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带电粒子在磁场中运动的
多解问题
1．如图为实验室筛选带电粒子的装置示意图，左端加速电极 M、N间的电压为U1，中间
速度选择器中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场的场强 B1 ?1.0T ，两板电压
2
2 1.0 10 VU ? ? ，两极板间的距离 D=2cm，选择器右端是一个半径 R=20cm的圆筒，可以
围绕竖起中心轴顺时针转动，筒壁的一个水平圆周上均匀分布着 8个小孔 1O 至 8O 。圆筒内
部有竖直向下的匀强磁场 2B ，一电荷量为 191.60 10 Cq ?? ? 、质量为 253.2 10m kg?? ? 的
带电粒子，从静止开始经过加速电场后匀速穿过速度选择器，圆筒不转时，粒子恰好从小
孔 8O 射入，从小孔 3O 射出，若粒子碰到圆筒就被圆筒吸收，求：
（1）加速器两端的电压 1U 的大小；
（2）圆筒内匀强磁场 2B 的大小并判断粒子带
正电还是负电；
（3）要使粒子从一个小孔射入圆筒后能从正
对面的小孔射出（如从 1O 进入 5O 出），则圆
筒匀速转动的角速度多大？
【答案】（1） 1 25VU ? （2） 25.0 10 T?? （3）
58 1 10 /
12
n rad s? ?
【解析】（1）速度选择器中电场强度 32 5.0 10 /UE N C
D
? ? ?
根据力的平衡条件可得 1qB v qE? ，解得
3
1
5.0 10 /Ev m s
B
? ? ?
在电场加速过程，根据动能定理可得
2
1
1
2
qU mv? ，解得 1 25VU ?
（2）粒子的运动轨迹如图所示
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根据左手定则，粒子带负电，根据几何关系可得 r R?
洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
2
2
vqB v m
r
? ，解得
2
2 5.0 10
mvB T
qr
?? ? ?
（3）不管从哪个孔进入，粒子在圆筒中运动的时间与轨迹
一样，运动时间为 5
3
3 0.2
4 3 10
5.0 10
rt s
v
?? ? ?
?
? ? ? ?
?
在这段时间圆筒转过的可能角度 2
4
n ?? ?? ? （n=0、1、2、3、、、、、）
则圆筒的角速度
58 1 10 /
12
n rad s
t
?? ?? ? ?
2．如图甲所示，在直角坐标系 0≤x≤L区域内有沿 y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点
（3L，0）为圆心、半径为 L的圆形区域，圆形区域与 x轴的交点分别为M、N．现有一质
量为 m、带电量为 e的电子，从 y轴上的 A点以速度 v0沿 x轴正方向射入电场，飞出电场
后从M点进入圆形区域，此时速度方向与 x轴正方向的夹角为 30°．不考虑电子所受的重
力．
（1）求电子进入圆形区域时的速度大小和匀强电场场强 E的大小；
（2）若在圆形区域内加一个垂直纸面向里的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂
直于 x轴．求所加磁场磁感应强度 B的大小和电子刚穿出圆形区域时的位置坐标；
（3）若在电子刚进入圆形区域时，在圆形区域内加上图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面
向外为磁场正方向），最后电子从 N点处飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同．请
写出磁感应强度 B0的大小、磁场变化周期 T各应满足的关系表达式．
【答案】（1）




th
（2）
th
h



h （3）
th
（n=1，2，3…）
h

（n=1，2，3…）
【解析】
（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，速度分解图如图 1中所示．
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由速度关系可得：


th
解得：


由速度关系得：vy=v0tanθ=


v0
在竖直方向： th
t

h
而水平方向:h h

解得：

th
（2）根据题意作图如图 1所示，电子做匀速圆周运动的半径 R=L
根据牛顿第二定律：?


解得：?
th
根据几何关系得电子穿出圆形区域时位置坐标为（
h

，-

h）
（3）电子在在磁场中最简单的情景如图 2所示．
在磁场变化的前三分之一个周期内，电子的偏转角为 60°，设电子运
动的轨道半径为 r，运动的 T0，粒子在 x轴方向上的位移恰好等于 r1；
在磁场变化的后三分之二个周期内，因磁感应强度减半，电子运动周
期 T′=2T0，故粒子的偏转角度仍为 60°，电子运动的轨道半径变为 2r，
粒子在 x轴方向上的位移恰好等于 2r．
综合上述分析，则电子能到达 N点且速度符合要求的空间条件是：3rn=2L（n=1，2，3…）
而：
?t
解得：?

th
（n=1，2，3…）
应满足的时间条件为：


(T0+T′)=T
而：

t?
＝
?t
解得 h

（n=1，2，3…）
3．如图所示，矩形区域 ABCD内存在 E=100N/C的匀强电场，方向水平向右，半径 R=0.1m
的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场 B1，EF为圆 O的竖直直径，A、D、E和 B、C、F
各处于同一条水平线上，AD=0.02m，挡板 DE=0.12m，可以吸收打在上面的粒子，DE上
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方有一垂直纸面向里的匀强磁场 B2。荧光板 DG与 DE
成θ=60°角，当有粒子打到 DG上时，荧光板会发出荧
光。电场左边界 AB为粒子发射源，能均匀发出大量初
速度为 0的粒子，粒子的比
荷为 100q
m
? ? C/kg，经电场
加速后射入 B1，并全部能经
过 E点射入磁场 B2。整个装
置竖直，不计粒子的重力及
粒子间的相互作用，求：
（1）B1的大小和方向；
（2）若 B2=
10
3
T，挡板 DG上最远的发光点离 D的距离；
（3）设粒子在 B2中做匀速圆周运动的周期为 T，若从 E点射入 B2的所有粒子中，能打到
DG上的粒子在 B2中运动的最长时间为
2
T
，则 B2和 T的大小各为多少？
（4）B2取（3）中的值，在 B2中运动时间最短的粒子是 AB上离 A点多远的位置发出的？
【答案】（1）2T，方向垂直纸面向里 （2）0.12m （3）10 3
9
T， 3 3
500
? s （4）
3
20
m
【解析】
（1）粒子垂直 EF直径飞入，汇聚至 E点飞出，根据几何关系可知粒子在磁场中匀速圆周
运动的半径和圆形磁场的半径相同，即： 0.1mr R? ?
粒子在匀强电场中：
21
2
qE AD mv??
洛伦兹力完全提供向心力：
2
1
vqvB m
r
?
解得： 1 2TB ? ，方向垂直纸面向里
（2）粒子在 DE上方磁场运动的半径： 1
2
mvr
qB
?
解得： 1 0.06mr ?
如下图所示，挡板 DG上最远的发光点离 D的距离为0.12m，长度为粒子运动的直径
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（3）打到 DG上的粒子在 B2中运动的最长时间为
2
T
，则粒子在磁场中运动半个周期，如
图所示：
根据几何关系可知： 2
2tan 60 r
DE
??
解得： 2 0.06 3mr ?
粒子在 DE上方磁场中运动： 2
2
mvr
qB
?
解得： 2
10 3 T
9
B ?
粒子在磁场中运动周期为： 2
3 3
00
2 s
5
rT
v
??
? ?
（4）粒子在磁场中运动时间最短，则对应的弦长最短，如图所示，弦长与 DG垂直：
则粒子从 N点飞入，从 E点飞出，圆心为 O1，过圆心 O1做垂线交 OE于M点，根据几何
关系可知四边形 NOEO1为菱形，则：
1 60MEO? ?
?
1 cos60EM EO?
??
1EO R?
解得： 0.05mEM ?
则 AB上离 A点的位置为： 1y O N EM? ?
1O N R?
解得：
3 m
20
y ?
4．如图所示，半径为 a的圆内有一固定的边长为 1.5a的等边三角形框架 ABC，框架中心
与圆心重合，S为位于 BC边中点处的狭缝．三角形框架内有一水平放置带电的平行金属板，
框架与圆之间存在磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．一束质量为 m、
电量为 q，不计重力的带正电的粒子，从 P点由静止经两板间电场
加速后通过狭缝 S，垂直 BC边向下进入磁场并发生偏转．忽略粒
子与框架碰撞时能量与电量损失．求：
(1)要使粒子进入磁场后第一次打在 SB的中点，则加速电场的电
压为多大？
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(2)要使粒子最终仍能回到狭缝 S，则加速电场电压满足什么条件？
(3)回到狭缝 S的粒子在磁场中运动的最短时间是多少？
【答案】(1)
2 29
512
qB a
m
；(2)
2 2
2
9 ( 4 5 6 )
32 (2 1)
qB aU n
m n
? ? ?
?
＝ ，，， ；(3)tmin＝
23 m
qB
?
【解析】（1）粒子在电场中加速，qU＝
1
2
mv2
粒子在磁场中，qvB＝
2mv
r
r＝
3
16
a
解得
2 2 2
2 9
2 512
qB qB aU r
m m
? ?
（2）要使粒子能回到 S，则每次碰撞时粒子速度都应与边垂直，则 r和 v应满足以下条件：
①粒子与框架垂直碰撞，绕过三角形顶点时的轨迹圆弧的圆心应位于三角形顶点上，即 SB
为半径的奇数倍，
即
3
2 1 4(2 1)
SB ar
n n
? ?
? ?
(n＝1，2，3，… )
②要使粒子能绕过顶点且不飞出磁场，临界情况为粒子轨迹圆与磁场区域圆相切，
即 r≤a－ 3
2
a
解得 n≥3.3，即 n＝4，5，6…
得加速电压
? ?
2 2
2
9
32 2 1
qB aU
m n
? ?
?
(n＝4，5，6，…)．
（3）粒子在磁场中运动周期为 T
qvB＝
2mv
r
，T＝
2 r
v
?
解得 T＝
2 m
qB
?
当 n＝4时，时间最短，即 tmin＝3×6×
2
T
＋3×
5
6
T＝
23
2
T
解得 tmin＝
23 m
qB
?

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