资源简介

三角函数与解三角形
任意角的三角函数定义
若角终边上任意一点P(x，y), 则
sin α=
2.任意角的三角函数单位圆定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则

3.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.变形及逆用：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，
(2)商数关系：＝tanα. 及变形
常用结论：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
4.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限


5.特殊角的三角函数值 6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
α
sin α
cos α
tan α 1

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α?β)＝cosαcos±sinαsinβ.

变形tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).

7.辅助角公式：asin αbcos α＝sin(αφ)

8.二倍角公式
sin 2α＝2sinαcosα， cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan 2α＝.
9.降幂公式：
cos2α＝； sin2α＝； sin αcos α＝sin 2α.

10.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无

常见结论：
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是
(2)奇函数: y＝Asin ωx或y＝Atan ωx 偶函数: y＝Acos ωx＋b的形式.
(3)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).

第九章 解析几何
1.直线的倾斜角与斜率
(1)定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0°.
(2)范围：倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.
(3)定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫作这条直线的斜率，该直线的斜率k＝tan__α；当直线的倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在.
(4)过两点的直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2.直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用范围
点斜式 斜率k与点(x0，y0) y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 斜率k与截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式 在x轴和y轴的截距分别为a与b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 适用于平面直角坐标系内的所有直线

3.两直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1或k1＝－ A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1＝A2，B1＝B2，C1＝C2当A2B2C2

4.几种距离
(1)两点距离
两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点线距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝.
(3)线线距离
两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
5.圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝

6.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)d＞r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圆外；
(2)d＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；
(3)d＜r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圆内.
[常用结论与易错提醒]
圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线.
7.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由

消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
关系 方法位置 几何法 代数法
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0

8.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜ d＜R＋r d＝R－r d＜R－r
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0

[常用结论与易错提醒]
1.关注一个直角三角形
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形.
2.两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
9.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，
|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
10.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2

11.点与椭圆的位置关系：设M(x0，y0)，椭圆标准方程为：＋＝1(a>b>0)，
当＋<1?点在椭圆内， 当＋＝1?点在椭圆上 ； 当＋>1?点在椭圆外.

12.直线与椭圆的位置关系：将直线方程y＝kx＋b(或x＝my＋n)代入椭圆方程＋＝1(a>b>0)，整理得到关于x(或y)的一个一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)
当B2－4AC>0?直线与椭圆相交； 当B2－4AC＝0?直线与椭圆相切； 当B2－4AC<0?直线与椭圆相离.
13.若直线l：y＝kx＋b与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦.
14.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，
|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若ac时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图　形
性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2

[常用结论与易错提醒]
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性 质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下

焦半径公式
(1)若点P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝x0＋.
(2)若点P(x0，y0)是抛物线y2＝－2px(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝－x0＋.
(3)若点P(x0，y0)是抛物线x2＝2py(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝y0＋.
(4)若点P(x0，y0)是抛物线x2＝－2py(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝－y0＋.

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