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事物的本质、关系和规律。
”
这一表述阐明了
数学与大自然及人类社会的天然联系,数学是
表达宇宙空间本质的工具。同时,数学最本质
的特征是逻辑的严密性,其中蕴含着讲规则、
重证据、依逻辑、实事求是、严谨求实的科学
精神与为人品格。这样,数学不仅有理解和表
达现实事物的本质、关系和规律以及发展学生
理性思维的工具属性,也有鲜明的科学精神、
为人品格等价值观念属性。所以,数学教育必
然是工具性和价值观的统一体,体现数学教育
本来面目的数学课堂教学必然是
“
德智融合
”
的,科学精神的培育是自然而然地融人在
“
四
基
”“
四能
”
的教学中的。也就是说,如果课
堂教学没有把育德和育智紧密结合起来,那么
就没有完整体现数学教育的真谛.
理性思维得到良好发展的具体表现是:能
抓住纷繁复杂事物中的关键要素,善于发现事
物的本质、关系和规律;善于返璞归真、精中
求简、以简驭繁,能在一般观念指导下思考和
解决问题;对 自己的判断和选择有清晰且自觉
的认识,能有理有据、前后一致、逻辑连贯地
阐明观点;善于透过现象看本质,识破似是而
非的诡辩;形成重论据、有条理、合乎逻辑的
思维品质,养成以理服人的行为习惯。
总之,符合立德树人要求的数学教育,就
是要充分挖掘和利用数学课程内容所蕴含的育
人资源,发挥数学在形成人的理性思维、科学
精神和促进人的智力发展中的独特作用,用数
学的方式开展育人活动,使学生在掌握
“
四
基
”
、提高
“
四能
”
的过程中,学会有逻辑地、
创造性地思考,形成数学的思维方式,发展理
性思维,养成科学精神,成为善于认识问题、
解决问题的人才.
=、
理解中学数学
从上所述可见,深化数学课程改革,就是
要以立德树人为根本,以数学学科核心素养为
目标导向,培养
“
四基
”“
四能
”
为手段,发
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展理性思维和科学精神为落脚点。为了建立数
学学科核心素养与数学课程及其教学的内在联
系,充分发挥数学课程和教学在全面贯彻党的
教育方针、落实立德树人根本任务、发展素质
教育等方面独特的育人价值 ,《标准 (2017年
版)》 给出了数学学科核心素养,明确了学生
学习数学课程后应达成的正确价值观、必备品
格和关键能力,并围绕数学学科核心素养的落
实,精选、重组了教学内容,提出了以核心素
养为导向的数学教材编写、数学教学以及考试
评价的新要求,强调数学教学要更加关注数学
学科思想`数学思维方式等
,要努力克服重教
书轻育人的倾向.因此,落实数学学科核心素
养的前提是教师理解中学数学内容,关键是理
解内容所反映的数学思想方法,以及在研究数
学对象中所采用的思维方式.
下面我们以 《标准 (⒛ 17年版)》 必修
和选择性必修中的内容为主体,将中学数学教
科书中的内容编织成为一个知识图谱,以便大
家对它有一个脉络清晰、重点突出的理解。这
里的知识图谱是显示数学知识发展进程与结构
关系的一系列图形,可以帮助大家运用系统思
维,从整体性、联系性、层次性等角度去分析
和把握中学数学内容。
1.中学数学的研究对象
对于
“
什么是数学
”“
数学的研究对象有
哪些类型
”
等问题的回答,可以有不同观点 ,
可以从不同角度给出回答。 《标准 (⒛ 17年
版)》 延续了恩格斯的观点,认为
“
数学是研
究数量关系与空间形式的一门科学
”.这样 ,
数学的研究对象有的可以纳人较单纯状态的
“
数量关系
”
或
“
空间形式
”,有的可以纳人两
者融合状态的
“
数形结合
”。概率与统计当然
也可以也可以纳人上述三条主线中,但概率与
统计是研究不确定现象的,其他中学数学则是
研究确定现象的,若把后者称为确定性数学 ,
则概率与统计是以确定性数学为工具来研究不
确定现象的数学,所以概率与统计应放在一个
独立的位置上。在中学阶段,集合与常用逻辑
用语都是刻画事物的语言和工具,因此应该作
为学习所有内容的基础。
2.集合与常用逻辑用语
曩 只要研究问题,就有研究对象。这
些研究对象都是数学中的元素.一方面把一些
元素放在一起作为一个整体看待,就形成一个
集合。因而元素、集合是处处存在的。另一方
面,从有关自然数的 Peano公理,以及关于欧
氏几何的公理体系可以看到或感觉到,无论是
“
数量关系
” “
空间形式
”
中涉及的对象和概
念,还是
“
数形结合
”
中遇到的对象和概念 ,
都能用集合论的语言 (元素、集合、属于、子
集、映射等)给出它们的定义.在这个意义
上,可以说数学研究的很多对象都是元素间具
有某些关系的集合。这样,集合论的语言就自
攮禹骚鼙 实数及其运算和大小关系。实数
是度量大小的绝好工具,实数系是一切具有运
算的体系的标兵,任何具有运算的体系中的内
容、方法与思想,都能在与实数系的类比中得
到启发。
攮巍瑙鍪 复数及其运算。复数由实数扩张
而得,是人类能创造出的最大、最佳数系。这
是因为:把复数系再扩张时,就不再存在像复
数系这样方便而完美的运算了。对复数系,我
然地成为数学的基本语言,并且从这里我们还
会看到和相信,为什么数学的研究成果 ,数学
的研究思想、方法等都有可能在其他理论中派
上用场,得到广泛应用。
数学的最重要特征是它的
严谨性,这种严谨性是由一系列表示关系的逻
辑术语把表示概念的名词连接在一起而体现
的,由此 ,从条件到结论 ,清清楚楚、明明白
白,不会产生歧义,而且能被其他人理解。数
学的表达方式是全世界数学家都认同和遵守
的,数学语言是世界通用的.逻辑用语是数学
语言的重要组成部分 ,是数学表达和交流的工
具 ,是数学严谨性与准确性的基本保证 ,是逻
辑思维的基本语言。
3.数量关系
“
数量关系
”
所涉及的内容可概括为如下
结构图 :
们有代数基本定理 (每一个复系数一元 刀次多
项式至少有一个复数根 ,其中饣为正整数 ).
摺渚豳掣 向量及其运算。直线上向量的坐
标是一个实数,平面中向量的坐标是实数对
(品 ,丿 ),空 间 中向量 的坐标 是 三 实数 组
(J,丿 ,z)。 在这个意义上 ,向量可以看作是
实数 的一种推广.此外,在历史上,复 数
(c+ai)曾 被推广到四元数 (曰 +Ji+yj+
zk),而其中的￡i+历十zk被发展成现在的向
数
量
关
系
羞·黥
指数函数
对数酹数
函数的导数
|中学数学及其教学| 3
量。从这里看到,向量的确是
“
数
” (即 四元
数)的一部分。当然,在谈论向量时永远记住
它的物理、几何背景 (位移、力,有 向线段
等)。
在研究几何时,作为工具,向量系和实数
系有异曲同工之妙。
曩曩曩鲟 用字母代表数,我们有了变量
ε,a,c,J,y,z等。数和变量一起运算的
结果,我们得到代数式,代数式之间也有加、
减、乘、除等运算,这样就有了代数式及其运
算.代数式及其运算可看作是数及其运算的一
种推广,它大大拓宽了运算对象的范围。代数
学的根源在于代数运算,而运算律则是整个代
数学的基础。在研究代数问题时,我们往往通
过运算来归纳地发现、定义和证明。
曩 令两个含变数的代数式相等便得到
方程。方程是变量间数量关系的直接体现,而
数和代数式是不可缺少的准备。由算术到代数
的转化,我们可以看到方程、代数式及其运算
的力量和美妙。
躔蜃鲟鳟 把方程中的
“
=” 换成实数系所
特有的
“
)” (或
“(” )便得到不等式,因
而两者有类似的地方。如解方程要利用等式的
性质进行等价变换,解不等式也要利用不等式
的性质进行等价变换,而
“
等式的性质
”
和
“
不等式的性质
”
都有
“
可传递性
”,都是 “运
算中的不变性、规律性
”。由函数观点,方程
r(J)=0的 解可以看成函数 丿=∫ (=)的零点 ,
而不等式 ∫(J)>0的解可看成是函数 丿=
∫O)取正值的ε的全体.另外,两者关系密
切:和函数的零点可看成是函数不等于 0处的
“
边界点
”
类似,方程 r(=,丿 )=o可设想为不
等式∫(￡ ,丿 )>0的
“
边界
”。
“
>” 的性质比
“
=” 的性质
“
坏
”
许多,我们应非常小心地
对待不等式.
鲟 函数及函数的运算 (+、 一、×)。
函数源于研究事物运动变化规律的需要.函数
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刻画了一个变量随着另一个变量的变化状态 ,
给出一个数集到另一个数集的对应关系。它是
覆盖面广、有统帅作用的概念:数可以看成特
殊函数;数的运算可以看成特殊的二元函数 ;
代数式可以容易地被改造成一个函数;数列是
特殊的函数;解一元方程就是求一个函数的零
点,因而解方程也可纳人函数问题的讨论中;
平面曲线在历史上曾为函数概念提供最初的例
子,而今天函数和曲线具有人和影子一样的密
不可分的关系;解三角形可化归为一个三角函
数的问题??
这几类函数都有明确的现实背景,形式简单、
性质明显而且应用广泛。通过对客观世界中变
量关系和规律的抽象,可以得到这些类型的函
数。另外,令变量 y等于含变量J的代数式p
(￡ ),即 丿=p(￡ ),就得到ε的函数y,这是
人们知道的第一批函数中的一类,其中最简
单、最基本的就是幂函数、多项式函数、指数
函数及其反函数即对数函数。对于形如 cD=
c,沪 =c的代数等式,让其中的一个量随另
一个量的变化而变化,可以得到丿=屁￡,丿 =
蚤
,丿 ==〃 ,γ =cΙ 9y=lo‰ =等基本初等函
数。我们发现,没有任何现实背景,从纯粹的
代数运算,加上量与量之间的对应思想,也可
以拍象出基本初等函数这样重要的数学研究
对象。
鞫 数列及数列的运算。在中学只讨论
最简单、最基本的两类数列:等差数列及等比
数列。我们可以把数列想象成数的推广,也可
以把数列看成是一类特殊的函数,从而可以把
等差数列与一次函数作类比,把等比数列与指
数函数作类比。不可忽略的是数列的
“
影子
”
在中学数学中多次出现:在用有理数逼近无理
数中,在求圆的面积或球的体积中,在指数为
无理数时的指数定义中,在 求函数的导数
中??
霾鳓憩籀黎 描述周期现象的重要数学模
型。为了刻画一些简单的周而复始的运动变化
现象 (如匀速圆周运动),我们以单位圆上点
的运动规律为背景引人了任意角的三角函数。
正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动、
相辅相成的周期函数,它们的基本性质则是圆
的几何性质 (主要是对称性)的直接反映。三
角函数是数形结合的产物,在探究三角函数的
性质和各种各样的三角公式时,借助单位圆的
直观是非常重要而有效的方法。三角函数是非
常重要的函数,是描述一般周期函数的基石。
鳓蜃憩曩躔蓦 虽然函数 ∫(茁 )的导数可以
躔蜃躔躔饔 讨论点,直线,直线的位置关
系 (重点是平行与垂直),三 角形、四边形
(重点是平行四边形),圆等基本而简单的平面
图形的性质,其中尤以三角形为代表。三角形
既简单而又能充分反映空间的本质,例如三角
形内角和定理所表示的是平面的平行性,而平
行性在平面几何中所扮演的角色是使定量几何
中的各种公式都大大简化;等腰三角形所具有
的轴对称能具体地反映平面的反射对称性,所
以它是研究平面几何对称性的基本工具;定量
平面几何中的基本定理,三角形面积公式、相
似三角形定理和勾股定理是首要的。因此,在
几何的学习中,必须重视对三角形的研究.平
面几何是进一步用坐标法讨论曲线的基础。平
面几何在培养学生的直观想象和逻辑推理等素
养上具有不可替代的作用。
鹰搀酪霾蠡 直线与直线、直线与平面、平
面与平面之间的位置关系,基本立体图形
(柱 、锥、台、球)的结构特征。特别重要的
是空间中的平行和垂直以及两者之间的密切关
用极限概念
“
纯数量
”
地去定义,但在中学里
我们强调在实际背景下直观地、实质地去给出
导数的描述,因而我们愿把导数概念看成是数
形结合的产物。这里,重要的是极限思想,而
导数则是借助于极限的一种运算。
从数及其运算、函数及数形结合等角度来
观察中学数学,是弄清中学数学脉络,搞活中
学数学的三个重要观`点。
4.空间形式
“
空间形式
”
所涉及内容可概括为如下结
构图 :
联,因为它们是整个定量立体几何的基础所
在。对于空间图形,只是看看柱面、锥面和球
面,从直观上去感知它们的结构特征;凭借最
简单、最基本的直线、平面的位置关系,以及
三视图、透视图使我们获得一定的空间形体的
直观感觉。
攮蠲霸罅醉 平面解析几何的主要对象。在
中学,给出它们的几何定义后,便用数形结合
的代数方法——
“
坐标法
”
来讨论它们。这些
基本、简单而又很有用的平面曲线使我们对平
面曲线有了更多的感性认识,同时
“
坐标法
”
也为用数形结合的微积分方法去研究一般曲线
打下了一个很好的基础。
=礴
薛橱面缭 虽然只在最后时刻用微积
分方法专门讨论了它,但在整个中学数学中 ,
与函数结伴几乎出现在所有的地方。想到函数
概念的无比重要性,对帮助我们形象地看到函
数的曲线是非常亲切的。
一般地,几何的研究对象是图形和图形之
间的关系,研究主题是几何对象的性质。定义
空
间
形
式
一般平面曲线
|中学数学及其教学 | 5
某类几何对象的基本方法是,先通过具体事例
分析组成这类对象的基本元素 (点 、线、面、
体)及其形状和位置关系,然后归纳共性抽象
出概念.例如;通过观察具体实物、模型,得
出棱柱表面是由平面图形围成的;这些平面图
形中,有两个相互平行,其余都是四边形,而
且相邻两个四边形的交线相互平行;将这些共
性概括到一般去,就抽象出棱柱的概念。所谓
几何性质,首先是几何图形组成元素之间的位
置关系、大小关系。例如,三角形的性质,就
是以三角形的要素 (三边、三内角)、 相关要
素 (高 、中线、角平分线、外角等)之间的相
互关系以及几何量 (边长、角度、面积等)为
基本问题,从
“
形状、大小和位置关系
”
等角
度展开研究 ;“形状
”
中,“特例
”
是重点——
等腰三角形和直角三角形,凡 “特例”都有性
质和判定两个基本问题。显然,在这样的一般
观念指导下展开研究,对发现几何图形性质、
建立几何知识结构大有裨益.
5.数形结台
∴厣镶携蹿砩黪醭翮翻搴 参看督巍鳜鑫鞣 .
把几何中的定性定理转化为可计算的定量结
果。举例说,已知三角形的两邻边 夕,b及其
夹角C,依边角边定理,第三边 c完全确定 ,
因而有函数 c=∫ (夕 ,3,C).如何具体给出
这个函数?这里引人三角函数以具体表示这个
函数,编制三角函数值表以使它可计算。
切骜螓鳞轴辔醯剿罄 用向量及其运算为工
具。向量法的本质,首先是让几何量带上符
号。F· 克莱因说:
“
对比把长度、面积、体
积考虑为绝对值的普通初等几何学,这样做有
极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情
况而区分许多情况,而现在用几个简单的一般
定理就可以概括.” 这几个
“
一般定理
”
就是
向量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运
算规则、几何意义 (物理意义),以及向量基
本定理及坐标表示。用向量方法研究几何,可
概括为
“
三步曲
”:用 向量表示出问题中关键
的点、线、面;进行向量计算得出结果;对所
得结果给予几何的解释而将问题解决。需要注
意的是,向量法是非常灵活的,利用
“
基
”
转
化为坐标运算仅仅是其中的一种方法。
鏖鑫厦曩黪颦 贯穿中学数学的一对孪生
姐妹。
黪 用数及其运算为工具。用代数方法研究
几何,可概括为
“
三步曲
”:用数 (坐标)、 代
数式、方程表示出问题中关键的J点 、距离、直
线、圆锥曲线;对这些数、代数式、方程进行
讨论;把讨论结果给予几何的解释而将问题解
决。值得注意的是,解析几何研究的是几何问
题,因此 “先用几何眼光观察,再用坐标法解
决
”
是基本原则。对圆锥曲线的基本几何特征
的认识是有效利用代数法解决问题的基础。
用导数和积分为工具,用分析方法研究曲线.
在坐标系下,函数对应曲线,导数就是曲线切
线的斜率,积分就是曲线下覆盖的面积。而微
积分基本定理把这两个在几何上看不出有什么
关系的几何量紧密地联系起来了。微积分是研
究曲线的强大工具。
为了醒目,把它们放在下面的框图中 :
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数
形
结
合
6.概率与统计
黠 概率论是研究随机现象规律的科
学,是统计学的理论基础。概率是一种度量 ,
用来度量随机事件发生的可能性大小。这和数
学中其他的度量相类似∴(例如直线的长度、平
面图形的面积、空间几何体的体积等),性质
也类似。但是两种度量之间存在如下区别 :
(1)作为概率的这种度量的值的范围是
E0,1彐 ,几何中的度量却不受这种限制 ;
(2)概率的度量对象是随机事件,几何中
的度量对象是几何图形,随机事件的不确定性
使概率的度量难度大大增加。
在中学阶段,借助古典概型引人样本空间
概念。样本空间是样本点的集合,它是概率理
论中的最基本而主要的概念,由此可以运用确
定性数学的知识和方法研究随机现象,例如利
用它可以刻画随机事件发生的背景,定义和计
算随机事件的概率,研究概率的运算法则和性
质等。
黪 统计是研究如何合理收集、整理、
分析数据以及由数据分析结果作出决策的科
学,它的理论基础是概率论。统计为人们认识
客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的
方法。在义务教育阶段主要是学习描述性统
计,它不考数据的随机性;高中阶段主要学习
推断性统计,通过具体问题背景了解基本的统
计概念与方法,例如随机抽样、统计图表、用
样本估计'总体、线性相关关系以及基于列联表
的独立性检验等。
统计学虽然放在数学课程中,但它与数学
是有差别的.首先,数学的研究建立在概念和
定义的基础上,用公理化方法来构建数学的理
论大厦,而统计学的研究则建立在数据的基础
上,是通过数据进行推断的;其次,数学推理
要依据逻辑规则,采用演绎推理得出必然正确
的结论,而统计推理主要依据历史经验 (虽然
也要顾及逻辑规则),采用归纳推理进行推断 ,
其结论具有或然性;最后,数学的结论是确定
性的,其判断标准是
“
对与错
”,而统计的结
论是带有或然性的,所以其判断标准是
“
好与
坏∴
7.补遗
最后,作为补充,提出几点想法。它们是
把不同内容串联起来的一些细线,有了它们 ,
不同内容的类比、联系就容易了。
(1)数和数的运算是一切运算系统的标
兵。让任意运算的对象和数类比,让任意对象
的运算和数的运算对比,不仅能使我们获得需
要研究的问题,而且能指引我们构建研究的路
径,使我们产生研究方法的灵感。
(2)函数观点是把不同对象联系起来的一
个好观点。参看鼙蹰鑫。
|中学数学及其教学 | 7
(3)把遇到的数量关系设法用几何图形表
示出来:函数的曲线,方程与曲线,实数与直
线,复数与平面,向量与有向线段,不等式的
图象,数据的图象等.
(4)把定性的结果变成定量的结果,把存
在的东西具体表示出来:参看躞蜃躔躔躔黪躔
鲟曩躞謦。直线用方程表示出来,直线上的点
用满足方程的有序实数对表示出来,一元二次
方程的根用系数表示出来,曲线的切线斜率用
导数表示出来等。一旦定性的东西得到定量的
表示,操作起来就容易多了。
(5)“恒等
”
变换是只变其形不变其质的
数学推理,目 的是从
“
好〃的形式中看出其本
质。这在数学中经常出现:如一元二次多项式
分解成一次因式的乘积,代数式的恒等变换 ,
三角函数的恒等变换,方程的同解变换,一组
数据的各种不同形式的组合,整数 (或一元多
项式)的带余除法等。
(6)相等的定义处处都有。我们通过相等
定义说明在所讨论的事物中什么是自己最关心
的。例如,如果两个三角形能够重合放在一
起,就说它们全等,这表明我们只注意三角形
的形状和大小而对它的位置不感兴趣;两个有
向线段相等是指它们有相同的起点、相同的长
度和相同的方向,但如果对有向线段引人新的
相等定义:规定有相同长度相同方向的两个有
向线段是相等的,我 们就将得到一个新对
象——向量;在函数的相等和方程的等价中 ,
我们都清楚地看到,什么是这些概念中我们最
关心的。
(7)逻辑结构编织着中学数学:中学数学
中虽然没有明确的公理体系形式,但在每一次
推理时,我们都有明确的推理根据.在这个意
义下,我们心目中都有一个
“
公理体系
”,并
在其中进行推理。这种潜移默化的逻辑结构的
熏陶是中学数学的
“
灵魂
”,是培养学生的理
性思维和科学精神的特有载体。如在概率中 ,
根据概率的定义,经实验、观察得出概率的一
系列性质,这些就成了我们建立概率理论体系
的经验基础,我们借助古典概率模型,在引人
样本点和样本空间概念后,经过演绎推理就可
以得出概率计算公式、运算性质;在立体几何
中,明确了直线与直线、直线与平面、平面与
平面之间的平行和垂直的定义,并归纳出一些
判定定理之后,经推理得出一些性质定理;在
向量中,有了向量的相等定义和运算定义后 ,
根据这些定义推导出了向量运算的运算律 ;
等等。
(8)从数学学习、研究过程来看,经常使
用如下的逻辑思考方法 :
其中突出显示了联系的观点,通过类比、
推广、特殊化等,可以有力地促进我们的数学
思考,使我们更有效地寻找出自己感兴趣的问
题,从中获得研究方法的启示。例如,关于平
面几何中的向量方法,我们可以有如下的
“
联
系图
”
:
立∷饿拓镫中的礴蚤方法∷
几何中斡绔合方:法仇豳 祗豳
数轴与掬量
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这个图把一些看似距离甚远的内容联系在
一起,不同的方法相互促进,可以使我们提出
更多的问题,在更加广阔的思维空间中进行思
考。例如,我们非常熟悉用代数方法研究圆锥
曲线,在上述
“
联系图
”
的引导下,就会自然
地提出
“
能否用向量方法研究圆锥曲线
” “
能
否用综合法研究圆锥曲线
”
这样的问题.
三、核心素养导向的数学教学
下面我们就数学核心素养融人课堂教学的
策略和方法,提出一些想法。
1.数学育人要用数学的方式,要发挥数
学的内在力量
在观察现象、认识事物或处理问题时 ,
“
数学的方式
”
是与众不同的。首先,其 目标
取向是
“
追求最大限度的一般性模式特别是一
般性算法
”,而研究的起点是对面临的具体事
物进行数学抽象;其次,数学的思考结构具有
系统性、普适性,其
“
基本套路
”
大致可以概
括为
“
抽象数学对象一探索数学性质—构建知
识体系
”;再次,数学的思维方式具有结构性、
一致性、连贯性,包括:抽象化、运用符号、
建立模型、逻辑分析、推理、计算,不断地改
进、推广,更深人地洞察内在的联系,在更大
范围内进行概括,建立更为一般的统一理论
等,这是一套严谨的、行之有效的科学方法 ,
是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程
中必须使用的思维方式;最后,数学的表达方
式具有统一性,使用一套世界通用的符号形式
进行交流。数学的思考结构、思维方式和符号
化表达正是数学的力量所在,逻辑性强,简明
而精确,具有四两拨千斤的功效。数学育人就
是要发挥数学的这种力量。
2.掌握数学知识是发展数学学科核心素
养的前提
离开知识的理解和应用,核心素养的发展
将成为一句空话。要让学生真正掌握数学知
识,靠掐头去尾烧中段、靠大量解题训练是做
不到的,必须让他们经历从数学研究对象的获
得到研究数学对象再到应用数学知识解决问题
的完整过程.数学对象的获得,要注重数学与
现实之间的联系,也要注重数学内在的前后一
致、逻辑连贯性,从
“
事实
”
出发,让学生经
历归纳、概括事物本质的过程,提升数学抽
象、直观想象等素养;对数学对象的研究,要
注重让学生经历以
“一般观念
”(ug dea)为
引导发现规律、获得猜想,并通过数学的推
理、论证证明结论 (定理、性质等)的过程 ,
提升逻辑推理、数学运算等素养;应用数学知
识解决问题,要注重利用数学概念原理分析问
题,体现数学建模的全过程,使学生学会分析
数据,从数据中挖掘信息等,提升数学建模、
数据分析素养。
以发展学生数学素养为追求,要根据学生的
认知规律,螺旋上升地安排教学内容,特别是要
计重要的 (往往也是难以一次完成的)数学概
念、思想方法得到反复理解的机会;要 以
“
事
实一概念一性质 (关系)—结构 (联系)一应
用
”
为明线,以
“
事实一方法一方法论一数学学
科本质观
’
为暗线,并要强调结合明线布暗线 ,
形成基本数学思想和方法的
“
渗透△明确一应
用
”
的有序进程,使学生在掌握
“
四基
”
、发展
“
四能
”
的过程中有效发展核心素养。
要做到
“
两个过程
”
的合理性,即从数学
知识发生发展过程的合理J跬、学生认知过程的
合理性上加强思考,这是落实数学学科核心素
养的关键点。前一个是数学的学科思想问题 ,
后一个是学生的思维规律、认知特点问题。
3.推理是数学的
“
命根子
”,运算是数学
的
“
童子功
”
与其他学科比较,数学学科的育人途径有
什么独特J眭呢?陈建功先生说 :“片段的推理 ,
不但见诸任何学科,也可以从日常有条理的谈
话得之。但是,推理之成为说理的体系者,限
于数学一科??忽视数学教育论理性的原则 ,
|中学数学及冥教学 丨 9
无异于数学教育的自杀.” 推理和运算是数学
的两个车轮子。因此,数学育人的基本途径是
对学生进行系统的 (逻辑)思维训练,而训练
的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运
算,要在推理的严谨性和简洁性、运算的正确
性和算法的有效性上有要求。这样,学生的理
性思维会得到逐步发展,科学精神也能得到很
好的培养。
4.教好数学就是落实数学学科核心素养
怎样才是
“
教好数学
”?学生会解各种资
料上的题目、考试成绩好就算教好了吗?是 ,
但又不全是,甚至不是最重要的。从学生的终
身发展需要看,从落实数学学科核心素养的要
求看,更重要的是:要以
“
研究一个数学对象
的基本套路
”
为指导,设计出体现数学的整体
性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普
适性、思维的系统性的系列化数学活动,引导
学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对
象,构建研究数学对象的基本路径,发现值得
研究的数学问题,探寻解决问题的数学方法 ,
获得有价值的数学结论,建立数学模型解决现
实问题。要使学生掌握抽象数学对象、发现和
提出数学问题的方法,要将此作为教学的关键
任务,以实现从
“
知其然
”
到
“
知其所以然
”
再到
“
何由以知其所以然
”
的跨越。
一言以蔽之,教好数学就是以数学基础知
识、基本技能为载体,使学生在领悟数学基本
思想、积累数学基本活动经验的过程中,学会
思考与发现,培养数学学科核心素养。
5.教师的专业水平和育人能力是落实核
心素荞的关键
理解数学、理解学生、理解教学、理解技
术的水平是教师专业水平和育人能力的集中体
现,是提高数学教学质量和效益的决定性因
素,也是有效提升学生数学核心素养的关键。
当前的问题,首先是有些教师在 “理解数学”
上不到位导致教学偏差,机械解题训练成为课
10 |普通高中教科书教师教学用书 数学 必修 第—册 |
堂主旋律,而大量题目又不能反映数学内容和
思维的本质,使数学学习越来越枯燥、无趣、
艰涩,大量学生的感受是 “数学不好玩△
理解数学,就是要把握数学内容的本质 ,
特别是对内容所蕴含的数学思想和方法要有深
人理解。要对一些具有统摄性的
“
一般观念
”
有深人理解并能自觉应用。例如 :数学对象的
定义方式 (如何定议),几何图形的性质指什
么,代数性质指什么,函数性质指什么,概率
性质指什么,等等。
理解学生 ,就是要全面了解学生的思维规
律,把握中学生的认知特点。例如,面对一个
数学内容 ,学生会如何想?学生已经具备的认
知基础有哪些 (包括日常生活经验、已掌握的
相关知识技能和数学思想方法等)?达成教学
目标所需具备的认知基础有哪些?“已有的基
础
”
和
“
需要的基础
”
之间有怎样的差距 ,哪
些差距可以由学生通过努力自己消除,哪些差
距需要在教师帮助下消除?学生喜欢怎样的学
习方式?等等 .
理解教学,就是要把握教学的基本规律 ,
按教学规律办事.例如,对于教学活动的设
计 ,关键词是:情境一问题一活动一结果。其
中
“
情境
”
是以数学内容的本质和学生的认知
过程为依据设置教学情境 ,包括生活情境、数
学情境、科学情境等。
“
问题
”
是与情境紧密
结合的、从情境中生发的系列化问题,必须满
足如下标准:①反映内容的本质 ,②在学生思
维最近发展区内,③有可发展性 ,使学生能从
模仿过渡到 自主提问。
“
活动
”
是指在情境与
问题引导下的系列化数学活动,是学生的独立
思考、自主探究、合作交流等。教学的
“
结
果
”,既要理解知识、掌握技能,也要领悟数
学基本思想、积累数学思维和解决问题的经
验 ,从而水到渠成地使学生的数学学科核心素
养得到提升与发展。
理解技术 ,就是要懂得如何有效利用技术
帮助学生的学和教师的教。例如,把抽象内容
可视化,静态内容动态化,繁杂但没有数学思
维含金量的事情让信息技术帮忙做等。在人工
智能时代,我们要借助技术改变课堂生态,实
现大面积的个性化教学,实现优质资源共享。
以上我们从几个方面阐述了数学课堂落实
数学学科核心素养的条件、策略和方法,其最
核心的观点是数学育人要回归数学的学科本
质,不搞花架子,实实在在地把数学教好,实
现
“
用数学的方式育人
”。事实上,所有的科
学问题在本质上都是简单而有序的。人类的智
慧表现在用简单的概念阐明科学的基本问题 ,
用相似的方法解决不同的问题,而数学的方法
就是这样的基本方法。中学数学中的研究对象
多种多样,但研究的内容、过程和方法是一脉
相承的,正所谓
“
研究对象在变,研究套路不
变,思想方法不变
”。因此,每一种数量和数
量关系、图形和图形关系的教学,我们都应以
“
研究一个数学对象的基本套路
”
为指导设计
和展开课堂教学,促使学生通过一个个数学对
象的研究,体悟具有普适性的数学思想和方
法,逐步掌握解决数学问题的那个
“
相似的方
法
”,进而逐步形成
“
数学的思维方式
”。在这
样的过程中,数学学科核心素养就潜移默化、
润物无声地得到落实了。
让我们一起努力 !
|中学数学及其教学 | 11

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