资源简介

2
高中数学知识归纳汇总
目录
第一部分 集合 ................................................................................................................... 3
第二部分 函数与导数 ......................................................................................................... 4
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 ............................................................. 8
第四部分 立体几何 ......................................................................................................... 10
第五部分 直线与圆 ......................................................................................................... 12
第六部分 圆锥曲线 ......................................................................................................... 14
第七部分 平面向量 ....................................................................................................... 16
第八部分 数列 ............................................................................................................... 17
第九部分 不等式 ............................................................................................................... 19
第十部分 复数 ................................................................................................................. 20
第十一部分 概率 ............................................................................................................. 21
第十二部分 统计与统计案例 ........................................................................................... 22
第十三部分 算法初步 ....................................................................................................... 23
第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 ........................................................................... 24
第十五部分 推理与证明 ................................................................................................... 25
第十六部分 理科选修部分 ............................................................................................. 26






3
第一部分 集合
1．N，Z，Q，R 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集；
2．交集， }.{ BxAxxBA ??? 且? 并集， }.{ BxAxxBA ??? 或? 符号区分；
3．（1）含 n 个元素的集合的子集数为 2n,非空子集数为 2n－1；真子集数为 2n－1；非
空真子集的数为 2n-2；
（2） ;BBAABABA ????? ?? 注意：讨论的时候不要遗忘了 ??A 的情
况。
（3） );()()();()()( BCACBACBCACBAC IIIIII ???? ??
4．? 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
























4
第二部分 函数与导数
1．定义域：①抽象函数；已知 [k(x)]f 定义域，求 [g(x)]f 定义域， (x)k 与 (x)g 值
域相同。（具体可以参考本节第 4点复合函数定义域求法）。
②具体函数。分母不为 0，偶次根号下不为负数，
0a 中 a不为 0， tan? ，
loga x 中的 x为正数。
2．值域：①一元二次方程配方法 ；②换元法；③分离参数法 ；
3．解析式：①配方法 ；②换元法；③待定系数和；④消去法。
4．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
① 若 f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b
解出；
② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于 x∈[a,b]时，求 g(x)的值
域。
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数 )]([ xgfy ? 分解为基本函数：内函数 )(xgu ? 与外函数
)(ufy ? ；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数 )(ufy ? 的定义域是内函数 )(xgu ? 的值域。
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．；
⑵ )(xf 是奇函数? 1
)(
)(
0)()()()( ??
?
????????
xf
xf
xfxfxfxf ；
⑶ )(xf 是偶函数 1
)(
)(
0)()()()( ?
?
????????
xf
xf
xfxfxfxf ；
⑷奇函数 )(xf 在原点有定义，则 0)0( ?f ；
⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义：
① )(xf 在 区 间 M 上 是 增 函 数 ,, 21 Mxx ??? 当 21 xx ? 时 有

5
0)()( 21 ?? xfxf 0)]()([)( 2121 ????? xfxfxx 0
)()(
21
21 ?
?
?
?
xx
xfxf
；
② )(xf 在 区 间 M 上 是 减 函 数 ,, 21 Mxx ??? 当 21 xx ? 时 有
0)()( 21 ?? xfxf 0)]()([)( 2121 ????? xfxfxx 0
)()(
21
21 ?
?
?
?
xx
xfxf
；
⑵单调性的判定
① 定义法：一般要将式子 )()( 21 xfxf ? 化为几个因式作积或作商的形式，以利于
判断符号；
② 导数法（见导数部分）；
③ 复合函数法；
④ 图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性
(1)周期性的定义：
对定义域内的任意 x ，若有 )()( xfTxf ?? （其中T 为非零常数），则称函数
)(xf 为周期函数，T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指
最小正周期。
（2）三角函数的周期
① ?2:sin ?? Txy ；② ?2:cos ?? Txy ；③ ??? Txy :tan ；
④
||
2
:)cos(),sin(
?
?
???? ????? TxAyxAy ；⑤
||
:tan
?
?
? ?? Txy ；
⑶ 与周期有关的结论
① )()( axfaxf ??? 或 )0)(()2( ??? axfaxf ? )(xf 的周期为 a2 ；
② )(xfy ? 的图象关于点 )0,(),0,( ba 中心对称? )(xf 周期为 2 ba ? ；
③ )(xfy ? 的图象关于直线 bxax ?? , 轴对称? )(xf 周期为 2 ba ? ；
④ )(xfy ? 的图象关于点 )0,(a 中心对称，直线 bx ? 轴对称? )(xf 周期为

6
4 ba ? ；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数：
?xy ? （ )R?? ；⑵指数函数： )1,0( ??? aaay x ；
⑶对数函数: )1,0(log ??? aaxy a ；⑷正弦函数: xy sin? ；
⑸余弦函数： xy cos? ；（6）正切函数： xy tan? ；⑺一元二次函数： 02 ??? cbxax ；
⑻其它常用函数：
① 正比例函数： )0( ?? kkxy ；②反比例函数： )0( ?? k
x
k
y ；特别的
x
y
1
?
② 函数 )0( ??? a
x
a
xy ；
9．二次函数：
⑴解析式：
①一般式： cbxaxxf ??? 2)( ；②顶点式： khxaxf ??? 2)()( ， ),( kh 为顶点；
③零点式： ))(()( 21 xxxxaxf ??? 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。
10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ )()( axfyxfy ???? ， )0( ?a ———左“+”右“-”；
ⅱ )0(,)()( ????? kkxfyxfy ———上“+”下“-”；
② 伸缩变换：
ⅰ )()( xfyxfy ???? ， （ )0?? ———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
?
1

倍；
ⅱ )()( xAfyxfy ??? ， （ )0?A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 A倍；
③ 对称变换：ⅰ )(xfy ? ???
)0,0(
)( xfy ??? ；ⅱ )(xfy ? ???
?0y
)(xfy ?? ；

7
ⅲ )(xfy ? ???
?0x
)( xfy ?? ；
④ 翻转变换：
ⅰ |)(|)( xfyxfy ??? ———右不动，右向左翻（ )(xf 在 y 左侧图象去掉）；
ⅱ |)(|)( xfyxfy ??? ———上不动，下向上翻（| )(xf |在 x 下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数 )(xfy ? 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）
的对称点仍在图像上；
（2）证明函数 )(xfy ? 与 )(xgy ? 图象的对称性，即证明 )(xfy ? 图象上任意
点关于对称中心（对称轴）的对称点在 )(xgy ? 的图象上，反之亦然；
（注意上述两点的区别！）
注：
①曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（a,b）的对称曲线 C2 方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2方程为：f(2a－x, y)=0;
③曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=－x+a)的对称曲线 C2的方程为 f(y－
a,x+a)=0(或 f(－y+a,－x+a)=0);
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） ??y=f(x)图像关于直线 x=
2
ba ?
对称；
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） ??y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；
⑤函数 y=f(x－a)与 y=f(b－x)的图像关于直线 x=
2
ba ?
对称；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求 0)( ?xf 的根）；⑵图象法；.
13．导数
⑴导数定义：f(x)在点 x0处的导数记作
x
xfxxf
xfy
x
xx
?
???
????
??
?
)()(
lim)( 00
0
00
；
⑵常见函数的导数公式: ①
'C 0? ；② 1')( ?? nn nxx ；③ xx cos)(sin ' ? ；
④ xx sin)(cos ' ?? ；⑤ aaa xx ln)( ' ? ；⑥ xx ee ?')( ；⑦
ax
xa
ln
1
)(log ' ? ；
⑧
x
x
1
)(ln ' ? 。

8
⑶导数的四则运算法则： ;)(;)(;)(
2v
vuvu
v
u
vuvuuvvuvu
???
?????????????
⑷（理科）复合函数的导数： ;xux uyy ?????
⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”
该点的切线？
②利用导数判断函数单调性：
ⅰ )(0)( xfxf ??? 是增函数；ⅱ )(0)( xfxf ??? 为减函数；
ⅲ )(0)( xfxf ??? 为常数；
③利用导数求极值：ⅰ求导数 )(xf ? ；ⅱ求方程 0)( ?? xf 的根；ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。
14．（理科）定积分
⑴定积分的定义： )(lim)(
1
i
n
i
b
a n
f
n
ab
dxxf ???
?
??
?
?
⑵定积分的性质：① ? ??
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( （ k 常数）；
② ?? ? ???
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf )()()]()([ 2121 ；
③ ?? ? ??
b
c
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()( （其中 )bca ?? 。
⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：? ???
b
a
b
a aFbFxFdxxf )()(|)()(
⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积： dxxgxfS
b
a
|)()(|? ?? ；
③ 求变速直线运动的路程： ??
b
a
dttvS )( ；③求变力做功： ??
b
a
dxxFW )( 。




第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

9
1．⑴角度制与弧度制的互化：? 弧度 ?180? ，
180
1
?
?? 弧度，1弧度 ?)
180
(
?
? '1857??
⑵弧长公式： Rl ?? ；扇形面积公式： RlRS
2
1
2
1 2 ?? ? 。
2．三角函数定义：角? 中边上任意一点P 为 ),( yx ，设 rOP ?|| 则：
,cos,sin
r
x
r
y
?? ??
x
y
??tan
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；
5．⑴ )sin( ?? ?? xAy 对称轴：
?
?
?
? ??
? 2
k
x ；对称中心： ))(0,( Zk
k
?
?
?
??
；
⑵ )cos( ?? ?? xAy 对称轴：
?
?? ?
?
k
x ；对称中心： ))(0,
2( Zk
k
?
??
?
?
?
?
；
6．同角三角函数的基本关系： x
x
x
xx tan
cos
sin
;1cossin 22 ??? ；
7. 三角函数的单调区间
xy s i n? 的递增区间是 )](
2
2,
2
2[ Zkkk ???
?
?
?
? ，递减区间是
)](
2
3
2,
2
2[ Zkkk ???
?
?
?
? ；
xy cos? 的递增区间是 )](2,2[ Zkkk ?? ??? ，递减区间是
)](2,2[ Zkkk ?????
xy tan? 的递增区间是 )
2
,
2
(
?
?
?
? ?? kk )( Zk?
xy cot? 的递减区间是 ))(,( Zkkk ?????
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① ;sincoscossin)sin( ?????? ???
② ;sinsincoscos)cos( ?????? ??? ③
??
??
??
tantan1
tantan
)tan(
?
?
?? 。．二
9. 倍角公式：① ??? cossin22sin ? ；
② ????? 2222 sin211cos2sincos2cos ?????? ；③
?
?
?
2tan1
tan2
2tan
?
? 。

10
10．正、余弦定理：
⑴正弦定理： R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
??? （ R2 是 ABC? 外接圆直径 ）
注：① CBAcba sin:sin:sin:: ? ；② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 ??? ；
③
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
sinsinsinsinsinsin ??
??
??? 。
⑵余弦定理： Abccba cos2222 ??? 等三个；注：
bc
acb
A
2
cos
222 ??
? 等三个。
11。几个公式:
⑴三角形面积公式： CabahS ABC sin
2
1
2
1
??? ；
⑵内切圆半径 r=
cba
S ABC
??
?2 ；外接圆直径 2R= ;
sinsinsin C
c
B
b
A
a
??

11．已知 Aba ,, 时三角形解的个数的判定：









第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 1:22 。
A
b
a
C
h
其中 h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a②a=h 时，一解（直角）；③h一钝角）；④a? b 时，一解（一锐角）。
⑵A 为直角或钝角时：①a? b 时，无解；②a>b 时，
一解（锐角）。

11
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧= rh?2 ；③体积：V=S 底h
⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧= rl? ；③体积：V=
3
1
S 底h：
⑶台体：①表面积：S=S 侧+S 上底S 下底；②侧面积：S 侧= lrr )(
'?? ；
③体积：V=
3
1
（S+
'' SSS ? ）h；
⑷球体：①表面积：S=
24 R? ；②体积：V= 3
3
4
R? 。
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理 4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面
平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
注：理科还可用向量法。
4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴异面直线所成角的求法：
① 平移法：平移直线，构造三角形；
② 补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。
注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离 h，与斜线段长度作
比，得 sin? 。
注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。
5．结论：
⑴ 长方体从一个顶点出发地三条棱长分别为 a，b，c，则对角线长为
222 cba ?? ，
全面积为 2ab+2bc+2ca；
长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ,,, ??? 则：
cos
2? +cos2? +cos2? =1；sin2? +sin2 ? +sin2? =2
⑵ 正方体的棱长为 a，则对角线长为 a3 ，全面积为 6 2a ，体积为 3a
⑶ 长方体或正方体的外接球直径 2R 等于长方体或正方体的对角线长；
(4) 正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的： A

12
① 高： ah
3
6
? ；②对棱间距离： a
2
2
；
② 内切球半径： a
12
6
；外接球半径： a
4
6
；



























第五部分 直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式： )( ?? xxkyy ??? ；⑵斜截式： bkxy ?? ；⑶截距式： 1??
b
y
a
x
；

13
⑷两点式：
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
?
?
?
?
?
；⑸一般式： 0??? CByAx ，（A，B 不全为 0）。
（直线的方向向量：（ ), AB ? ，法向量（ ), BA
2．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
3．两条直线的位置关系：









4．直线系：

5．几个公式
⑴设 A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC 的重心 G：（
3
,
3
321321 yyyxxx ???? ）；
⑵点 P（x0,y0）到直线 Ax+By+C=0 的距离：
22
00
BA
CByAx
d
?
??
? ；
⑶两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是
22
21
BA
CC
d
?
?
? ；
6．圆的方程：
直线方程 bkxy ?? 0??? CByAx
平行直线系 mkxy ?? 0??? mByAx
垂直直线系 mx
k
y ???
1
0??? mAyBx
相交直线系 0)( 222111 ?????? CyBxACyBxA ?
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
222
111
:
:
bxkyl
bxkyl
??
??
21,21 bbkk ?? 121 ??? kk 21 , ll 有斜率
0: 1111 ??? CyBxAl ,1221 BABA ? 且 02121 ?? BBAA 不可写成
0: 2222 ??? CyBxAl 1221 CBCB ? （验证） 分式

14
⑴标准方程：①
222 )()( rbyax ???? ；② 222 ryx ?? 。
⑵一般方程： 022 ????? FEyDxyx （ )0422 ??? FED
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆? A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2－4AF>0；
7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
8．圆系：
⑴ )1(,0)( 222
22
111
22 ???????????? ?? FyExDyxFyExDyx ；
注：当 1??? 时表示两圆交线。
⑵ )1(,0)(22 ?????????? ?? CByAxFEyDxyx 。
9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）
① ?? Rd 点在圆上；② ?? Rd 点在圆内；③ ?? Rd 点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）
① ?? Rd 相切；② ?? Rd 相交；（直线与圆相交所得的弦长
22 drAB ?? ）
③ ?? Rd 相离。
⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距， rR, 表示两圆半径，且 rR ? ）
① ??? rRd 相离；② ??? rRd 外切；③ ????? rRdrR 相交；
④ ??? rRd 内切；⑤ ???? rRd0 内含。
10．与圆有关的结论：
⑴过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r
2；
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r
2；
⑵以 A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。






第六部分 圆锥曲线
（此部分重点内容为三种圆锥曲线的方程、几何性质，下面所列可能是你

15
会疏忽的一些内容）
1．定义：⑴椭圆： |)|2(,2|||| 2121 FFaaMFMF ??? ；
⑵双曲线： |)|2(,2|||||| 2121 FFaaMFMF ??? ；
⑶抛物线： dMF ?
2．结论
⑴焦半径：①椭圆： 0201 , exaPFexaPF ???? （e 为离心率）； （左“+”右
“-”）；
②抛物线 pxy 22 ? ：
2
0
p
xPF ?? （ 0?p ）
⑵弦长公式： ]4))[(1(1 21
2
21
2
12
2 xxxxkxxkAB ????????
]4)[()
1
1(
1
1 21
2
212122
yyyy
k
yy
k
????????? ；
注：（Ⅰ）抛物线焦点弦长： AB ＝x1+x2+p
（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：
a
b 22 ；②抛物线：2p。
⑶ 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： 122 ?? nymx （ nm, 同时大于 0
时表示椭圆， 0?mn 时表示双曲线）；
(4) 双曲线中的结论：
①双曲线 1
2
2
2
2
??
b
y
a
x （a>0,b>0）的渐近线： 0
2
2
2
2
??
b
y
a
x ；
②共渐进线 x
a
b
y ?? 的双曲线标准方程为 ??(
2
2
2
2
??
b
y
a
x 为参数，? ≠0）；
③双曲线为等轴双曲线? ?? 2e 渐近线为 xy ?? ?渐近线互相垂直；
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：
①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程？
②直线斜率不存在时考虑了吗？
③判别式验证了吗？
⑵设而不求（代点相减法或叫点差法）：--------处理弦中点问题

16
步骤如下：①设点 A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得 ???
?
?
?
21
21
xx
yy
kAB ；③解
决问题。
4．求轨迹的常用方法：
（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关
点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

























第七部分 平面向量
⑴设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：
① a∥b(b≠0)? a=? b （ )R?? ? x1y2－x2y1=0；
② a⊥b(a、b≠0)? a·b=0? x1x2+y1y2=0 .

17
⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2；
注：①|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投
影；
③ a·b 的几何意义：a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos
的乘积。
⑶cos=
|||| ba
ba ?
；
（4）
22
222
yxaaaaaa ???????
⑷三点共线的充要条件
P，A，B三点共线? )1yx( ???? 且OByOAxOP ；
附：（理科）P，A，B，C四点共面? )1zyx( ?????? 且OCzOByOAxOP 。















第八部分 数列
1．定义：
⑴等差数列 *),2(2( 11n1n Nnnaaaddaaa nnnn ???????? ??? 为常数）｝｛
BnAnsbkna nn ??????
2 ；

18
⑵等比数列 N)n2,(n)0(} 1n1-n
2
n
1n
n ???????? ?
? aaaqq
a
a
a
n
｛
)0k,1q,0q(kqkSn0,( n ???????? 的常数）均为不为qccqa nn ；
2．等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式 dnaan )1(1 ???
1
1
?? nn qaa
前 n 项和 d
nn
na
aan
S nn
2
)1(
2
)(
1
1 ???
?
?
q
qaa
q
qa
Sq
naSq
n
n
n
n
?
?
?
?
?
??
??
1
1
)1(
1.2
;1.1
1
1
1
时，
时，

性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amq
n-m
;
②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ②m+n=p+q 时 aman=apaq
③ ?,,, 232 kkkkk SSSSS ?? 成 AP ③ ?,,, 232 kkkkk SSSSS ?? 成 GP
④ ?,,, 2mkmkk aaa ?? 成 AP, mdd ?' ④ ?,,, 2mkmkk aaa ?? 成 GP,
mqq ?'
3．数列通项的求法：
⑴定义法（利用 AP,GP 的定义）；（2）累加法（ 型nnn caa ???1 ；

（3）公式法：

⑷累乘法（ n
n
n c
a
a
??1 型）；⑸变形构造法（ bkaa nn ???1 、
4
11
4
1
11 ?????
?
??
nn
nnnn
aa
aaaa 等类型）；
4．前n 项和的求法：
（1）倒序相加法；（2）错位相减法。（3）裂项相消法；（4）分组求和法
5．等差数列前 n 项和最值的求法：
⑴（数列思想）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? 0
0
0
0
11 n
n
n
n
a
a
a
a
或 ；⑵（函数思想）利用二次函数的图象
an=
S1 (n=1)
Sn－Sn-1 (n≥2)

19
与性质。



























第九部分 不等式
1．均值不等式：
22
22 baba
ab
?
?
?
?
注意：①一正二定三相等；②变形，
2
)
2
(
22
2 babaab
?
?
?
? 。
2．不等式的性质：
⑴ abba ??? ；⑵ cacbba ???? , ；

20
⑶ cbcaba ????? ； dcba ?? , dbca ???? ；
⑷ bdaccba ???? 0, ； bcaccba ???? 0, ； ,0?? ba
bdacdc ???? 0 ；
⑸ )(00 ??????? Nnbaba nn ；（6） ??? 0ba )( ??? Nnba nn 。
4．不等式等证明（主要）方法：
⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。


















第十部分 复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈R? b=0 (a,b∈R)? z= z ? z2≥0；
⑵z=a+bi 是虚数? b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi 是纯虚数? a=0 且 b≠0(a,b∈R)? z＋ z ＝0（z≠0）? z2<0；
⑷a+bi=c+di? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
⑶ z1÷z2 (z2≠0) （方法：分子分母同时乘以分母的共轭复数）;

21
3．共轭的性质：⑴ 2121 )( zzzz ??? ；⑵ 2121 zzzz ?? ；⑶
2
1
2
1 )(
z
z
z
z
? ；⑷ zz ? 。
4．模的性质：（1） |||||| 2121 zzzz ? ；（2）
||
||
||
2
1
2
1
z
z
z
z
? ；（3） nn zz |||| ? ；





















第十一部分 概率
1．事件的关系：
（1）事件 A 与事件 B 互斥：不可能同时发生的两个事件 A 和 B 叫做互斥事件；
﹙2﹚对立事件：两个互斥事件 A、B 必有一个发生，则这两个事件叫做对立事件
2．概率公式：
（1） 互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
（2）对立事件概率公式： )(1)( APAP ??

22
（3） 古典概型：
基本事件的总数
包含的基本事件的个数A
AP ?)( ；
（4） 几何概型：
等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的
积等）的区域长度（面积或体构成事件A
AP ?)(
=
D
d
；




















第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为 N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个
容量为 n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为
N
n
；
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

23
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 l ；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的
情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?
N
n

2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数 ?
?
????????
n
i
in x
n
xxx
n
x
1
21
1
)(
1 ；
⑵样本方差 ])()()[(
1 22
2
2
1
2 xxxxxx
n
S n ??????????
2
1
)(
1
xx
n
n
i
i ?? ?
?
；
⑶样本标准差 ])()()[(
1 22
2
2
1 xxxxxx
n
S n ??????????
= 2
1
)(
1
xx
n
n
i
i ??
?
；
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
? ?
?
? ?
?
??
??
?
n
i
n
i
ii
n
i
ii
yyxx
yyxx
r
1 1
22
1
)()(
))((

注：⑴ r >0 时，变量 yx, 正相关； r <0 时，变量 yx, 负相关；
⑵ ① || r 越接近于 1，两个变量的线性相关性越强；
② || r 接近于 0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
（3）判断两个变量线性相关性还可以通过画出散点图进行分析
4．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量
2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第十三部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；⑥ 连接点。

③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；

⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：

24
r=0? 否 求 n 除以 i 的余数
输入 n 是
n 不是质素 n 是质数 i=i+1
i=2
i? n或 r=0?否
是




















第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1． 四种命题：
⑴原命题：若 p 则 q； ⑵逆命题：若 q 则 p；
⑶否命题：若?p 则?q；⑷逆否命题：若?q 则?p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
2．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；
（2）利用集合间的包含关系：例如：若 BA? ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A
的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件；
3．逻辑连接词：
⑴且(and) ：命题形式 p? q； p q p? q p? q ?p

25
⑵或（or）：命题形式 p? q； 真 真 真 真 假
⑶非（not）：命题形式?p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4．全称量词与存在量词
⑴ 全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示；
全称命题 p： )(, xpMx?? ；
全称命题 p 的否定?p： )(, xpMx ??? 。
⑵ 存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示；
特称命题 p： )(, xpMx?? ；
特称命题 p 的否定?p： )(, xpMx ??? ；










第十五部分 推理与证明
数学归纳法（仅限理科）
一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当n 取第一个值 0n 是命题成立；
⑵假设当 ),( 0
???? Nknkkn 命题成立，证明当 1?? kn 时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从 0n 开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；

26
④ 0n 的取值视题目而定，可能是 1，也可能是 2 等。























第十六部分 理科选修部分
1． 排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式:
m
nA =n(n-1)(n-2)?(n-m＋1)= )!(
!
mn
n
? (m≤n,m、n∈N*),当 m=n 时为全排
列
n
nA =n(n-1)(n-2)?3.2.1=n!;
⑵组合数公式：
123)2()1(
)1()1(
! ?????????
???????
??
mmm
mnnn
m
A
C
m
nm
n
（m≤n）, 10 ?? nnn CC ；
⑶组合数性质：
m
n
m
n
m
n
mn
n
m
n CCCCC 1
1; ?
?? ??? ；
⑷二项式定理： )()( 1110 ??? ???????? NnbCbaCbaCaCba nnn
kknk
n
n
n
n
n
n ??

27
①通项： );,...,2,1,0(1 nrbaCT
rrnr
nr ??
?
? ②注意二项式系数与系数的区别；
⑸二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若 n 为偶数，中间一项（第
2
n
＋1 项）二
项式系数最大；若 n 为奇数，中间两项（第
2
1?n
和
2
1?n
＋1 项）二项式系数最大；
③ ;2;2 13120210 ????????????????????? nnnnn
nn
nnnn CCCCCCCC
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。

2. 概率与统计
⑴随机变量的分布列：
①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,?； p1+p2+?=1;
②离散型随机变量：
X x1 X2 ? xn ?
P P1 P2 ? Pn ?
期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + ? + xnpn + ? ;
方差：DX＝ ????????????? nn pEXxpEXxpEXx
2
2
2
21
2
1 )()()( ;
注： DXabaXDbaEXbaXE 2)(;)( ????? ；


③两点分布：
X 0 1 期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).
P 1－p p

① 超几何分布：
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则
},,min{,,1,0,)( nMmmk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M ????
?
? ? 其中， NMNn ?? , 。
称分布列

X 0 1 ? m

28
P
n
N
n
MNM
C
CC 00 ??

n
N
n
MNM
C
CC 11 ??
?
n
N
mn
MN
m
M
C
CC ??

为超几何分布列， 称 X 服从超几何分布。
⑤二项分布（独立重复试验）：
若 X～B（n,p）,则 EX＝np, DX＝np（1- p）;注：
knkk
n ppCkXP
???? )1()( 。
⑵条件概率：称
)(
)(
)|(
AP
ABP
ABP ? 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
注：①0? P（B|A）? 1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密度函数： ,,
2
1
)(
2
2
2
)(
Rxexf
x
??
?
?
?
?
??
式中 ??, 是参数，分别表
示总体的平均数（期望值）与标准差；
（6）正态曲线的性质：
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线 x＝? 对称；
③曲线在 x＝? 处达到峰值
?? 2
1
；④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
② 当? 一定时，曲线随? 质的变化沿 x 轴平移；
③ 当? 一定时，曲线形状由? 确定：? 越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集
中；
? 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
注：P )( ???? ???? x =0.6826；P )22( ???? ???? x =0.9544
P )33( ???? ???? x =0.9974

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