资源简介

编写说明
本书根据新课程标准?严格遵循新课改理念?以生为本?以学生为主体?教师为主导的教学风
格进行编写? 并仔细审视近几年全国各地中考试题命题方向及重点中学各年级的学段测试题?把
这些优秀的数学题目以及所承载的重要数学思维巧妙的揉进了本书的各个环节? 以“求新、务实”
的态度打造出“课堂互动、课后反馈、分段检测”三位一体的精品教辅书———?巅峰对决?数学?
本书分七版块?具有鲜明的特色与实用的操作程序?现介绍如下:
【目标认识】
通过目标设计?让学生了解本课时需要掌握的主要内容?把握住难点?明了从这节课能获得什
么样的数学思想?
【自主预习 感受新知】
通过预习?学生对本节课要学些什么有了大致的了解?对新知的产生?发展?运用有了一定的
认知? 为课内的深入学习打下良好的基础?使我们的课堂效率得到极大的提升? 如果能在上课之
前完成预习效果就更好了?
【互助学习 探究新知】
本版块内容是一节课的核心?通过设计的几个探究?把本课承载的知识、考点、规律等收纳进
来?选择了极具代表性的题目? 并在适当的时候给予了归纳总结?让学生从解过的题目中获得一
种数学思想方法?数学经验?从而获得数学的灵魂?
【独立思考 运用新知】
通过对例题?也就是知识点、考点的梳理与归纳?相信学生们已掌握了部分解题方法?该他们
大展身手的时候了?这时候设计了“２＋２”的四个题目?这几个题目以全基础题目为载体?检验学生
学习新知的程度?
【老师点拨 学法指津】
本版块是老师给学生的温馨提示与精炼总结?将本课的精华及易错、易混等知识点作一个“再
回首”?
【课后作业】
本版块的题目是精心挑选的?集中体现了近几年中考命题方向?涵盖了三年中考?两年模拟?
对经典题也作了很好的传承?其中不乏原创好题?有很强的知识覆盖性与思维性!
【单元检测】
对于每一周或每一节知识点进行的及时反馈?让学生可以达到更细致的训练与矫正?
【章末检测】
对于每章的知识?它自有一个完整的架构?同学们通过章末检测系统了解对本章的知识掌握
的程度?便于在复习中有针对性的弥补?
本书在各个环节版块中均注意到题目的基础性、普及性、发展性?精心遴选具有针对性、有效
性、创新性、层次性、精确性的优秀题目?
尊敬的老师们?亲爱的同学们?祝愿?巅峰对决?数学引领你们登上巅峰?临绝顶而一览众山
小!
２０１８ 年 １１ 月
目　 　 录
第 ５ 章　 相交线与平行线 (１)????????????????????????????????????????
　 第 １ 课　 相交线(一)———相交线 (１)????????????????????????
　 第 ２ 课　 相交线(二)———垂线 (３)????????????????????????????
　 第 ３ 课　 相交线(三)———同位角、内错角、同旁内角
(７)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ４ 课　 平行线及其判定(一)———平行线 (９)????????????
　 第 ５ 课　 平行线及其判定(二)———平行线的判定
(１１)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ６ 课　 平行线的性质(一)———平行线的性质 (１４)????
　 第 ７ 课　 平行线的性质(二)———命题、定理、证明
(１７)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ８ 课　 平移 (２０)????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ９ 课　 ?相交线与平行线?复习 (２３)????????????????????????
第 ６ 章　 实数 (２６)????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 １ 课　 平方根(一) (２６)????????????????????????????????????????????
　 第 ２ 课　 平方根(二) (２８)????????????????????????????????????????????
　 第 ３ 课　 平方根(三) (３０)????????????????????????????????????????????
　 第 ４ 课　 立方根(一) (３３)????????????????????????????????????????????
　 第 ５ 课　 立方根(二) (３５)????????????????????????????????????????????
　 第 ６ 课　 实数(一) (３７)????????????????????????????????????????????????
　 第 ７ 课　 实数(二) (４０)????????????????????????????????????????????????
　 第 ８ 课　 ?实数?复习 (４２)????????????????????????????????????????????
第 ７ 章　 平面直角坐标系 (４５)????????????????????????????????????????
　 第 １ 课　 平面直角坐标系(一)———有序数对 (４５)????????
　 第 ２ 课　 平面直角坐标系(二)———平面直角坐标系
(４７)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ３ 课　 坐标方法的简单应用(一)
———用坐标表示地理位置 (５１)????????????????????????????
　 第 ４ 课　 坐标方法的简单应用(二)———用坐标表示平移
(５４)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ５ 课　 ?平面直角坐标系?复习 (５７)????????????????????????
第 ８ 章　 二元一次方程组 (６２)????????????????????????????????????????
　 第 １ 课　 二元一次方程组 (６２)????????????????????????????????????
　 第 ２ 课　 消元———解二元一次方程组(一)
———代入消元法 (６４)????????????????????????????????????????
　 第 ３ 课　 消元———解二元一次方程组(二)
———加减消元法 (６７)????????????????????????????????????????
　 第 ４ 课　 消元———解二元一次方程组(三) (７１)????????
　 第 ５ 课　 实际问题与二元一次方程组(一) (７４)????????
　 第 ６ 课　 实际问题与二元一次方程组(二) (７７)????????
　 第 ７ 课　 实际问题与二元一次方程组(三) (８０)????????
　 第 ８ 课　 三元一次方程组的解法 (８３)????????????????????????
　 第 ９ 课　 ?二元一次方程组?复习 (８６)????????????????????????
第 ９ 章　 不等式与不等式组 (９０)????????????????????????????????????
　 第 １ 课　 不等式(一)———不等式及其解集 (９０)????????????
　 第 ２ 课　 不等式(二)———不等式的性质 (９２)????????????????
　 第 ３ 课　 一元一次不等式(一) (９４)????????????????????????????
　 第 ４ 课　 一元一次不等式(二) (９７)????????????????????????????
　 第 ５ 课　 一元一次不等式(三) (１００)????????????????????????
　 第 ６ 课　 一元一次不等式组(一) (１０３)????????????????????
　 第 ７ 课　 一元一次不等式组(二)(选讲) (１０７)????????
　 第 ８ 课　 ?不等式与不等式组?复习 (１１０)????????????????
第 １０ 章　 数据的收集、整理与描述 (１１４)????????????????????
　 第 １ 课　 统计调查(一) (１１４)????????????????????????????????????
　 第 ２ 课　 统计调查(二) (１１７)????????????????????????????????????
　 第 ３ 课　 直方图 (１２１)????????????????????????????????????????????????
　 第 ４ 课　 课题学习 从数据谈节水 (１２５)????????????????????
　 第 ５ 课　 ?数据的收集、整理与描述?复习 (１２９)????????
附:
　 单元检测题(８ 套)
　 章末检测题(６ 套)
　 期末检测题(２ 套)
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
第 ５ 章　 相交线与平行线
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
第 １ 课　 相交线(一)———相交线
知识目标
了解两条直线相交所构成的角?理解并掌
握对顶角、邻补角的概念和性质.理解对
顶角性质的推导过程?并会用这个性质进
行简单的计算.
重、难点 邻补角对顶角的概念性质与运用.
思维目标 简单推理中的逻辑思维.
１.邻补角定义:两个角有　 公共顶点　 与一条　 公共边　 ?
且它们的另一边互为　 反向延长线　 ?具有这种关系的
两个角?互为邻补角.
２.邻补角性质:邻补角　 互补　 .
３.对顶角定义:两个角有 　 公共顶点　 ?且一个角的两边
分别是另一个角两边的 　 反向延长线　 ?具有这种位置
关系的两个角?互为对顶角.
４.对顶角的性质:对顶角　 相等　 .
注意:
　 ①两条直线相交所构成的四个角中?邻补角有 ４ 对?
对顶角有 ２ 对?
　 ②对顶角形成的前提条件是两条直线相交
??????
.
对顶角与邻补角的概念
【例 １】选择题:
　 (１)下面各图中∠１ 和∠２ 是对顶角的是 (　 　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
　 (２)下列说法正确的是 (　 　 )
　 Ａ.邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分
成的两个角?
　 Ｂ.邻补角是互补的两个角?互补的两个角是邻补角?
　 Ｃ.如果两个角有公共顶点和一条公共边?而且这两角
互为补角?那么它们互为邻补角?
　 Ｄ.如果两个角有一个公共顶点?则这两个角是对顶角.
　 分析:对照对顶角及邻补角的定义即得?要注意互补
的两角不一定是邻补角?对顶角与邻补角不仅有数量上
的关系?还有特别的位置关系?要仔细区分!
　 解:(１)Ｂ?(２)Ａ.
注意:
　 ①两条直线相交所构成的四个角中?邻补角有 ４ 对.对
顶角有 ２ 对.
　 ②对顶角形成的前提条件是两条直线相交
??????
.
邻补角、对顶角的性质运用
【例 ２】如图所示?直线 ＡＢ、ＣＤ 相交于
点 Ｏ?ＯＥ 平分∠ＡＯＤ?∠ＡＯＣ ＝ １２０°?
求∠ＢＯＤ?∠ＡＯＥ 的 度数.
　 分析:利用对顶角相等可得∠ＢＯＤ
＝∠ＡＯＣ?利用邻补角互补可得∠ＡＯＣ
＋∠ＡＯＤ＝ １８０°?然后再由 ＯＥ 平分∠ＡＯＤ?得出∠ＡＯＥ ＝
∠ＤＯＥ?从而可以求出∠ＡＯＥ 的度数.
　 解:∵∠ＡＯＣ＝１２０°?
∴∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝１２０°?
∴∠ＡＯＤ＝１８０°－∠ＡＯＣ＝６０°?
又∵ＯＥ 平分∠ＡＯＤ?
∴∠ＡＯＥ＝ １
２
∠ＡＯＤ?
∴∠ＡＯＥ＝３０°.
思考:
　 直线 ＡＢ、ＣＤ 相交于点 Ｏ?ＯＥ 平分∠ＡＯＤ?∠ＢＯＤ －
∠ＢＯＣ＝ ５０°?求∠ＥＯＣ 的度数.
　 解:∠ＥＯＣ＝１４７.５°.
归纳:
几何的解答题要注意推理严密?注意图形已知(如对顶
角?邻补角等)与文字告知的准确运用.
１.如图?在所标识的角中?互为对顶角的两个角是
(　 Ａ　 )
Ａ.∠２ 和∠３ Ｂ.∠１ 和∠３
Ｃ.∠１ 和∠４ Ｄ.∠１ 和∠２
２.如图?直线 ＣＤ、ＥＦ 相交于点 Ｏ?则∠１＋∠２＋∠３ 的度
数是 (　 Ｂ　 )
Ａ.１５０° Ｂ.１８０° Ｃ.２１０° Ｄ.１２０°
第 １ 题
　 　 　 　
第 ２ 题
３.图中是对顶角量角器?用它测量角的原理是　 对顶角相
—１—
　 七年级(下)册
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????????巅峰对决????数学
等　 .
４.如图?已知直线 ＡＢ 与 ＣＤ 交于点 Ｏ?ＯＮ 平分∠ＤＯＢ?
若∠ＢＯＣ＝ １１０°?则∠ＡＯＮ 的度数为　 １４５　 度.
第 ３ 题
　 　 　 　
第 ４ 题
１.对顶角和邻补角都是指两个角之间的关系?既有位置
关系?也有数量关系?
２.对顶角相等?但相等的角却不一定是对顶角?邻补角互
补?但互补的两角却不一定是邻补角.
Ａ 组　 夯实基础
一.选择题:
１.(１７????贺州)下列各图中?∠１ 与∠２ 互为邻补角的是
(　 Ｄ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.下列语句正确的是 (　 Ａ　 )
Ａ.对顶角相等
Ｂ.相邻的两个角是邻补角
Ｃ.相等的角是对顶角
Ｄ.互补的两个角就是邻补角
３.如图?已知直线 ＡＢ、ＣＤ 相交于点 Ｏ?ＯＡ 平分∠ＥＯＣ?
∠ＥＯＣ＝ １１０°?则∠ＢＯＤ 的度数是 (　 Ｄ　 )
Ａ.２５° Ｂ.３５° Ｃ.４５° Ｄ.５５°
４.(１８????邵阳)如图所示?直线 ＡＢ?ＣＤ 相交于点 Ｏ?已知
∠ＡＯＤ＝ １６０°?则∠ＢＯＣ 的大小为 (　 Ｄ　 )
Ａ.２０° Ｂ.６０° Ｃ.７０° Ｄ.１６０°
第 ３ 题
　 　 　 　
第 ４ 题
二.填空题
５.如图?当剪子口∠ＡＯＢ 增大 １５°时?∠ＣＯＤ 增大　 １５° 　 .
其根据是:　 对顶角相等　 .
６.如图?直线 ＡＢ、ＣＤ 相交于点 Ｏ 已知∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ ＝
７０°?则∠ＢＯＣ＝ 　 １４５°　 .
７.如图?直线 ａ?ｂ?ｃ 两两相交?已知∠１＝ ４０°?∠２＝
４
１１
∠４?
则∠３＝　 １５０°　 .
第 ５ 题 第 ６ 题 第 ７ 题
三.解答题
８.如图?直线 ＡＢ、ＣＤ 相交于点 Ｏ?∠ＥＯＣ ＝ ８０°?ＯＡ 平分
∠ＥＯＣ.求:∠ＢＯＤ 的度数.
解:∵∠ＥＯＣ＝８０°?ＯＡ 平分∠ＥＯＣ?
∴∠ＡＯＣ＝ １
２
∠ＥＯＣ ＝ ４０°?
∴∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝４０°
９.如图?直线 ＡＢ、 ＣＤ、 ＥＦ 相交于点 Ｏ?∠ＡＯＥ ＝ ３０°?
∠ＢＯＣ＝ ２∠ＡＯＣ?求∠ＤＯＦ 的度数.
解:∵∠ＢＯＣ＝２∠ＡＯＣ?
∠ＢＯＣ＋∠ＡＯＣ＝１８０°?
∴∠ＡＯＣ＝ １
３
×１８０° ＝６０°?
∴∠ＡＯＥ＝３０°?
∴∠ＥＯＣ＝６０°－３０° ＝３０°?
∴∠ＤＯＦ＝∠ＥＯＣ＝３０°
１０.如图?直线 ＡＢ、ＣＤ 相交于 Ｏ?已知∠ＡＯＣ ＝ ７５°?ＯＥ 把
∠Ｂ ＯＤ 分成两部分?且 ∠ＢＯＥ ∶ ∠ＥＯＤ ＝ ２ ∶ ３?
求∠ＡＯＥ.
解:∵∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝７５°?
∠ＢＯＥ ∶ ∠ＥＯＤ＝２ ∶ ３?
∴∠ＢＯＥ＝ ２
５
×７５° ＝３０°?
∴∠ＡＯＥ＝１８０°－∠ＢＯＥ＝１５０°
—２—
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
Ｂ 组　 提高巩固
１１.如图?直线 ＡＢ?ＣＤ 交于点 Ｏ?射线 ＯＭ 平分∠ＡＯＣ?若
∠ＢＯＤ＝ ７６°?则∠ＢＯＭ 等于 (　 Ｃ　 )
Ａ.３８° Ｂ.１０４° Ｃ.１４２° Ｄ.１４４°
(提示:∵ ∠ＢＯＤ ＝ ７６°?∴ ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＢＯＤ ＝ ７６°?∵ 射线 ＯＭ 平分
∠ＡＯＣ?∴ ∠ＡＯＭ ＝ １
２
∠ＡＯＣ ＝ １
２
× ７６° ＝ ３８°?∴ ∠ＢＯＭ ＝ １８０° －
∠ＡＯＭ＝１８０°－３８° ＝１４２°.故选:Ｃ.)
１２.如图?点 Ａ、Ｏ、Ｅ 在一条直线上?∠ＡＯＢ＝ ９０°?∠ＣＯＤ＝
９０°?则图中互补的角有　 ７　 对.
(提示:由已知可得∠ＣＯＤ?∠ＡＯＢ?∠ＢＯＥ 均为 ９０°?两两互补得 ３
对?又∠ＡＯＣ 与∠ＥＯＣ?∠ＢＯＤ 与∠ＥＯＣ?∠ＤＯＥ 与∠ＡＯＤ?∠ＢＯＣ
与∠ＡＯＤ 均互补?故一共有 ７ 对?故填 ７.)
第 １１ 题
　 　 　 　
第 １２ 题
１３.如图?ＡＢ 与 ＣＤ 交于点 Ｏ?ＯＭ 为射线.
(１)写出∠ＢＯＤ 的对顶角.
(２)写出∠ＢＯＤ 与∠ＣＯＭ 的邻补角.
(３) 已知∠ＡＯＣ ＝ ７０°?∠ＢＯＭ ＝ ８０°?求∠ＤＯＭ 和
∠ＡＯＭ 的度数.
解:(１)∠ＢＯＤ 的对顶角为∠ＡＯＣ?
(２)∠ＢＯＤ 的邻补角为∠ＢＯＣ 和∠ＤＯＡ?
∠ＣＯＭ 的邻补角为∠ＭＯＤ.
(３)∵∠ＡＯＣ＝７０°?∠ＢＯＭ＝８０°?
∴∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝７０°?
∠ＣＯＭ ＝１８０° －∠ＡＯＣ
＝７０° －∠ＢＯＭ＝３０°?
∴∠ＤＯＭ ＝∠ＤＯＢ＋∠ＢＯＭ
＝７０° ＋８０°
＝１５０°?
∠ＡＯＭ ＝∠ＡＯＣ＋∠ＣＯＭ
＝７０° ＋３０°
＝１００°.
第 ２ 课　 相交线(二)———垂线
知识目标
理解垂线、垂线段的概念?会用三角尺或
量角器过一点画已知直线的垂线.掌握点
到直线的距离的概念?并会度量点到直线
的距离.掌握垂线的性质?并会利用所学
知识进行简单的推理.
重、难点 垂线的定义及性质.
思维目标 数形结合思想.
１.垂线的定义:两条直线相交所成的四个
角中?有一个角是　 直角　 时?这两条直
线就互相垂直?记为 ａ⊥ｂ.其中一条直线
叫做另一条直线的 　 垂线 　 ?它们的交
点叫做　 垂足　 .
　 符号表示:
　 ①如果直线 ＡＢ、ＣＤ 互相垂直?记作 ＡＢ
⊥ＣＤ?垂足为 Ｏ?
　 ②由两条直线垂直?可知四个角为直角.
　 几何语言:
　 ∵ ＡＢ⊥ＣＤ(已知)?
　 ∴ ∠ＡＯＤ＝ ９０°(垂直定义)
　 ③由两条直线交角为直角?可知两条直线互相垂直.
　 几何语言:
　 ∵ ∠ＡＯＤ＝ ９０°(已知)
　 ∴ ＡＢ⊥ＣＤ(垂直定义)
注意:
　 ①垂直是相交的一种特殊情况?
　 ②垂直是一种相互关系?即 ａ⊥ｂ?同时 ｂ⊥ａ?
　 ③当提到线段与线段?线段与射线?射线与射线?射线
与直线的垂直情况时?是指它们所在的直线互相垂直.
２.垂线的性质:
　 ①经过一点(已知直线上或直线外)?能画出已知直线
的一条垂线?并且只能画出一条垂线.即:
　 过一点　 有且只有　 一条直线与已知直线垂直.
　 ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中?　 垂
线段　 最短.简单说成:　 垂线段最短　 .
３.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的
　 长度　 ?叫做点到直线的距离
???????
.
垂线的画法
【例 １】按要求作图:
—３—
　 七年级(下)册
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????????巅峰对决????数学
　 (１)用三角尺或量角器画已知直线 ｌ 的垂线?这样的
垂线能画出几条?
　 (２)经过直线 ｌ 上一点 Ａ 画 ｌ 的垂线?这样的垂线能画
出几条?
　 (３)经过直线 ｌ 外一点 Ｂ 画 ｌ 的垂线?这样的垂线能画
出几条?
　 分析:画垂线的方法是:用三角板的一条直角边的已
知直线重合?沿重合的直线平移三角板?使三角板的另
一条直角边和 Ａ 点(或 Ｂ 点)重合?过 Ａ 点(或 Ｂ 点)沿
直角边向已知直线画直线即可?在两线相交处标出垂足
(直角符号)?据此即可解答.
　 解:(１)能画出无数条?(２)１ 条?(３)１ 条.
归纳:
　 画垂线的方法是:
　 用直角三角板画过点 Ａ 作线段 ＢＣ 的垂线?可简单地
说成:“一落”、“二过”、“三画”、“四标” .(如下图)
　 ① “一落”:如图 ２?将三角板一条直角边紧贴已知直
线上?另一条直角边落在点 Ａ 的同一侧?不盖住点.
　 ② “二过”: 如图 ３?使三角板的另一直角边经过已知
点 Ａ?用铅笔尖点住 Ａ 点.
　 ③ “三画”: 如图 ４?沿已知点所在直角边画直线.
　 ④“四标”:如图 ４?标出直角标号“┓” .到此?垂线 ＡＤ
便作出了.
思考:
　 你能通过折纸找到过 Ａ 点或过 Ｂ 点垂直于 ｌ 的垂
线吗?
　 解:先沿已知直线 ｌ 折一下?再在已知点处对折即可?第二次的折痕
即为过点 Ａ 或点 Ｂ 垂直于 ｌ 的垂线.
试一试:
　 如图?请你过点 Ｐ 画出射线 ＡＢ 或线段 ＡＢ 的垂线.
　 解:略.
注意:
　 ①画一条线段或射线的垂线?就是画它们所在直线的
垂线?
　 ②在垂足处要标上直角“┐”符号.
垂线段的性质
【例 ２】如图在 Ｃ 村要挖一条水渠与
河相通?灌溉水田?最省力的路线是
怎样的? 并说明这样挖的原因.
　 分析:因为直线外一点与这条直
线所有点的连线中?垂线段最短?所以?只要作出从张村
到小河的垂线段即可.
　 解:作出从张村到小河的垂线段?如图:
因为直线外一点与这条直线所有点的连
线中?垂线段最短.
画一画:
　 (１)在图中分别画出点 Ａ、点 Ｂ 到直线 ＣＤ 的垂线段
ＡＥ?ＢＦ.
　 　 　 　 　
　 (２)作出下面各三角形的高线(注:高线是垂线段)
　 解:画图略.
利用垂直定义进行角度计算
【例 ３】如图?已知直线 ＡＢ?ＣＤ 相交于点 Ｏ?ＯＥ⊥ＡＢ?ＯＦ
平分∠ＡＯＤ?∠ＣＯＥ＝ ６０°.
　 求:∠ＡＯＦ 和∠ＤＯＥ 的度数.
　 分析:由 ＯＥ⊥ＡＯ 知∠ＡＯＥ＝ ９０°?则易得
∠ＡＯＣ 度数?从而知道∠ＡＯＤ 的度数?由
ＯＦ 平分∠ＡＯＤ 不难解得.
　 解:∵ＯＥ⊥ＡＢ?
∴∠ＡＯＥ＝∠ＢＯＥ＝９０°?
∵∠ＣＯＥ＝６０°?∴∠ＡＯＣ＝３０°?
∴∠ＡＯＤ＝１５０°?∠ＢＯＤ＝３０°?
∴∠ＤＯＥ＝∠ＢＯＥ ＋∠ＢＯＤ＝１２０°?
又∵ＯＦ 平分∠ＡＯＤ?
∴∠ＡＯＦ＝１５０°÷２＝７５°.
归纳:
　 在角度计算中?要注意角平分线的作用及垂直产生
９０°的作用.
１.若 Ｐ?Ｑ 分别是∠ＡＯＢ 的边 ＯＡ?ＯＢ 上的点?分别画出
点 Ｐ 到 ＯＢ 的垂线段 ＰＭ?点 Ｑ 到 ＯＡ 的垂线段 ＱＮ?正
确的图形是图中的 (　 Ｄ　 )
—４—
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.(１６????常州)如图?已知三角形 ＡＢＣ 中?ＢＣ ＝ ６?ＡＣ ＝ ３?
ＣＰ⊥ＡＢ?垂足为 Ｐ?则 ＣＰ 的长可能是 (　 Ａ　 )
Ａ.２ Ｂ.４ Ｃ.５ Ｄ.７
３.已知?如图?∠ＡＣＢ ＝ ９０°?即是 ＡＣ 　 ⊥ 　 ＢＣ?若 ＢＣ ＝
８ｃｍ?ＡＣ ＝ ６ｃｍ?ＡＢ ＝ １０ ｃｍ?则点 Ｂ 到 ＡＣ 的距离是　
８ｃｍ　 ?点 Ａ 到 ＢＣ 的距离是　 ６ ｃｍ　 ?点 Ｃ 到 ＡＢ 的距
离是　 ４.８ ｃｍ　 .
４.如图?若把水渠中的水引到水池 Ｃ?挖一条沟 ＣＤ 垂直
于渠岸 ＡＢ?垂足为 Ｄ?这时沟 ＣＤ 最短?这种做法的根
据是　 垂线段最短　 .
第 ２ 题 第 ３ 题 第 ４ 题
１.垂直是两条直线相交的特例?通过垂直可以得到特殊
的角?
２.画已知直线的垂线可以画出无数条?但过一点画已知
直线的垂线有且只有一条?垂足可能在所给图形的延
长线上?过直线外一点的斜线段有无数条?
３.注意“点到直线的距离”与“垂线段”的区别与联系?点
到直线的距离是指垂线段的长度?是一个数量?而垂线
段是指一条线段?是一个图形.若要求点到直线的距
离?则需先作出垂线段?再计算其长度.
Ａ 组　 夯实基础
一.选择题:
１.已知直线 ＡＢ?ＣＢ?ｌ 在同一平面内?若 ＡＢ⊥ｌ?垂足为 Ｂ?
ＣＢ⊥ｌ?垂足也为 Ｂ?则符合题意的图形可以是
(　 Ｃ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.如图?直线 ＡＢ?ＣＤ 相交于点 Ｏ?射线 ＯＭ 平分∠ＡＯＣ?
ＯＮ⊥ＯＭ?若∠ＡＯＭ＝ ３５°?则∠ＣＯＮ 的度数为(　 Ｃ　 )
Ａ.３５° Ｂ.４５° Ｃ.５５° Ｄ.６５°
３.(１７????北京)如图所示?点 Ｐ 到直线 ｌ 的距离是
(　 Ｂ　 )
Ａ.线段 ＰＡ 的长度 Ｂ.线段 ＰＢ 的长度
Ｃ.线段 ＰＣ 的长度 Ｄ.线段 ＰＤ 的长度
第 ２ 题
　 　 　 　
第 ３ 题
４.Ｐ 为直线 ｌ 外一点?Ａ、Ｂ、Ｃ 为直线 ｌ 上三点?ＰＡ ＝ ５ｃｍ?
ＰＢ＝３ｃｍ?ＰＣ＝４ｃｍ?则点 Ｐ 到直线 ｌ 的距离为 (　 Ｄ　 )
Ａ.４ｃｍ Ｂ.３ｃｍ
Ｃ.小于 ３ｃｍ Ｄ.不大于 ３ｃｍ
二.填空题
５.如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印?他的
跳远成绩是线段　 ＰＡ　 的长度.
６.(１８????河南)如图?直线 ＡＢ?ＣＤ 相交于点 Ｏ?ＥＯ⊥ＡＢ 于
点 Ｏ?∠ＥＯＤ＝ ５０°?则∠ＢＯＣ 的度数为　 １４０°　 .
７.如图?ＡＯ⊥ＢＯ?ＣＯ⊥ＤＯ?∠ＡＯＣ ∶ ∠ＢＯＣ ＝ １ ∶ ５?则
∠ＢＯＤ＝ 　 １５７.５°　 .
第 ５ 题 第 ６ 题 第 ７ 题
三.解答题
８.按下列要求作图:
　 (１)在下列各图中?分别过点 Ｐ 作直线 ＡＢ 的垂线.
　 (２)如图?有两条高速公路 ｌ、ｍ?点 Ｐ 为公路 ｌ 上的一
个出口?现要经过点 Ｐ 建一连接两公路的一段通道?欲
使通道长最短?应沿怎样的线路施工?
　 解:略.
—５—
　 七年级(下)册
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????????巅峰对决????数学
９.如图?点 Ｏ 为直线 ＡＢ 上一点?且∠ＡＯＤ ∶ ∠ＤＯＢ ＝
３ ∶ １?ＯＤ 平分∠ＣＯＢ.
(１)求∠ＡＯＣ 的度数?
(２)判断 ＡＢ 与 ＯＣ 的位置关系.
解:(１)设∠ＤＯＢ 的度数为 ｘ°?
则∠ＡＯＤ 的度数为 ３ｘ°.
∵∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＢ＝１８０°?
∴３ｘ＋ｘ＝１８０°.
解得 ｘ＝４５°.∴∠ＡＯＤ＝１３５°?∠ＤＯＢ＝４５°?
又∵ＯＤ 平分∠ＣＯＢ?
∴∠ＣＯＤ＝∠ＤＯＢ＝４５°?
∴∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ－∠ＣＯＤ＝１３５°－４５° ＝９０°.
(２)ＡＢ 与 ＯＣ 垂直.
１０.如图?ＯＡ⊥ＯＢ?ＯＣ⊥ＯＤ?ＯＥ 是 ＯＤ 的反向延长线.
(１)证明:∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ?
(２)若∠ＢＯＤ＝ ３２°?求∠ＡＯＥ 的度数.
证明:(１)∵ＯＡ⊥ＯＢ?ＯＣ⊥ＯＤ?
∴∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝９０°?
∠ＢＯＤ＋∠ＢＯＣ＝９０°?
∴∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ
解:(２)∵∠ＢＯＤ＝３２°?∠ＡＯＢ＝９０°?
∴∠ＡＯＥ＝１８０°－９０°－３２° ＝５８°
Ｂ 组　 提高巩固
１１.如图?ＡＢ⊥ＡＣ?ＡＤ⊥ＢＣ?垂足分别为 Ａ?Ｄ?则图中能
表示点到直线距离的线段共有 (　 Ｄ　 )
Ａ.２ 条 Ｂ.３ 条 Ｃ.４ 条 Ｄ.５ 条
(提示:如图所示:线段 ＡＢ 的长度是点 Ｂ 到 ＡＣ 的距离?线段 ＣＡ 的长
度是点 Ｃ 到 ＡＢ 的距离?线段 ＡＤ 的长度是点 Ａ 到 ＢＣ 的距离?线段
ＢＤ 的长度是点 Ｂ 到 ＡＤ 的距离?线段 ＣＤ 的长度是点 Ｃ 到 ＡＤ 的距
离?故图中能表示点到直线距离的线段共有 ５ 条.故选 Ｄ.)
１２.如图所示?直线 ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ 相交于点 Ｏ?ＥＦ⊥ＡＢ?ＯＧ
为∠ＣＯＦ 的平分线?若∠ＣＯＧ ∶ ∠ＢＯＣ ＝ １ ∶ ７?则
∠ＤＯＦ 的度数是　 １４４°　 .
(提示:设∠ＣＯＧ＝ｘ?∵ＯＧ 平分∠ＣＯＦ?∴∠ＦＯＧ＝∠ＣＯＧ＝ｘ?又∵ＥＦ⊥
ＡＢ?∴∠ＢＯＦ＝９０°?∴∠ＢＯＣ＝９０°＋２ｘ?∵∠ＣＯＧ ∶ ∠ＢＯＣ＝１ ∶ ７?∴９０°＋
２ｘ＝７ｘ?∴ｘ＝１８°?∴∠ＤＯＦ＝１８０°－２×１８° ＝１４４°.故填 １４４°)
第 １１ 题
　 　 　 　
第 １２ 题
１３.操作与猜想:
(１)在下面 ３ 幅图中以 Ｐ 为顶点画∠Ｐ?使∠Ｐ 的两
边分别和∠１ 的两边垂直.
(２)量一量∠Ｐ 和∠１ 的度数?它们之间的数量关系
是　 　 　 　 .
(３)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的
两边分别和另一个角的两边垂直?那么这两个角　 　 　 .
结论与运用:
(４)∠Ａ 的两边分别垂直于∠Ｂ 的两边?∠Ａ 比∠Ｂ
大 ６０°?则∠Ａ 是(　 　 )
Ａ.１２０° Ｂ.３５° Ｃ.４０° Ｄ.３８°
(５)∠Ａ 的两边分别垂直于∠Ｂ 的两边?∠Ａ 的 ２ 倍
比∠Ｂ 大 ３０°?则∠Ａ＝ 　 　 　 　 .
解:(１)画图如下:
(２)∠Ｐ 与∠１ 相等或互补?
(３)相等或互补?
(４)Ａ?
(５)３０°或 ７０°.
—６—
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
第 ３ 课　 相交线(三)
———同位角、内错角、同旁内角
知识目标
了解同位角、内错角、同旁内角的概念.在
较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同
旁内角.
重、难点 同位角、内错角、同旁内角的概念与识别
思维目标 分析、抽象、归纳能力
１.如图?∠１ 和∠５ 分别在直线 ＡＢ、ＣＤ
的　 同一方 　 ?在直线 ＥＦ 的 　 同侧
　 ?具有这种位置关系的一对角叫
做同位角.右图中两条直线被第三
条直线所截构成的八个角中?共有
　 ４　 对同位角.
２.如图?∠３ 和∠５ 分别在直线 ＡＢ、ＣＤ 　 之间 　 ?在直线
ＥＦ 的　 两侧　 ?具有这种位置关系的一对角叫做内错
角.右图中两条直线被第三条直线所截构成的八个角
中?共有　 ２　 对内错角.
３.如图?∠３ 和∠６ 分别在直线 ＡＢ、ＣＤ 　 之间 　 ?在直线
ＥＦ 的　 同侧　 ?具有这种位置关系的一对角叫做同旁
内角.右图中两条直线被第三条直线所截构成的八个
角中?共有　 ２　 对同旁内角.
识别同位角、内错角与同旁内角
【例 １】如图?直线 ＤＥ、ＢＣ 被直线 ＡＢ
所截.
　 (１)∠１ 与∠２?∠１ 与∠３?∠１ 与
∠４ 各是什么关系的角?
　 (２)如果∠１＝∠４?那么∠１ 和∠２ 相等吗? ∠１ 和∠３
互补吗? 为什么?
　 分析:利用同位角、内错角与同旁内角定义即得.
　 解:(１)∠１ 和∠２ 是内错角?∠１ 和∠３ 是同旁内角?∠１ 和∠４ 是同
位角?
(２)∠１ 和∠２ 相等?∠１ 和∠３ 互补.理由如下:
∵∠１＝∠４?(已知)
∠２＝∠４(对顶角相等)
∴∠１＝∠２(等量代换)
∵∠３＋∠４＝ １８０°?(邻补角定义)
∴∠１＋∠３＝ １８０°.(等量代换)
归纳:
角的名称 基本图形 位置特征 图形结构特征
同位角 形如字母“Ｆ”
内错角 形如字母“Ｚ”
同旁内角 形如字母“Ｕ”
识别截线与被截线
【例 ２】根据右图?填空:
　 ①直线　 　 　 、　 　 　 被直线　 　
　 所截?得∠１ 与∠２ 是内错角?
　 ②直线　 　 　 、　 　 　 被直线　 　
　 所截?得∠１ 与∠Ｂ 是同位角?
　 ③直线　 　 　 、　 　 　 被直线　 　 　 所截?得∠３ 和∠Ｃ
是同旁内角.
　 分析:利用同位角、内错角、同旁内角的定义知它们的
共线边即为截线?非共线边即为被截线易得.
　 解:①ＡＢ?ＤＥ?ＥＦ?②ＥＦ?ＢＣ?ＡＢ?③ＤＥ?ＡＣ?ＤＣ.
归纳:
　 (１)同位角、内错角、同旁内角都有一边共线?这条线
是第三条直线 (截线) .即两角的共线边所在直线是
截线?
　 (２)同位角、内错角、同旁内角中每对角有一组非公共
边?叫两条被截线.
１.(１７????玉林)如图?直线 ａ?ｂ 被 ｃ 所截?则∠１ 与∠２ 是
(　 Ｂ　 )
Ａ.同位角 Ｂ.内错角
Ｃ.同旁内角 Ｄ.邻补角
２.(１８????金华)如图?∠Ｂ 的同位角可以是 (　 Ｄ　 )
Ａ.∠１ Ｂ.∠２ Ｃ.∠３ Ｄ.∠４
第 １ 题
　 　 　 　
第 ２ 题
３.如图所示?∠Ｂ 与　 ∠ＤＡＢ　 是内错角?∠Ｂ 与 　 ∠Ｃ 或
∠ＢＡＣ 或∠ＢＡＥ 　 是同旁内角?∠Ｃ 与 　 ∠ＣＡＥ 　 是内
错角.
４.如图所示?若∠１＝ ３０°?∠２ ＝ １１０°?那么?∠３ 的同位角
—７—
　 七年级(下)册
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????????巅峰对决????数学
等于　 ７０°　 ?∠３ 的内错角等于　 ７０° 　 ?∠３ 的同旁内
角等于　 １１０°　 .
第 ３ 题
　 　 　 　
第 ４ 题
１.“三线八角”中?角与角之间的关系是位置关系?而不
是大小关系?两角之间没有公共顶点?角的某一边一定
是截线的一部分?三种角均成对出现?
２.同位角的特征:两角在截线同旁?被截两线的同方向?
内错角的特征:两角在截线两侧?被截两线之间?同旁
内角的特征:两角在截线同旁?被截两线之间?
３.注意识别在复杂图形中三种角的位置特征?特别要运
用截线与被截线的判断方法来记忆三种不同的角?
４.找复杂图形中角的位置关系时要做到不重不漏.
Ａ 组　 夯实基础
一.选择题:
１.如图所示?在下列图形中?∠１ 和∠２ 是同位角的是
(　 Ｃ　 )
Ａ.②③ Ｂ.①②③
Ｃ.①②④ Ｄ.①④
２.如图所示?下列叙述正确的是 (　 Ｄ　 )
Ａ.∠１ 和∠３ 是同旁内角 Ｂ.∠６ 和∠２ 是同位角
Ｃ.∠４ 和∠２ 是同位角 Ｄ.∠５ 和∠４ 是内错角
３.(１８????广州)如图?直线 ＡＤ?ＢＥ 被直线 ＢＦ 和 ＡＣ 所截?
则∠１ 的同位角和∠５ 的内错角分别是 (　 Ｂ　 )
Ａ.∠４?∠２ Ｂ.∠２?∠６
Ｃ.∠５?∠４ Ｄ.∠２?∠４
４.如图?下列说法不正确的是 (　 Ｃ　 )
Ａ.∠１ 与∠２ 是同位角 Ｂ.∠２ 与∠３ 是同位角
Ｃ.∠１ 与∠３ 是同位角 Ｄ.∠１ 与∠４ 是内错角
第 ２ 题 第 ３ 题 第 ４ 题
二.填空题
５.如图?同位角有　 ２　 对?它们是　 ∠３ 与∠１?∠２ 与∠５　 .
６.如图?属于内错角的是　 ∠３ 与∠４　 (用数字表示) .
７.如图?∠ＡＢＣ 与　 ∠ＥＡＤ　 是同位角?∠ＡＢＣ 与　 ∠Ｃ(或
∠ＢＡＤ) 　 是同旁内角.
第 ５ 题 第 ６ 题 第 ７ 题
三.解答题
８.根据如图所示填空:(填“内错角?同位角?同旁内角?
对顶角或邻补角”)
(１)∠ＡＥＧ 和∠ＨＧＥ 是　 内错角　 ?
(２)∠ＨＧＥ 和∠ＥＤＣ 是　 同位角　 ?
(３)∠ＫＡＢ 和∠ＢＡＤ 是　 邻补角　 ?
(４)∠ＡＢＣ 和∠ＡＣＢ 是　 同旁内角　 ?
(５)∠ＫＡＭ 和∠ＤＡＢ 是　 对顶角　 ?
(６)∠ＦＨＣ 和∠ＤＦＩ 是　 同旁内角　 .
９.如图?在三角形 ＡＢＣ 中?∠ＡＢＣ ＝
９０°?过点 Ｂ 作三角形 ＡＢＣ 的 ＡＣ
边上的高 ＢＤ?过 Ｄ 点作三角形
ＡＢＤ 的 ＡＢ 边上的高 ＤＥ.
　 (１)∠Ａ 的同位角是　 ∠ＢＤＣ、∠ＢＥＤ、∠ＥＤＣ　 .
　 (２)∠ＡＢＤ 的内错角是　 ∠ＢＤＣ　 .
　 (３)点 Ｂ 到直线 ＡＣ 的距离是线段　 ＢＤ　 的长度.
　 (４)点 Ｄ 到直线 ＡＢ 的距离是线段　 ＤＥ　 的长度.
１０.如图?∠１ 和∠２、∠３ 和∠４ 分别是由哪两条直线被
哪一条直线所截而成的? 它们各是什么角?
解:图 １ 中?∠１ 和∠２ 是直线
ＤＣ、ＡＢ 被 ＤＢ 所截而成的内
错角?∠３ 和∠４ 是直线 ＡＤ、
ＢＣ 被 ＢＤ 所 截 而 成 的 内
错角?
图 ２ 中?∠１ 和∠２ 是直线 ＤＣ、ＡＢ 被 ＣＢ 所截而成的同位角?∠３
和∠４ 是直线 ＡＢ、ＢＣ 被 ＡＣ 所截而成的同旁内角.
—８—
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
Ｂ 组　 提高巩固
１１.如图所示?已知 ＢＥ 平分∠ＡＢＣ?ＣＦ 平分∠ＢＣＤ?图中
内错角有 (　 Ｄ　 )
Ａ.１ 对 Ｂ.２ 对 Ｃ.３ 对 Ｄ.４ 对
(提示:图中∠ＡＢＣ 与∠ＢＣＦ?∠ＡＢＣ 与∠ＢＣＤ?∠ＢＣＦ 与∠ＣＢＥ?
∠ＢＣＤ 与∠ＥＢＣ 共 ４ 对内错角?故选 Ｄ.)
１２.如图?已知与∠１ 构成同位角的角的个数是 ａ?与∠２
构成内错角的角的个数是 ｂ?与∠Ｅ 构成同旁内角的
角的个数是 ｃ?则 ａ＋ｂ＋ｃ 的值为　 ７　 .
(提示:由图可知与∠１ 构成同位角的角有∠Ｅ?故 ａ ＝ １?与∠２ 构成内
错角的角有∠ＢＤＦ 与∠ＡＤＦ?故 ｂ ＝ ２?与∠Ｅ 构成同旁内角的角有
∠Ｃ?∠Ａ?∠ＥＢＤ?∠ＥＦＤ 共 ４ 个?故 ｃ＝４?所以 ａ＋ｂ＋ｃ＝７.)
第 １１ 题
　 　 　 　
第 １２ 题
１３.观察下面表格?并阅读相关文字:
示意图 ????
相交情况
１ 直线与
２ 条平行
线相交
１ 直线与
３ 条平行
线相交
１ 直线与
４ 条平
行线相交
????
同位角对数 ２×１×２ ２×２×３ ２×３×４ ????
内错角对数 １×２ ２×３ ３×４ ????
同旁内角对数 １×２ ２×３ ３×４ ????
则由上述规律可知:
(１)１ 条直线与 ６ 条平行直线相交产生:　 ６０　 对同
位角?　 ３０　 对内错角?
(２)１ 条直线与 ｎ 条平行直线相交产生:　 ２ｎ(ｎ－１) 　
对同位角?　 ｎ(ｎ－１) 　 对内错角?
(３)利用(２)中的结论?解决下列问题:三条直线两
两相交(不交于同一点)?可构成同位角的对数是
(　 Ａ　 )
Ａ.１２ 对 Ｂ.８ 对 Ｃ.６ 对 Ｄ.４ 对
第 ４ 课　 平行线及其判定(一)
———平行线
知识目标
了解平行线的概念、平面内两条直线相交
和平行的两种位置关系?知道平行公理以
及平行公理的推论.会用符号语言表示平
行公理推论?会用三角尺和直尺过已知直
线外一点画一条直线的平行线.
重、难点 平行公理也及平行公理的推论
思维目标 抽象思维的培养
１.平行线定义:在同一平面内
??????
?　 不相交的两条直线　 是平
行线.
　 记法:直线 ａ 与 ｂ 互相平行?记作　 ａ∥ｂ　 .
２.若两条直线只有一个公共点?则称这两直线　 相交　 .
３.同一平面内两条直线有两种位置关系:　 相交　 和　 平
行　 .
４.平行公理:经过　 直线外　 一点?有且只有　 一条　 直线
与这条直线平行.
５.平行公理的推论(平行线的传递性):如果两条直线都
与第三条直线平行?那么这两条直线也　 互相平行　 .
　 符号语言:
　 ∵ ｂ∥ａ?ｃ∥ａ?
　 ∴ ｂ∥ｃ.
平行线画法及平行公理
【例 １】已知:直线 ａ?点 Ｂ?点 Ｃ.
　 (１)过点 Ｂ 画直线 ａ 的平行线?能
画几条?
　 (２)过点 Ｃ 画直线 ａ 的平行线?它
与过点 Ｂ 的平行线平行吗?
　 分析:利用三角板的平移画平行线?其画法可以总结
为:“一落”、“二靠”、“三移”、“四画” .
　 一落:三角板的一边落在已知直线?
　 二靠:靠紧三角板的另一边放上另一块三角板?
　 三移:使第一块三角板沿着第二块三角板移动?使其
经过原直线的一边经过已知点?
　 四画:沿三角板过已知点的一边画出直线.
　 这时所画直线就一定与已知直线平行.
　 解:(１)画线略?能画一条?
(２)画线略?该线与过 Ｂ 点的平行线互相平行.
格点上的平行识别
【例 ２】如图?网格中?互相平行的线段有 (　 　 )
—９—
　 七年级(下)册
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???? ????
????????巅峰对决????数学
　 Ａ.３ 对 Ｂ. ４ 对 Ｃ.５ 对 Ｄ.６ 对
　 分析:先找出相互平行的线段?然后再看能组成多少
对.据此易选得 Ｃ.
平行线间的距离(选讲)
【例 ３】(１８????铜仁)在同一平面内?设 ａ、ｂ、ｃ 是三条互相
平行的直线?已知 ａ 与 ｂ 的距离为 ４ｃｍ?ｂ 与 ｃ 的距离为
１ｃｍ?则 ａ 与 ｃ 的距离为 (　 　 )
　 Ａ.１ｃｍ Ｂ.３ｃｍ
　 Ｃ.５ｃｍ 或 ３ｃｍ Ｄ.１ｃｍ 或 ３ｃｍ
　 分析:分两种情况:当直线 ｃ 在 ａ、ｂ 之间或直线 ｃ 不在
ａ、ｂ 之间?然后利用平行线间的距离的意义分别求解.
　 解:当直线 ｃ 在 ａ、ｂ 之间时?
∵ ａ、ｂ、ｃ 是三条平行直线?
而 ａ 与 ｂ 的距离为 ４ｃｍ?ｂ 与 ｃ 的距离为 １ｃｍ?
∴ ａ 与 ｃ 的距离＝４－１＝３(ｃｍ)?
当直线 ｃ 不在 ａ、ｂ 之间时?
∵ ａ、ｂ、ｃ 是三条平行直线?
而 ａ 与 ｂ 的距离为 ４ｃｍ?ｂ 与 ｃ 的距离为 １ｃｍ?
∴ ａ 与 ｃ 的距离＝４＋１＝５(ｃｍ)?
综上所述?ａ 与 ｃ 的距离为 ５ｃｍ 或 ３ｃｍ.
故选:Ｃ.
归纳:
　 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线段?
垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.
１.如图?长方体 ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中与棱 ＡＢ 平行的棱有
(　 Ｂ　 )
Ａ.２ 条 Ｂ.３ 条 Ｃ.４ 条 Ｄ.５ 条
２.工人师傅在架设电线时?为了检验三条电线是否平行?
工人师傅只检查了其中两条是否与第三条平行即可?
这种做法的根据是 (　 Ｂ　 )
Ａ.两点决定一条直线
Ｂ.如果两直线都和第三条直线平行?则这两条直线也平行
Ｃ.两点之间?线段最短
Ｄ.经过直线外一点?有且只有一条直线与已知直线平行
３.如图?在同一平面内?有三条直线ａ、ｂ、ｃ?且ａ∥ｂ?如果直线ａ
与 ｃ 交于点Ｏ?那么直线 ｃ 与 ｂ 的位置关系是　 相交　 .
４.如图?方格纸中每个最小正方形的边长为 １?则两平行
直线 ＡＢ、ＣＤ 之间的距离是　 ３　 .
第 １ 题 第 ３ 题 第 ４ 题
１.平行线是指两条直线?而不是线段或射线?虽然有时我
们说两条线段或射线平行?实际上是指它们所在的直
线平行?
２.平行公理中的“有且只有” 指出了平行线的存在性
(有)和唯一性(只有) .
Ａ 组　 夯实基础
一.选择题:
１.如图所示?在这些四边形中?ＡＢ 不平行于 ＣＤ 的是
(　 Ｄ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.三条直线 ａ、ｂ、ｃ?若 ａ∥ｃ?ｂ∥ｃ?则 ａ 与 ｂ 的位置关系是
(　 Ｂ　 )
Ａ.ａ⊥ｂ Ｂ.ａ∥ｂ
Ｃ.ａ⊥ｂ 或 ａ∥ｂ Ｄ.无法确定
３.如图?经过直线 ａ 外一点 Ｏ 的 ４ 条
直线中?与直线 ａ 相交的直线至少有
(　 Ｂ　 )
Ａ.４ 条 Ｂ.３ 条
Ｃ.２ 条 Ｄ.１ 条
４.下列说法错误的是 (　 Ｃ　 )
Ａ.在同一平面内?两条不平行的直线是相交线
Ｂ.与同一条直线平行的两直线必平行
Ｃ.与同一条直线相交的两直线必相交
Ｄ.过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
二.填空题:
５.若点 Ｐ 为直线 ＡＢ 外一点?则过点 Ｐ 且平行于 ＡＢ 的直
线有　 １　 条.
６.下列各种说法中错误的是　 ①②③　 (填序号) .
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行?
②在同一平面内?两条不相交的线段是平行线段?
③两条直线没有交点?则这两条直线平行?
④在同一平面内?若直线 ＡＢ∥ＣＤ?直线 ＡＢ 与 ＥＦ 相
交?则 ＣＤ 与 ＥＦ 相交.
７.如图:表示一个正方体表面的一
种展开图?图中有四条线段 ＡＢ、
ＣＤ、ＥＦ 和 ＧＨ 在原正方体中相
互平行有 　 １ 　 对?它们是 　 ＥＦ
和 ＣＤ　 .
三.解答题
８.按要求作图:
—０１—
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
　 (１)如图①:过 Ｐ 点分别作直线 ｍ∥直线 ａ?直线 ｎ∥
直线 ｂ.
　 (２)如图②:过 Ｂ 点作 ＢＥ∥ＡＣ 交 ＡＤ 的延长线于 Ｅ.
　 解:画图略.
９.把图中的互相平行的线?互相垂直的线写出来:
解:互相平行的有:ＡＢ∥ＣＤ?ＥＦ∥ＧＨ?ＭＮ∥ＯＰ?
互相垂直的有:ＡＢ⊥ＧＨ?ＡＢ⊥ＥＦ?ＣＤ⊥ＥＦ?ＣＤ⊥ＧＨ.
１０.观察如图所示的长方体后填空:
(１)用符号表示下列两棱的位置关系:(填“∥”或“⊥”)
Ａ１Ｂ１ 　 ∥　 ＡＢ?Ａ１Ａ　 ⊥　 ＡＢ?Ａ１Ｄ１ 　 ⊥　 Ｃ１Ｄ１?ＡＤ　 ∥　 ＢＣ?
(２)Ａ１Ｂ１ 与 ＢＣ 所在的直线是两条不
相交的直线?它们 　 不是 　 平行线 (填
“ 是 ” 或 “ 不 是 ”)? 由 此 可 知? 在
　 同一平面　 内?两条不相交的直线才能
叫做平行线.
Ｂ 组　 提高巩固
１１.在平面上画出三条直线?它们的交点个数是 (　 Ｄ　 )
Ａ.０ 或 １ Ｂ.１ 或 ２
Ｃ.２ 或 ３ Ｄ.０ 或 １ 或 ２ 或 ３
(提示:考虑三条直线交于一点?三条直线两两相交但不交于一点?三
条直线中有两条互相平行?三条直线相互平行四种情况?故易得交点
个数可能为 ０ 或 １ 或 ２ 或 ３?故选 Ｄ.)
１２.在同一平面内有 ２０１８ 条直线 ａ１?ａ２??????ａ２０１８?如果 ａ１
⊥ａ２?ａ２∥ａ３?ａ３⊥ａ４?ａ４∥ａ５??????按此规律?那么 ａ１ 与
ａ２０１８的位置关系是　 垂直　 .
(提示:通过画图可知?ａ４ｎ与 ａ４ｎ＋１互相平行?ａ４ｎ＋２与 ａ４ｎ＋３互相平行?ａ４ｎ
与 ａ４ｎ＋２或 ａ４ｎ＋３互相垂直?ａ４ｎ＋１与 ａ４ｎ＋２或 ａ４ｎ＋３互相垂直.故填“垂直” .)
１３.如图所示?在书写艺术字时?常常运用画“平行线段”
这种基本作图方法?此图是在书写字“Ｍ”:
(１)请从正面?上面?右侧三个不同方向上各找出一
组平行线段?并用字母表示出来?
(２)ＥＦ 与 Ａ′Ｂ′有何位置关系? ＣＣ′与 ＤＨ 有何位置
关系?
(３)你能用“平行线段”法写出一个类似的字或字母
吗? 请试一试.
解:(１)正面:ＡＢ∥ＥＦ?ＡＥ∥ＭＦ 等等?
上面:Ａ′Ｂ′∥ＡＢ?Ｃ′Ｄ′∥ＣＤ 等等?
右侧:ＤＤ′∥ＨＲ?ＤＨ∥Ｄ′Ｒ.
(２)ＥＦ∥Ａ′Ｂ′?ＣＣ′⊥ＤＨ.
(３)略.
第 ５ 课　 平行线及其判定(二)
———平行线的判定
知识目标
使学生掌握平行线的四种判定方法?并初
步运用它们进行简单的推理论证.初步学
会简单的论证和推理?认识几何证明的必
要性和证明过程的严密性.
重、难点 定理形成过程中逻辑推理及书面表达.
思维目标 逻辑推理与转化思想.
１.平行线的判定方法 １: 两条直线被第三条直线所截?如
果　 同位角　 相等?那么这两条直线平行?
　 简记为:同位角相等?两直线平行.
　 几何语言:
　 ∵ ∠１＝∠２(已知)
　 ∴ ａ∥ｂ(同位角相等?两直线平行)
２.平行线的判定方法 １: 两条直线被第
三条直线所截?如果　 内错角　 相等?那么这两条直线
平行?
　 简记为:内错角相等?两直线平行.
　 几何语言:
　 ∵ ∠４＝∠５(已知)
　 ∴ ａ∥ｂ(内错角相等?两直线平行)
３.平行线的判定方法 １: 两条直线被第三条直线所截?如
果　 同旁内角　 互补?那么这两条直线平行?
　 简记为:同旁内角互补?两直线平行.
　 几何语言:
　 ∵ ∠１＋∠５＝ １８０°(已知)
　 ∴ ａ∥ｂ(同旁内角互补?两直线平行)
利用判定方法简单推理
【例 １】在同一平面内?如果两条直线
都垂直于同一条直线?那么这两条
直线平行吗? 为什么?
　 分析:发现∠１?∠２ 均为 ９０°?可以
考虑使用平行线的判定方法 １ 即可
得到.
　 解:这两直线平行?理由如下:
如图?∵ ｂ⊥ａ?ｃ⊥ａ?(已知)
∴∠１＝ ９０°?∠２＝ ９０°?(垂直定义)
∴∠１＝∠２?(等量代换)
—１１—
　 七年级(下)册
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????????巅峰对决????数学
∴ ｂ∥ｃ.(同位角相等?两直线平行)
思考:
　 你还能用其他方法说明 ａ∥ｂ 吗? 请试一试.
　 答:还可利用内错角相等或同旁内角互补来说明 ａ∥ｂ.
归纳:
　 判断直线平行的方法:
　 方法 １:定义:同一平面内不相交的两直线叫平行线?
　 方法 ２:若 ａ∥ｂ?ｂ∥ｃ?则 ａ∥ｃ?
　 方法 ３:同位角相等?两直线平行?
　 方法 ４:内错角相等?两直线平行?
　 方法 ５:同旁内角互补?两直线平行?
　 方法 ６:在同一平面内?若 ａ⊥ｂ?ａ⊥ｃ?则 ｂ∥ｃ.
认一认:
　 如图?填空:
　 (１)若∠１＝∠４?得　 ＡＢ　 ∥　 ＣＤ　 ?
　 (２)若∠ＡＢＣ＋∠Ａ ＝ １８０°?得 　 ＡＤ 　
∥　 ＢＣ　 ?
　 (３)若∠２＝∠３?得　 ＡＤ　 ∥　 ＢＣ　 .
用平行线的判定方法进行简单推理
【例 ２】如图?已知∠Ａ＝∠Ｄ?∠Ｂ＝∠ＦＣＢ?试问 ＥＤ 与 ＣＦ
平行吗? 说明理由.
　 分析:先利用内错角相等?两直线
平行证明 ＥＤ∥ＡＢ?ＣＦ∥ＡＢ?再根据
平行于同一条直线的两直线平行可
证得 ＥＤ∥ＣＦ.
　 解:ＥＤ∥ＣＦ.理由是:
∵∠Ａ＝∠Ｄ (已知)
∴ＡＢ∥ＥＤ(内错角相等?两直线平行)
又∵∠Ｂ＝∠ＦＣＢ(已知)?
∴ＡＢ∥ＣＦ(内错角相等?两直线平行)
∴ＥＤ∥ＣＦ(平行于同一直线的两直线平行)
１.下列图形中?由∠１＝∠２ 能得到 ＡＢ∥ＣＤ 的是
(　 Ｂ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.如图?下列说法错误的是 (　 Ｃ　 )
Ａ.若 ａ∥ｂ?ｂ∥ｃ?则 ａ∥ｃ
Ｂ.若∠１＝∠２?则 ａ∥ｃ
Ｃ.若∠３＝∠２?则 ｂ∥ｃ
Ｄ.若∠３＋∠５＝ １８０°?则 ａ∥ｃ
３.(１７????德州)如图利用直尺和三角板过已知直线 ｌ 外一
点 Ｐ 作直线 ｌ 平行线的方法?其理由是　 同位角相等?两
直线平行　 .
４.(１８????湘潭)如图?点 Ｅ 是 ＡＤ 延长线上一点?如果添加
一个条件?使 ＢＣ∥ＡＤ?则可添加的条件为　 ∠Ｃ ＝∠ＣＤＥ
(不唯一) 　 (任意添加一个符合题意的条件即可) .
第 ２ 题
　 　
第 ３ 题
　 　
第 ４ 题
１.涉及平行线的判定一定要先找准“三线八角”?
２.判定两条直线平行的方法有六种:①平行线的定义?②
平行线的传递性?③平行线的判定公理?④平行线的判
定定理 １?⑤平行线的判定定理 ２?⑥平行线的判定推
论.但一般是使用中间 ４ 种方法.
Ａ 组　 夯实基础
一.选择题:
１.(１８????吉林)如图?将木条 ａ?ｂ 与 ｃ 钉在一起?∠１ ＝
７０°?∠２＝ ５０°?要使木条 ａ 与 ｂ 平行?木条 ａ 旋转的度
数至少是 (　 Ｂ　 )
Ａ.１０° Ｂ.２０° Ｃ.５０° Ｄ.７０°
２.(１７????邵阳)如图所示?要在一条公路的两侧铺设平行
管道?已知一侧铺设的角度为 １２０°?为使管道对接?另
一侧铺设的角度大小应为 (　 Ｄ　 )
Ａ.１２０° Ｂ.１００° Ｃ.８０° Ｄ.６０°
第 １ 题
　 　 　
第 ２ 题
３.(１７????深圳)如图?在下列条件中?不能判定直线 ａ 与 ｂ
平行的是 (　 Ｃ　 )
Ａ.∠１＝∠２ Ｂ.∠２＝∠３
Ｃ.∠３＝∠５ Ｄ.∠３＋∠４＝ １８０°
４.如图?已知∠１＝∠２＝∠３＝∠４?则图形中平行的是
(　 Ｄ　 )
Ａ.ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ Ｂ.ＣＤ∥ＥＦ
Ｃ.ＡＢ∥ＥＦ Ｄ.ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ?ＢＣ∥ＤＥ
第 ３ 题
　 　 　 　
第 ４ 题
—２１—
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
二.填空题:
５.如图?装修工人向墙上钉木条.若∠２＝ １００°?要使木条
ｂ 与 ａ 平行?则∠１ 的度数等于　 ８０°　 .
６.如图?点 Ｅ 在 ＡＣ 的延长线上?对于给出的四个条件:
①∠３ ＝ ∠４?②∠１ ＝ ∠２?③ ∠Ａ ＝ ∠ＤＣＥ?④ ∠Ｄ ＋
∠ＡＢＤ＝ １８０°.能判断 ＡＢ∥ＣＤ 的有　 ３　 个.
７.如图?在甲、乙两地之间要修一条公路?从甲地测得公
路的走向是北偏东 ５５°.若甲、乙两地同时开工?那么在
乙地公路走向按　 南偏西 ５５° 　 施工?才能使公路准确
接通.
第 ５ 题 第 ６ 题 第 ７ 题
三.解答题:
８.如图?若∠１＝∠４?∠１＋∠２ ＝ １８０°?则 ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ 的位
置关系如何? 并说明理由.
解:ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ?理由如下:
∵∠１＋∠２＝ １８０°?(已知)
∠３＋∠２＝ １８０°?(邻补角定义)
∴∠１＝∠３?(同角的补角相等)
∴ＡＢ∥ＣＤ?(同位角相等?两直线平行)
∵∠１＝∠４?(已知)
∴ＡＢ∥ＥＦ?(同位角相等?两直线平行)
∴ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ.(平行线的传递性)
９.如图?一个由 ４ 条线段构成的“鱼”形图案?其中∠１ ＝
５０°?∠２＝ ５０°?∠３ ＝ １３０°?找出图中的平行线?并说明
理由.
解:ＯＡ∥ＢＣ?ＯＢ∥ＡＣ.理由如下:
∵∠１＝ ５０°?∠２＝ ５０°?(已知)
∴∠１＝∠２?(等量代换)
∴ＯＢ∥ＡＣ?(同位角相等?二直线平行)
∵∠２＝ ５０°?∠３＝ １３０°?(已知)
∴∠２＋∠３＝ １８０°?(等式性质)
∴ＯＡ∥ＢＣ.(同旁内角互补?二直线平行)
１０.如图所示?ＢＥ 平分∠ＡＢＤ?ＤＥ 平分∠ＢＤＣ?∠１＋∠２＝
９０°?那么直线 ＡＢ、ＣＤ 的位置关系如何? 说明你的
理由.
解:平行.理由如下:
∵ＢＥ 平分∠ＡＢＤ?ＤＥ 平分∠ＢＤＣ?(已知)
∴∠ＡＢＤ ＝ ２∠１?∠ＢＤＣ ＝ ２∠２.(角平分线
定义)
∵∠１＋∠２＝ ９０°?(已知)
∴∠ＡＢＤ＋∠ＢＤＣ＝１８０°.
∴ＡＢ∥ＣＤ(同旁内角互补?两直线平行) .
Ｂ 组　 提高巩固
１１.一学员在广场上练习驾驶汽车?两次拐弯后?行驶方向
与原来方向相同?这两次拐弯的角度可能是 (　 Ａ　 )
Ａ.第一次向左拐 ３０°?第二次向右拐 ３０°
Ｂ.第一次向右拐 ５０°?第二次向左拐 １３０°
Ｃ.第一次向右拐 ５０°?第二次向右拐 １３０°
Ｄ.第一次向左拐 ５０°?第二次向左拐 １３０°
(提示:根据各选项画出示意图?依据平行线的判定方法可选得 Ａ.)
１２.直线 ａ、ｂ、ｃ 在同一平面内?下列说法:
①如果 ａ⊥ｂ?ｂ⊥ｃ?那么 ａ∥ｃ?
②如果 ａ∥ｂ?ｂ∥ｃ?那么 ａ∥ｃ?
③如果 ａ∥ｂ?ｂ⊥ｃ?那么 ａ⊥ｃ?
④如果 ａ 与 ｂ 相交?ｂ 与 ｃ 相交?那么 ａ 与 ｃ 相交.
在上述四种说法中?正确的有　 ３　 个.
(提示:根据“同一平面内垂直于同一直线的两直线平行”及“平行线的
传递性”可知①②③正确?而④中 ａ、ｃ 有可能平行?故④错?故正确的
有 ３ 个.)
１３.如图?已知 ＡＦ 平分∠ＢＡＣ?ＤＥ 平分
∠ＢＤＦ?且∠１＝∠２.
(１)ＤＦ∥ＡＣ 吗? 为什么?
(２)ＤＥ 与 ＡＦ 的位置关系又如何?
证明:(１)∵ＤＥ 平分∠ＢＤＦ?ＡＦ 平分∠ＢＡＣ?(已知)
∴∠ＢＤＦ＝２∠１?∠ＢＡＣ＝２∠２?(角平分线定义)
又∵∠１＝∠２?(已知)
∴∠ＢＤＦ＝∠ＢＡＣ?(等量代换)
∴ＤＦ∥ＡＣ?(同位角相等?两直线平行)
(２)∵ＡＦ 平分∠ＢＡＣ?(已知)
∴∠ＢＡＦ＝∠２.(角平分线定义)
又∵∠１＝∠２?(已知)
∴∠１＝∠ＢＡＦ?(等量代换)
∴ＤＥ∥ＡＦ.(同位角相等?两直线平行)
—３１—
　 七年级(下)册
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第 ６ 课　 平行线的性质(一)
———平行线的性质
知识目标
使学生理解平行线的性质?能初步运用平
行线的性质进行有关计算.
重、难点 平行线的性质与判定的区分与运用.
思维目标 分类讨论与类比思想.
１.平行线的性质 １:两条平行线被第三条直线所截?同位
角　 相等　 ?简记:两直线平行?同位角相等.
　 几何语言:
　 ∵ ａ∥ｂ
　 ∴ ∠１＝∠２
２.平行线的性质 ２:两条平行线被第三条直线所截?内错
角　 相等　 ?简记:两直线平行?内错角相等.
　 几何语言:
　 ∵ ａ∥ｂ
　 ∴ ∠１＝∠２
３.平行线的性质 ３:两条平行线被第三条直线所截?同旁
内角　 互补　 ?简记:两直线平行?同旁内角互补.
　 几何语言:
　 ∵ ａ∥ｂ
　 ∴ ∠１＋∠２＝ １８０°
利用平行线性质计算
【例 １】如图有一块梯形的玻璃残余部
分?已知量得∠Ａ＝ １００°?∠Ｂ ＝ １１５°?请你
想一想?梯形的另外两个角各是多少度.
　 分析:因为梯形上、下底 ＡＢ、ＤＣ 互相
平行?根据“两直线平行?同旁内角互补”可得∠Ａ、∠Ｄ
互补?∠Ｂ、∠Ｃ 互补?从而得解.
　 解:∵ＡＢ∥ＤＣ
∴∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°?
∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°?
∵∠Ａ＝１００°?∠Ｂ＝１１５°?
∴∠Ｃ＝１８０°－１１５° ＝６５°?∠Ｄ＝１８０°－１００° ＝８０°.
利用平行线的性质与判定说理
【例 ２】 (１７????重庆)如图?ＡＢ∥ＣＤ?点
Ｅ 是 ＣＤ 上一点?∠ＡＥＣ ＝ ４２°?ＥＦ 平
分∠ＡＥＤ 交 ＡＢ 于点 Ｆ?求∠ＡＦＥ 的
度数.
　 分析:由平角求出∠ＡＥＤ 的度数?由角平分线得出
∠ＤＥＦ 的度数?再由平行线的性质即可求出∠ＡＦＥ 的
度数.
　 解:∵∠ＡＥＣ＝４２°?
∴∠ＡＥＤ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝１３８°?
∵ＥＦ 平分∠ＡＥＤ?
∴∠ＤＥＦ＝ １
２
∠ＡＥＤ＝６９°?
又∵ＡＢ∥ＣＤ?
∴∠ＡＦＥ＝∠ＤＥＦ＝６９°.
作辅助线运用平行线的性质(一)
【例 ３】如图?若直线 ＡＢ∥ＥＤ?你能推
得∠Ｂ、∠Ｃ、∠Ｄ 之间的数量关系吗?
请说明理由.
　 分析:过点 Ｃ 作 ＣＦ∥ＡＢ?根据平行
于同一条直线的两直线平行?可得 ＥＤ∥ＣＦ?再根据两直
线平行?同旁内角互补?可得∠１＋∠Ｄ ＝ １８０°?由∠１ ＝
∠ＢＣＤ－∠２＝∠ＢＣＤ－∠Ｂ?即可得到结果.
　 解:∠Ｃ＋∠Ｄ－∠Ｂ＝１８０°.理由如下:
如图?过点 Ｃ 作 ＣＦ∥ＡＢ?
∴∠Ｂ＝∠２(两直线平行?内错角相等) .
∵ＡＢ∥ＥＤ?ＣＦ∥ＡＢ?
∴ＥＤ∥ＣＦ(平行于同一条直线的两直线平行).
∴∠１＋∠Ｄ＝１８０°(两直线平行?同旁内角互补).
而∠１＝∠ＢＣＤ－∠２＝∠ＢＣＤ－∠Ｂ?
∴∠ＢＣＤ－∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°?
即∠ＢＣＤ＋∠Ｄ－∠Ｂ＝１８０°.
注意:
　 过关键点做已知直线的平行线是本章常用辅助线!
当角的关系不易转化时?要想到作平行线.
作辅助线运用平行线的性质(二)
【例 ４】选择题:
　 (１)如图?直线 ａ∥ｂ?直角三角形 ＡＢＣ 的顶点 Ｂ 在直
线 ａ 上?∠Ｃ＝ ９０°?∠β＝ ５５°?则∠α 的度数为 (　 　 )
　 Ａ.１５° Ｂ.２５° Ｃ.３５° Ｄ.５５°
　 (２)已知?ＡＣ∥ＥＤ?∠Ｃ ＝ ２６°?∠ＣＢＥ ＝ ３７°?则∠ＢＥＤ
的度数是 (　 　 )
　 Ａ.５３° Ｂ.　 ６３° Ｃ.　 ７３° Ｄ.　 ８３°
第(１)题
　 　 　 　
第(２)题
　 分析:(１)先过点 Ｃ 作 ＣＥ∥ａ?可得 ＣＥ∥ａ∥ｂ?然后根
据两直线平行?内错角相等?即可求得答案?(２)过 Ｂ 作
ＢＦ∥ＡＣ?则由平行线性质可得∠Ｃ ＝ ∠ＣＢＦ?∠ＡＢＦ ＝
—４１—
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
∠ＥＡＣ＝∠ＢＥＤ?从而易得答案.
　 解:(１)过点 Ｃ 作 ＣＥ∥ａ?
∵ ａ∥ｂ?∴ＣＥ∥ａ∥ｂ?
∴∠ＢＣＥ＝∠α?∠ＡＣＥ＝∠β＝５５°?
∵∠Ｃ＝９０°?
∴∠α＝∠ＢＣＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＣＥ＝３５°.
故选 Ｃ.
(２)解:作 ＢＦ∥ＡＣ?
∴∠ＣＢＦ＝∠Ｃ＝２６°?
∠ＥＡＣ＝∠ＡＢＦ＝∠ＣＢＦ＋∠ＣＢＥ＝６３°?
∵ＡＣ∥ＥＤ?∴ＢＦ∥ＥＤ?
∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＡＥ＝６３°.
∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＡＥ＝６３°.
故选 Ｂ
１.(１８????陕西)如图?若 ｌ１∥ｌ２?ｌ３∥ｌ４?则图中与∠１ 互补
的角有 (　 Ｄ　 )
Ａ.１ 个 Ｂ.２ 个 Ｃ.３ 个 Ｄ.４ 个
２.(１８????淮安)如图?三角板的直角顶点落在矩形纸片的
一边上.若∠１＝ ３５°?则∠２ 的度数是 (　 Ｃ　 )
Ａ.３５° Ｂ.４５° Ｃ.５５° Ｄ.６５°
第 １ 题
　 　 　 　
第 ２ 题
３.(１８????杭州)如图?直线 ａ∥ｂ?直线 ｃ 与直线 ａ?ｂ 分别交
于点 Ａ?Ｂ.若∠１＝ ４５°?则∠２＝ 　 １３５°　 .
４.(１８????广安)一大门栏杆的平面示意图如图所示?ＢＡ
垂直地面 ＡＥ 于点 Ａ?ＣＤ 平行于地面 ＡＥ?若∠ＢＣＤ ＝
１５０°?则∠ＡＢＣ＝ 　 １２０　 度.
第 ３ 题
　 　 　 　
第 ４ 题
１.平行线的三个性质要记清?
２.直线平行的性质与直线平行的判定的区别.
　 (１)判定与性质的条件与结论有什么关系?
　 (２)使用判定时是已知角的相互关系?得到两线平行?
使用性质时是已知两直线平行?得到角的相互关系?
３.几何中的计算往往要说理?要熟悉几何里计算题的格
式?学会合情说理.
Ａ 组　 夯实基础
一.选择题:
１.(１８????滨州)如图?直线 ＡＢ∥ＣＤ?则下列结论正确的是
(　 Ｄ　 )
Ａ.∠１＝∠２ Ｂ.∠３＝∠４
Ｃ.∠１＋∠３＝ １８０° Ｄ.∠３＋∠４＝ １８０°
２.(１８????湖北)如图?ＡＤ∥ＢＣ?∠Ｃ ＝ ３０°?∠ＡＤＢ ∶ ∠ＢＤＣ
＝ １ ∶ ２?则∠ＤＢＣ 的度数是 (　 Ｄ　 )
Ａ.３０° Ｂ.３６° Ｃ.４５° Ｄ.５０°
第 １ 题
　 　 　 　
第 ２ 题
３.(１８????聊城)如图?直线 ＡＢ∥ＥＦ?点 Ｃ 是直线 ＡＢ 上一
点?点 Ｄ 是直线 ＡＢ 外一点?若∠ＢＣＤ ＝ ９５°?∠ＣＤＥ ＝
２５°?则∠ＤＥＦ 的度数是 (　 Ｃ　 )
Ａ.１１０° Ｂ.１１５° Ｃ.１２０° Ｄ.１２５°
４.(１７????潍坊)如图?∠ＢＣＤ ＝ ９０°?ＡＢ∥ＤＥ?则∠α 与∠β
满足 (　 Ｂ　 )
Ａ.∠α＋∠β＝ １８０° Ｂ.∠β－∠α＝ ９０°
Ｃ.∠β＝ ３∠α Ｄ.∠α＋∠β＝ ９０°
第 ３ 题
　 　 　 　
第 ４ 题
二.填空题:
５.(１８????湘西州)如图?ＤＡ⊥ＣＥ 于点 Ａ?ＣＤ∥ＡＢ?∠１ ＝
３０°?则∠Ｄ＝ 　 ６０°　 .
６.(１８????青海)如图?直线 ＡＢ∥ＣＤ?直线 ＥＦ 与 ＡＢ、ＣＤ 相
交于点 Ｅ、Ｆ?∠ＢＥＦ 的平分线 ＥＮ 与 ＣＤ 相交于点 Ｎ.若
∠１＝ ６５°?则∠２＝ 　 ５０°　 .
７.(１７????威海)如图?直线 ｌ１∥ｌ２?∠１ ＝ ２０°?则∠２＋∠３ ＝
　 ２００°　 .
第 ５ 题 第 ６ 题 第 ７ 题
三.解答题:
８.填空:
　 (１)如图?点 Ｄ、Ｅ、Ｆ 分别是 ＢＣ、ＡＢ、ＡＣ 边上的点.
—５１—
　 七年级(下)册
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????????巅峰对决????数学
　 ①∵ ＡＣ∥ＥＤ?
　 ∴ ∠１＝ 　 ∠Ｃ　 . (　 两直线平行?同位角相等　 )
　 ②∵ ＡＢ∥　 ＤＦ　 ?
　 ∴ ∠Ｂ＝ 　 ∠３　 .(　 两直线平行?同位角相等　 )
　 ③∵ 　 ＡＢ　 ∥　 ＤＦ　 ?
　 ∴ ∠２＝∠４?(　 两直线平行?内错角相等　 )
　 ④∵ 　 ＡＣ　 ∥　 ＤＥ　 ?
　 ∴ ∠２＋∠５＝ １８０°?(　 两直线平行?同旁内角互补　 )
　 (２)如图?已知:∠１＝∠２?ＡＥ∥ＢＣ. 求证:∠Ｂ＝∠Ｃ.
　 证明:∵ ＡＥ∥ＢＣ(　 已知　 )
　 ∴ ∠Ｂ ＝　 ∠１　 (　 两直线平行?同位角相等　 )
　 ∠Ｃ ＝　 ∠２　 (　 两直线平行?内错角相等　 )
　 又∵ ∠１＝∠２(　 已知　 )
　 ∴ ∠Ｂ＝∠Ｃ(　 等量代换　 )
９.推理题:
　 (１)如图?直线 ＡＤ 与 ＡＢ、ＣＤ 相交于 Ａ、Ｄ 两点?ＥＣ、ＢＦ
与 ＡＢ、ＣＤ 相交于 Ｅ、Ｃ、Ｂ、Ｆ?如果∠１＝∠２?∠Ｂ＝∠Ｃ.
　 求证:∠Ａ＝∠Ｄ.
　 证明:∵∠１＝∠２(已知)?
∠２＝∠ＢＧＡ(对顶角相等)?
∴∠１＝∠ＢＧＡ(等量代换) .
∴ＣＥ∥ＢＦ(同位角相等?两直线平行) .
∴∠Ｂ＋∠ＢＥＣ＝１８０°(两直线平行?同旁内角互补) .
又∵∠Ｂ＝∠Ｃ?∴∠Ｃ＋∠ＢＥＣ＝１８０°(等量代换) .
∴ＡＢ∥ＣＤ(同旁内角互补?两直线平行)
∴∠Ａ＝∠Ｄ(两直线平行?内错角相等) .
　 (２)如图所示?已知 ＢＤ⊥ＡＣ?ＥＦ⊥ＡＣ?点 Ｄ、Ｆ 分别为
垂足?且∠１＝∠４?试说明∠ＡＤＧ＝∠Ｃ.
　 解:∵ＢＤ⊥ＡＣ?ＥＦ⊥ＡＣ?(已知)
∴∠２＝∠３＝ ９０°?(垂直定义)
∴ＢＤ∥ＥＦ(同位角相等?二直线平行)?
∴∠４＝∠ＤＢＣ(二直线平行?同位角相等)
∵∠１＝∠４?(已知)
∴∠１＝∠ＤＢＣ(等量代换)
∴ＤＧ∥ＢＣ?(内错角相等?二直线平行)
∴∠ＡＤＧ＝∠Ｃ.(二直线平行?同位角相等)
　 (３)如图?已知 ＡＢ∥ＣＤ?∠１ ＝∠２?
试探索∠ＢＥＦ 与∠ＥＦＣ 之间的关系?
并说明理由.
　 解:∠ＢＥＦ＝∠ＥＦＣ.理由如下:
如图?延长 ＢＥ 交 ＤＣ 的反向延长线于点 Ｇ.
∵ＡＢ∥ＣＤ(已知)?
∴∠１＝∠Ｇ(两直线平行?内错角相等) .
∵∠１＝∠２(已知)?
∴∠２＝∠Ｇ(等量代换)?
∴ＢＥ∥ＦＣ(同位角相等?二直线平行) .
∴∠ＢＥＦ＝∠ＥＦＣ(两直线平行?内错角相等).
另法:也可连接 ＢＣ?易证∠ＥＢＣ＝∠ＦＣＢ?从而得 ＢＥ∥ＣＦ.
１０.已知:ＢＦ?ＤＥ 分别平分∠ＡＢＣ 和∠ＡＤＣ?∠１ ＝ ∠２?
∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ?由此可推得图中哪些线段平行? 并
写出你的推理过程.
解:可得:ＤＥ∥ＢＦ?ＡＤ∥ＢＣ?ＤＣ∥ＡＢ?理
由如下:
∵∠１＝∠２?∴ＤＥ∥ＢＦ?
又∵ＢＦ?ＤＥ是∠ＡＢＣ和∠ＡＤＣ角平分线?
∴∠ＡＤＥ＝∠ＥＤＣ?∠１＝∠ＣＢＦ?
又∵∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ?
∴∠ＡＤＥ＝∠ＥＤＣ＝∠１＝∠ＣＢＦ?
∴∠２＝∠ＥＤＣ?∴ＤＣ∥ＡＢ?
∴∠ＡＤＣ＋∠Ａ＝１８０°?
∴∠ＡＢＣ＋∠Ａ＝１８０°?
∴ＡＤ∥ＢＣ.
Ｂ 组　 提高巩固
１１.如图?∠ＡＯＢ 的一边 ＯＡ 为平面镜?∠ＡＯＢ＝ ３７°３６′?在
ＯＢ 上有一点 Ｅ?从 Ｅ 点射出一束光线经 ＯＡ 上一点 Ｄ
反射?反射光线 ＤＣ 恰好与 ＯＢ 平行?则∠ＤＥＢ 的度数
是 (　 Ｂ　 )
Ａ.７５°３６′ Ｂ.７５°１２′ Ｃ.７４°３６′ Ｄ.７４°１２′
(提示:由 ＤＣ∥ＯＢ?得∠ＡＤＣ＝∠ＡＯＢ＝ ３７°３６′?由光线反射性质可知
∠ＯＤＥ＝∠ＡＤＣ＝３７°３６′?故∠ＥＤＣ＝１８０°－２×３７°３６′＝ １０４°４８′?而 ＤＣ
∥ＯＢ?故∠ＥＤＣ＋∠ＤＥＢ＝１８０°?故∠ＤＥＢ＝７５°１２′?故选 Ｂ.)
１２.如图折叠一张矩形纸片?已知∠１＝ ７０°?则∠２ 的度数
是　 ５５°　 .
(提示:根据折叠得出∠ＥＦＧ ＝∠２?∵
∠１ ＝ ７０°?∴ ∠ＢＥＦ ＝∠１ ＝ ７０°?∵ ＡＢ
∥ ＤＣ? ∴ ∠ＥＦＣ ＝ １８０° － ∠ＢＥＦ ＝
１１０°?∴∠２＝∠ＥＦＧ＝∠ＥＦＣ＝ ５５°?故
填 ５５°.)
第 １１ 题
　 　 　 　
第 １２ 题
—６１—
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１３.探究与发现:
(１)如图 ａ?若 ＡＢ∥ＣＤ?则∠Ｂ＋∠Ｄ＝∠ＢＥＤ?你能说
明为什么吗?
(２)反之?如图 ａ?若∠Ｂ＋∠Ｄ ＝ ∠ＢＥＤ?直线 ＡＢ 与
ＣＤ 有什么位置关系? 请证明?
(３) 若将点 Ｅ 移至图 ｂ 所示位置?此时∠Ｂ、∠Ｄ、
∠ＢＥＤ 之间有什么关系? 请证明?
(４)若将 Ｅ 点移至图 ｃ 所示位置?情况又如何?
(５)在图 ｄ 中?ＡＢ∥ＣＤ?∠Ｅ＋∠Ｇ 与∠Ｂ＋∠Ｆ＋∠Ｄ
又有何关系?
(６)在图 ｅ 中?若 ＡＢ∥ＣＤ?又得到什么结论?
解:(１)过 Ｅ 作 ＥＦ∥ＡＢ?
则∠Ｂ＝∠ＢＥＦ?∵ＡＢ∥ＣＤ?
∴ＥＦ∥ＣＤ?∴∠Ｄ＝∠ＤＥＦ?
∴∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＦ＋∠ＤＥＦ＝∠Ｂ＋∠Ｄ.
(２)若∠Ｂ＋∠Ｄ＝∠ＢＥＤ?由 ＥＦ∥ＡＢ?
∴∠Ｂ＝∠ＢＥＦ?
∵∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＦ＋∠ＤＥＦ＝∠Ｂ＋∠Ｄ?
∴∠Ｄ＝∠ＤＥＦ?
∴ＥＦ∥ＣＤ?∴ＡＢ∥ＣＤ?
(３)若将点 Ｅ 移至图 ｂ 所示位置?过 Ｅ 作 ＥＦ
∥ＡＢ?
∴∠ＢＥＦ＋∠Ｂ＝１８０°?
∵ＥＦ∥ＣＤ?
∴∠Ｄ＋∠ＤＥＦ＝１８０°?
∠ＢＥＤ＋∠Ｂ＋∠Ｄ＝３６０°?
(４)∠Ｄ＋∠Ｅ＝∠Ｂ?
(５)∠Ｅ＋∠Ｇ＝∠Ｂ＋∠Ｆ＋∠Ｄ?
(６)∠Ｅ１＋∠Ｅ２＋????＋∠Ｅｎ ＝∠Ｂ＋∠Ｆ１＋∠Ｆ２＋????＋∠Ｆｎ－１＋∠Ｄ.
第 ７ 课　 平行线的性质(二)
———命题、定理、证明
知识目标
掌握命题的概念?并能分清命题的组成部
分.经历判断命题真假的过程?对命题的
真假有一个初步的了解.对证明能写出简
单的推理过程.
重、难点 命题的条件与结论区分及证明过程.
思维目标 逻辑推理思维能力的培养.
１.对某一件事情作出　 判断　 的语句?叫做　 命题　 .
２.命题由　 题设　 和 　 结论　 两部分组成. 　 题设 　 是已
知事项?　 结论　 是由已知事项推出(或推不出)的事
项.如果题设成立?那么结论一定成立?这样的命题叫
做　 真命题　 ? 由题设成立?不能保证结论一定成立?
这样的命题叫做　 假命题　 .
　 命题常可以写成“如果?????????那么????????”的形式.“如果”
后接的部分
?????
是　 题设　 ?“那么”后接的的部分
??????
是　 结论　 .
３.一些命题是从公理或其他真命题出发?用逻辑推理的
方法判断得到的真命题叫做　 定理　 .
４.对命题的正确性需要经过推理?才能作出判断?这个推
理过程叫做　 证明　 .
命题的认识
【例 １】下列语句中?哪些是命题?哪些不是命题?
　 ①两直线平行?同位角相等?
　 ②正数大于负数?
　 ③同角的余角相等?
　 ④两直线平行?同旁内角相等?
　 ⑤对顶角相等?
　 ⑥在直线 ＡＢ 上任取一点 Ｃ?
　 ⑦明天会下雨吗?
　 ⑧不许大声说话?
　 ⑨相等的角都是直角?
　 ⑩同旁内角互补.
　 分析:首先看是不是完整的语句?再看这语句能否用
来判断一件事情.
　 解:①②③④⑤⑨⑩是命题?⑥⑦⑧不是命题
归纳:
　 ①命题是句子?而且必须是能判断正确和错误的句子.
如对“两直线相交”这个句子?我们无法判断它是正确的
—７１—
　 七年级(下)册
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????????巅峰对决????数学
还是错误的?因而它不是命题.
　 ②错误的命题也是命题.如?“相等的角是对顶角”这
个句子?我们可以判断它是错误的?因而是命题?而且是
假命题.
　 ③作图步骤及疑问句不是命题.如“同位角相等吗?”
未作出判断?不是命题.
命题的题设、结论及其真假的判断
【例 ２】下列各命题的题设是什么? 结论是什么? 并指
明命题中哪些是正确的? 哪些是不正确的? 你怎么知
道它们是不正确的?
　 (１)如果两个角相等?那么它们是对顶角?
　 (２)如果 ａ>ｂ?ｂ>ｃ?那么 ａ＝ ｃ?
　 (３)末位数是 ５ 的整数能被 ５ 整除.
　 解:(１)题设:两个角相等?结论:它们是对顶角.
(２)题设:ａ>ｂ?ｂ>ｃ?结论:ａ＝ｃ.
(３)题设:一个整数的末位数是 ５?结论:这个数能被 ５ 整除.
其中第三个命题是正确的.第一个、第二个命题是不正确的.对于第
一个与第二个命题可以通过如下反例来说明:第一个命题中如果两
个角是等腰三角形的两个底角?它们也相等?但不是对顶角?第二个
命题中的 ａ 取 ６?ｂ 取 ３?ｃ 取 ２?这样可知:ａ 与 ｃ 是不相等的.所以第
二个命题是不正确的.
注意:
　 要说明一个命题是假命题?只要举出反例就可以?而
要说明一个命题是真命题?必须把所有的情况加以验证.
改写命题的形式
【例 ３】把下列命题写成“如果?????????那么????????”的形式.
　 (１)两直线平行?同位角相等?
　 (２)垂直于同一条直线的两直线平行?
　 (３)经过两点有且只有一条直线?
　 (４)同角的余角相等?
　 (５)直角都相等.
　 分析:记住“如果后接题设?那么后接结论”?分清题设
与结论即可?注意有些时候需加一些“修饰性”语言.
　 解:(１)如果两条平行线被第三条直线所截?那么同位角相等?
(２)如果两条直线都和第三条直线垂直?那么这两条直线互相平行?
(３)如果有两个点?那么经过这两个点的直线有且只有一条?
(４)如果两个角是同一个角的余角?那么这两个角相等?
(５)如果两(几)个角都是直角?那么这两(几)个角相等.
会进行逻辑推理对命题证明
【例 ４】如图?已知直线 ｂ∥ｃ?ａ⊥ｂ.求证:ａ⊥ｃ.
　 分析:由 ａ⊥ｂ 可得∠１ 为 ９０°?由 ｂ∥ｃ
可得∠１＝∠２?从而得到∠２＝ ９０°?由垂
直定义得 ａ⊥ｃ.
　 证明:∵ ａ⊥ｂ(已知)
∴∠１＝ ９０°(垂直定义)
又 ｂ∥ｃ(已知)
∴∠１＝∠２(两直线平行?同位角相等)
∴∠１＝∠２＝ ９０°(等量代换)
∴ ａ⊥ｃ(垂直定义)
归纳:
　 证明中的每一步推理都要有根据?不能“想当然” .这
些根据可以是已知条件(图形或文字)?也可以是学过的
定义、基本事实、定理.
１.下列语句是命题的个数为 (　 Ｂ　 )
①画∠ＡＯＢ 的平分线?②直角都相等?③同旁内角互补
吗? ④若│ａ│＝３?则 ａ＝ ３.
Ａ.１ 个 Ｂ.２ 个 Ｃ.３ 个 Ｄ.４ 个
２.下列说法正确的是 (　 Ｄ　 )
Ａ.互补的两个角是邻补角
Ｂ.两直线平行?同旁内角相等
Ｃ.“同旁内角互补”不是命题
Ｄ.“相等的两个角是对顶角”是假命题
３.命题“对顶角相等”的题设是　 两个角是对顶角　 .
４.下列 ５ 个命题:①两个锐角之和一定是钝角?②直角小
于平角?③同位角相等?两直线平行?④内错角互补?两
直线平行?⑤如果 ａ<ｂ?ｂ<ｃ?那么 ａ<ｃ.其中真命题的是
　 ②③⑤　 .
１.要理解命题的定义?会正确判断一句话是否是命题?
２.在分析命题的结构时要理清题设与结论两部分?要注
意命题有真假之分?
３.对证明题进行说理时要注意运用图形已知?如对顶角?
邻补角等特殊的图形条件.另外?推理时要注意步步有
据?前后要有因果关系.
Ａ 组　 夯实基础
一.选择题:
１.(１７????无锡)对于命题“若 ａ２>ｂ２?则 ａ>ｂ”?下面四组关
于 ａ?ｂ 的值中?能说明这个命题是假命题的是
(　 Ｂ　 )
Ａ.ａ＝ ３?ｂ＝ ２ Ｂ.ａ＝ －３?ｂ＝ ２
Ｃ.ａ＝ ３?ｂ＝ －１ Ｄ.ａ＝ －１?ｂ＝ ３
２.下列命题中真命题是 (　 Ｃ　 )
Ａ.两个锐角之和为钝角 Ｂ.两个锐角之和为锐角
Ｃ.钝角大于它的补角 Ｄ.锐角小于它的余角
３.(１８????枣庄)已知直线 ｍ∥ｎ?将一块含 ３０°角的直角三
角板 ＡＢＣ 按如图方式放置(∠ＡＢＣ＝ ３０°)?其中 Ａ?Ｂ 两
—８１—
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
点分别落在直线 ｍ?ｎ 上?若∠１＝ ２０°?则∠２ 的度数为
(　 Ｄ　 )
Ａ.２０° Ｂ.３０° Ｃ.４５° Ｄ.５０°
４.(１８????达州)如图?ＡＢ∥ＣＤ?∠１ ＝ ４５°?∠３ ＝ ８０°?则∠２
的度数为 (　 Ｂ　 )
Ａ.３０° Ｂ.３５° Ｃ.４０° Ｄ.４５°
第 ３ 题
　 　 　 　
第 ４ 题
二.填空题:
５.命题“若 ａ≠ｂ?则 ａ２≠ｂ２”的题设是　 ａ≠ｂ　 ?结论是　
ａ２≠ｂ２ 　 .
６.两条平行线被第三条直线所截?则一组同旁内角的平
分线的位置关系是　 垂直　 .
７.有下列四个命题:
①相等的角是对顶角?
②两条直线被第三直线所截?同位角相等?
③两直线平行?同旁内角互补?
④垂直于同一直线的两直线互相平行.
请把你认为正确的命题的序号填在横线上:　 ③　 .
三.解答题:
８.观察下面几个句子是否是命题?是否是真命题?如果是
假命题?请举出反例.
① 如果 ａ∥ｂ?ｂ∥ｃ?那么 ａ∥ｃ?
② 画线段 ＡＢ＝ ３ｃｍ?
③ 直角都相等?
④ 两条直线相交?有几个交点?
⑤ 相等的角都是直角?
⑥ 如果两个角不相等?那么这两个角不是对顶角.
　 解:①是命题?是真命题?②不是命题?
③是命题?是真命题?④不是命题?
⑤是命题?是假命题?反例:∠Ａ＝∠Ｂ＝６０°.
⑥是命题?是真命题.
９.已知?如图?点 Ｅ 是 ＢＣ 延长线上一点?ＡＥ 交 ＣＤ 于点
Ｆ?ＡＢ∥ＣＤ?∠１＝∠２?∠３＝∠４.
求证:ＡＤ∥ＢＥ.
证明:∵ＡＢ∥ＣＤ(已知)
∴∠４＝ ∠ＢＡＥ(两直线平行?同位角相等)
∵∠３＝∠４(已知)
∴∠３＝ ∠ＢＡＥ (等量代换)
∵∠１＝∠２(已知)
∴∠１＋∠ＣＡＦ＝∠２＋∠ＣＡＦ(等式性质)
即∠ ＢＡＥ ＝∠ ＤＡＣ
∴∠３＝∠ ＤＡＣ (等量代换)
∴ＡＤ∥ＢＥ(内错角相等?两直线平行)
１０. 如 图? ＥＦ ⊥ ＧＦ 于 Ｆ. ∠ＡＥＦ ＝
１５０°?∠ＤＧＦ＝ ６０°?试判断 ＡＢ 和
ＣＤ 的位置关系?并说明理由!
解:ＡＢ∥ＣＤ.证明如下:
作 ＦＨ∥ＡＢ?
∴∠ＡＥＦ＋∠ＥＦＨ＝１８０°.
∵∠ＡＥＦ＝１５０?
∴∠ＥＦＨ＝３０°.
又∵ＥＦ⊥ＧＦ?
∴∠ＨＦＧ＝９０°－３０° ＝６０°.
又∵∠ＤＧＦ＝６０°?
∴∠ＨＦＧ＝∠ＤＧＦ.
∴ＦＨ∥ＣＤ?
∴ＡＢ∥ＣＤ.
Ｂ 组　 提高巩固
１１.若∠１ 和∠２ 是直线 ＡＢ、ＣＤ 被直线 ＥＦ 所截而成的内
错角?则∠１ 和∠２ 的关系是 (　 Ｄ　 )
Ａ.∠１＝∠２ Ｂ.∠１>∠２
Ｃ.∠１<∠２ Ｄ.以上三种均有可能
(提示:注意只有当 ＡＢ、ＣＤ 平行时∠１ ＝∠２?而题中并末说明 ＡＢ、ＣＤ
的位置关系?故选 Ｄ.)
１２.如图?从①:∠１ ＝ ∠２?②:∠Ｃ ＝ ∠Ｄ?
③:∠Ａ＝∠Ｆ.三个条件中选出两个作
为已知条件?另一个作为结论所组成
的命题中?正确命题的个数　 ３　 个.
(提示:直接利用平行线的判定与性质分别判断可得正确命题有 ３ 个?
故填 ３.)
１３.如图?已知 ａ∥ｂ?ｃ∥ｄ?∠１ ＝ １００°?求∠２?∠３?∠４ 的
度数.
(１)在这个解题过程中包含着这样一个规律:如果一
个角的两边分别平行于另一个角的两边?那么这两个角
　 　 　 　 .
(２)如果两个角的两边分别平行?其中一个角比另一
角大 ２０°?那么这两个角分别是　 　 　 　 和　 　 　 　 .
(３)如果两个角的两边分别平行?其中一个角比另一
角的 ３ 倍少 ２０°?那么这两个角的度数分别是　 　 　 　 　 .
解:∵ ａ∥ｂ?∴∠１＝∠２＝ １００°.
∵ ｃ∥ｄ?∴∠２＝∠３＝ １００°.
∵∠３＋∠４＝ １８０°?∴∠４＝ １８０°－１００° ＝８０°.
(１)相等或互补
(２)１００°?８０°
(３)１０°?１０°或 ５０°?１３０°
—９１—
　 七年级(下)册
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第 ８ 课　 平移
知识目标
了解平移的概念?会进行点的平移?理解
平移的性质?能解决简单的平移问题.
重、难点 平移的特征及平移的画法.
思维目标 图形变化(换)思想.
１.平移定义:在平面内?将一个图形沿某一直线方向　 移
动　 一定的距离?这样的图形运动称为　 平移　 .
注意:
　 ①图形的平移是由　 方向　 和　 距离　 决定的?
　 ②平移的方向不一定水平?可以是任意方向.
２.平移的特征:
　 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动?会得到一个新
的图形?新图形与原图形的　 形状　 和　 大小　 完全相同?
　 ②新图形中的每一个点?都是由原图形中的某一点移
动后得到的?这两个点是对应点?连接各组对应点的线
段　 平行　 (或　 在同一条直线上　 )且　 相等　 .
平移图形的识别
【例 １】选择题:
　 (１)在下列四个汽车标志图案中?能用平移变换来分
析其形成过程的图案是 (　 　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
　 (２)下面各组中的两个图形?把一个图形经过平移后?
可以和另一个图形重合的是 (　 　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
　 (３)如图?把边长为 ２ 的正方形的局部进行图①~ 图
④的变换?拼成图⑤?则图⑤的面积是 (　 　 )
　 Ａ.１８ Ｂ.１６ Ｃ.１２ Ｄ.８
　 分析:(１)(２)根据平移的特征即可选出?(３)由平移
的特征知最后的图案实际是 ４ 个边长为 ２ 的正方形组
成?故不难选出.
　 解:(１)Ｄ?(２)Ｄ?(３)Ｂ.
按要求作出平移后的图形
【例 ２】 如图?经过平移?三角形
ＡＢＣ 的边 ＡＢ 移到了 ＥＦ?作出平
移后的三角形.
　 分析:连接 ＡＥ、ＢＦ?因为平移时
对应点的连线段平行且相等?故作 ＣＧ∥ＢＦ 且 ＣＧ ＝ ＢＦ?
得到 Ｇ 点?则三角形 ＥＦＧ 为所作平移后三角形.
　 解:如下图所示.
思考:
　 若只给出点 Ａ 的对应点 Ｅ 呢? 能否作出?
归纳:
　 作出平移后的图形只需要两个要素:平移方向?平移
距离.
平移思想的应用
【例 ３】填空题:
第(１)题
　 (１)如图?要在一块长方形耕地中修
筑同样宽的两条 “之” 字形路?路宽
２ｍ?则剩余耕地的面积为　 　 　 　 ｍ２ .
　 (２)某商场重新装修后?准备在大厅
的主楼梯上铺设一种红色的地毯?已知这种地毯的批发
价为每平方米 ４０ 元?已知主楼梯道的宽为 ３ 米?其侧面
如图所示?则买地毯至少需要　 　 　 　 元.
　 (３)如图?把三角板的斜边紧靠直尺平移?一个顶点从
刻度“５”平移到刻度“１０”?则顶点 Ｃ 平移的距离 ＣＣ′ ＝
　 　 　 　 .
第(２)题
　 　 　
第(３)题
　 分析:(１)通过平移可将“之”字形路平移到长方形的
边上?从而计算剩下的长方形面积即可?(２)由图示?可
知地毯的长度为(２.８＋５.６)米?从而易得购买地毯需(２.８
＋５.６)×３×４０＝ １００８ 元?(３)由平移性质知对应点连线段
平行且相等?故 ＣＣ′＝ １０－５＝ ５.
　 解:(１)５４０?(２)１００８?(３)５.
—０２—
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????????巅峰对决????数学 第 ５ 章　 相交线与平行线　
１.如图?直角三角形 ＡＢＣ(∠ＡＢＣ ＝ ９０°)沿直角边 ＢＣ 所
在的直线向右平移得到三角形 ＤＥＦ?下列结论中错误
的是 (　 Ｄ　 )
Ａ.ＢＥ＝ＣＦ Ｂ.∠ＤＥＦ＝ ９０°
Ｃ.ＡＣ＝ＤＦ Ｄ.ＥＣ＝ＣＦ
２.如图?将三角形 ＡＢＣ 沿 ＢＣ 方向平移 ２ｃｍ 得到三角形
ＤＥＦ?若三角形 ＡＢＣ 的周长为 １６ｃｍ?则四边形 ＡＢＦＤ
的周长为 (　 Ｃ　 )
Ａ.１６ｃｍ Ｂ.１８ｃｍ Ｃ.２０ｃｍ Ｄ.２２ｃｍ
第 １ 题
　 　 　 　
第 ２ 题
３.如图?直角三角形 ＡＢＣ 的周长为 １８?在其内部有 ５ 个
小直角三角形?同一方向直角边都互相平行?则这 ５ 个
小直角三角形的周长之和是　 １８　 .
４.夏季荷花盛开?为了便于游客领略“人从桥上过?如在
荷中行”的美好意境?某景点拟在如图所示的矩(长
方)形荷塘上架设小桥?若荷塘周长为 ２８０ｍ?且桥宽忽
略不计?则小桥总长为　 １４０　 ｍ.
第 ３ 题
　 　 　 　
第 ４ 题
１.本节要掌握平移的画法两要素:平移方向与距离?
２.要掌握平移性质?两个平行且相等:对应线段平行且相
等?对应点连线段平行(或在一条直线上)且相等?
３.认识平移图形并要体会利用平移性质作图形变化.
Ａ 组　 夯实基础
一.选择题:
１.如图?三角形 ＡＢＣ 沿着由点 Ｂ 到点 Ｅ
的方向?平移到三角形 ＤＥＦ?已知 ＢＣ
＝ ５?ＥＣ＝ ３?那么平移的距离为 (　 Ａ　 )
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.５ Ｄ.７
２.下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到
的是 (　 Ｃ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
３.某数学兴趣小组开展动手操作活动?设计了如图所示
的三种图形?现计划用铁丝按照图形制作相应的造型?
则所用铁丝的长度关系是 (　 Ｄ　 )
Ａ.甲种方案所用铁丝最长
Ｂ.乙种方案所用铁丝最长
Ｃ.丙种方案所用铁丝最长
Ｄ.三种方案所用铁丝一样长
４.如图?在 ６×６ 方格中有两个涂有阴影的图形 Ｍ、Ｎ?①
中的图形 Ｍ 平移后位置如②所示?以下对图形 Ｍ 的平
移方法叙述正确的是 (　 Ｂ　 )
Ａ.向右平移 ２ 个单位?向下平移 ３ 个单位
Ｂ.向右平移 １ 个单位?向下平移 ３ 个单位
Ｃ.向右平移 １ 个单位?向下平移 ４ 个单位
Ｄ.向右平移 ２ 个单位?向下平移 ４ 个单位
第 ３ 题
　
第 ４ 题
二.填空题:
５.如图?在宽为 ３０ｍ?长为 ４０ｍ 的矩形地面上修建两条宽
都是 １ｍ 的道路?余下部分种植花草.那么?种植花草的
面积为　 １１３１　 ｍ２ .
６.如图?将面积为 ５ 的三角形 ＡＢＣ 沿 ＢＣ 方向平移至三
角形 ＤＥＦ 的位置?平移的距离是边 ＢＣ 长的两倍?那么
图中的四边形 ＡＣＥＤ 的面积为　 １５　 .
７.如图将直角三角形 ＡＢＣ 沿 ＡＢ 方向平移 ＡＤ 距离得到
三角形 ＤＥＦ?已知∠ＡＢＣ ＝ ９０°?ＢＥ ＝ ５?ＥＦ ＝ ８?ＣＧ ＝ ３?
则图中阴影部分面积是　 ３２.５　 .
第 ５ 题 第 ６ 题 第 ７ 题
三.解答题:
８.如图?方格中有一条美
丽可爱的小金鱼.
　 (１)若方格的边长为 １?
则小鱼的面积为　 　 .
　 (２)画出小鱼向左平移
３ 格后的图形(不要求写作图步骤和过程) .
　 解:(１)１６?(２)画图如下:
—１２—
　 七年级(下)册
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????????巅峰对决????数学
９.在正方形网格中?每个小正方形的边长均为 １ 个单位
长度?三角形 ＡＢＣ 的三个顶点的位置如图所示.现将三
角形 ＡＢＣ 平移?使点 Ａ 变换为点 Ｄ?点 Ｅ、Ｆ 分别是 Ｂ、
Ｃ 的对应点.
　 (１)请画出平移后的三角形 ＤＥＦ?并求三角形 ＤＥＦ 的
面积.
　 (２)若连接 ＡＤ、ＣＦ?则这两条线段之间的关系是 　 .
　 解:(１)画图略?
Ｓ三角形ＤＥＦ ＝４×４－
１
２
×２×４－ １
２
×１×４－ １
２
×２×３＝７?
(２)ＡＤ 与 ＣＦ 平行且相等.
１０.如图?长方形 ＡＢＣＤ 中?ＡＢ ＝ ６?第 １ 次平移将长方形
ＡＢＣＤ 沿 ＡＢ 的方向向右平移 ５ 个单位?得到长方形
Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１?第 ２ 次平移将长方形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 沿 Ａ１Ｂ１ 的
方向向右平移 ５ 个单位?得到长方形 Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２?????第
ｎ 次平移将长方形 Ａｎ－１Ｂｎ－１Ｃｎ－１Ｄｎ－１沿 Ａｎ－１Ｂｎ－１的方向
平移 ５ 个单位?得到长方形 ＡｎＢｎＣｎＤｎ(ｎ>２) .
(１)求 ＡＢ１ 和 ＡＢ２ 的长.
(２)若 ＡＢｎ 的长为 ５６?求 ｎ.
解:(１)∵ＡＢ＝６?第 １ 次平移将长方形 ＡＢＣＤ 沿 ＡＢ 的方向向右
平移 ５ 个单位?得到长方形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１?
第 ２ 次平移将长方形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 沿 Ａ１Ｂ１ 的方向向右平移 ５ 个单
位?得到长方形 Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２?????
∴ＡＡ１ ＝５?Ａ１Ａ２ ＝５?Ａ２Ｂ１ ＝Ａ１Ｂ１－Ａ１Ａ２ ＝６－５＝１?
∴ＡＢ１ ＝ＡＡ１＋Ａ１Ａ２＋Ａ２Ｂ１ ＝５＋５＋１＝１１?
∴ＡＢ２ 的长为:５＋５＋６＝１６?
(２)∵ＡＢ１ ＝２×５＋１＝１１?ＡＢ２ ＝３×５＋１＝１６?
∴ＡＢｎ ＝(ｎ＋１)×５＋１＝５６?
解得:ｎ＝１０.
Ｂ 组　 提高巩固
１１.如图?有 ａ、ｂ、ｃ 三户家用电路接入电表?相邻电路的
电线等距排列?则三户所用电线 (　 Ｄ　 )
Ａ. ａ 户最长 Ｂ.ｂ 户最长
Ｃ.ｃ 户最长 Ｄ.三户一样长
(提示:∵ ａ、ｂ、ｃ 三户家用电路接入电表?相邻电路的电线等距排列?∴
将 ａ 向右平移即可得到 ｂ、ｃ?∵图形的平移不改变图形的大小?∴三户
一样长.故选 Ｄ.)
１２.如图?是一块电脑主板模型?每一个转角处都是直角?
其数据如图所示 (单位: ｃｍ)?则该主板的周长是
　 ９６　 ｃｍ.
(提示:根据平移思想?易得主板周长为 ２(１６＋ ２４) ＋４×４ ＝ ９６ｃｍ?故
填 ９６.)
第 １１ 题
　 　 　 　
第 １２ 题
１３.如图①所示?已知?ＢＣ∥ＯＡ?∠Ｂ ＝∠Ａ ＝ １００°?试回答
下列问题:
(１)试说明:ＯＢ∥ＡＣ?
(２)如图②?若点 Ｅ、Ｆ 在 ＢＣ 上?且∠ＦＯＣ ＝∠ＡＯＣ?
ＯＥ 平分∠ＢＯＦ.试求∠ＥＯＣ 的度数?
(３)在(２)的条件下?若左右平行移动 ＡＣ?如图③?那
么∠ＯＣＢ ∶ ∠ＯＦＢ 的比值是否随之发生变化? 若变化?
试说明理由?若不变?求出这个比值?
(４) 在 ( ３) 的条件下?当∠ＯＥＢ ＝ ∠ＯＣＡ 时?试求
∠ＯＣＡ 的度数.
解:(１)∵ＢＣ∥ＯＡ?∴∠Ｂ＋∠Ｏ＝１８０°?又∵∠Ｂ＝∠Ａ?
∴∠Ａ＋∠Ｏ＝１８０°?∴ＯＢ∥ＡＣ?
(２)∵∠Ｂ＋∠ＢＯＡ＝１８０°?∠Ｂ＝１００°?∴∠ＢＯＡ＝８０°?
∵ＯＥ 平分∠ＢＯＦ?∴∠ＢＯＥ＝∠ＥＯＦ?
又∵∠ＦＯＣ＝∠ＡＯＣ?
∴∠ＥＯＦ＋∠ＦＯＣ ＝ １
２
(∠ＢＯＦ＋∠ＦＯＡ)＝ １
２
∠ＢＯＡ＝４０°?
(３)结论:∠ＯＣＢ ∶ ∠ＯＦＢ 的值不发生变化.理由为:
∵ＢＣ∥ＯＡ?∴∠ＦＣＯ＝∠ＣＯＡ?
又∵∠ＦＯＣ＝∠ＡＯＣ?∴∠ＦＯＣ＝∠ＦＣＯ?
∴∠ＯＦＢ＝∠ＦＯＣ＋∠ＦＣＯ＝２∠ＯＣＢ?
∴∠ＯＣＢ ∶ ∠ＯＦＢ＝１ ∶ ２?
(４)由(１)知:ＯＢ∥ＡＣ?则∠ＯＣＡ＝∠ＢＯＣ?
由(２)可以设:∠ＢＯＥ＝∠ＥＯＦ＝α?∠ＦＯＣ＝∠ＣＯＡ＝β?
则∠ＯＣＡ＝∠ＢＯＣ＝２α＋β?
∠ＯＥＢ＝∠ＥＯＣ＋∠ＥＣＯ＝α＋β＋β＝α＋２β?
∵∠ＯＥＣ＝∠ＯＣＡ?

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