资源简介

(共489张PPT)
《深本数学116解题模型》（初中版）配套母题
目录1
●等角套
●鸡爪图（旋转大法）
●内含半角模型（截长补短+旋转大法）
●将军饮马（牛喝水）——两村一路问题及拓展
● 妙趣横生的“十字架”（四边形+三角形）
●中点处理策略 —— 五大模型
●角平分线处理策略（双垂、单垂、双等、与平行等腰叠加）
●相似模型俱乐部
●倍半角处理策略
●三角比与解三角形及应用模型（确定即可求的理念进一步深化）
●一次函数中K的颜值及其妙用
●二次函数常用二级结论及解题套路
●反比例函数中的几何模型及二级结论
●完美无缺的圆（圆中的模型）
●妙不可言、威力无穷的12345模型
目录2
●“魔鬼模型”——婆罗摩笈定理及模型
●方、不、函综合应用题解题策略
●数与代数中的二级结论
●正方体展开模型识记
●方程与不等式重点、难点、易错点处理策略
●瓜豆原理（相似+缩放+旋转的叠加）
●胡不归（斜边打折变对边，正弦助力胡可归）
●最大张角（米勒定理）
●阿氏圆（子母相似邂逅圆创造奇迹）
●中考六道大题破解策略总结及示例
●作辅助线的的原则
●《初中数学116解题模型》完整版
●与初中数学紧密相关的几个历史人物
●三角形全等的 模型与技巧讲义(初二培优特供)
初中数学通关口诀
代数抓精髓；代入是关键。 代数一般式；两得全搞定。
算功过三关；解功四门槛。 方程辨两类；函数识三型。
函数三姐妹；勾股三用途。 系数不为零；指数要相吻。
非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。 统计要通关；两查走在前。
几何要通透；精髓是特殊。 四图加一表；数据整理好。
重点特殊图；识图定性判。 数据分析透；三差加三数。
两图谈感情；特殊关系联。 概率也不难；频率能估算。
全等加相似；对称与旋转。 列表和树型；搞清总和分。
平移与投影；位似也要算。 鱼池鱼几多；应用记概型。
考点说举做；做题改变找。 动点巧分类；最短牛喝水。
条件挖隐含；分类不漏点。 找准临界点；相似巧破题。
思路技巧精；反思记模型。 代数两特殊；首先特殊数。
应用均同宗；关系是根本。 数数拉关系；方不与函数。
元量同回代；运算有六种。
关系大小等；再加倍比分。
每每有热点；负元巧应用。
算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。
解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式（组）的四种功力。
勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明垂直的三项功能。
初中数学精髓
几何：两个字概括——特殊：特殊图形；特殊关系（全等、相似）。
代数：两个字概括——代入：字母的含义代入代数式、方程、不等式或者函数。
几何三大方法：全等、相似、勾股定理。
辅助线的认识
对内分割
对外补形
压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综合。
戏说数学之——代数
分式方程（可化为一元一次方程）
代数学什么？数以及数与数的关系！
按照数的性质为代数式分类



代数式
死数（实数）
活数（含字母的数）
永正数：非负数+正数
非负数：平；绝；根
永负数：－（非负数+正数）
条件活数（川剧变脸）
戏说数学之——几何
几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！
学习几何要过四关
画图关：按照题意画图形。
语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语言这三种语言的转换和翻译。
推理关：证明，推理的能力和步骤。
模型关：掌握常用的几何模型。
等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两
个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用之——拨开云雾见天日！
1
诀曰：歪八套，和歪 A，形影不离似孪生。 ?
特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）
若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”，
显然△AOD∽△BOC，添油加醋—


若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”，
显然△AOD∽△BOC，添油加醋—连接
AB、DC， △AOB∽△DOC相似吗？为什么？

八字倒角（共边等角，一等三等）：
如图：如果∠BAC与∠BDC； ∠DAC与∠DBC； ∠ABD与∠ACD
∠BDA与∠ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。
思考：为什么叫“共边等角”？ （学了圆，理解、记忆更容易）
母题一
A
B
C
D
E
F
1.如图：△ABC和△ADE均为等边三角形，
连接BD、CE（手拉手），延长BD交CE
于F，连接AF。
求证：⑴ △ABD≌△ACE ⑵∠BFC=60°
⑶AF平分∠DFE
2.若把上题已知条件中的等边三角形
改为等腰直角三角形，∠BAC和∠DAE
为直角，请判断：上述结论有什么变化？
试证明你的判断。
3.若把“1”题已知条件中的等边三角形
改为顶角相等的两个等腰三角形，∠BAC
和∠DAE顶角，请判断：上述结论有什么
变化？试证明你的判断。
4.若把“1”中的条件改为： △ABC中，
DE∥BC，把 △ABC旋转到如图所示的
位置。其他条件不变。请判断：上述
结论有什么变化？试证明你的判断。
A
B
C
D
E
F
D
E
口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。
注意：2中的点M为△ABC的费马点：三角形中到三个顶点距离的和最小的点！且这个最小距离就是DC或BE（为什么？）
双等边模型
母题三
双正方形模型
A
B
C
D
E
F
G
H
1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证：
⑴BG=DE ⑵BG⊥DE
（内含：歪八套歪A+四点共圆，与圆结合：宝藏也）
A
B
C
D
E
F
G
H
2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
BG交DE于H。求证：
⑴BG=DE ⑵BG⊥DE （对照“1”，类比推理）
母题四
A
B
C
1.如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC
上的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥EF，
求证：⑴BE=AF ⑵△EDF为等腰直角三角形
⑶BE2+CF2=EF2 ⑷S△ABC=2S四边形AEDF
E
F
2.在“1”中，若EF与AD相交于G，其他条件
不变，求证：⑴ED2=EG·EA ⑵GE·GF=GA·GD
A
B
C
E
F
G
母题五
母题六
2
诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。
鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。
简释?：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过
角的顶点的线段（所谓的鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与α
相同的角度，构造“等角套”，此时必然会产生一对全等三角形。利用
全等的性质去解决问题，事半功倍。
A
B
C
D
A
B
D
C
E
如图：若已知AB=AC，AD是过A点的一条线段——怎么做辅助线？
作AE=AD，且∠EAD= ∠BAC（或：把线段AD绕A点旋转一个
与∠BAC相等的度数 ），可以达到柳暗花明又一村的奇效。
鸡爪图
母题七
A
B
C
D
如图：等腰直角△BAC中，∠BAC=90°，D为
BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的数量
关系并证明。
母题八
四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转解题策略
1.如图：正方形ABCD内有一点E，且EA=1，EB=2
EC=3，求∠AEB的度数。
A
B
C
D
E
鸡爪—旋转（图中几个鸡爪？
选择哪个？为什么？）
口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。
2.如图：∠ABC=30°， ∠ADC=60°，AD=DC，
求证：AB2+BC2=BD2
A
B
C
D
如果AB=4，BC=3，求BD=？
A
B
C
D
┓
图解：图中直角=360 -（360-30-60）=90
母题九
A
B
C
E
如图：等边三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5
求∠AEB的度数。
母题十
“邻补四边形模型”口诀：对角补，邻边等，知二推一角平分。
A
B
C
D
邻补四边形：对角互补，邻边相等的四边形！
如图：四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，且AB=AC，求证：⑴BD平分∠ADC=90
⑵DA+DC= BD
⑶S四边形ABCD=1/2BD2
特别提示：类似题目可以用“旋转大法”和“截长补短”法以及“角平分线双垂直模型”解决，建议对比提升解
题能力。
母题十一
A
B
C
D
1.如图：四边形ABCD中，∠ABC=60°， ∠ADC=120°且AB=AC，
求证：⑴BD平分∠ADC
⑵DA+DC= BD
⑶S四边形ABCD= BD2

特别提示：和“母题九”类比，条件和结论分别佛发生了
什么变化？
2.如图：四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°且AB=AC，
求证：BD平分∠ADC
问:“1”中的其它结论还成立吗？为什么？
小结，拓展：上面是所谓的共点等线构成的“鸡爪图”，旋转后构成一对
全等的三角形。如果是任意的“鸡爪图”呢？可以如法炮制吗？
A
B
C
D
A
B
D
C
E
如图：若已知AB≠AC，假定AB：AC=m，AD是过A点的一条线段——
怎么做辅助线？作AD：AC=m，且∠DAE= ∠BAC（或：把线段AC绕
A点旋转一个与∠BAC相等的度数，并使 AD：AE=m ），会发生什么？
有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现了相似——神气的一转成双！
鸡爪图
母题十二
方法
3
旋转+截长补短：破解半角模型——诀曰：
共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。 ?
鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。
线段和，要得证，截长补短是正本。
正方形，等直三，内含半角转一转。
母题十三
1.如图：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的
点，且∠EAF=45°，
⑴证明：EF=BE+DF
⑵证明△ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半。
⑶过A作AH⊥EF于H，证明：AH=BC
备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。
2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G，AF于M，连接EM、GF。GF与EM相交于O点。
⑴证明：BG2+MD2=GM2
⑵证明：△AGF与△AME是等腰直角三角形
⑶证明：AE平分∠BEF；AF平分∠DFE
⑷ 证明：△ EAB∽ △ EFG； △ ADF∽ △ EMF
⑸图中有至少六个圆内接四边形，太多的相似三角
形可以自己去找。
G
M
O
更多结论参考下页——
正方形内含半角
母题十四
邻补四边形内含半角（邻边相等，对角互补的四边形）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
1.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的
点， ∠ABC= ∠ADC= 90°且∠EBF=45°，
⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系
备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。
2.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的
点， ∠ABC+∠ADC= 180°且∠EBF=1/2 ∠ABC °，
⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系
备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。
2.如图：等腰直角△ABC中， ∠ABC =90°，E、F都是AC上的点，且∠EBF=45 °，
⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系
备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。此题其实就是母题十二“2”中的第一问！
自造半角模型解体策略：三角形作高翻折！
4
将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！
解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。
解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。
口诀：和与差，求最值，将军饮马七模型！
·
·
A
B
P
两村一路（异侧）
和最小
两村一路（同侧）
和最小
一村两路和最小
两村两路和最小
两村一路（线段）和最小
两村一路（同侧）
差最大
两村一路（异侧）
差最大
母题十五
A
B
函数中的将军饮马（四大模型）
★如图：平面直角坐标系中有A、B两点
A（1，3）；B（4，2）。
⑴若x轴上有一动点P，当PA+PB最短
时，求P点的坐标及PA+PB的最小值。
⑵若x轴上有一动点P，y轴上有一动点
Q，当△APQ的周长最短时，求出P、
Q两点的坐标，并求出此时△APQ的
周长的最小值。
⑶若x轴上有一动点P，y轴上有一动点
Q，当四边形AQPB的周长最短时，
求出P、 Q两点的坐标。
⑷若x轴上有一线段EF，且EF=1，当四
边形AEFB的周长最短时，求出E、F
两点的坐标。

A
B
O
O
备用图
母题十六
“变态的将军饮马”—— 造桥选址问题
母题十七
两村一路
母题十八
A
B
C
D
M
N
两村一路
母题十九
两村一路
母题二十
“变态的”两村一路：固定变量法—
答案：先设E点不变，画出P点后在确定E的位置！固定变量法
母题二十一
E
F
由面积关系得：EF与BC的距离为2，
所以，B点的对称点是A，连接AC，
AC=5=PB+PC
一村两路
母题二十二
母题二十三
A
O
B
P
·
1.如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内部一点，
且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N，
当△AMN的周长最短时，求周长的最小值。
1.如图，点P为∠AOB内部一点且OP=15，
OA、OB上分别有两个动点M、N，当△AMN的周长
最短为15 时，求∠AOB的度数。
A
O
B
P
·
一村两路
母题二十四
两村两路
·
·
·
·
A
B
C
D
M
N
P
Q
如图：矩形ABCD中，AC=6，DC=4，DM=1
BN=2，P、Q分别为AB、AC上的两个动点，
当四边形MNPQ的周长最小时，求周长的最
小值。
母题二十五
两村一路差最大
O
x
y
·
·
A（2，2）
B（8，-6）
如图：平面直角坐标系中，A、B两点的
坐标已知，在x轴上有一动点P。
当|PA-PB|最大时，求P点的坐标，并求
出|PA-PB|的最大值。
5
十字架模型：
诀曰：三角形，四边形，十字架中有乾坤
又改斜，又改正，横平竖直有矩形。
【正方形内的十字架结构】
1、在正方形ABCD中，BN⊥AM，则常见的结论有哪些？垂等图
2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，⑴若EF⊥GH，证明：EF=GH⑵若EF=GH，证明：EF⊥GH
以上结论，称之为“垂等图”！以上方法：改斜
归正，横平竖直。
母题二十六
如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边，求折痕FG的长；
母题二十七
【解析】
连接AE，由轴对称的性质可知，AE⊥FG（应该是FG垂直平分AE）
这样就可以直接用上面的结论啦！
所以由垂直得到相等，所以FG=AE=（ ）
感悟：慧眼发现十字架！
解析
【十字结构在矩形中】
【思考】既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？
1、如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则CE和BD之间有什么数量关系？证明请。
2、如图1，一般情况，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点，当EF⊥GH时， 证明：⑴△FME∽GNH ⑵EF:GH=AB:BC
注意：红色的字很关键
否则，上述结论不成立
母题二十八
例题2 如图，已知直线

与x轴、y轴分别交于B、A两点，将△AOB沿
着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数
经过点D时，求k的值.
母题二十九
【解析】求出点D的坐标就好啦！这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）
发现连接OD后，有OD⊥AB（发现没有，矩形内部垂直模型出来了！）
解析
如图把边长为AB＝6，BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.

母题三十
答案
我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形。所以矩形的结论可沿用至直角三角形内——
在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD=CD时，求AE的长；
母题三十一
【解析】如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G
在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD=CD时，求AE的长；
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为BC边上的中点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，则AF：FC的值为___________.
母题三十二
分析：八字相似得：AF：FC=AB：CG
又全等得：CG=BD
所以： AF：FC=AB：BD=2
推广：此题变式：BD：DC=2：3，则：AF：FC=（ ）
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为BC边上的中点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，则AF：FC的值为___________.
简答
应
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，
CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连
接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.
母题三十三
如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＋∠ACF＝90°.
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
∴∠1＝∠2.
证明：
在△ACD和△CBG中，
∠1＝∠2，
AC＝CB，
∠ACD＝∠CBG＝90°，
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，
∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.
在△BDF和△BGF中，
BD＝BG，
∠DBF＝∠GBF，
BF＝BF，
∴△BDF≌△BGF(SAS)．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG，△BGF是解题的关键．还可以用十字架来寻找
思路.
【十字结构在其他四边形中】
1.如图，把边长为AB＝
BC＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD对折，
使点B和D重合，求折痕MN的长.
母题三十四
1.如图，把边长为AB＝
BC＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD对折，
使点B和D重合，求折痕MN的长.
【解析】
看着不熟悉吗？
怎么转换为熟悉的模型呢？
看下面，补成矩形不就好了！
简答
2.如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值．
母题三十五
2.如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值．
【解析】
咋一看，又是个不规则的图形
再仔细看一下条件，发现其实是个轴对称的图形
再利用一下条件，可算出BD=10，发现△BCD也是个直角三角形
要求DE与CF的比值，仍然往我们熟悉的模型上靠拢
将这个图形补成矩形
简答
【课后习题】
母题三十六
附1：任意三角形中的十字架
图中三边三线被分成的六个线段比知二求四！
1.平行线截线段成比例定理的应用。
2.三角形三条中线交点（重心）的性质定理。
母题三十七
如图：△ABC中，D、E、F分别是
BC、CA、AB上的点，G为AD、
BE、CF的交点，且BD:DC=2：1
求：AG:GE
A
B
C
D
E
F
G
附2：等腰三角形中的斜十字
A
B
C
D
E
F
如图：△ABC是等腰三角形，D、E分别
是BC、CA上的点，AD、BE相交于点F，
∠AFE＝∠C
求证：⑴△AFE∽△ACD
⑵△DBF∽△DAB
⑶△BDF∽△BEC
⑷△ADB∽△BEC
⑸D、C、E、F四点共圆

母题三十八
6
中点解题策略（五大模型）
诀曰：见中点，造垂径，中位倍长加斜中。
等腰中，造三线，两个条件快补全。
·
●“角平分线、中点、垂直”只要出现了两个条件，考虑补全为等腰三角形三线合一模型。
母题三十九
1.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，
连接BE并延长AC于点F，AF=EF。求证：AC=BE。
倍长中线，立竿见影！
2.如图，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上中线AD的范围。
母题四十
1.
2.
倍长中线，柳暗花明！
2.解答
母题四十一
倍长中线，思如泉涌！
母题四十二
三线合一 + 等角套 + 旋转大法+类比探究
母题四十三
等腰中，造三线，两个条件快补全。
三线合一+中位线
母题四十四
补全三线合一 + 中位线(角平分线+垂直=三线合一)
母题四十五
造双中:
母题四十六
1.
2.
取特值(图形或位置特殊化)
的妙用!
口诀:
选填题，巧测量，排除代入特值上
F
2.的图解，EF为中位线，综合
已知条件易得：DE=DF。OK
7
角平分线解题策略
图中有角平分线，
可向两边作垂线。
图中有角平分线，
可将图形对折看。
角平分线加垂线，
三线合一试试看，
角分线加平行线，
等腰三角必呈现。
角平分线、平行、等腰三个条件知二推一
A
B
C
M
A
B
C
D
A
B
C
E
D
A
B
C
D
A
B
C
若BM和CM为△ABC的角平分线。∠BMC=( )
若BD和CD为△ABC的内外角的角平分线。∠BDC=( )
若AD和AE为△ABC的高和角平分线。则∠EAD=( )
直角三角形斜高=两条直角边的乘积除以斜边。
等边三角形的面积=四分之根号三乘边长的平方。
（2）已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC
【提示】“图中有角平分线，可向两边作垂线”
母题四十七
例题3
（1）已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE
母题四十八
F
角平分线+垂直=构造三线合一；找全等：△CAF≌△BDA
CE=EF=1/2CF=1/2DB 作辅助性的本质就是：补全图形！
1.在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为________
母题四十九
2.在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为________




母题五十
边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，
若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限F处，设FC交X轴于点
D.
求（1）点D的坐标；（2）三角形ADC的面积；
（3）CD所在的直线解析式；（4）点F的坐标.
母题五十一
四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，且EF交
正方形外角的平分线CF于点F，求证：①AE=EF（若将已知中的E
为BC的中点改为E为BC上的一个动点，结论还成立吗）②若E仍为
BC之中点，EF与DC交于点H，则AH=AB+CH（AE为∠BAH的平分
线）。③AE=EF；AE⊥EF；CF是外角平分线，三者知二推一。你
能证明上述结论吗?
母题五十二
母题五十三
O
A
B
C
D
E
如图：OA⊥OC，CD⊥CE，
D、E分别在OA、OB上，且
CD=CE，求证：
⑴OC平分∠AOB
⑵OE+OD=
⑶S四边形OECD = 1/2OC2

如图，把一个长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在两坐标轴上，连接OB、将纸片沿OB折叠，使点A落在点E的位置，若OA=10，AB=5，求E点的坐标。
F
1.证明OCF与BFE全等。
2.利用方程求△BFE各边长.
3.求直角三角形BEF的斜高
4.求ON=OC+CM=OC+ME
5.利用勾股定理求EN.
母题五十四
8
相似模型
口诀：找相似，A 八 K， 正斜射影含子母。 ?
等边相似得平方，一线三等最常用。
等腰之中斜十字，缩放大法和瓜豆。
圆中对顶和切割，歪八歪 A一起来。
一、相似基本模型
预备知识：
1.三角形中的十字架；
2.三角形中的面积比(大A型中的面积关系)；
3.全等的各类模型;
4.面积2倍模型(如下题)；
等边相似得平方！
特别地：若C为BD的中点，我们称其为中点相似模型（等边相似模型），又可以得
到一系列神奇的结论。如：三个相似；一大两小三角形面积和；两条角平分线等。
等边相似得平方！
等腰三角形中的斜十字
A
B
C
D
E
F
两对歪A一（子母）；歪A必有歪八套
△ADF∽△ACE
二、相似证明等积（等比）示例
母题五十五
母题五十六
母题五十七
母题五十八
三、几何背景下的动点基本模型示例
母题五十九
母题六十
母题六十一
母题六十二
母题六十三
母题六十四
9
倍半角模型
诀曰：
倍半角，三角形，中垂廷长造等腰。 ?
十五度，七十五，倍半应用就是牛。
10
解三角形模型（含双勾股、正三角形面积模型）
正切坡度与一次函数斜率K的关系
牢记—角优先掌握三类模型解任意三角形
增减性：比大小及化简“绝对式”等
代替相似简化运算
思路清晰
与相似结合威力大
直角三角形
三边两角知
二（至少一
边）求三。
任意三
角形三
边三角
知三求
三（已
知中至
少有一
边。
角优先
套模型
两角一线
定乾坤
解直角三角形破题秘诀
三角函数不用愁
求子用乘母用除
四类模型要牢记
少破边角造模型
紧扣模型角优先
勿忘方程设表列
相似不忘随时用
能乘不除少麻烦
能用三角不勾股
能用特值不用普
角优先 套模型；
两角一线定乾坤。

一算角；二算边。
勾股相似设表列。
做辅助；套模型。
三角函数要先行。
角无用；换模型。
解题切记一根筋。
中考数学三角比的应用必做的13道题
母题六十五
母题六十六
母题六十七
母题六十八
母题六十九
母题七十
母题七十一
母题七十二
母题七十三
母题七十四
母题七十五
11
一次函数中的几何模型—K的颜值
一次函数中K的特殊求法
找坡度—定坡角—求正切—K即定。
两点纵坐标之差÷横坐标之差（注意顺序）
理解：速度；速率：变化率。
知K反过来亦可求直线与X轴之夹角！
加深对“斜率”的理解与记忆。
两直线夹角为β
、
，则有：tanβ=
特别提升
一次函数y=kx+b中——
3-6-9三角形和45-90三角形
一次函数的图象与性质
K管方向（增减）；K＞0增函数；k＜0减函数。
K相等，两直线平行。 K的乘积为 -1，两直线垂直。
b管位置：y=kx+b是将直线y=kx平移|b|个单位得到的。 b＞0向上平移；b＜0向下平移。所以直线Y=kx+b与直线y=kx平行且与y轴的交点为（0，b）
一次函数（不含正比例函数）图象的四种情况——
两个一次函数图象的特殊关系：k同b 不同则平行；k反b等关于y轴对称；k反b反关于x轴对称。
常函数：指类似y=b或x=a的函数。它们不是一次函数，但它们的图象也是一条直线，且与x轴或y轴平行。
一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积=

——

K= ±1时，正比例函数的图象就是两坐标轴所成直角的平分线。
两个一次函数，若 K1·K2=-1 则这两条直线垂直。
拓展提升
代数式、方程、不等式与函数的关系——
Y=kx+b
kx+b
kx+b＞0
kx+b=0
kx+b＜0
y=kx+b
kx+b＞0
kx+b＜0
kx+b=0
★★★其它函数（如二次函数）以此类推！
一次函数的应用解题思路
一分为二：分清横、纵坐标表示的实际意义。
数形结合：数字—坐标图—直线图（示意图）之间做好“翻译”，做到“三合一”。特别是坐标系中每条线段所代表的“情景”。
三法求解：算术法（小学方法）；代数法（待定系数法等）确定关系式；几何法（做好坐标与线段的转换，然后根据全等、相似等几何特征列方程求解，最后将线段转化成坐标）。
三型结合：指函数，方程，不等式的结合。
12
二次函数中的几何模型
函数并网——联想
解函数题
两法定式
十看定性
函数大数据
因变量Y（或S）
自变量x（或t）
关系式
图象
表格
辨函数（式辨+图辨+表辨）；定义域+值域；关系式-图象-表格的信息读取
一次函数
反比例函数
二次函数
二次函数演义
一个定义：整式；二次；a≠0
七种形式：一母六子
双0式
一般式
纵0式
横0式
截0式
两根式
统一为顶点式理解记忆
一个图象
抛物线—轴对称
常函数—五点法
数形定性
两法定式
三类应用
方程法
设表列
待定系
数法
几何背景
代数背景
实际应用
三法定
一轴
一轴定
乾坤
七式各
自表
三点法
顶点法
交点法
综合法
思想方法：数形结合-方程思想-设横表纵-配方法-取特值法-最值法-韦达法
三大关系：与一次函数
与方程；与不等式------
■三大关系
a、b、c的分工
与合作------
一次函数（正比例函数）；反比例函数与二次函数------
最高次项
从顶点横坐标（对称轴方程）出发）：三种求法
确定自变量取值范围---------
两不靠三角形面积的求法。
函数六小灵童
六种形式的对称轴+求关系式时的对应方法+八个特殊点的坐标=要牢记
八仙过海：顶点（0，C）（±1，a±b+c）（±2，4a±2b+c）（±3，9a±3b+c）
确定函数关系式通关补充内容
掌握四类特殊二次函数的关系式的确定
双零式（b=0、c=0、顶点在原点）。设为对应的关系式，只需图象上的一个点的坐标或一对对应值即可确定其关系式。（画图：略）
横零式（b=0，顶点在y轴，对称轴为y轴）：设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略）
纵零式（顶点在x轴，顶点的纵坐标为零）：设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略）
截零式：函数图象与y轴的交点为（0，0），此时，c=0，也可以直接设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略
掌握一般情况下二次函数关系式的五种求法：一般式；顶点式；交点式；顶横式，顶纵式等。

矩形大法
设横表纵，坐距互变；横平竖直；改斜归正，上下左右，矩形大法。
y
x
B（ xB , yB ）
P（xP , yP ）
A （ xA , yA ）
| yA - yB |
| xB - xA |
| xP - xA |
| yP - yB |
| yP - yA |
O
| xB - xP |
等腰、直角三角形等存在性动态问题几代结合破解策略（一）
注：过左、右两点分别做Y轴的平行线；过上、下两点分别做X轴的平行线，构造矩形！！
铅垂线法
求三角形面积常用的方法：底高法；正弦法（四连乘）；宽高法（铅垂线法）
1.底高法：S=（底×高)÷2； 2.正弦法：S=两边与其夹角正弦的乘积的一半
3.宽高法(铅垂线法)：S =（宽×高）÷2
★重点：什么是宽？什么是高？如何确定？ （横平竖直；改斜归正）
定义：过三角形的一个顶点做y轴的平行线（x轴的垂线）与这个顶点的对边（或延长线）相交，交点到这点的距离（纵坐标的差的绝对值）叫做该三角形的“高”（竖直高）；另外两个顶点的水平距离（横坐标的差的绝对值）叫做该三角形的“宽”（水平宽）。具体操作时有如图所示的三种情形：
A
B
C
D
m
S=（m×AD）÷2
A
B
C
D
S=（m×CD）÷2
A
B
C
D
m
S=（m×BD）÷2
m
注：一般来讲：过动点（设横表纵）做y轴的平行线与其对边或延长线相交！
几何背景动态问题思路
开始
舞台（基本图形）
演员
点动
线动
图动
边
角
线
路线
时间
速度
路程
七要素——拉清单
时间范围先搞定，
细心确定临界点。
算角优先不能忘，
七个要素拉清单。
紧扣结论设表列，
分类讨论是难点。
动态问题分类破题
几何背景：临界点问题—长度、面积的分段函及最值问题；存在性问题（垂直；垂直平分；角相等，角平分；等腰三角形；直角三角形；相似；特殊四边形；线路最段中长等问题。探究性问题（特殊到一般；一般到特殊等）
函数背景：长度、面积的函数关系问题；存在性问题（同上）。
常态与变态之间的化归大法——交轨大法——等积大法；相似大法；三角大法；双勾股大法等。
破解动点问题通关口诀—相似搭桥
等腰——风水轮流转；中线加高亦等腰。
直角——与你同行找相似，勾逆斜中也能行。
平行——比翼双飞成比例，相似等角也可以。
相似——找等角，掉包计（换座位）,顺时针。
最短——两村一路牛吃草。
面积——定底表高用公式；一拆二放全搞定。
长度——设横表纵，标距互变。
平四——三平定位要知晓，判定方法灵活用。
特四——先平后特。一垂两等变菱形；一垂三等正方形。
无关——干掉参数就能成。
思路——以静制动，找准临界，分类体验，设表列解。有
相似用相似，无相似造相似。三角函数灵活用。
平行四边形的存在性
预备知识：①中点坐标公式；②三平三交定三点；③两对角线端点的横、纵坐标
之和分别相等（秒杀必备）；④横平竖直接做辅助。
分类
三定一动：用②③即可秒杀（本质还是中点坐标公式）
两定两动
两点之间线
段是一条边
两点之间线
段是对角线
利用①②③
④综合解决
13
反比例函数中的几何模型
式判；图判；参数判。无零函数；与正比例比较和联动。
确定K：一点定K，横纵相乘；面积定K，几何意义逆推；实际问题，寻找方程；几何问题，有相似用相似。
常用xy=k来判断---
注意每个象限
顶点坐标；与过圆点的直线的关系；与Y=±X的关系。双对称（轴心）
初中唯一的“分式”函数。
相等；一半；二倍
式判；图判；参数判。无零函数；与正比例比较和联动。
确定K：一点定K，横纵相乘；面积定K，几何意义逆推；实际问题，寻找方程；几何问题，有相似用相似。
常用xy=k来判断---
注意每个象限
顶点坐标；与过圆点的直线的关系；与Y=±X的关系。双对称（轴心）
初中唯一的“分式”函数。
相等；一半；二倍
位置
增减性
位置
增减性
y=kx ( k≠0 )
直线
双曲线
一三象限
y随x的增大而增大
一三象限
每个象限内， y随x的增大而减小
二四象限
二四象限
y随x的增大而减小
每个象限内， y随x的增大而增大


填表分析正比例函数和反比例函数的区别
函数 正比例函数 反比例函数
表达式
图象形状


K>0


K<0
反比例函数表达式中k的几何意义
反比例长方形：在反比例函数图象上任取一点，过该点分别作坐标轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的长方形称为反比例长方形。
反比例三角形：过反比例函数图象上任一点作一条坐标轴的垂线，这点和垂足、原点构成的三角形叫做反比例三角形。
S反比例长方形=|xy|=|k|
S反比例三角形ADO = — |k|
S反比例直角三角形AEC=2 |k|
S反比例平行四边形ABCD= 2 |k|
1
2
特别提升一
两正一反面积公式：如图——
S△OAB=S梯形ABCD
反比例函数分矩形对边成比例定理——
如图：AD：DB=CE：EB(AC∥DE)
重要的解题思想：基本图形
——经验积累
——模式识别——
A
B
C
D
0
O
A
B
C
E
D
熟记基本图形——累积解题经验——识别模式灵活应用——（从简单出发）
面积：大三=大梯；小三=小梯
两正一反求面积终极重要公式——积差法
A
B
C
D
0
A
B
O
C
D
内外积的差的绝对值的一半！！！
如何确定反比例函数的比例系数K
找交点，做垂线，
设横表纵永不变。
横横关系要搞清，
面积为媒要清醒。
几何代数函数牵，
坐距互变几代联。
几何性质找得准，
等量关系列方程。
14
圆中的模型
一个模型：垂径图-知二求四
几何题：角优先的原则
几何计算：先算出角，而后设表列
三点确定圆
圆的计算与证明常用八种模型
射影图
斜射影
一线三垂直（正K型）
一线三等角（歪K型）
垂径图
共圆图
弦切图
切割图 另外：平行弦；两切图。
圆的计算与证明的基本套路
证切线
直接证明直角（全等；平行；互余；斜中）
一拆二让三余
计算
三角比
让线
让角
求比（利用相似等）
线段长
放到一个三角形中解三角形
找到相关的两个相似三角形
破解垂径图
A
B
O
C
D
如图所示的模型中：半径（直径）；
弦（半弦）；弦心距；弓高；小弦；
和其中的角，知道两个条件（至少
一个为长度），即可求出另外所有
的长度。
弦切角模型
P
A
B
C
原定理：若PA为切线，则∠PAB=∠C
逆定理：若∠PAB=∠C，则PA为切线
怎么证明（做辅助线）？找切点，
过切点的弦和径（直径）做直角
三角形即可！
切割图+斜射影
A
P
B
C
O
如图：PA为⊙O的切线，
PBC为割线，则：
⑴∠PAB＝∠ACB
⑵△PAB∽△PCA
⑶PA的平方=PB·PC
图中无圆，心中有圆，四点共圆
┓
┓
┓
┓
双直角；对角互补；外角等于内对角；正多边形。
利用四点共圆解决角相等，线段成比例，三角形
相似等较复杂的几何问题事半功倍，妙不可言！
┓
┓
三类模型：垂径图；弦切图；共圆图；切割图+射影图（斜射影）
另：等腰梯形四个顶点永远共圆！！！
圆上一点两等弦
如图：⊙O中，弦AB和AC
相等，则过AO的直线为对
称轴，且平分∠BAC，直
线AO垂直平分BC——等
腰三角形三线合一！！
A
B
C
O
平行弦夹等弧
A
B
C
D
三角形内切圆半径计算公式
后一个公式可以用图中6个三角形“拼合后“证明！
三角形外接圆半径计算公式
隐圆两模型
1．定角对顶边：等腰三角形的面积最大，周长也最大．
２．定角夹定高：等腰三角形的面积最小，周长也最小．
注：做腰的中垂线，找外接圆的圆心——隐圆处理．
典型例题
A
B
C
D
已知：正方形ABCD的边长是6，O是
对角线AC与BD的交点，点E在CD上
且DE=2CE，连接BE，过点C作CF⊥
BE，垂足为F，连接OF，则OF的长
是=（ ）
E
F
0
提示：根据上述模型，易得：四边形BCFO四点共圆，所以△OGF∽△BGC
相似比为OG：OB，自然想到：过E作EM⊥BD，求出EM：EB，易知，BE
可求，EM是等腰直角三角形DEM的直角边，DE是知道的，
最后，0F：BC（6）=OG：GB=EM：EB（已求出），问题得到解决。
M
G
┏
┏
母题七十六
四点共圆巧解题
等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，
D，E分别在直角边AC，BC上， 且∠DOE=90°DE交
OC于点P，以下结论正确的有（ ）
A
B
C
O
D
E
①∠DEO=45°

②△AOD≌△COE
③
④
┓
┗
母题七十七
母题七十八
母题七十九
母题八十
母题八十一
母题八十二
母题八十三
母题八十四
母题八十五
母题八十六
母题八十七
中考中和圆的证明和计算考题精选
母题八十八
母题八十九
母题九十
母题九十一
母题九十二
母题九十三
母题九十四
母题九十五
15
12345模型
“12345”模型
（12345模型）
12345模型图解及典型应用
12345模型秒杀相关题目
A
B
C
D
E
F
45°
45°
■如图：45°两边的两个角的和为45°，只要知道一个角的正切，
立即可以秒森另一个角的正切。
■事实上，利用4前面的“背景公式，知道两角的和（比如45°、
30°、60°）和其中一个角的正切，我们立即可以求出另外一个
角的正切，当然，也可以通过两个角的正切求出这两个角和的正切！
3
2
6
45°
16
“魔鬼”模型（顶角互补的共顶点等腰三角形模型）
几何模型：婆罗摩笈多定理
一个定理+两个弱化模型
婆罗摩笈多定理
婆罗摩笈之共点等腰直角三角形模型
婆罗摩笈之共点等腰三角形模型
17
方、不、函题型破解策略
母题九十六
母题九十七
母题九十八
母题九十九
母题一百
母题一百零一
母题一百零二
母题一百零三
母题一百零四
母题一百零五
母题一百零六
母题一百零七
母题一百零八
母题一百零九
18
数与代数式中的解题模型及二级定理
根号中不能有开出去的因式（数）-
根号中无有分母；分母中无根号---
根号中不能有小数（变分数处理）-
运算——加减：先化后算；乘除：先算后化。
复习题纲
三根一式（二次根式与无理式的异同）
三大定义（有理数；无理数；实数）
四大家族；两种分类；五大概念，
一一对应；大小比较。
四个性质（先开后方；先方后开，积根；商根）
五大法则（加减；乘；除；乘方；开方）。
一类化简；六种运算；科零负收尾。
特别提升
(a+b)2=a2+b2+2ab应用整体的思想，可以理解为三个数（画线三部分），三个数知二求一是这个公式的另外一种应用。
(a- b)2=a2+b2- 2ab应用整体的思想，可以理解为三个数（画线三部分），三个数知二求一是这个公式的另外一种应用。
小结：两数和、两数的差、两数平方的和、两数的乘积，知二求二。
可以让学生自己出题加深理解记忆。
活用公式之总结
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2=4ab
(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)
X2+1/x2=(x+1/x)2-2 =(x-1/x)2+2
特别记忆
若过直角三角形两锐角顶点的中线长分别为m和n，则此直角三角形斜边的长为（如图所示）：

三个基本问题
蚂蚁立体对角吃东西路最近——
立体插杆怎么最长——
梯子滑动问题——
长方体蚂蚁对角爬
吃东西求最短路程
a、b、c为长宽高
计算比较判断求之
牢记：最大边平方与另外
两边和的平方之和的算术
平方根最短
直角三角形快速切换求边法（强化训练——熟练掌握）
用比值法
抓住已知
准确判断
快速求值
1
1
1
2
3
4
5
1
2
1
3
5
12
13
√2
√3
√5
√10
用两边的长度或比值确定属于那种类型，用比值知一求二（其它边）
19
正方体的展开图
正方体的表面
展开图——
十一种类型汇总
记忆口诀
中四连，一边一个挂两 边（1-4-1六个）
中三连，歪带帽子鞋任穿（2-3-1三个）
中二连，歪戴帽子歪穿鞋（2-2-2一个）
无田凹，三三相遇边对边（3 对3一个）
特别注意
正方体开时是从里向外展开，外面的字在平面图的下面，否则平面之间的关系会不一样。反之，当我们已知一个平面，要把它折叠成正方体时，则有两种情况：一是向上折起；二是向下折起。产生的两种结果是不一样的！
知立体图形求展开图，有一种情况，无需分类讨论；知平面图，要折成正方体，则有两种情况，一向上、二向下。
20
方程与不等式中的解题模型及二级定理
方法清单


一、直接设元
二、间接设元
三、设辅助未
知数（或
者整体1）
四、设比例份
数为未知
数（1份）
五、整体设元
一个概念；三个系数；五种解法。
一个判别；两个关系；综合应用。
拓展：整体思想+换元；与二次函数联袂。
换元法图象法
每每问题模型
实际销量=原销量±（价差/前每×后每）
总利=单利×销量
单利=售价-进价（成本）=原单利±价差
一元二次方程中考选择填空压轴题
a≠0
△≥0 + 题目对根的要求
根的定义（代入——代数之精华）
韦达定理
关于两根的对称式：直接变为和与差式。
关于根的非对称式：
遇高次（一代二违）
遇绝对（两边平方）
韦达定理常用模型
【典例2】已知关于x的分式方程
A≤-1且a≠-2
母题一百一十
【典例4】若关于x的方程
有增根，试求k的值。
母题一百一十一
母题一百一十二
（3）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次出海可捕鱼10吨，2012年平均每次出海仅可捕渔8.1吨，求2010年到2012年平均每年每次出海捕鱼量下降的百分率。
（答案：10%）
（4）某电视机厂，1月份电视机的产量为5000台，第一季度的后两个月共生产11550台。若每个月电视机产量的增长率相同，求这个增长率。
母题一百一十三
销售问题的两种变化
母题一百一十四
母题一百一十五
（1）一个六位数,其最高位上的数字是2,如图:2abcde（省略上划线）,若将该六位数最高位换做9.并把其后五位数与最高位对得:abcde9（省略上划线）.此时,对调后的六位数是原六位数的3倍,求这个六位数. (285713)。
计数问题
（2）一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数。
母题一百一十六
（1）有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
（2） 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三
条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均
为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
母题一百一十七
【面积问题】
（1）△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点
出发，沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿BC边向C点以2cm/s的速度移动（点Q到达C点运动停止）如果点P、Q分别从A、B同时出发t秒（t＞0)。
t为何值时间，PQ=6cm?
T为何值时， △PBQ的面积等于8cm2 ?
A
B
C
P
Q
母题一百一十八
几何+动点问题
（2）将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个
正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?
(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到
期后取出50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得
的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利
率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存
款的年利率大约是多少? (精确到0.01%) .
母题一百一十九
利息问题
母题一百二十
母题一百二十一
瓜豆原理—“V”型动点轨迹
O
P
Q
条件：三定两动——
三定：定点；定角；定比。
如图：O为定点；∠POQ为定角；
QO：PQ=K（为定值）
两动：P、Q为两个动点，P为主动
点，Q为从动点。（捆绑运动）
问题：通过P点的轨迹求得Q点的轨迹。
结论：点P的运动轨迹与Q的运动轨迹形状相同（相似，且位似）。
Q的轨迹的长度：P的运动轨迹=K（定比）
即： Q的轨迹的长度=K· P的运动轨迹

瓜豆原理：种瓜得瓜；种豆得豆。满足“三定两动”条件的两个动点的轨迹：相似、位似。且从动点的轨迹=主动点的轨迹·定比（K）。定比K
为两轨迹的相似比！！！

上述模型在数学江湖中也被称作“捆绑动点轨迹模型：。
21
小结
两定三动求轨迹
条件（定点；
定角；定比）
结论
两个动点与定点连线的夹角确定不变为α
主动点、从动点与定点的两连线的比为定值K
一个定点保持不动（无定不瓜豆）—旋转中心
从路径相似于主路径（且位似）
其相似比为K

从路径=K·主路径（秒杀公式）

从路径：看作主路径绕定点旋转定角并按照定比缩放形成。
胡不归（两动一定求路最短）模型
背景故事去百度（见各种资料）
预备知识：
22
模型识别
条件：两定一动（动点一般在某确定的直线上运动）
两定：点A、B两点为定点；一定：点P为直线AB外的一个动点

问题：确定动点P，使mPA+PB最短（0＜m＜1）
更一般地：使mPA +nPB最短（不妨设m＞n）

思路：设所求P点在直线AN上
我们在直线AN异于B点的一
侧构造∠NAM，使得
sin ∠NAM=m（相当于把mPA
通过正弦打折化归到直角三角形
的直角边上！！！！
妙！！！！
机不可失：我们作BF⊥AM交AN
于P点，毫无疑问P点即为所求！mPA=PF， mPA+PB=BF
BF即为mPA+PB的最小值（而mPA+PB＜AB，胡不归的来源）
B
A
N
P
M
F
模型拓展
更一般地：使mPA +nPB最短（不妨设m＞n）
我们只须在上式中提取m、n中的较大者，即可化归到上述类型。
在类似的位置构造一个正弦
等于n/m的角即可——
至于点P的位置和最小值的求法我们可以用几何或者代数的方法很容易
得到解决。当然，如果我们能用正弦或者正切的和差化积的公式解决，
就更”牛“了。
最大张角问题（米勒定理）
问题背景（如图）
⑴假设：A—B是一个足球门（当然是两
个定点），一个对方球圆沿OM运求。
问：此球圆在何处使命，进球的机会最
大？
⑵又假设：在OM这面墙上安装一个
监控摄像头来监扛AB路段的行车
状况。问；安装在何处效果最佳？
问题化归（如图）：上述两个问题实际上可以化归为如下数学模型：在∠MON
的一边上有两爹定点A、B，在另一边上有一动点P，动点位于ON边上的何处时，
∠PAB最大？（所谓的张角最大，效果最佳：射门、观察、视野最“宽”）。
23
母题一百二十二

母题一百二十三
模型总结
阿氏圆求加权线段和破解通法（入门）
加权点
非加权点
D：破题点
加权点
B：非加权点
破题通法：①连接圆心O与两个定点。②计算权心线上圆心与破题点M的距离m=半径的平方÷权心线。③在权心线（或延长线上）
截取OM=m。④连接破题点M与非加权点(与圆相交于点P，该点为满足条件的动点），并计算其长度，该长读即为所求。
应用条件：半径：权心线长度=加权比。计算依据：半径平方=破心线×权心线（子母共边相似）
24
阿氏圆入门破题口诀
一算破心线（其长度=半径的平方÷权心线
二定破题点（在圆心至权心线的连线或延长线上截取破心线的长度，得破题点）。
三连破非线（破题点到非加权点的连线）
四求破非线。（破非线与圆的交点即为动点位置）
说明：确定PA+1/2PB的最短距离。则定点B叫加权点（简称权）；定点A叫非加权点（简称非）；心当然指圆心；破题点为构造母子相似的关键点。
①连接OA、OB（已连）
②计算“破心点”（破题点与圆心的距离）长度=半径的平方÷权心线=62÷3=12
③在射线“心权线”上截取0M（破心线）=12
(M为破题点）。
④连接破题点M与非加权点，与⊙O相交于P点。
P即为满足条件的动点。
⑤计算MB的长度（MB=MP+PB=2PA+PB）
⑥此时的△OPA∽△OMP OP：OM=OA：OP
OP2=OM×OA
M
显然：MB=√52+122=13

母题一百二十四
母题一百二十五
中考六大题破解要诀
25
解题基本思路
开始
条件
知识点
结论
改条件—变结论—找接口
思路—步骤—过程—结论
母题+模型
化归
改条件；变结论；想母题；
套模型；找接口；出思路；
数学难题破解万能思路
数学解题思维导图
方、不、函的分工
方程为“死人”服务。
不等式为“病人”服务。
函数为“活人”服务。
统计概率综合题—21题
数据优劣看三数；算术加权平均数。
数据稳定看三差；方差确定是核心。
会看三表提信息；两频两率看关系。
频数之和为总量；频率之和定为一。
概率数形和列表；首先放回不放回。
事件两步和三步；三步事件须数形。
知道分量求总量；量率对应除得整。
分清总体和样本；结合实际得结论。
解直角三角形应用综合题—22题
一角三比记定义；直三相似神代替。
三角九值须熟记；会将两比变三比。
三角函数不用愁；求子用乘母用除。
知二求三解直三；普三知三亦会解。
各种模型要牢记；破解方法细体会。
能乘不除简单化；能比不勾亦同理。
辅助不破已知数；坡比仰府方向角。
下手之前角优先；找准特殊三角形。
等腰直角和相似；综合应用解难题。
函数方程不等式应用综合题—23题
仔细审题拉清单；数量关系记心间。
变量范围定临界；找到关系设表列。
函数关系准确定；方程待定两方法。
分类讨论很普遍；对应函数要分段。
局部整体求最值；结合图象和增减。
方案优选是热点；函数常识和死算。
设定未知不重复；答案叙述要完整。
函数方程不等式应用综合题—23题
函数增减定方案；最值局部与整体。
生活常识定方案；贵少贱多最合算。
死算也能定方案；一算二比出结果。
两种方案供选择；生活常识最简单。
优选方案比单利；利大量多赚得多。
利小量多最实惠；利等怎么多可以。
二元方程整数解；偶尔也会定方案。
总量若变用死算；总量一定方不函。
利润利率关系明；优惠打折要分清。
“一元二次不等式”的求解法
不等变相等，方程求两根。
函数做草图，由a 定开口。
开口若向下，大中小取外。
开口若向上，小中大取外。
简记为：a＜0：大取中小取外。
a＞0：小取中大取外。


x
y
x
x
y
y
函数 函数图象 最大值的确定
一次函数 n≤x≤m，k＞0时，则最大值为f（m）； K＜0，时，则最大值为f（n）。
反比例函数 n≤x≤m，k＞0时，则最大值为f（n）； K＜0，时，则最大值为f（m）。

二次函数 n≤x≤m，a＜0时，若对称轴为x=k，n＜m＜k，则最大值为f（m）；n＜k＜n，则最大值为f（k）；k＜n＜m，则最大值为f（n）；
每每问题模型
实际销量=原销量±（价差/前每×后每）
总利=单利×销量
单利=售价-进价（成本）=原单利±价差
圆的证明与计算综合题—24题
三大性质联对称；三种关系切线重。
点线角图找特殊；相似全等套模型。
算角优先要遵循；各种模型分得清。
图中无圆心中有；四点共圆性质明。
等三直三和勾股；全等相似和射影。
弦切切割找思路；特四知识综合用。
三角函数灵活用；代替直三相似神。
几何知识集中营；辅助做准是根本。
几何探究综合题—25题
操作动态和类比；三类探究有规律。
动点问题存在性；以静制动往后看。
操作类比找规律；这边走来那边扭。
首问做好是基础；前后类比思路明。
对应元素和关系；对照首问规律清。
包头25题两类题型：动态探究+变式猜想（类比探究）
类型1　操作探究题
母题一百二十六
类型2　动态探究题　
母题一百二十七
类型3　类比探究题
母题一百二十八
动态探究类压轴题分类
按背景分类
几何背景：图形是舞台；动点是演员
函数背景：函数是舞台
动点是演员
按已知分类
点动
线动
图动
单动点
双动点
多动点
按结论分类
平行的存在性
垂直的存在性
等腰的存在性
相似的存在性
特四的存在性
存在性问题
确定函数关系问题：长度的函数关系；面积的函数关系。
其它动态探究问题：类比规律探究；操作后结论探究
将军饮马问题（两村一路问题）
颠倒是非是起点
题目是剧本；做题人是导演。
动点问题综合题—25、26题
等腰——风水轮流转；中线加高亦等腰。
直角——与你同行找相似，勾逆斜中也能行。
平行——比翼双飞成比例，相似等角也可以。
相似——找等角，掉包计（换座位）,顺时针。
最短——两村一路牛吃草。
面积——定底表高用公式；一拆二放全搞定。
长度——设横表纵，标距互变。
平四——三平定位要知晓，判定方法灵活用。
特四——先平后特。一垂两等变菱形；一垂三等正方形。
无关——干掉参数就能成。
思路——以静制动，找准临界，分类体验，设表列解。有
相似用相似，无相似造相似。三角函数灵活用。
基础模型破题口诀
两边可表知夹角；三角函数写在前。
若求面积找正弦；两边正弦积一半。
要判等腰求余弦；找到顶点来判断。
顶点对边取一半；除以斜边是余弦。

正K型（三垂直）在动点问题中的应用
1
2
3
a
b
c
d
若∠1=∠2=∠3，则ab=cd
若∠1=∠3=90°，且ab=cd，则∠2=90°
动态问题入口
一定大范围
二找临界点
准确分类看
一类一法解
动态问题必须掌握的基本功
定相似：掉包计。
表面积：正弦法；一拆用加二放用减；铅垂法。
判等腰：风水轮流转；余弦法；一边除以2与另一边的比=夹角的余弦。
表线段：设横表纵，一线冲天，坐距互变，上减下。
牛喝水：对称法。
造平行：一边平行且相等；三平三交法。
几何背景动态问题思路
开始
舞台（基本图形）
演员
点动
线动
图动
边
角
线
路线
时间
速度
路程
七要素——拉清单
时间范围先搞定，
细心确定临界点。
算角优先不能忘，
七个要素拉清单。
紧扣结论设表列，
分类讨论是难点。
函数动态探究综合题
数形结合抓特征；两法定式定要准。
有了关系仔细算；二次一轴定乾坤。
函数几何要综合；设横表纵是根本。
距离坐标会转换；数形融合变得准。
找准临界巧分类；动态存在规律清。
假设存在找思路；套用模型法自明。
规范作答也重要；会做力争拿满分。
函数背景动态问题基本思路
开始
舞台（函数及其图象）
演员（点、线、图动）
图表式合一
函不方联动
一轴定乾坤
五点来定性
坐标变距离
设横又表纵
找准临界点
分类来讨论
转化为几何背景的动点问题
函数
背景
动态
问题
函数是舞台
动点是演员
二次函数：一式五点一轴一最
一次函数：一式两点一坡一角
以静制动；一线冲天
确定范围；找准临界
设横表纵；坐距互变
几何性质；准确分类
勾股平行；相似必用
找准关系；设表列解
26题破题秘诀之终结篇
函数关系特殊点；搞清性质舞台建。
运动范围要明确；互动中间找临界。
垂横平纵穿动点；设横表纵坐距联。
定角优先直表斜；三角函数一线牵。
题设结论换坐位；相似模型方程列。
紧扣特殊做文章；数形结合来求解
最大最小存在性；分门别类找规律。
附：确定函数关系式
基本方法：方程法；待定系数法。
待定系数法：
一次函数：两点法；两截法；角截法；坡截法；角点法；坡点法；综合法（面积法）。
反比例函数：一点法；面积法；综合法。
二次函数：三点法；一顶一点法；两根一点法；一轴两点法；一最两点法；综合法。
母题一百二十九
母题一百三十
母题一百三十一
母题一百三十二
母题一百三十三
母题一百三十四
母题一百三十五
母题一百三十六
母题一百三十七
母题一百三十八
母题一百三十九
母题一百四十
母题一百四十一
母题一百四十二
母题一百四十三
26
辅助线口诀
《深本数学116解题模型》初中版
学习数学五要素：
定义；概念；性质；判定；模型（思路、
方法、规律、公式、技巧、套路）。

学习几何五看：
一看边；二看角；三看线；四看周面；五看对称。 ?
001 . 学代数，死活数，数数关系方不函。 ?
002 . 学几何，特殊图，图图关系抓持殊。 ?
003 . 等角套，套等角，顺腾摸瓜相似找。 ?
004 . 角推死，边算完，聚拢条件设表列。 ?
005 . 图象上，求动点，设横表纵坐距变。 ?
006 . K 定角，角定比，一次函数定基三。 ?
007 . 上下横，左右竖，矩形大法破题牛。 ?
008 . 表面轵，用正弦，面积秒变四连乘。 ?
009 . 判等腰，找余弦，底边一半比斜边。 ?
010 . 定等角，用正切，横竖一比方程解。
011 . 铅直高，水平宽，积的一半面积现。 ?
012 . 三角形，四边形，十字架中有乾坤。 ?
013 . 对角补，邻边等，知二推一角平分。 ?
014 . 见中点，造垂径，中位倍长加斜中。 ?
015 . 平分角，双垂直，单垂双等和平行。 ?
016 . 角分线，遇垂直，三线合一等腰成。 ?
017 . 正方形，等直三，内含半角转一转。 ?
018 . 线段和，要最小，将军饮马四模型。 ?
019 . 胡不归，阿氏圆，三角相似折化直。 ?
020 . 三角形，要求解，至少一边三条件。
021 . 矩形现，任一点，对顶平方和不变。 ?
022 . 平四形，对角线，平方之和怼四边。 ?
023 . 等边三，求面积，不三不四乘边方。 ?
024 . 三中线，重心点，二比一把中线剪。 ?
025 . 角分线，截对边，两边之比怼两段。 ?
026 . 角分线，求交角，内内内外和两外。 ?
027 . 角分线，邂逅高，夹角两角差一半。 ?
028 . 三角形，有飞镖，一个大角抵三角。 ?
029 . 四个点，要共圆，常用模型要分清。 ?
030 . 共圆图，对角补，共边等角同侧供。 ?
031 . 歪八套，和歪 A，形影不离似孪生。 ?
032 . 切割线，相交弦，歪八再加弦切角。 ?
033 . 面积比，找相纵，相似不成等底高。 ?
034 . 线段和，要得证，截长补短是正本。 ?
035 . 平四形， 要存在 横和纵和对角等。 ?
036 . 矩形中，边上点，距离之和对角线。 ?
037 . 手拉手，是旋转，等边等腰和任三。 ?
038 . 找相似，A 八 K， 正斜射影含子母。 ?
039 . 一线上，三等角，等边相似见平方。 ?
040 . 两角和，四十五，秒杀一二三四五。 ?
041 . 瓜得瓜，豆得豆，瓜豆原理缩放图。 ?
042 . 倍半角，三角形，中垂廷长造等腰。 ?
043 .十五度，七十五，倍半应用就是牛。 ?
044 . 点线式，解压轴，列点列线又列式。 ?
045 . 动点现，两图穿，交轨大法来求解。 ?
046 . 抛物线，有三型，三点双飞和顶点。 ?
047 . 定一轴，有三法，三法一轴定乾坤。 ?
048 . 两直线，K 定关， 平等垂直积负一。 ?
049 . 两点间，求距离，横平坚直勾股齐。 ?
050 . 两点定，求中点，横和纵和砍一半。 ?
051 . 找等角，表四边，相似调包顺时转。 ?
052 . 边对角，角含高，隐圆等腰最大小。 ?
053 . 表线段，求最值，一线冲天斜化直。 ?
054 . 反比例，模型多，面积三梯矩平垂。 ?
055 . 垂径图，射影图，知二求多藏宝图。 ?
056 . 不等式，分式程，有解无解套路深。 ?
057 . 一线间，三直角，变态之后有弦图。 ?
058 . 数列和，设个元，错位相消加缩放。 ?
059 . 勾股桥，双勾股，宁比不勾少弯路。 ?
060 . 等差和，等比和，高中公式简单用。 ?
061 . 底相同，幂递增，左右乘底错位消。 ?
062 . 三乘四，四乘五，倒数求和折项消。 ?
063 . 方程中，两绝等，和差为零两方程。 ?
064 . 正矩形，和直三，横平竖直可通关。 ?
065 . 两直线，夹正切，K 差除以一加积。 ?
066 . 非负数，永正数，三类模型记分明。 ?
067 . 正方体，展开图，二三四连无田凹。 ?
068 . 三角形，双等边，底顶相连费马点。 ?
069 . 图变换，常翻折，折线中垂对点连。 ?
070 . 考旋转，三要素，中心方向和角度。
071 . 全等图，三大类，平移旋转和对称。 ?
072 . 辅助线，有原则，聚合补全方向明。 ?
073 . 平行弦，两切图，共点等弦对称造。 ?
074 . 两等腰，顶对对，顶角互补婆罗摩。 ?
075. 婆罗摩，角错位，面积相等中垂半 。 ?
076 . 内外高，单双高，三角应用少不了。 ?
077 . 见平方，遇乘积，勾股相似共等边。 ?
078 . 几何题，若无图，无图多解错不了。 ?
079 . 有意义，无意义，零指负指母根号。 ?
080. 三角形，切三边，三比相乘积为一 。 ?
081 .知二 a ， 等三b ， 一定变成 a 比 b。 ?
082 . 方不函，应用题，定值定范又定函。 ?
083 . 求最值，函联范，二次函数左中右。 ?
084 . 共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。 ?
085 . 鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。 ?
086 . 拉关系，求面积，相似还有等底高。 ?
087 . 平垂连，廷截转，翻折中垂辅助圆。 ?
088 . 改条件，变结论，解题万变不离宗。 ?
089 . 选填题，巧测量，排除代入特值上。 ?
090 . 抛物线，截三点，面积最大找中点。 ?
091 . 确定的，即可求，心中笃定学无忧。 ?
092 . 等直三，存在性，矩形大法来搞定。 ?
093 . 歪直角，找直三，矩形大法或一半。 ?
094 . 动态题，有拐点，首尾拐点一线牵。 ?
095 . 拋物线，截三面，三横之差积一半。 ?
096 . 遇直三，定斜中，找到两等推三等。 ?
097 . 一线折，落一线，对称轴是角分线。 ?
098 . 中垂线，画鱼头，中垂就是对称轴。 ?
099 . 角分线，平行线，加上等腰二推一。 ?
100 . 遇证明，若不会，因为所以加结论。 ?
101 . 类比题，思路明，一推到底找变化。
102 . 三短长，三长短，齐头四 D 乱二 B 。
103 . 几何中，倒数和，常用模型有七个。
104 . 几何图，转转看，换个角度原型现。
105 . 翻对折，补魚头，垂直平分垂等图。
106 . 缩放法，应用广，几何代数秒题狂。
107 . 找规律，坐标定，二次函数也许行。
108 . 长对正，高平齐，俯左垂距宽相等。 ?
?
109 . 证相似，比线段，添线平行成习惯。
110 . 正方形，内截矩，两对全等四相似。
111 . 两点间，求距离，直线水平和铅直。
112 . 正三内，任一点，三边距和等于高。
113 . 等腰内，斜十字，两对歪A一子母。
114. 懂不懂，会不会，懂会对快才完美。
115 . 忆口诀，想图形，道听图说记得清。
116 . 作业前，先复盘，会说能举再开战。
附：数学解题的“三大纪律八项注意”

宁正不负；宁乘不除。
宁比不勾；宁偶不奇。
宁分不小；宁方不根。
数形结合；几代互补。
分类优先；先简后繁。
零指负指；绝负母根。
数学历史人物
勾股树—希腊哲学家、数学家：毕达哥拉斯
韦达定理—法国数学家：费朗索瓦·韦达
费马点—法国业余数学家：费马。
总统定理——美国十二任总统：伽菲尔德
28
三角形全等的 模型与技巧讲义
30
目录
构造三角形全等的 五种方法
全等三角形的八种基本模型
角平分线四大基本模型
中点模型（处理策略）
阶段方法技巧训练（十二）
专训2 构造全等三角形的
五种常用方法
在进行几何题的证明或计算时，需要在图形
中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比
较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使
数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：
翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补
短)法，目的都是构造全等三角形．
应
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，
AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
方法1
翻折法
如图，延长AD交BC于点F.(相当于将
AB边向下翻折，与BC边重合，A点落
在F点处，折痕为BE)
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
证明：
在△ABD和△FBD中，
∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，
∠ADB＝∠FDB＝90°，
∴△ABD≌△FBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，
∴∠2＝∠1＋∠C.
应
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，
CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连
接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.
方法2
构造法
如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＋∠ACF＝90°.
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
∴∠1＝∠2.
证明：
在△ACD和△CBG中，
∠1＝∠2，
AC＝CB，
∠ACD＝∠CBG＝90°，
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，
∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.
在△BDF和△BGF中，
BD＝BG，
∠DBF＝∠GBF，
BF＝BF，
∴△BDF≌△BGF(SAS)．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG，△BGF是解题的关键．
应
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，
F为CD边上一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF
的度数．
方法3
旋转法
如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，
∴∠D＝∠ABH＝90°.
在△ABH和△ADF中，
AB＝AD，
∠ABH＝∠ADF＝90°，
BH＝DF，
解：
∴△ABH≌△ADF.
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，
即∠HAF＝∠BAD＝90°.
∵BE＋DF＝EF，
∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.
在△AEH和△AEF中，
AH＝AF，
AE＝AE，
EH＝EF，
∴△AEH≌△AEF.
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝ ∠HAF＝45°.
图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.
应
4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
方法4
倍长中线法
延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD.
又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB.
∴AC＝EB.
∵AB＋BE>AE，
∴AB＋AC>2AD.
(1)证明：
∵AB－BE∴AB－AC<2AD∵AB＝5，AC＝3，
∴2<2AD<8.
∴1(2)解：
本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决．
应
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD
＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中
线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．
方法5
截长(补短)法
EF＝BE＋FD.
解：
如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ADG＝90°.
在△ABE与△ADG中，
证明：
AB＝AD，
∠B＝∠ADG＝90°，
BE＝DG，
∴△ABE≌△ADG.
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠BAE＋∠FAD＝60°，
∴∠DAG＋∠FAD＝60°，
即∠GAF＝60°，
∴∠EAF＝∠GAF＝60°.
在△EAF与△GAF中，
AE＝AG，
∠EAF＝∠GAF，
AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF.
∴EF＝GF＝FD＋DG.
∴EF＝FD＋BE.
证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．
全等模型补充（八大模型）
12个小模型全家福
001平行线+中点模型
其实中点策略（以后会有策略专题系列）中的，倍长中线就是构造本模型的全等
002一线三等角初步（垂直）——同异恻+相似
003十字架模型初步（垂等图—矩形相似—等直三角形）
004角含半角模型（必旋转）
0041原题是正方形中，其实角含半角可以更加一般的放在对角互补，有一对临边相等的四边形中，原理相同。
0042?还有一种含半角是在等直中，如图，一样是旋转得两对全等，得到的是三条线段的勾股关系
005对角互补模型对角互补的四边形还有一个模型，就是邻边相等，对角互补，角平分线模型，可以知二推一。辅助线为双垂线（利用了角平分线的性质，可以在角分线之后讲，本质就是全等也可以在之前讲）
006手拉手模型初步（后续有相似）
在这学会的是顶角相等的等腰旋转，出全等
特别的60度的顶角更特殊
90度的顶角
007婆罗摩羯多模型（特约嘉宾）
????跟婆罗摩羯度定理类似，注意连接方式（和手拉手刚好不一样）所以以此命名，一边是中点另一边就是垂直，反之亦然。还能得到，三角形面积相等，线段AD和BC的一半关系。（算是二级模型，可以由经典模型证得）
???方法不唯一，已知中点的时候可以倍长中线得全等，已知垂直可以用三垂直模型，还可以利用旋转做题
008脚拉脚模型（嘉宾2）
看图两个顶角互补的等腰， 把底部连接，区别于手拉手，叫他叫拉脚，要证明的是垂直。
????这也算是个二级模型，可以用倍长中线发，加逆用手拉手模型（全等拉出一对（相似）等腰），证明。
角平分线四大基本模型
角平分线在初中几何中常见，现总结以下四种基本类型
已知P是∠MON平分线上一点
【模型1】
若PA⊥OM于点A，可过P作PB⊥ON于点B，则PB=PA
口诀：“图中有角平分线，可向两边作垂线”

【模型2】
若点A是射线OM上任意一点，可在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA 口诀：“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
【模型3】
若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造等腰△AOB，OP是底边AB垂线，进而利用三线合一 口诀：“角平分线加垂线，三线合一试试看”
【模型4】
若过点P作PQ//ON交OM于点Q，从而构造等腰△POQ 口诀：“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
例题1 ??
（1）在三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是_________厘米
（2）已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC
【提示】“图中有角平分线，可向两边作垂线”
例题2
（1）在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由
（2）AD是△ABC的内角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由
【提示】“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
例题3
（1）已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE
（2）在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE
【提示】“角平分线加垂线，三线合一试试看”
例题4
（1）在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为________
（2）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE//AB，FD//AC，如果BC=6，求△DEF的周长
“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
【综合练习题】
中考数学中的基本模型——中点模型
线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用
(一)
模型一：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.
当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：
此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.
模型二
如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.
我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”
模型三
如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
模型四：连接直角顶点，构造斜中定理
模型运用
例1、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.
分析：本题的证明方法有很多，比如利用“双平等腰”模型等（前文已对这种做法做过讲解，不再赘述.链接：课本例题引出的基本图形——双平等腰模型），这里主要讲一下平行线间夹中点的做法.根据平行四边形的性质可知，AB//CD，又点E是BC中点，构成了平行线间夹中点.当题中出现这些条件时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就一定会得到全等三角形，进而得到我们需要的结果.
证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，即AB//DF
∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE
又∵点E是BC中点 ∴BE=CE
∴△ABE≌△FCE
∴CF=AB=CD，AE=FE
∴DF=2CD, 又∵AD=2CD
∴AD=DF,又因为点E是AF的中点
∴DE⊥AF
即∠AED=90°.
反思：对于本题，还可以延长AE至点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到结论.对于第二种方法，同学们可以自己尝试.
例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG． （1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．
分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满足平行线间夹中点，所以可将DG延长与BF相交.
证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.
如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.
∵四边形CDEF是正方形，∴DE//CF
即DE//BC
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF
又∵点G是BF的中点 ∴GB=GF
∴△GBH≌△GDF(AAS) ∴GD=GH，BH=DF
∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC
∴△ABH≌△ACD
∴AH=AD，∠BAH=∠CAD
∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°
∴△DAH是等腰直角三角形，又∵点G是DH的中点
∴AG=DG且AG⊥DG.
反思：若将正方形绕点C旋转任意角度，在旋转的过程中，上述结论还成立吗？试试看
(2)AG⊥DG，AG=√3DG
如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.
∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF
即DE//BC
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF
又∵点G是BF的中点 ∴GB=GF
∴△GBH≌△GDF(AAS)
∴GD=GH，BH=DF
∵DE=DC，∴BH=CD
因为△ABC是等边三角形
∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC
∴△ABH≌△ACD
∴AH=AD，∠BAH=∠CAD
∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°
∴△DAH是等边三角形，又∵点G是DH的中点
∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°
∴AG=√3DG
（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是菱形， ∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BE的中点，∴BG=EG，
∴△BGH≌△EGD（AAS）， ∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，
∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，
∴∠ABC=∠ACD，
∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴∠BAC=∠HAD=α；
∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，
∴tan∠DAG=tan(α/2)，
∴DG=AGtan（α/2）．
反思：在本题的证明中，我们结合题目中给出的平行线间夹中点这一条件，将DG进行延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采用倍长中线法进行证明.下面用倍长中线法对第一种情况加以证明. 证明：如图，延长AG至点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.
在△ABG和△HEG中
BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG∴△ABG≌△HEG
∴AB=HE，∠ABG=∠HEG ∵AB=AC∴AC=HE
∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC
∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°
又∠ACD=180°-45°-90°=45° ∴∠ACD=∠HED
在△ACD和△HED中
AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE
∴△ACD≌△HED DA=DH，∠ADC=∠HDE
∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC
即∠ADH=∠CDE=90°
所以△ADH是等腰直角三角形
又因为点G是AH的中点
所以DG=AG，DG⊥AG.
上面我们用倍长中线证明了第一种情况，请你对第二三问加以证明.
反思：在本题的证明过程中，容易犯的一个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.而这一结论是需要证明的.

小试身手
如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.
（3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.
前两问较简单，请同学们自行完成，这里只给出第三问的几种解法，仅供大家参考. 解法一：如图，延长EG至点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.
因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHD EF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.
分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：
因为EB⊥EF，而EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.
又∠BMK=∠CMD.根据三角形的内角和，可得∠KBM=∠MDC.
所以∠EBC=∠HDC.又EB=HD，BC=DC
所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.
所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直角三角形，
又因为点G是斜边EB的中点，所以CG⊥GE且CG=GE.
解法二：如图，延长CG至点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.
以下过程可参照解法一自行完成
解法三：延长FE至点P使得EP=EF，连接BP；延长DC至点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。FQ分别与DP，DB交于点N，M.如下图：
易知，△PBE和△DBQ都是等腰直角三角形.
根据SAS可证△PBD≌△FBQ.所以PD=FQ，∠PDB=∠FQB
又因为∠NMD=∠BMQ，所以∠DMN=∠MBQ=90°.
即PD⊥QF.
又因为点G和点C分别是DF和DQ的中点，即GC是△DFQ的中位线
所以GC=1/2FQ且GC//FQ.
同理EG=1/2DP且EG//DP
因为FQ=DP且FQ⊥DP
所以GC=EG且GC⊥EG.
例4、如图，∠MON大小确定，点A、B、C分别在∠MON的边上，A，B是动点，点C是定点，且OA=BC.取OC的中点D，AB的中点E.求证：在AB运动的过程中，∠EDB的大小不变.
解法一：如图，连接AC，作AC的中点F，连接DF,EF.
DF是△AOC的中位线，所以DF//OA且DF=1/2OA
EF是△ABC的中位线，所以EF//BC且EF=1/2BC
因为OA=BC，所以DF=EF.
根据等边对等角可得，∠FDE=∠FED
由EF//BC得，∠FED=∠EDB，所以∠FDE=∠EDB
即∠EDB=1/2∠FDB
由FD//OA得，∠MON=∠FDB
所以∠EDB=1/2∠MON.
即∠EDB的大小不变.
解法二分析：根据题中的中点，可通过倍长中线.进而构造中位线.
解法二：如图，连接AD并延长AD至点G，使DG=AD，连接CG，BG.
因为点D是OC中点，根据SAS易证△AOD≌△GCD.
所以∠AOD=∠GCD且OA=CG.
因为OA=BC，所以CG=CB.
所以∠CBG=∠CGB=1/2∠GCD.
又因为点E是AB的中点，所以DE是△ABG的中位线
所以DE//BG，所以∠EDB=∠CBG=1/2∠GCD
又因为∠AOD=∠GCD
所以∠EDB=1/2∠AOD=1/2∠MON.
解法三：如图，连接CE并延长CE至点H，使得EH=CE.
具体做法请同学们自行完成.
反思：本专题我们主要探究了当题中出现中点的时候，通过倍长中线或构造中位线，将分散的条件集中起来，使问题得以解决.当然在运用的过程中，还需大家认真体会，不断总结.
中考数学中的基本模型——中点模型
(二)
想不到的斜边中线
看不见的—中位线

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