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2019-2020学年高三上学期期中（理科）数学试卷
一、选择题
1．已知曲线f（x）＝xcosx+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
2．已知各项不为0的等差数列{an}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{bn}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（　　）
A． B． C． D．
3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：
①f（x）＝cosx；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（　　）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④
4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（　　）
A．若|确定，则 θ唯一确定 B．若|确定，则θ唯一确定
C．若θ确定，则|唯一确定 D．若θ确定，则|唯一确定
5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（　　）

A． B． C．﹣1 D．
7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（　　）
A．2π B．π C． D．
8．设Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1＝2Sn，则数列{}的前20项和为（　　）
A． B． C． D．
9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）?f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（　　）
A． B．0 C． D．
11．若函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，e） B．[0，e] C．（﹣∞，2） D．（0，2]
12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）
13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则?＝　 　．
14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝　 　．
15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为　 　．
16．数列{an}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．
（1）当α＝60o时，求绿化面积；
（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．

18．已知等差数列{an}前n项和Sn，等比数列{bn}前n项和为Tn，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．
（1）若a3+b3＝7，求数列{bn}的通项公式；
（2）若T3＝13，求S5．
19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．
（1）求点A横坐标的取值范围；
（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN 中点．

20．已知等差数列{an}的公差d∈（0，π]，数列{bn}满足bn＝sin（an），集合S＝{x|x＝bn，n∈N*}．
（1）若a1＝0，d＝，求集合S；
（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；
（3）若集合S恰有三个元素，bn+T＝bn，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{an}的通项公式及集合S．
21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．
22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．




参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．已知曲线f（x）＝xcosx+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．
解：f（x）＝xcosx+3x的导数为f′（x）＝cosx﹣xsinx+3，
可得在点（0，f（0））处的切线斜率为cos0﹣0+3＝4，
由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得﹣＝﹣，
即a＝1．
故选：C．
2．已知各项不为0的等差数列{an}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{bn}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2，求得 a7 的值，再根据b2b12＝计算．
解：由a5﹣2a72+2a8＝0，
得a5+2a8＝2a72，
即3（a1+6d）＝2a72，
即3a7＝2a72，
∵a7≠0，∴a7＝＝b7，
则b2b12＝＝．
故选：C．
3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：
①f（x）＝cosx；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（　　）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④
【分析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！
解：对于函数①，当x∈[0，1]，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；
对于函数②f（x）＝x2﹣1，当x∈[﹣1，0]时，则有f（x）∈[﹣1，0]，符合题意；
对于函数③，当x∈[0，1]时，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；
由选项可知，应选B，
故选：B．
4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（　　）
A．若|确定，则 θ唯一确定 B．若|确定，则θ唯一确定
C．若θ确定，则|唯一确定 D．若θ确定，则|唯一确定
【分析】由题意可得，（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＜0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案．
解：（）2＝，
则令g（t）＝，
可得判别式△＝4（）2﹣4
＝4﹣4＝﹣4sin2θ＜0，
由二次函数的性质，可得g（t）＞0恒成立．
且当t＝﹣＝﹣cosθ时，g（t）最小，且为1．
即g（﹣cosθ）＝﹣||2cos2θ+||2＝||2sin2θ＝1，
故当θ唯一确定时，||唯一确定．
故选：D．
5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．
解：圆C：x2+（y﹣1）2＝1圆心坐标为（0，1），半径为1；
由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，
可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，
显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．
∵P是直线y＝2x﹣4上的动点，
∴PC最小值＝＝，
∴PM最小值＝＝，
∴四边形PMCN面积的最小值为：2×＝．
故选：A．

6．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（　　）

A． B． C．﹣1 D．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．
解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，
可得A＝2，由2sinφ＝，求得φ＝．
再根据五点法作图，可得ω?+＝，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+），
∴f（）＝2sin（+）＝﹣2cos＝﹣1，
故选：C．
7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（　　）
A．2π B．π C． D．
【分析】将函数式f（x）进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．
解：∵f（x）＝﹣4sinxcosx＝﹣2sin2x
∴f（x）的最小正周期为T＝π；
又∵f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，∴f（x）＝﹣f（x+2a）?﹣f（x）＝f（x+2a），
而﹣f（x）＝f（x﹣2a），∴f（x+2a）＝f（x﹣2a）?f（x）＝f（x+4a），
∴f（x）是以4a为周期的函数，
∴4a＝π，?a＝；
故选：D．
8．设Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1＝2Sn，则数列{}的前20项和为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据数列的递推公式可得数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到＝（）n﹣1，再根据等比数列的求和公式即可求出．
解：设Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1＝2Sn，
∴an＝2Sn﹣1，
∴an+1﹣an＝2an，
∴an+1＝3an，
∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴an＝3n﹣1，
当n＝1时也满足，
∴＝（）n﹣1，
∴数列{}的前20项和为＝﹣
故选：A．
9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．
解：椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，
可得（2a﹣c）2+c2＝4c2，可得2a2﹣2ac＝c2，
所以e2+2e﹣2＝0，e∈（0，1），
解得e＝＝．
故选：A．
10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）?f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（　　）
A． B．0 C． D．
【分析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．
解：函数＝sin（x+θ） 的图象的一条对称轴为直线，
∴f（）＝+＝±，解得a＝±1．
当a＝1时，f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣），
∵f（x1）?f（x2）＝﹣4，则f（x1）和f（x2）一个为﹣2，另一个为2，
∴x1＝2kπ﹣，x2＝2kπ+，则|x1+x2|＝|4kπ+|，k∈Z．
故当k＝0时，|x1+x2|取得最小值为．
当a＝﹣1时，同理求得，|x1+x2|取得最小值为，
故选：D．
11．若函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，e） B．[0，e] C．（﹣∞，2） D．（0，2]
【分析】利用函数求导函数 f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），只有一个极值点时f′（x）＝0只有一个实数解有ex﹣kx≥0，设新函数设u（x）＝ex，v（x）＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，
解：函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，
f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），
若函数f（x）＝ex（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝0只有一个实数解，
则：ex﹣kx≥0，
从而得到：ex≥kx，
当k＝0 时，成立．
当k≠0时，设u（x）＝ex，v（x）＝kx
如图：
当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．
故k的取值范围为：（0，e]
综上：k的取值范围为：[0，e]
故选：B．

12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a（3﹣），|AF1|＝2a（2﹣），再根据勾股定理即可求出
解：设|BF2|＝2m，
∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，
∴|AB|＝|BF2|＝m，|AF2|＝|BF2|＝m，
由|AF2|﹣|AF1|＝2a，
∴|AF1|＝m﹣2a，
由|BF2|﹣|BF1|＝2a，
∴|BF1|＝2m﹣2a，
∴|AF1|+|BF1|＝AB，
∴m﹣2a+2m﹣2a＝m，
∴m＝2a（﹣1），
∴|AF2|＝?2a（﹣1）＝2a（3﹣）
|AF1|＝2a（3﹣）﹣2a＝2a（2﹣）
又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，
即4a2（3﹣）2+4a2（2﹣）2＝4c2，
即（19﹣10）a2＝c2，
∴e2＝19﹣10，
故选：D．

二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）
13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则?＝　　．
【分析】根据，对两边平方即可得出，从而可求出．
解：∵||＝1，||＝2，且|2+|＝，
∴＝，
∴．
故答案为：．
14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝　16　．
【分析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．
解：由题意画出图形如图，

∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，
∴∠AFN＝30°，则直线AB的倾斜角为60°，斜率为．
由抛物线y2＝12x，得F（3，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣3）．
联立，得x2﹣10x+9＝0．
则xA+xB＝10，
∴|AB|＝xA+xB+p＝16．
故答案为：16．
15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为　（﹣1，+∞）　．
【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．
解：∵f（x）﹣mx+1+m≤0，
∴f（x）≤m（x﹣1）﹣1，
∵y＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），
∵当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，
∴当x＞1时，存在y＝f（x）在y＝m（x﹣1）﹣1的下方，
∵f'（x）＝（x2﹣2）ex﹣1，
令f'（x）＝0，解得x＝，
当1＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，）上递减，在（）上递增，
∵当x＞2时，f（x）＞0，
又f（1）＝﹣1，f（）＜﹣1，f（2）＝0，
∴m＞﹣1，
故答案为：（﹣1，+∞）

16．数列{an}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝　1　．
【分析】由数列{an}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝ak（1≤k＜2n﹣1），进而得出结论．
解：由数列{an}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，
可得＝n，即＝ak（1≤k＜2n﹣1），
故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．
（1）当α＝60o时，求绿化面积；
（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．

【分析】（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；
（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣sCDF＝，代入结合正弦函数的性质可求．
解：（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，面积，
绿化面积＝km2；
（2）由题意可得，30°＜α＜90°，
在△BDE中，∠BED＝120°﹣α，由正弦定理可得，，
∴BE＝，
△CDF中，∠CDF＝120°﹣α，∠CFD＝α，
由正弦定理可得，，
∴CF＝，
∴BE+CF＝+＝，
＝═
＝1＝1，
∴s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣sCDF＝
＝（30°＜α＜90°），
，，
∴，
∴，
答：地块的绿化面积S（α）的取值范围（]
18．已知等差数列{an}前n项和Sn，等比数列{bn}前n项和为Tn，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．
（1）若a3+b3＝7，求数列{bn}的通项公式；
（2）若T3＝13，求S5．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由已知列关于d和q的方程组，求得q，可得数列{bn}的通项公式；
（2）由b1＝1，T3＝13列式求得q，然后分类求解S5．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4，a3+b3＝7，得
，解得q＝2．
∴；
（2）由b1＝1，T3＝13，得1+q+q2＝13，即q＝﹣4或q＝3．
当q＝﹣4时，b2＝﹣4，此时a2＝4﹣b2＝8，d＝a2﹣a1＝7，；
当q＝3时，b2＝3，此时a2＝4﹣b2＝1，d＝a2﹣a1＝0，S5＝5a1＝5．
综上，S5＝75或5．
19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．
（1）求点A横坐标的取值范围；
（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN 中点．

【分析】（1）根据题意设出直线OA的方程，联立抛物线方程可表示出交点A的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA斜率范围，继而算出A点横坐标的范围；
（2）对抛物线求导，可求出AB的斜率，继而写出AB的方程，可以求得B点坐标，设出直线l及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得yP+yN＝2yM，得出结论．
解：（1）由题意直线OA斜率存在且不为零，设lOA：y＝kx，则
由'解得，
又D（2，1）到lOA：kx﹣y＝0的距离为，
即，
所以．
（2）证明：当直线OA过圆心D（2，1）时，，＝16，A（16，8），
由y2＝4x（y＞0）可得，
所以，
所以，
所以，即，
所以B（0，4），
设l：y＝mx+4，P（），Q（），
由，lOQ：，得，yN＝，
由，解得my2﹣4y+16＝0，
所以，，
所以＝，
即M为PN中点．
20．已知等差数列{an}的公差d∈（0，π]，数列{bn}满足bn＝sin（an），集合S＝{x|x＝bn，n∈N*}．
（1）若a1＝0，d＝，求集合S；
（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；
（3）若集合S恰有三个元素，bn+T＝bn，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{an}的通项公式及集合S．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出an，进而求出bn，再根据周期性求解；
（2）由集合S的元素个数，分析数列bn的周期，进而可求得答案；
（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列an的通
项公式及集合S．
解：（1）∵等差数列{an}的公差d∈（0，π]，
数列{bn}满足bn＝sin（an），集合S＝{x|x＝bn，n∈N*}，
∴a1＝0，d＝，，
∴bn＝sin（an）＝0，，
故S＝{0，}；
（2）a1＝，，d∈（0，π]，根据题意，集合S恰有两个元素；
当d＝π时，sin（）＝，故成立，
因为a1＝，要使an（n≥2）的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等

如图3d＝2π，d＝，故d＝π或；
（3）①当T＝3时，bn+3＝bn，集合S＝{b1，b2，b3}，符合题意．
与之相应的一个等差数列an的通项公式为，此时．
②当T＝4时，bn+4＝bn，sin（an+4d）＝sinan，
或an+4d＝2kπ﹣an，
等差数列an的公差d∈（0，π]，故，，
又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0，1，﹣1}
与之相应的一个等差数列an的通项公式为，此时S＝{0，1，﹣1}
21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；
（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．
解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；
因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）证明：由有两个零点可知
由且m＞0可知，
当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；
即h（x）的最小值为，
因此当时，，
可知h（x）在上存在一个零点；
当x＝e时，，
可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；
因此，即．
22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）运用离心率公式和点M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P（0，p），求得向量PA，PB和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论．
解：（1）由已知可得，
∴椭圆C的方程为；
（2）由得：9（2k2+4）x2﹣12kx﹣43＝0①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根，
∴，
设P（0，p），则，
＝
假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，
则，即．
即（18p2﹣45）k2+36p2+24p﹣39＝0对任意k∈R恒成立，
∴，
此方程组无解，
∴不存在定点满足条件．

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