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带电粒子在复合场中运动（二）
1．如图所示,在直角坐标系 xoy 的第一、四象限区域内存在两个有界的匀强磁场；垂直纸面
向外的匀强磁场 I、垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，O、M、P、Q为磁场边界和 x轴的交点，
OM=MP=L．在第三象限存在沿 y 轴正向的匀强电场．一质量为 m 带电荷量为+q 的带电粒
子从电场中坐标为(-2L，-L)的点以速度 V0沿+x
方向射出,恰好经过原点 O处射入磁场 I，又从 M
点射出磁场 I(粒子的重力忽略不计)．求：
（1）第三象限匀强电场场强 E的大小；
（2）磁场Ⅰ的磁感应强度 B的大小；
（3）如果带电粒子能再次回到原点 O，问磁场Ⅱ
的宽度至少为多少?粒子两次经过原点 O的时间
间隔为多少．
【答案】（1）
2
0
2
mv
qL
（2） 0
2mv
qL
（3） ? ?2 1 L? ， ? ?
0
2 1 L
v
??
【解析】
（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，则有
水平方向： 02L v t? ，
竖直方向:
2
0
1 2. .
2
qE LL
m v
? ?
? ? ?
? ?
，
联立解得，
2
0
2q
mvE
L
? ；
（2）设到原点时带电粒子的竖直分速度为 vy则 0
0
q 2
m vy
E qE Lv t v
m
? ? ? ? ，
则粒子进入磁场时速度大小为 v＝ 2 v0，
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方向与 x轴正向成 45°,粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，
由几何知识可得轨迹半径
3
2
R L? ，
由洛伦兹力充当向心力，则有
2vBqv m
R
? ，
可解得：
02mvmvB
qR qL
? ? ；
（3）粒子运动轨迹如图
在区域Ⅱ做匀速圆周的半径为 R2＝ 2 L，
带电粒子能再次回到原点的条件是区域Ⅱ的宽度 d ≥R2+L＝( 2 +1)L，
粒子从 O到M的运动时间
1
00
2
2 2
42
L Lt
vv
?
??
? ? ，
粒子从M到 N的运动时间 2
00
2
2
L Lt
vv
? ? ，
粒子在区域Ⅱ中的运动时间
3
00
3 2 32
22
L Lt
vv
?
?
? ?
粒子两次经过原点 O的时间间隔为 t 总＝2(t1+t2)+t3＝
? ?
0
2 1 L
v
??
2．如图甲所示，在竖直平面内建立一平面直角坐标系 xoy，x轴沿水平方向。第二象限内
有一水平向右的场强为 E1的匀强电场，第一、四象限内有一正交的场强为 E2竖直向上的匀
强电场和磁感应强度为 B的匀强交变磁场，匀强磁场方向垂直纸面。从 A点以 v0=4m/s竖
直向上射出一个比荷为 的带正电的小球（可视为质点），并以 v1=8m/s的速度从
y轴上的 C点水平向右进入第一象限，且在第一象限内刚好沿圆弧作圆周运动。取小球从 C
点进入第一象限的时刻为 t=0，磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方
向为正方向），g="10" m/s2。求：
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（1）小球从 A点运动到 C点的时间 t1和匀强电场 E2的场强；
（2）x轴上有一点 D，OD=OC，若带电粒子在通过 C点后的运动过程中不再越过 y轴且
沿 x轴正方向通过 D点，求磁感应强度 B0和磁场的变化周期 T0。
【答案】（1） ，
（2） 或 ，
或
【解析】（1）小球从 A到 C竖直方向受重力作用做匀减速运动，有：
小球进入第一象限内恰作圆周运动，有：
解代入数据得： ， 。
（2）设粒子在第一象限内做圆周运动运动圆轨道半径为 R，
周期为 T，C到 O的距离为 ，作出其运动轨迹如图所示
则有： ，
要粒子沿 x轴通过通过 D点，则由图中几何关系有： ， ，
联解得： 或 ，
或
3．如图所示，在竖直平面内的 xOy直角坐标系中，以足够长的 x轴为水平边界的上方充满
方向与 x轴的夹角? =37°斜向上、电场强度大小为 E1（未知）的匀强电场；x轴下方充满正
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交的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小为 E2（未知）、方向竖直向上，磁场方向水
平向外．一质量为 m、电荷量为 q的带正电小球（视为质点）从 y轴上到原点 O距离为 L
的 A点由静止释放，释放后小球沿 AP方向做直线运动，从 P点进入第 IV象限后做匀速圆
周运动且恰好经过原点 O．已知 AP与 x轴的夹角也为?，取 sin37°=0.6，cos37°=0.8，空气
阻力不计，重力加速度大小为 g．
（1）求小球经过 P点时的速度大小 v；
（2）求 1
2
E
E
以及磁场的磁感应强度大小 B；
（3）若小球从 P点进入第 IV象限后，立即改变 x轴上
方的匀强电场，使得小球通过原点 O时所受合力与小球
速度方向垂直，求改变后的匀强电场的电场强度最小时电场强度的方向和电场强度的最小
值 Emin以及改变电场后小球第一次经过坐标轴上的位置到 P点的距离 s．
【答案】（1）
5
3
gL （2） 1
2
5
6
E
E
? ,
3
2
m g
q L
（3）x轴正方向的夹角为? ,
3
5
mg
q
,
497
96
L
【解析】(1)小球从 A点运动到原点 O过程的受力和运动情况如图甲所示:
由于小球沿 AP方向做直线运动，故该过程
小球所受合力 F沿 AP方向，
根据正弦定理有：
sin 2 sin(90 )
mg F
? ?
?
??
小球从 A点运动到 P点的过程中，根据动
能定理有：F· 2
1
sin 2
L mv
?
?
解得：v=
5
3
gL
(2)根据正弦定理有 1
sin 2 sin(90 )
qEmg
? ?
?
??
由于小球从 P点进入第 IV象限后做匀速圆周运动，有：qE2=mg
解得：
1
2
5
6
E
E
?
由几何关系可得，小球在 x轴下方做匀速圆周运动的半径为：r= 102sin
sin 9
L
L?
?
?
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洛伦兹力提供小球做圆周运动所需的向心力，有：qvB=m
2v
r
解得：B=
3
2
m g
q L
（3））根据对称性可知，小球经过原点 O时的速度方向与 x
轴正方向的夹角也为?（斜向上），如图乙所示，经分析可
知，要使小球通过原点 O时所受合力方向与速度方向垂直，
且改变后的匀强电场的电场强度较小，则此时电场的电场强度方向与 x轴正方向的夹角为?
根据几何关系有：
min sinqE
mg
??
解得： min
3
5
mgE
q
?
小球在第 I象限内做类平抛运动的加速度大小为：a=
cos 4
5
mg g
m
?
?
经分析可知，改变电场后小球第一次经过的坐标轴为 x轴.设小球从原点 O到经过 x轴的时
间为 t，改变电场后小球第一次经过轴上的位置到原点 O的距离为 x1，沿速度方向小球做匀
速直线运动，有：x1cos? =vt
垂直速度方向小球做初速度为零的匀加速直线运动，有：x1sin? = 2
1
2
at
P点到原点 O的距离为：x2=
tan
L
?
经分析可知：s=x1-x2
解得：s=
497
96
L

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