的运动，则下列关于汽车运动的描述正确的是( )
A．前80s，乙车平均速度是甲车平均速度的四倍
B．70s末，甲乙两车的加速度大小相等、方向相同
C．60s末，两车相距最远
D．80s末，两车相距最远





















答案与提示
〖知识回顾〗
1．；
2．位置(或相对参考点的位移)x，时间t，速度，两物体相遇；
3．速度v，时间t，物体运动的加速度，两物体速度相同的时刻，物体在对应时间段内的位移；
〖热身训练〗
1．C
2．C
3．B
4．A
5．A
〖典例分析〗
例1．C
变式训练1．D
针对练习1．A
2．⑴由题图10所示的加速度随时间变化的图线可知，汽车在0～10s内以加速度a1＝2m/s2作匀加速直线运动，10s末时汽车的速度为：v＝a1t1＝2×10m/s＝20m/s，在10s～40s内，汽车运动的加速度a2＝0，即以速度v作匀速直线运动，在40s～60s内以加速度a3＝－1m/s2、初速度为v开始作匀减速直线运动，60s末时汽车的速度为：vt＝v＋a3t3＝20m/s＋(－1)×(60－40)m/s＝0，故汽车在0～60s内对应的v-t图线如解图1所示。
⑵根据第⑴问所画的v-t图线可知，图线与横轴(时间轴)所围的面积表示了汽车在这60s时间内运动的路程，即为：s＝×(30＋60)×20m＝900m
变式训练2．C
针对练习2． ⑴小孩站在体重计上受重力mg和体重计的支持力N两个力的作用，由牛顿第三定律可知，所受的支持力N的大小可有F的数值来表示，由题图12可知，在t＝0～2s内，F1＝440N＞mg＝400N，因此，电梯将做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a1，加速至t＝2s时的速度为v1，根据牛顿第二定律有：F1－mg＝ma1，由匀变速直线运动速度公式有：v1＝a1t1，两式联立解得：v1＝2m/s，在t＝2～5s内，F2＝400N＝mg，其加速度a2＝0，因此，电梯将以速度v1＝2m/s做匀速直线运动，在t＝5～6s内，F3＝320N＜mg，因此，电梯将做匀减速直线运动，设其加速度为a3，运动至t＝6s时的速度为v2，根据牛顿第二定律有：F3－mg＝ma3，由匀变速直线运动速度公式有：v2＝v1＋a3t3，两式联立解得：v2＝0，其对应的v-t图象如解图3所示。
⑵根据第⑴问所画的v-t图线可知，图线与横轴(时间轴)所围的面积表示了电梯在这6s时间内上升的高度，即为：h＝×(3＋6)×2m＝9m
例3．⑴由题图10所示的加速度随时间变化的图线可知，汽车在0～10s内以加速度a1＝2m/s2作匀加速直线运动，10s末时汽车的速度为：v＝a1t1＝2×10m/s＝20m/s，在10s～40s内，汽车运动的加速度a2＝0，即以速度v作匀速直线运动，在40s～60s内以加速度a3＝－1m/s2、初速度为v开始作匀减速直线运动，60s末时汽车的速度为：vt＝v＋a3t3＝20m/s＋(－1)×(60－40)m/s＝0，故汽车在0～60s内对应的v-t图线如解图1所示。
⑵根据第⑴问所画的v-t图线可知，图线与横轴(时间轴)所围的面积表示了汽车在这60s时间内运动的路程，即为：s＝×(30＋60)×20m＝900m
变式训练3．B 针对练习3．B 例4．C
〖巩固练习〗
1．A 2．B 3．D


填一填 完善心中知识体系

甲

乙

题图1

练一练 心中有素有的放矢

题图2

甲

乙

题图3

题图4

题图5

甲

乙

题图6

甲

乙

学一学 掌握方法培养能力

甲

乙

丙

丁

题图7

②

①

③

④

⑤

②

①

③

④

⑤

题图8

题图9

题图10

抛物线

抛物线

题图11

题图12

题图13

题图15

做一做 学有所成过关斩将

题图16

甲

甲

题图17

解图1

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