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带电粒子在复合场中运动（一）
1．如图所示，在真空中的竖直平面内有一 xoy 平面直角坐标系，x 轴下方有竖直向上的匀
强电场，场强大小为 E，且第三象限有垂直于纸面向外的水平匀强磁场；x轴上方有竖直向
上的匀强电场，场强大小为
2
E
。现有一电荷量的绝对值为 q的带电小球，从第四象限中坐
标值为（ 0
3
2
l ，- 2 l0） 的 A点以与 y轴夹角θ = 30°的速度 v0斜向左上运动，恰能沿直线
运动并经过 y轴上的 N点进入第三象限，接着垂直于 x轴进入第二象限。已知重力加速度
为 g，求：
（1）带电小球的质量；
（2）匀强磁场的磁感应强度；
（3）带电小球从 A点出发到第 4次通过 x轴
时共经历的时间。
【答案】（1）
qE
g
（2） 0
0
Ev
gl
（3）（
73
6
?
? ） 0
0
l
v +
08v
g
【解析】
（1）由 A到 N“恰能沿直线运动”，必为匀速运动，故：mg = qE
得 m =
qE
g
·
（2）进入第三象限后，合力等于洛伦兹力，做匀速圆周运动，由“垂直于 x轴进入第二象
限”及几何知识知，带电小球在磁场中做速率为 v0的圆周运动的半径为：r = l0
又由
2
0
0
vqv B m
r
? 得： 0
mvr
qB
?
故
0
0
EvB
gl
?
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（3）A到 N的时间： 01
0
3=ANx lt
v v?
?
从 N点转过圆心角 30°到达 x轴的时间： 02
0 0
30 1 2
360 12 6
lrt T
v v
??
? ? ? ? ?
?
?
带电小球进入第二象限后，做“类竖直上抛运动”，加速度 a由 -
2
Emg q ma? ?
得
2
ga ? (方向竖直向下)
在第二象限上升到最高点的时间为：
0
3
2vt
g
?
由对称性可知，从 D回到 C点所用时间为 t4 = t3·
在第三象限中从 C到 P(半圆)所用时间为 t5 =
1
2
·T ( = 6 t2 )
设从 P点进入第二象限运动至最高点 Q所用时间为 t6，从 Q点回到 P第四次通过 x轴所用
时间为 t7，易知 t6= t7= t4 = t3·
故带电小球从 A点出发到第四次通过 x轴时共经历的时间为 t = t1 + t2 + t3 + t4 +t5 + t6 + t7
即：t =（
73
6
?
? ） 0
0
l
v +
08v
g
2．如图所示，绝缘粗糙的竖直墙壁和水平虚线MN上方之间的区域同时存在正交匀强电场
和匀强磁场，电场方向水平向右，大小为 E，磁场方向垂直纸面向外，大小为 B．现在从 A
点由静止释放一带正电的可视为质点的带电体，带电体能够沿墙壁下滑，到达 C点时刚好
离开墙壁，带电体质量为 m、电荷量为 q，A、C两点间距离为 1 2
3mEh
qB
? ，C点到虚线
MN的距离为 2 2
3
2
mEh
qB
? ，重力加速度为 g.
（1）求带电体运动到刚好离开墙壁时速度大小 v；
（2）求带电体由静止下滑到刚好离开墙壁过程中克服摩
擦力做的功Wf；
（3）如果带电体到达 C点时电场突然变为竖直向上且
mgE
q
? ，电场的变化对磁场的影响忽略不计，则带电体
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在电磁场区内的运动过程中，距出发点 A的最大距离为多少？(为表述准确，可以把第三问
中的 E改成 E? )
【答案】（1）
Ev
B
? （2）
2 2
2
2 3
2
gEm mqE
qB
?
（3） 2
7mE
qB
【解析】(1)由题意知，当洛伦兹力等于电场力 qE时带电体离开MN开始做曲线运动，即：
qBv qE?
解得：
Ev
B
?
(2)从 A到 C根据动能定理得： 2
1 0
2f
mgh W mv? ? ?
解得：
2 2 2
2 2
1 2 3
2 2f
E gEm mqEW mgh m
B qB
?
? ? ?
(3)电场突然变为竖直向上时，由题可知： qE mg?
带电体在复合场中做匀速圆周运动， 由牛顿第二定律可得：
2vqBv m
R
?
解得： 2
mv mER
qB qB
? ?
由题可知， 2 2
3 3
2 2
mEh R
qB
? ?
则带电体轨迹与地面相交于 D点，
如图所示：
1
2
DM R?
此时距 A点的距离最大为：
2 2
1 2 2
77 mEAD h h DM R
qB
? ? ? ? ?（ ）
3．如图(a)所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场（平行于纸面），在同一水平线上的两
位置，以相同速率同时喷出质量均为 m的油滴 a和 b，带电量为+q的 a水平向右，不带电
的 b竖直向上。b上升高度为 h时，到达最高点，此时 a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴 p。
忽略空气阻力，重力加速度为 g。求
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(1)油滴 b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离；
(2)匀强电场的场强及油滴 a、b结合为 p后瞬间的速度；
(3)若油滴 p形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为 0t ? 时刻，同时在该矩形区域加一个
垂直于纸面的周期性变化的匀强磁场，磁场变化规律如图(b)所示，磁场变化周期为 T0（垂
直纸面向外为正），已知 P始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积。（忽略磁场突
变的影响）
【答案】（1）
2h
g
；2h（2）
2mg
q ； Pv gh? 方向向右上，与水平方向夹角为 45°
（3）
2
0
min 22
ghTs
?
?
【解析】
(1)设油滴的喷出速率为 0v ，则对油滴 b做竖直上抛运动，有
2
00 2v gh? ? 解得 0 2v gh?
0 00 v gt? ? 解得 0
2ht
g
?
对油滴 a的水平运动，有
0 0 0x v t? 解得 0 2x h?
(2)两油滴结合之前，油滴 a做类平抛运动，设加速度为 a，有
qE mg ma? ? ， 20
1
2
h at? ，解得a g? ，
2mgE
q
?
设油滴的喷出速率为 0v ，结合前瞬间油滴 a速度大小为 av ，方向向右上与水平方向夹?角，
则 0 acosv v ?? ， 0 0tanv at? ? ，解得 a 2v gh? ， 45? ? ?
两油滴的结束过程动量守恒，有： 1 2 pmv mv? ，联立各式，解得： pv gh? ，方向向右
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上，与水平方向夹45?角
(3)因 2qE mg? ，油滴 p在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 r，周期为T ，则
由
2
0
8 2 pp
vmqv m
qT r
?
? 得 0
4
T gh
r
?
? ，由
2
p
rT
v
?
? 得 0
2
TT ?
即油滴 p在磁场中的运动轨迹是两个外切圆组成的“8”字形。
最小矩形的两条边长分别为 2r、 4r（轨迹如图所示）。最小矩形的面积为
2
0
min 22 4 2
ghTs r r
?
? ? ?

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