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河北正定中学高三理科数学假期第五套试卷
选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是（　　）
A．i B． C． D．1
2.下列关于命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则”
B．“a＝2”是“函数f（x）＝ax在区间（﹣∞，+∞）上为增函数”的充分不必要条件
C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”
D．“若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为真命题
3.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）

A．①反映建议（2），③反映建议（1） B．①反映建议（1），③反映建议（2）
C．②反映建议（1），④反映建议（2） D．④反映建议（1），②反映建议（2）
4.向量，且，则等于（ ）
A． B． C． D．10
5.关于函数有下述四个结论：①函数是偶函数；②函数的周期是；③函数的最大值为2；④函数在上有无数个零点.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
6.在元数集中，设，若的非空子集满足，则称是集合的一个“平均子集”，并记数集的元“平均子集”的个数为．已知集合，，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7.我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）

A．1 B．2
C．3 D．2.5

9.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对
10.在平行四边形中，，，，分别是上的点，且，，（其中），且.若线段的中点为，则当取最小值时，的值为（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
11.如图，矩形中，为边的中点，将直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A．与平面垂直的直线必与直线MB垂直
B．异面直线与所成角是定值
C．一定存在某个位置，使
D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值
12.如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于， 两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则（ ）

8 B．9 C．10 D．12




二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。
13.某所学校计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件，则该校招聘的教师人数最多是__________名.
14.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．
①； ②；
③； ④．
15.已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
16.设数列的前项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。
17.（本小题满分12分）
已知，，、、是的内角；
（1）当时，求的值；
（2）若，，当取最大值时，求的大小及边的长．



18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接．
（1）求证：平面；
（2）若时，求二面角的正弦值；
（3）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值．

19.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，动点在椭圆上，的周长为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆的另一个交点为，过分别作直线的垂线，垂足为与轴的交点为．若四边形的面积是面积的3倍，求直线斜率的取值范围．




20.（本小题满分12分）
某游戏棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋子所走站数之和的分布列与数学期望；
（2）证明：；
（3）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.








21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）证明：；
（3）确定实数的取值范围，使得存在,当时,恒有．



请考生从22、23题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目的对应题号右侧方框图黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答按所涂首题进行评分，不涂按本选择题的首题进行评分。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）.
（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.



（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知实数正数满足．
（1）解关于的不等式；
（2）证明：.


河北正定中学高三理科数学假期第五套试卷答案
1.D【解析】因为,即复数的虚部是，故选：D.
2.D【解析】对于A，根据逆否命题的定义，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故正确；对于B，，可得函数在区间上为增函数，若函数在区间上为增函数，则，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故正确；对于C，根据特称命题的否定是全称命题，命题“，使得x2+x+1<0”的否定是：“均有”，故正确；对于D， “若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为假命题，比如：中，，但不是的极值点，错误，故选:D.
3.B【解析】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.故选：B.
4.B【解析】由题意可得 ，则,则故选：B.
5.D【解析】对①, 定义域为,又.故是偶函数.①正确.对②,易得,.故不是的周期.故②错误.对③,因为.又当时可以取到等号.故③正确.
对④, 当时,,故.故④正确.故选：D.
6.D【解析】，将中的元素分成5组，，，，．
则，，，，，
同理：，将中的元素分成5组，，，，．
则，，，，，，
∴．故选：D．
7.B【解析】∵∴，∴，
而
∴，
，即，
当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；当n=9时，左边=，右边=，显然适合，
故最小正整数的值9,故选B.
8.A【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设半径为，圆心为，圆方程为：代入双曲线方程，得，要使清洁球到达底部，.故选:A.
9.C【解析】E，F，G分别有4，3，2种方法，
当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，
若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，
若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：种方法；
当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，
若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，
?若C与F不同，则D有1种方法，??故此时共有：种方法；
当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，
若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；
若B不同于F，则B有1种方法，
Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；
Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；
故此时共有：种方法；综上共有种方法．故选：C．
10.B【解析】依题意可知，，所以①.由于，所以①可化为②，根据二次函数的性质可知，，当时，②取得最小值，此时，所以.故选：B
11.C【解析】取DC中点N，连MN,NB,则，所以平面平面，即平面，A正确；取的中点为F,连接MF,EF，则平面BEFM是平行四边形，所以为异面直线与所成角，故B正确；A关于直线DE对称点N，则平面，即过O与DE垂直的直线在平面上，故C错误；
三棱锥外接球的半径为，故D正确.故选C.
12.B【解析】如图，设在准线上的射影分别为，且设
，直线的倾斜角为。则。 所以， .
由抛物线焦点弦长公式可得.选B. 或：由得，得直线方程与抛物线联立进而可解得， 于是.故选B.

13.10【解析】由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：




对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z＝x+y?y＝﹣x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过?（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z＝10．故答案为：10．
14.②③【解析】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.
15.【解析】作图，如下可知当把圆的方程化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，
则可知直线与圆相离．四边形PACB的面积=S△PAC+S△PBC，
当PC与直线垂直时|PC|取最小值，此时|PA|=|PB|取最小值，
即S△PAC=S△PBC取最小值，由此能够求出四边形PACB面积的最小值.
16.200【解析】∵，且，
∴，∵，∴时，，
两式相减可得，，（）即时，即，
∵，∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，，
∴，则数列，则的前10项和为，故答案为200.
17.（1）时，；∴；………5分
（2）；
取最大值时，；又，；………9分
∴在中，由正弦定理得：；即；∴．………12分
18.（1）在线段上取一点，使得，，且，
，，且，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面．………………4分
（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，，1，，，0，
设平面的一个法向量为，，，，令，，，设平面的一个法向量为，，，
EMBED Equation.DSMT4 ，令，，，，，
，二面角的正弦值为．………………………8分
（3）令，，，，设平面的一个法向量为，
，，，令，，
由题意可得：，，，．
…………………………………………………………………………………………………………………………12分
19.【解析】（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|=2a，
又因为|F1F2|=2c，△PF1F2的周长为6，所以2a+2c=6，又因为椭圆的离心率为，所以，解得a=2，c=1．所以，E的方程为；…………………………………………………………4分
（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x=my+1，由，消去x得：（3m2+4）y2+6my-9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则有△＞0且．………………………6分
设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，
则S1=3S2，又因为，S2=．
所以，即3（t-1）=2t-（x1+x2），得t=3-（x1+x2），
……………………………………………………………………………………………………8分
又x1=my1+1，x2=my2+1，于是t=3-（my1+my2+2）=1-m（y1+y2），所以，由t＞2得，解得，设直线PQ的斜率为k，则，所以，解得，
所以直线PQ斜率的取值范围是．…………………………12分
20.【解析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：


所以，；…………………………5分
（2）依题意，当时，棋子要到第站，有两种情况：
由第站跳站得到，其概率为；
可以由第站跳站得到，其概率为.
所以，.
同时减去得；…………………………8分
（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率为，
由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.
所以，即最终棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戏不公平.…………………………12分
21.【解析】（1）函数的定义域为. 由得.
令，即，得，（舍）．又，
所以曲线的斜率为２的切线方程为；…………………………3分
（2）设，则.
令得，（舍）．当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减. 所以.所以.……………7分
（3）由（2）可知，① 当时，，所以不存在，当时，恒有；
所以不符合题意. ②当时，对于，，所以不存在，当时，恒有；所以不符合题意. …………………………9分
③当时，设.因为，
令即.因为，解得.又因为，所以.取.
当时，；所以在上单调递增.所以.即.
所以符合题意.所以实数的取值范围是.………………………………………………12分
22.（1）由题意，曲线C1的极坐标方程是，即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由，
所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.因为曲线C2的参数方程为（θ为参数），所以x2＋y2＝1，故C2的普通方程为x2＋y2＝1.………………………………………………………………………5分
（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为为参数）.
设N（2cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离
（其中满足）当sin（α＋φ）＝1时，d有最小值，所以|MN|的最小值为.
………………………………………………………………………………………………………………………10分
23.（1）
，解得，所以不等式的解集为；
…………………………………………………………………………………………………………………………5分
（2）解法1： 且，
.
当且仅当时，等号成立. ………………………………………………………10分
解法2： 且，

当且仅当时，等号成立.………………………………10分

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