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1
结论 1：过圆 222 2ayx ?? 上任意点 P作圆 222 ayx ?? 的两条切线，则两条切线垂直．
结论 2：过圆 2222 bayx ??? 上任意点 P作椭圆 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）的两条切线，
则两条切线垂直．
结论 3：过圆 2222 bayx ??? （ 0?? ba ）上任意点P作双曲线 12
2
2
2
??
b
y
a
x
的两条切
线，则两条切线垂直．
结论 4：过圆 222 ayx ?? 上任意不同两点 A，B作圆的切线，如果切线垂直且相交于 P，
则动点 P的轨迹为圆： 222 2ayx ?? ．
结论 5：过椭圆 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）上任意不同两点 A， B作椭圆的切线，如果切
线垂直且相交于 P，则动点 P的轨迹为圆 2222 bayx ??? ．
结论 6：过双曲线 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）上任意不同两点 A， B作双曲线的切线，如
果切线垂直且相交于 P，则动点 P的轨迹为圆 2222 bayx ??? ．
结论 7：点M （ 0x ， 0y ）在椭圆 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）上，过点M 作椭圆的切线方
程为 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
结论 8：点M （ 0x ， 0y ）在椭圆 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）外，过点M 作椭圆的两条切
线，切点分别为 A， B，则切点弦 AB的直线方程为 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
结论 8：（补充）点M （ 0x ， 0y ）在椭圆 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）内，过点M 作椭圆
的弦 AB（不过椭圆中心），分别过 BA、 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P的轨迹方程
为直线： 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
2
结论 9：点M （ 0x ， 0y ）在双曲线 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0,0 ?? ba ）上，过点M 作双曲线的
切线方程为 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
结论 10：点M （ 0x ， 0y ）在双曲线 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0,0 ?? ba ）外，过点M 作双曲线
的两条切线，切点分别为 A， B，则切点弦 AB的直线方程为 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
结论 10：（补充）点M （ 0x ， 0y ）在双曲线 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0,0 ?? ba ）内，过点M 作
双曲线的弦 AB（不过双曲线中心），分别过 BA、 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P
的轨迹方程为直线： 12
0
2
0 ??
b
yy
a
xx
．
结论 11：点M （ 0x ， 0y ）在抛物线 pxy 2
2 ? （ 0?p ）上，过点M 作抛物线的切线方
程为 )( 00 xxpyy ?? ．
结论 12：点M （ 0x ， 0y ）在抛物线 pxy 2
2 ? （ 0?p ）外，过点M 作抛物线的两条切
线，切点分别为 A， B，则切点弦 AB的直线方程为 )( 00 xxpyy ?? ．
结论 12：（补充）点M （ 0x ， 0y ）在抛物线 pxy 2
2 ? （ 0?p ）内，过点M 作抛物线的
弦 AB ，分别过 BA、 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：
)( 00 xxpyy ?? ．
结论 13：点M （ 0x ， 0y ）在椭圆
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
上，过点M 作椭圆的切线方程
为 1
))(())((
2
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
结论 14：点M （ 0x ， 0y ）在双曲线
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
上，过点M 作双曲线的切线
方程为
? ?? ? ? ?? ?
12
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
3
结论 15：点M （ 0x ， 0y ）在抛物线 ? ? ? ?mxpny ??? 22 上，过点M 作抛物线的切线方
程为 ? ?? ? ? ?mxxpnyny 200 ????? ．
结论 16：点M（ 0x ， 0y ）在椭圆
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
外，过点M 作椭圆的两条切线，
切点分别为 A， B，则切点弦 AB的直线方程为 1
))(())((
2
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
结论 17：点M （ 0x ， 0y ）在双曲线
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
外，过点M 作双曲线的两条
切线，切点分别为 A， B，则切点弦 AB的直线方程为
? ?? ? ? ?? ?
12
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
结论 18：点M （ 0x ， 0y ）在抛物线 ? ? ? ?mxpny ??? 22 外，过点M 作抛物线的两条切
线，切点分别为 A， B，则切点弦 AB的直线方程为
? ?? ? ? ?mxxpnyny 200 ????? ．
结论 16：（补充）点M （ 0x ， 0y ）在椭圆
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
内，过点M 作椭圆的
弦 AB（不过椭圆中心），分别过 BA、 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P的轨迹方程为
直线： 1
))(())((
2
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
结论 17：（补充）点M （ 0x ， 0y ）在双曲线
? ? ? ? 12
2
2
2
?
?
?
?
b
ny
a
mx
内，过点M 作双曲
线的弦 AB（不过双曲线中心），分别过 BA、 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P的轨
迹方程为直线：
? ?? ? ? ?? ?
12
0
2
0 ?
??
?
??
b
nyny
a
mxmx
．
结论 18：（补充）点M （ 0x ， 0y ）在抛物线 ? ? ? ?mxpny ??? 22 内，过点M 作抛物线
的弦 AB，分别过 BA、 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P的轨迹方程为直线：
? ?? ? ? ?mxxpnyny 200 ????? ．
结论 19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A，B，则切点弦 AB的直
线必过相应的焦点 F ，且MF垂直切点弦 AB．
结论 20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A，B，则切点弦 AB
4
的直线必过相应的焦点F ，且MF垂直切点弦 AB．
结论 21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A，B，则切点弦 AB
的直线必过焦点 F ，且MF垂直切点弦 AB．
结论 22: AB为椭圆的焦点弦，则过 A， B的切线的交点M 必在相应的准线上．
结论 23: AB为双曲线的焦点弦，则过 A， B的切线的交点M 必在相应的准线上．
结论 24: AB为抛物线的焦点弦，则过 A， B的切线的交点M 必在准线上．
结论 25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A，B，
则切点弦 AB就是通径．
结论 26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A，
B，则切点弦 AB就是通径．
结论 27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为
A， B，则切点弦 AB就是其通径．
结论 28：过抛物线 pxy 22 ? （ 0?p ）的对称轴上任意一点 )0,( mM ? （ 0?m ）作抛物
线的两条切线，切点分别为 A， B，则切点弦 AB所在的直线必过点 )0,(mN ．
结论 29：过椭圆 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）的对称轴上任意一点 ),( nmM 作椭圆的两条切
线，切点分别为 A， B．
（1）当 0?n ， am ? 时，则切点弦 AB所在的直线必过点 )0,(
2
m
aP ；
（2）当 0?m ， bn ? 时，则切点弦 AB所在的直线必过点 ),0(
2
n
bQ ．
结论 30：过双曲线 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0,0 ?? ba ）的实轴上任意一点 )0,(mM （ am ? ）作
双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 A，B，则切点弦 AB所在的直线必过点 )0,(
2
m
aP ．
结论 31：过抛物线 pxy 22 ? （ 0?p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A，
B，弦 AB的中点为 N ，则直线MN 必与其对称轴平行．
结论 32：若椭圆 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）与双曲线 12
2
2
2
??
n
y
m
x
（ 0?m ， 0?n ）共
焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．
结论 33：过椭圆外一定点P作其一条割线，交点为 A，B，则满足 BPAQBQAP ???
的动点Q的轨迹就是过 P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论 34：过双曲线外一定点 P作其一条割线，交点为 A，B，则满足 BPAQBQAP ???
5
的动点Q的轨迹就是过 P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论 35：过抛物线外一定点 P作其一条割线，交点为 A，B，则满足 BPAQBQAP ???
的动点Q的轨迹就是过 P作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论 36：过双曲线外一点P作其一条割线，交点为 A，B，过 A，B分别作双曲线的切线
相交于点Q，则动点Q的轨迹就是过P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论 37：过椭圆外一点 P作其一条割线，交点为 A，B，过 A，B分别作椭圆的切线相交
于点Q，则动点Q的轨迹就是过 P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论 38：过抛物线外一点P作其一条割线，交点为 A，B，过 A，B分别作抛物线的切线
相交于点Q，则动点Q的轨迹就是过P作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论 39：从椭圆 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 0?? ba ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨
迹为圆： 222 ayx ?? ．
结论 40：从 12
2
2
2
??
b
y
a
x
（ 00 ?? ba ， ）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的
轨迹为圆： 222 ayx ?? ．
结论 41： 是椭圆 （ ）的一个焦点， 是椭圆上任意一点，则焦
半径 ．
结论 42： 是双曲线 （ ）的右焦点， 是双曲线上任意一点．
（1）当点 在双曲线右支上，则焦半径 ；
（2）当点 在双曲线左支上，则焦半径 ．
结论 43： 是抛物线 （ ）的焦点， 是抛物线上任意一点，则焦半径
= ．
结论 44：椭圆上任一点 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 处的切线
6
平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质．
结论 45：双曲线上任一点 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 处的法
线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．
结论 46：抛物线上任一点 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，
亦即抛物线的光学性质．
结论 47：椭圆的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 48：双曲线的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 49：抛物线的准线上任一点 处的切点弦 过其焦点 ，且 ⊥ ．
结论 50：椭圆上任一点 处的切线交准线于 ， 与相应的焦点 的连线交椭圆于 ，
则 必与该椭圆相切，且 ⊥ ．
结论 51：双曲线上任一点 处的切线交准线于 ， 与相应的焦点 的连线交双曲线于
，则 必与该双曲线相切，且 ⊥ ．
结论 52：抛物线上任一点 处的切线交准线于 ， 与焦点 的连线交抛物线于 ，则
必与该抛物线相切，且 ⊥ ．
结论 53：焦点在 轴上的椭圆（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数列
的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 54：焦点在 轴上的双曲线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 55：焦点在 轴上的抛物线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 56：椭圆上一个焦点 关于椭圆上任一点 处的切线的对称点为 ，则直线 必过
该椭圆的另一个焦点 ．
结论 57：双曲线上一个焦点 关于双曲线上任一点 处的切线的对称点为 ，则直线
必过该双曲线的另一个焦点 ．
7
结论 58：椭圆上任一点 （非顶点），过 的切线和法线分别与短轴相交于 ， ，则有 ，
， 及两个焦点共于一圆上．
结论 59：双曲线上任一点 （非顶点），过 的切线和法线分别与短轴相交于 ， ，则
有 ， ， 及两个焦点共于一圆上．
结论 60：椭圆上任一点 （非顶点）处的切线与过长轴两个顶点 ， 的切线相交于 ，
，则必得到以 为直径的圆经过该椭圆的两个焦点．
结论 61：双曲线上任一点 （非顶点）处的切线与过实轴两个顶点 ， 的切线相交于 ，
，则必得到以 为直径的圆经过该双曲线的两个焦点．
结论 62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆．
结论 63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆．
结论 64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．
结论 65：焦点在 轴上的椭圆（或焦点在 轴上）上任一点 （非短轴顶点）与短轴的两
个顶点 ， 的连线分别交 轴（或 轴）于 ， ，则 （或 ）．
结论 66：焦点在 轴上的双曲线（或焦点在 轴上）上任一点 （非顶点）与实轴的两个
顶点 ， 的连线分别交 轴（或 轴）于 ， ，则 （或 ）．
结论 67： 为焦点在 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则 与边 （或 ）
相切的旁切圆与 轴相切于右顶点 （或左顶点 ）．
结论 68： 为焦点在 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则 的内切圆与 轴
相切于右顶点 （或左顶点 ）．
结论 69： 是过椭圆 （ ）的焦点 的一条弦（非通径），弦 的
中垂线交 轴于 ，则 = ．
结论 70： 是过双曲线 （ ）的焦点 的一条弦（非通径，且为
8
单支弦），弦 的中垂线交 轴于 ，则 = ．
结论 71： 是过抛物线 （ ）的焦点 的一条弦（非通径），弦 的中
垂线交 轴于 ，则 = ．
结论 72： 为抛物线的焦点弦，分别过 ， 作抛物线的切线，则两条切线的交点 在
其准线上．
结论 73： 为椭圆的焦点弦，分别过 ， 作椭圆的切线，则两条切线的交点 在其相
应的准线上．
结论 74： 为双曲线的焦点弦，分别过 ， 作双曲线的切线，则两条切线的交点 在
其相应的准线上．
结论 75： 为过抛物线焦点 的焦点弦，以 为直径的圆必与其准线相切．
结论 76： 为过椭圆焦点 的焦点弦，以 为直径的圆必与其相应的准线相离（当然
与另一条准线更相离）．
结论 77： 为过双曲线焦点 的焦点弦，以 为直径的圆必与其相应的准线相交，截
得的圆弧度数为定值，且为 ．
结论 78：以圆锥曲线的焦点弦 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必
为抛物线．
结论 79：以圆锥曲线的焦点弦 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必
为椭圆．
结论 80：以圆锥曲线的焦点弦 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必
为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为 ．
结论 81： 为过抛物线 （ ）焦点 的焦点弦， （ ， ）， （ ，
），则 = ．
结论 82： 为过椭圆 （ ）焦点 的焦点弦， （ ， ）， （ ，
9
），则 = ．
结论 83： 为过双曲线 （ ）焦点 的焦点弦， （ ， ），
（ ， ）．若 为单支弦，则 = ；若 为双支弦，则
=
结论 84： 为抛物线的焦点， ， 是抛物线上不同的两点，直线 交其准线 于 ，
则 平分 的外角．
结论 85： 为椭圆的一个焦点， ， 是椭圆上不同的两点，直线 交其相应的准线 于
，则 平分 的外角．
结论 86： 为双曲线的一个焦点， ， 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线 交
其相应的准线 于 ，则 平分 的外角．
结论 87： 为双曲线的一个焦点， ， 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线
交其相应的准线 于 ，则 平分 ．
结论 88： 是椭圆 （ ）过焦点 的弦，点 是椭圆上异于
的任一点，直线 、 分别交相应于焦点 的准线 于 、 ，则点 与点 的纵
坐标之积为定值，且为 ．
结论 89： 是双曲线 （ ）过焦点 的弦，点 是双曲线上异
于 的任一点，直线 、 分别交相应于焦点 的准线 于 、 ，则点 与
点 的纵坐标之积为定值，且为 ．
结论 90： 是抛物线 （ ）过焦点 的弦，点 是抛物线上异于 的
任一点，直线 、 分别交准线 于 、 ，则点 与点 的纵坐标之积为定值，
10
且为 ．
结论 91： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为
定值，且有 ．
结论 92： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ，
（ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ，
，则 为定值，且有 = ．
结论 93： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ，
（ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ，
，则 为定值，且有 = ．
结论 94： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ，
（ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ，
，则 为定值，且有 = ．
结论 95： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ，
（ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ，
11
，则 为定值，且有 = ．
结论 96： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ，
（ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ，
，则 为定值，且有 = ．
结论 97： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ，
（ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ，
，则 为定值，且有 = ．
结论 98： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ，
（ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ，
，则 为定值，且有 = ．
结论 99： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
， ，则 为定值，且有 ．
结论 100： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
12
， ，则 为定值，且有 = ．
结论 101： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
， ，则 为定值，且有 = ．
结论 102： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
， ，则 为定值，且有 = ．
结论 103： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
， ，则 为定值，且有 = ．
结论 104： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
， ，则 为定值，且有 = ．
结论 105： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
13
， ，则 为定值，且有 = ．
结论 106： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
， ，则 为定值，且有 = ．
结论 107： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有
= = ．
结论 108： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有
= = ．
结论 109： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有
= ．
结论 110： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长
轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则 为定值，且有
14
= ．
结论 111： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ，
（ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ，
，则 为定值，且有 = ．
结论 112： ， 为椭圆 （ ）的长轴顶点， ， ，
（ ）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ，
，则 为定值，且有 = ．
结论 113： ， 为椭圆 （ ）的任一直径（中心弦）， 为椭圆上任
一点（不与 ， 点重合），则 为定值，且有 = = ．
结论 114： ， 为椭圆 （ ）的任一弦（不过原点且不与对称轴平
行）， 为弦 的中点，若 与 均存在，则 为定值，且有
= = ．
结论 115： 为椭圆 （ ）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于
的弦的中点的轨迹为直线 ，则有 = = ．
结论 116：过椭圆 （ ）上任意一点 (不是其顶点)作椭圆的切线 ，
15
则有 = = ．
结论 117：椭圆 （ ）及定点 ，（ ），过 的弦的
端点为 ， ，过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，直线
与 轴相交于 ，则直线 与 恒过 的中点，且有 ．
结论 118：椭圆 （ ）及定点 ，（ ± ），过 任作一条
弦 ， 为椭圆上任一点，连接 ， ，且分别与准线 相交于 ， ，则有
= ．
结论 119：椭圆 （ ）及定点 ，（ ， ），过
任作一条弦 ， 为椭圆上任一点，连接 ， ，且分别与直线 相交于 ，
，则有 = ．
结论 120： ， 为双曲线 （ ）的顶点， 为双曲线上任一点（非
实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为定
值，且有 = = ．
结论 121： ， 为双曲线 （ ）的顶点， 为双曲线上任一点（非
实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为定
值，且有 = ．
16
结论 122： ， 为双曲线 （ ）的顶点， 为双曲线上任一点（非
实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为定
值，且有 = ．
结论 123： ， 为双曲线 （ ）的顶点， 为双曲线上任一点（非
实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，则 为定
值，且有 = ．
结论 124： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
， ，则 为定值，且有 = ．
结论 125： ， 为双曲线 （ ）的顶点， ， ，
（ ）， 为双曲线上任一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于
， ，则 为定值，且有 = ．
结论 126： 为双曲线 （ ）的任一直径， 为双曲线上任一点
（不与 ， 点重合），则 为定值，且有 = = ．
结论 127： 为双曲线 （ ）的任一弦（不过原点且不与对称轴
17
平行）， 为弦 的中点，若 与 均存在，则 为定值，且有 = ．
结论 128： 为双曲线 （ ）的任一弦（不与对称轴平行），若平
行于 的弦的中点的轨迹为直线 ，则有 = = ．
结论 129：过双曲线 （ ）上任意一点 (不是其顶点)作双曲线的切
线 ，则有 = = ．
结论 130：双曲线 （ ）及定点 ，（ 或 ），过
的弦的端点为 ， ，过 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，直线
与 轴相交于 ，则直线 与 恒过 的中点，且有 ．
结论 131：双曲线 （ ）及定点 ，（ ± ），过 任作一
条弦 ， 为双曲线上任一点，连接 ， ，且分别与准线 相交于 ， ，
则有 = ．
结论 132：双曲线 （ ）及定点 ，（ 或 ），过
任作一条弦 ， 为双曲线上任一点，连接 ， ，且分别与直线 相交于 ，
，则有 = ．
结论 133：抛物线 （ ）及定点 ，（ ），过 的弦的端点为 ，
，过 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，直线 与 轴相交
18
于 ，则直线 与 恒过 的中点，且有 ．
结论 134：抛物线 （ ）及定点 ，（ ），过 任作一条弦 ，
为抛物线上任一点，连接 ， ，分别与准线 相交 ， ，则 = ．
结论 135：抛物线 （ ）及定点 ，（ ），过 任作一条弦 ，
为抛物线上任一点，连 ， ，分别与直线 相交 ， ，则 = ．
结论 136：过抛物线 （ ）的焦点 （ ，0）的弦（焦点弦）与抛物线相
交于 ， ，过 作直线 与 轴平行，且交准线于 ，则直线 必过原点（即其准
线与 轴交点 与焦点 的线段的中点）．
结论 137： 为椭圆 （ ）的焦点 的弦，其相应的准线与 轴交
点为 ，过 ， 作 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 ， ，则直线 ，
均过线段 的中点．
结论 138： 为双曲线 （ ）的焦点 的弦，其相应的准线与
轴交点为 ，过 ， 作 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 ， ，则直线 ，
均过线段 的中点．
结论 139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，
垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点．
结论 140： AB 为垂直于椭圆 长轴上的动弦，其准线与 轴
相交于 ，则直线 AF与 BQ（或直线 BF与 AQ）的交点M必在该椭圆上．
结论 141： AB 为垂直于双曲线 实轴的动弦，其准线与 轴相交于 ，
则直线 AF与 BQ（直线 BF与 AQ）的交点M也恒在该双曲线上．
19
结论 142： AB 为垂直于抛物线 对称轴的动弦，其准线与 轴相
交于 ，则直线 AF与 BQ（直线 BF与 AQ）的交点M也恒在该抛物线上．
结论 143：AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线））
的动弦，其准线与 轴相交于 ，则直线 AF与 BQ（直线 BF与 AQ）的交点M也恒在该
圆锥曲线上．
结论 144：圆锥曲线的焦点弦 AM（不为通径，若双曲线则为单支弦），则在 x轴上有且只
有一点 Q使 ．
结论 145：过 F任作圆锥曲线的一条弦 AB（若是双曲线则为单支弦），分别过 A B 作准线
l的垂线（ 是其相应准线与 轴的交点），垂足为 ，则直线 与直线 都经过
QF的中点 K，即 及 三点共线．
结论 146：若 AM、BM是圆锥曲线过点 F且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双
曲线）或对称轴（抛物线）)，如图 5，则四线 共点于 K．
结论 147： ， 分别为椭圆 （ ）的右顶点和左顶点， 为椭圆任
一点（非长轴顶点），若直线 ， 分别交直线 于 ， ，则以线段 为直
径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为 （ ，0）及椭圆内定点为
（ ，0）．
结论 148： ， 分别为双曲线 （ ）的右顶点和左顶点， 为双
曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （ ）于 ， ，
则以线段 为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为 （ ，0）及
双曲线外定点为 （ ，0）．
20
结论 149：过直线 （ ）上但在椭圆 （ ）外一点 向椭
圆引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点 ，且有
．
结论 150：过直线 （ ）上但在双曲线 （ ）外（即双曲
线中心所在区域）一点 向双曲线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点
，且有 ．
结论 151：过直线 （ ）上但在抛物线 （ ）外（即抛物线准线
所在区域）一点 向抛物线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点
，且有 ．
结论 152：设点 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点 向圆锥曲
线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过准线对应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 153：过直线 上但在椭圆 （ ）外一点 向椭圆引
两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点 ．
结论 154：过直线 上但在双曲线 （ ）外（即双曲线中
心所在区域）一点 向双曲线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点
．
结论 155：过直线 （ ）上但在抛物线 （ ）外（即抛物线
准线所在区域）一点 向抛物线引两条切线，切点分别为 ， ，则直线 必过定点
21
．
结论 156： ， 是椭圆 （ ）的左右顶点，点 是直线 （ ，
）上的一个动点（ 不在椭圆上），直线 及 分别与椭圆相交于 ， ，则直
线 必与 轴相交于定点 ．
结论 157： ， 是在双曲线 （ ）的顶点，点 是直线 （ ，
）上的一个动点（ 不在双曲线上），直线 及 分别与双曲线相交于 ， ，
则直线 必与 轴相交于定点 ．
结论 158： ， 是抛物线 （ ）上异于顶点 的两个动点，若直线 过
定点 （ ，0），则 ⊥ ，且 ， 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．
结论 159： ， 是抛物线 （ ）上异于顶点 的两个动点，若 ⊥ ，
则直线 必过定点 （ ，0），且 ， 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．
结论 160： ， 是抛物线 （ ）上异于顶点 的两个动点，若 ⊥ ，
过 作 ⊥ ，则动点 的轨迹方程为 （ ）．
结论 161： ， 是抛物线 （ ）上异于顶点 的两个动点，若 ⊥ ，
则 = ．
结论 162：过抛物线 （ ）上任一点 （ ， ）作两条弦 ， ，
则
⊥ 的充要条件是直线 过定点 （ ， ）．
结论 163：过抛物线 （ ）上任一点 （ ， ）作两条弦 ， ，
则 = （ ）的充要条件是直线 过定点 （ ， ）．
22
结论 164：过椭圆 （ ）上任一点 （ ， ）作两条弦 ， ，
则 ⊥ 的充要条件是直线 过定点 （ ， ）．
特别地，（1）当 为左、右顶点时，即 = ， =0 时， ⊥ 的充要条件是
直线 过定点 （ ， ）．
（2）当 为上、下顶点时，即 =0， = 时， ⊥ 的充要条件是直线
过定点 （0， ）．
结论 165：过双曲线 （ ， ）上任一点 （ ， ）作两条弦 ，
，则 ⊥ 的充要条件是直线 过定点 （ ， ）．
特别地，当 为左、右顶点时，即 = ， =0时， ⊥ 的充要条件是直线
过定点 （ ，0）．
结论 166：过二次曲线： （ ， ， ， ， 为常数， ）
上任一点 （ ， ）作两条弦 ， ，若 ⊥ ，则直线 恒过定点
．
值得注意的是：在结论 166中
（1）令 ， ， ， 就是结论 159；
（2）令 ， ， 就是结论 162；
（3）令 ， ， 就得到结论 164；
（4）令 ， ， 就得到结论 165．
23
结论 167： ， 是椭圆 （ ）上不同的两个动点，若 ⊥ ，
则
+ = ．
结论 168： ， 是椭圆 （ ）上不同的两个动点，若 ⊥ ，
则有 + = ， + = ．
结论 169： ， 是双曲线 （ ）上不同的两个动点（在同一支上），
若 ⊥ ，则有 + = ．
结论 170：在抛物线 （ ）的对称轴上存在一个定点 ，使得过该点
的任意弦 恒有 ．
结论 171：在椭圆 （ ）的长轴上存在定点 ，使得
过该点的任意弦 恒有 = ．
结论 172：在双曲线 （ ）的实轴上存在定点 ，使
得过该点的任意弦 恒有 = ．
结论 173：过椭圆 （ ）的焦点 作一条直线与椭圆相交于 ， ，
与 轴相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ．
结论 174：过双曲线 （ ）的焦点 作一条直线与双曲线相交于 ，
24
，与 轴相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ．
结论 175：过抛物线 （ ）的焦点 作一条直线与抛物线相交于 ， ，
与 轴相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ．
结论 176：过椭圆 （ ）的焦点 作一条直线与椭圆相交于 ， ，
与相应准线相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ．
结论 177：过双曲线 （ ）的焦点 作一条直线与双曲线相交于 ，
，与相应准线相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ．
结论 178：过抛物线 （ ）的焦点 作一条直线与抛物线相交于 ， ，
与准线相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ．
结论 179： 是垂直椭圆 （ ）长轴的动弦， 是椭圆上异于顶点
的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ，若 ， ，则
为定值，且 ．
结论 180： 是垂直双曲线 （ ）实轴的动弦， 是双曲线上
异于顶点的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ，若 ， ，
则 为定值，且 ．
结论 181： 是垂直抛物线 （ ）对称轴的动弦， 是抛物线上异于顶点
的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ，若 ， ，则
为定值，且 ．
结论 182： 是垂直椭圆 （ ）长轴的动弦， 是椭圆上异于顶点
25
的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ， 为长轴顶点，若 ， ，
则 为定值，且 ．
结论 183： 是垂直双曲线 （ ）实轴的动弦， 是双曲线上
异于顶点的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ， 为实轴顶点，若 ，
，则 为定值，且 ．
结论 184： 是垂直抛物线 （ ）对称轴的动弦， 是抛物线上异于顶点
的动点，直线 ， 分别交 轴于 ， ， 为抛物线焦点，若 ，
，则 为定值，且 ．
结论 185（补充）：点 是椭圆 （ ）上任意一点，弦 、 分别
过定点 、 ，（ ），且 ， ，则 为
定值，且 ．
结论 186（补充）：点 是双曲线 （ ， ）上任意一点，弦 、
分别过定点 、 ，（ ），且 ， ，则
为定值，且 ．
结论 187：（补充）： 、 是圆 ： （ ）上任意两点，点 关于 轴
对称点为 ，若直线 、 与 轴分别相交于点 、 ，则 为定值，
且 ．
结论 188：（补充）： 、 是椭圆 ： （ ）上任意两点，点 关
于 轴对称点为 ，若直线 、 与 轴分别相交于点 、 ，则 为
26
定值，且 ．
结论 189：（补充）： 、 是双曲线 ： （ ， ）上任意两点，点
关于 轴对称点为 ，若直线 、 与 轴分别相交于点 、 ，则
为定值，且 ．
结论 190（补充）： 、 是椭圆 ： （ ）上关于 轴对称的任意
两个不同的点，点 是 轴上的定点，直线 交椭圆 于另一点 ，则直线 恒
过 轴上的定点，且定点为 ．
结论 191（补充）： 、 是双曲线 ： （ ， ）上关于 轴对称
的任意两个不同的点，点 是 轴上的定点，直线 交双曲线一点 ，则直线
恒过 轴上的定点，且定点为 ．
结论 192（补充）： 、 是抛物线 ： （ ）上关于 轴对称的任意两个
不同的点，点 是 轴上的定点，直线 交抛物线一点 ，则直线 恒过 轴上
的定点，且定点为 ．

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