资源简介

义 务 教 育 教 科 书
数 学
八年级 下册
QINGDAOCHUBANSHE
伴随着和煦的春风新的学期开始了。在新的学期里，你打算
怎样学好数学？
你过去已经认识了平行四边形，本学期你将运用合情推理和
演绎推理，探索并证明平行四边形和它的家族中的特殊成员——
矩形、菱形、正方形的一些重要的性质定理和判定定理。
你已经学习了有理数。你知道吗？现实中还有一类数不是有
理数，如圆周率 π、边长为 1 的正方形的对角线长等，它们是你
现在还不了解的“无理数”。有理数与无理数又组成一个更大的
家庭——实数。怎样用有理数估计一个无理数的大小？实数应怎
样运算？在第 7 章中将结合学习著名的“勾股定理”，走进新的实
数世界。
提起一元一次方程和二元一次方程组，你一定很熟悉，在第
9 章你将学习一元一次不等式和一元一次不等式组。方程是刻画
现实生活中数量之间相等关系的数学模型，不等式则是刻画它们
之间不等关系的数学模型。相信你会很感兴趣。
宇宙飞船要脱离地球引力，进入围绕太阳的轨道运行，速度
必须达到 2gR 。这是一个怎样的算式？这类算式如何进行运算？
你将在第 10 章“二次根式”中学习它。
在第 10 章你将结识函数中的重要成员——一次函数，体会它
的意义，会画它的图象，根据图象和它的表达式探索并理解它的
性质，从而为学习更复杂的函数奠定基础。
日常生活中，你会经常见到物体的平移和旋转现象。什么是
平面图形的平移和旋转？图形的平移和旋转有哪些性质？你愿意
进一步探索吗？
数学是人类文化的重要组成部分，它帮助你提高创新意识和
推理能力，为未来的工作和学习奠定基础。数学的大门向每一位
同学都是敞开的。面对新的挑战，动脑想一想，动手做一做，并
与同学交流。只要你肯付出努力，你会进一步领略数学的美妙，
享受到学习数学的乐趣。
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目? 录
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目 录
第?6?章? 平行四边形
6.1 平行四边形及其性质
6.2 平行四边形的判定
6.3 特殊的平行四边形
6.4 三角形的中位线定理
回顾与总结
第?7?章? 实? 数
7.1 算术平方根
7.2 勾股定理
7.3 2是有理数吗
7.4 勾股定理的逆定理
7.5 平方根
7.6 立方根
7.7 用计算器求平方根和立方根
7.8 实 数
回顾与总结
第?8?章? 一元一次不等式?
8.1 不等式的基本性质
8.2 一元一次不等式
8.3 列一元一次不等式解应用题
8.4 一元一次不等式组
回顾与总结
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110
112
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195
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第?9?章? 二次根式
9.1 二次根式和它的性质
9.2 二次根式的加法与减法
9.3 二次根式的乘法与除法
回顾与总结
第?10?章? 一次函数?
10.1 函数的图象
10.2 一次函数和它的图象
10.3 一次函数的性质
10.4 一次函数与二元一次方程
10.5 一次函数与一元一次不等式
10.6 一次函数的应用
回顾与总结
第?11?章? 图形的平移与旋转
11.1 图形的平移
11.2 图形的旋转
11.3 图形的中心对称
回顾与总结
综合与实践? 哪条路径最短
2
目? 录
内容提要
■ 平行四边形、矩形、菱形 、正方形的概念及
它们之间的关系
■ 平行四边形的性质与判定
■ 矩形、菱形 、正方形的性质与判定
■ 直角三角形斜边上中线的性质
■ 三角形的中位线定理
四边形是我们熟悉的几何图形.在这幅图片
中，你看到了哪些四边形的形象？
平行四边形是一类特殊的四边形. 怎样的四
边形是平行四边形？平行四边形具有哪些性质？
怎样判定一个四边形是平行四边形？
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形.
它们分别有哪些性质？怎样判定一个四边形是矩
形、菱形或正方形？
情境导航
第6章 平行四边形
4
在过去的学习中你已经认识了平行四边形. 思考下列问题：
（1）图 6-1中所示的是生活中常见的一些平行四边形的实例，你还能举出
类似的实例吗？
（2）通过观察上述实例，你发现具有什么特征的四边形是平行四边形？你
能根据这一特征画出平行四边形吗？
6.1? 平行四边形及其性质
图 6-1
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）. 如图 6-2，
在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，因此它是平行四边形，记作 ABCD，
读作“平行四边形ABCD”.
（3）任意画 ABCD，连接对角线 AC（图 6-3），如果沿这条对角线将平
行四边形剪成两个三角形，你发现得到的△ABC 和△CDA 能够重合吗？如果能
够重合，说出哪些边是对应边，哪些角是对应角. 由此，你猜测平行四边形的对
边和对角分别有什么性质？
（4）能证明你发现的结论是真命题吗？
已知：如图 6-2，四边形 ABCD 是平行四边形 .
求证：AB = CD，AD = BC .
图 6-2
观察与思考
楼梯扶栏 车位线 警示牌
5
证明 如图 6-3，连接 AC .
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC（平行四边形的定义），
∴∠1 =∠2 .
同理，∠3 =∠4 .
∵ AC = CA，
∴△ABC ≌ △CDA（ASA）.
∴ AB = CD，AD = BC .
于是，就得到
平行四边形的性质定理 1 平行四边形的对边相等．
在上面的证明过程中，由∠1 =∠2和∠3 =∠4，还可以推出∠BAD
=∠BCD . 由△ABC ≌ △CDA 还可以推出∠B =∠D . 于是，又得到
平行四边形的性质定理 2 平行四边形的对角相等．
想一想，如果不添加辅助线，你能证明平行四边形的对角相等吗？
例1 求证：
（1）夹在两条平行直线间的平行线段相等；
（2）如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等.
（1）已知：如图 6-4，l1∥l2，A，D
是直线 l1上的
任意两点，过点 A，D 作AB∥CD，分别交 l2 于点
B，C .
求证：AB = CD .
证明 ∵AD∥BC，AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形定义），
∴ AB = CD（平行四边形的性质定理1）.
在活动（3）中，将 ABCD
沿对角线 AC 剪开，这对于证明
AB = CD，AD = BC 有什么启示？
6.1 平行四边形及其性质
图 6-3
A D
B
l1
l2C
图 6-4
第6章 平行四边形
6
练 习
（2）已知：如图 6-5，l1∥l2，A，D
是直线 l1
上的任
意两点，AB⊥l2 ，垂足是
B，CD⊥l2 ，垂足是
C .
求证：AB = CD .
证明 ∵AB⊥l2，CD⊥l2，
∴ ∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ AB∥CD .
由（1）可知 AB = CD .
（1）剪一张平行四边形纸片，记为 ABCD，连
接 AC ，BD，交于点 O（图 6-7）.
（2）沿对角线AC 与 BD 将平行四边形纸片剪成
△AOB，△BOC，△COD 和△DOA，你发现它们中哪
1. 在 ABCD 中，试用∠A 表示出平行四边形的其他三个角.
2. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别是 BC，AD 上的点，
AE∥CF . 试用两种不同的方法证明：BE = FD，∠BAE
=∠DCF .
图 6-7
（第 2 题）
A
B
F
E
D
C
实验与探究
A
B
D l1
l2
C
图 6-5
例1（2）中的结论是
定义两条平行线之间距离
的依据.
如图 6-6，P 为 ABCD 内的任意一点，连接 PA，
PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PAD .
你发现其中两个不相邻的三角形的面积之和与平行四边
形 ABCD 的面积之间有什么关系？从而你能得到什么结
论？证明你的结论.
图 6-6
挑战自我
7
线段 OA = OC，OB = OD . 要证明它
们分别相等，只需证明△DOA 与△BOC
（或△AOB 与△COD）全等 .
（4）你能写出已知、求证和证明过程吗？
由以上探索和证明，我们得到
平行四边形的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分．
例2 如图 6-8， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相
交于点 O，过点 O 作一条直线，分别交 AD，BC 于点
E，F . 求证：OE = OF .
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，AD∥BC .
∴ ∠1 =∠2 .
∵ ∠3 =∠4，
∴ △OAE ≌△OCF（ASA）.
∴ OE = OF .
在例 2 中，如果将条件“分别交 AD，BC 于点 E，F ”
改为“分别交 BA，DC 的延长线于点 E，F（图 6-9）”，OE
= OF 的结论还成立吗？
图 6-8
6.1 平行四边形及其性质
些是全等三角形？
（3）由（2）你发现在两条对角线被点 O 分成的四条线段中，哪些是相等线
段？如何证明你的结论？
图 6-9
D
O
C
E
F
A
B
第6章 平行四边形
8
练 习
习题6.1
1. 在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB = 6，AC
= 8，BD = 12 . 求△AOB 的周长.
2. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，作
AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F .
（1）指出图中所有的全等三角形；
（2）求证：OE = OF .
（第 2 题）
1. 在 ABCD 中，∠A 与∠B 的度数之比为 7∶2，求∠C 与∠D 的度数 .
2. 如图，在直角坐标系中， ABCD 的顶点 B，C，A 的坐标分别是（0，0），（5，0），
（2，3），求顶点 D 的坐标 .
3. 如图，两条平行线 l1，l2 被另外一组平行线
l3，l4，l5 所截，交点分别为 A，B，C；D，
E，F . 写出图中的相等线段，并证明你的结论.
（第 2 题） （第 3 题）
A
B
C
D
E
F
l3
l1 l2
l4
l5
复习与巩固
在例 2 中，经过两对角线的交点 O 作直线，除了图 6-8、图 6-9 的两种情况
外，还可能有其他情况吗？如果还有，请分别画出图形，写出结论，并给出证明.
把以上各种情况加以归纳，你能得出一个怎样的结论？
挑战自我
9
6. 如图，在 ABCD 中，∠BAD 的平分线 AE 交 CD 于点 E，AB = 10，BC = 6 . 求 CE 的
长.
7. 如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OE ⊥ BD 交 AD 于点 E . 求
△ABE 的周长与 ABCD 的周长的比.
拓展与延伸
（第 6 题） （第 7 题）
6.1 平行四边形及其性质
8.（1）如图①， ABCD 的两条对角线的交点为 O . 如果△AOB，△BOC，△COD，
△DOA 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，试探索
S1，S2，S3，S4 的关系；
（2）如果将（1）中的条件“ ABCD”改为“四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD”（如图
②）. 试探索：S1∶S2 与 S4∶S3 之间的关系；
（3）如果将（2）中的对角线 AC⊥BD 的条件去掉（如图③），试探索 S1，S2，S3，S4
之间的关系.
4. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O . 在
图中共有几对三角形全等？说明理由.
5. 在 ABCD 中，对角线交点 O 到 AD 的距离与它到 BC
的距离相等吗？到 AB 的距离与到 CD 的距离呢？说明
理由.
探索与创新
O
A D
C
B
D
C
O
A
B B
O
D
A C
① ② ③
（第 8 题）
（第 4 题）
O
A
B
D
C
第6章 平行四边形
10
6.2? 平行四边形的判定
我们已经学习过平行四边形的定义和性质. 怎样判定一个四边形是平行四边
形呢？除了运用平行四边形的定义外，还有其他方法吗？
（1）根据平行四边形的定义，两组对边分别平行
的四边形是平行四边形，如果把定义中的“两组对边平
行”改为“一组对边平行且相等”，你能画出满足这两个
条件的四边形吗？
观察与思考
l2
l1
A
B
D
C
图 6-10
要判定 ABCD 是平行四边形，只
要能根据条件 AD∥BC，AD = BC 推
出 AB∥CD 就行了.
先画出两条平行线 l1，l2，然后在
l1，
l2 上分别截取两条相等线段
AD = BC，连接
AB，DC，得到四边形 ABCD（图 6-10）.
（2）观察你得到的四边形，你猜测它是平行四边形吗？
（3）能证明你的猜测是正确的吗？
已知：如图 6-11，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD = BC .
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
11
6.2 平行四边形的判定
交流与发现
（1）利用平行四边形的定义，即两组对边的位置关系（分别平行）可以判
定四边形是平行四边形. 判定定理 1 是通过一组对边的位置关系（平行）和数量
关系（相等），推出另一组对边的平行关系. 能不能通过两组对边分别相等推出
其中一组对边平行呢？
（2）任意画一个∠B，在∠B 的两边上分别任取两
点A，C，以点 A 为圆心，BC 的长为半径作弧，再以点
C为圆心，BA 的长为半径画弧，记两弧的交点为 D，连
接AD，CD，便得到四边形 ABCD（图6-12），且满足
AB = CD，AD = BC . 能判定四边形 ABCD 是平行四边形
吗？如果能，写出证明过程 .
图 6-12
证明 连接 AC .
∵ AD∥BC，
∴∠1 =∠2 .
∵ AD = BC，AC = CA，
∴△CDA ≌△ABC（SAS）.
∴∠3 =∠4 .
∴ AB∥CD .
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
于是，就得到
平行四边形的判定定理 1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
在图6-12中，连接 AC，得到△ABC 与
△CDA. 由 SSS，可证△ABC ≌△CDA . 由对
应角相等，可证明对边平行.
图 6-11
4
1
3
2
A D
B C
第6章 平行四边形
12
（3）由（2），你得出什么结论？
平行四边形的判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
（4）想一想，平行四边形的判定定理 2 与平行四边形的性质定理 1 有什么
关系？
例1 如图 6-13，E，F，G，H 分别是 ABCD 的边 AD，AB，BC，CD
上的点，且 AE = CG，BF = DH . 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，AB = CD .
∵ BF = DH，
∴ AF = CH .
∵ AE = CG，
∴△AFE ≌△CHG（SAS）.
∴ EF = GH .
同理，FG = HE .
∴四边形 EFGH 是平行四边形（平行四边形的判定定理 2）.
图 6-13
小亮猜测：“在四边形中，能否根据一组对边相等，另一组对边平行，判定
这个四边形是平行四边形呢？”小亮的猜测正确吗？如果正确，请给出证明；
如果不正确，请举出反例.
挑战自我
练 习
1. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ADB =∠CBD，∠ABD
=∠CDB. 利用三种方法证明四边形 ABCD 是平行四边
形 .
（第 1 题）
13
6.2 平行四边形的判定
（第 2 题）
2. 如图， 在 ABCD 中， 点 E，F 分别是 AD，BC 的中
点. 分别利用判定定理 1 和 2 证明四边形 BEDF 是平行四
边形 .
我们已经知道，当四边形的对边满足两个条件（两组对边分别平行或一组
对边平行且相等或两组对边分别相等）时，能判定这个四边形是平行四边形. 能
通过对角线所满足的条件，判定这个四边形是平行四边形吗？
交流与发现
（1）你能说出 6.1 节中平行四边形的性质定理 3 的逆命题吗？
（2）任意画两条相交直线 l1，l2，记它们的交点
为 O，在 l1 上以
O 为中点，截取 OA = OC，在 l2 上以

O 为中点，截取 OB = OD（OA 不必等于 OB）. 顺次连
接AB，BC，CD，DA，你得到一个怎样的四边形（图
6-14）？
（3）怎样证明你得到的结论？
如图 6-14，已知 OA = OC，OB = OD，
可证△AOD≌△COB，于是 AD = BC，∠ADO
=∠OBC，从而 AD∥BC . 故由判定定理 1 可证
四边形 ABCD 是平行四边形 .
也可以用判定定理 2 证明四
边形 ABCD 是平行四边形 .
图 6-14
D
C
O
A
B
l2
l1
第6章 平行四边形
14
于是，就得到
平行四边形的判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理 3 是平行四边形性质定理 3 的逆定理.
例2 如图 6-15，在 ABCD 中，点 E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AF
= CE. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形.
证明 连接 BD，交 AC 于点 O .
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD .
∵ AF = CE，
∴ OF = OE .
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形（平行四边形的判定定理 3）.
对于例 2，你还有其他的证明方法吗？
图 6-15
小亮的证明对吗？
小亮正在研究一个命题：“如果四边形 ABCD 与 BEFC 都是平行四边形，那么四边形
AEFD 也是平行四边形 . ”
小亮画出了图 6-16，并给出了如下的证明.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
　∴ AB = DC， ①
　　AD = BC . ②
挑战自我
已知四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且 OA =OC，AB =CD，能判
定四边形 ABCD 是平行四边形吗？如果能够判定，写出证明过程，如果不能判
定，分析其原因，并举出反例.
图 6-16
A D
B C
E F
智趣园
15
又∵ 四边形 BEFC 也是平行四边形，
∴ BC = EF， ③
BE = CF . ④
由 ② ③ 得 AD = EF，
由 ① ④ 得 AB + BE = DC + CF，即 AE = DF .
∴ 四边形 AEFD 是平行四边形.
你对小亮的证明满意吗？如果你认为有问题，你能指出问题出在哪里吗？
6.2 平行四边形的判定
练 习
1. 延长△ABC 的中线 AD 至 E，使 DE = AD . 连接 BE，CE . 求证：四边形 ABEC 是平行
四边形.
2. 下列命题是真命题吗？如果不是，举出反例；如果是真命题，给出证明.
（1）一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；
（2）对角线相等的四边形是平行四边形；
（3）一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.
1. 求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 .
2. 如图，DB∥AC，DB = 12 AC，E
是 AC 的中点. 求
证：BC = DE .
习题6.2
（第 2 题）
复习与巩固
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＜BC，BC = 6 cm . 动点 P， 分别从点
D，B 同时出发，点 P 以 1 cm/s 的速度向点 A 运动，点 以 2 cm/s 的速度向点 C 运动.
几秒后四边形 CDP 是平行四边形？
第6章 平行四边形
16
（第 6 题）（第 5 题）
7. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别为边 BC，AD 上的点，AE∥CF，连接 BF，DE，
分别交 CF，AE 于点 G，H. 图中除 ABCD 外，还有平行四边形吗？证明你的结论.
拓展与延伸
（第 7 题） （第 8 题）
9. 有一组对边相等、一组对角相等的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如
果不是，举出反例.
（第 4 题）
A D
CB
O
（第 3 题）
4. 如图，已知 AD∥BC，AC 与 BD 相交于点 O，且 AO = OC . 求证：AB∥CD .
5. 如图，AB∥CD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线 EF 分别交 AB， CD 于点 E，
F，且OE = OF . 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
6. 如图，在 ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接
BF，AC . 求证：四边形 ABFC 是平行四边形.
8. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 是对角线 AC 上的两点，请添加一个不同于“AF = CE”
的条件，使四边形 BEDF 是平行四边形，并写出证明的过程.
探索与创新
17
6.3 特殊的平行四边形
（1）你还记得四边形的不稳定性吗？
（2）如图 6-17 ①，做一个平行四边形的框架，记作 ABCD，固定它的四
条边的长度. 如果改变其中一个内角（例如∠B）的大小，所得到的四边形还是
平行四边形吗？为什么？
（3）当∠B 的大小变化时，其他三个内角的大小是否也发生变化？如果发
生变化，它们与∠B 之间保持怎样的数量关系？
6.3? 特殊的平行四边形
（4）当平行四边形的一个角（例如∠B）成为直角时，得到一个怎样的图
形（图 6-17 ②）？
实验与探究
当∠B 的大小变化时，仍然有∠A 与
∠B 互补，∠C 与∠B 互补，∠D =∠B .
当∠B 的大小变化时，仍然有 AB = DC，
AD = BC，所以 ABCD 仍然是平行四边形.
10. 在四边形 ABCD 中，将下列条件中的哪两个条件组合，可以判定它是平行四边形？
（1）AB∥CD； （2）BC∥AD； （3）AB = CD；
（4）BC = AD； （5）∠A =∠C； （6）∠B =∠D .
第6章 平行四边形
18
（2）利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你发现矩形的另外
三个角有什么性质？证明你的结论.
矩形的性质定理 1 矩形的四个角都是直角.
（3）任意画一个矩形， 作出它的两条对角线，并比较它们的长. 你有什么
发现？
已知：如图 6-19，四边形 ABCD 是矩形 .
求证：AC = DB .
证明 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC =∠DCB = 90°（矩形的性质定理 1）.
矩形具有平行四边形的所有性质 . 此外，矩形还具有哪些特殊性质呢？
（1）取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在的直线折叠，你
发现矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴（图 6-18）？
矩形是轴对称图形，它
有两条对称轴. 对称轴分别
是经过两组对边中点的两条
直线（图 6-18）.
图 6-18
实验与探究
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（rectangle）.
矩形，即我们所熟悉的长方形，是生活中常见的一种特殊的平行四边形.
A
B
D
O
C
图 6-19
图 6-17
① ②
有一个角是直角
A
B C
A
B
D D
C
19
6.3 特殊的平行四边形
∵ AB = CD（平行四边形的对边相等），
BC = CB，
∴△ABC ≌△DCB（SAS）.
∴ AC = DB .
于是，就得到
矩形的性质定理 2 矩形的对角线相等.
（4）如图 6-19，矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O，沿对角线 AC 将矩形
剪开，得到 Rt△ABC . 这时，OB 是这个直角三角形的一条什么线段？它与斜边
AC 之间有怎样的数量关系？由此你发现了直角三角形的一个怎样的性质？能证
明你得到的命题是真命题吗？
直角三角形的性质定理 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .
已知：如图 6-20，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，O 是 AC 的中点.
求证：BO = 12
AC .
证明 延长 BO 到 D，使 OD = BO，连接 AD，CD
（图6-20），在四边形 ABCD 中，
∵ AO = OC，BO = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 .
∵∠ABC = 90°，
∴ ABCD 是矩形 .
∴ AC = BD .
∵ BO = 12
BD，
∴ BO = 12
AC .
例1 如图 6-21，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于
点 O，∠BOC = 120°，AB = 6 cm . 求 AC 的长 .
解 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，且 OA = OC = 12
AC，OB = OD = 12
BD，
A
B
D
O
C
图 6-21
A
B
D
O
C
图 6-20
第6章 平行四边形
20
练 习
1. 如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 上的点，在下列三个条件：① AE
= CF；② BE∥DF；③∠1 =∠2 中，选择其中一个，求证：BE = DF .
2. 如图，在 Rt △ABC 中，CD 是斜边 AB 的中线，CE 是高. 求证：∠ACE =∠BCD .
交流与发现
（1）根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形. 如果不通过平
行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗？有
几个角是直角的四边形是矩形呢？
（第 2 题）（第 1 题）
C
A BE D
A
B
E D
CF
21
木杆 AB 斜靠在墙壁上（图 6-22），当木杆的上端
A 沿墙壁 NO 竖直下滑时，木杆 AB 的中点 P 也随之下落.
你能在图上画出点 P 下落的路线吗？
图 6-22
挑战自我
∴ OA = OB .
∵∠BOC = 120°，
∴∠AOB = 60°.
∴△AOB 是等边三角形.
∵ AB = 6 cm，AO = AB = 6 cm .
∴ AC = 2AO = 12 cm .
所以，AC 的长为 12 cm .
对于例 1，你还有其他的解法吗？
21
矩形的四个角都是直角. 反过来，
四个角都是直角的四边形是矩形.
（2）小亮说得对吗？能证明他的结论吗？
（3）小莹说：“由于四边形的内角和等于 360°，因而四个内角中只要有三个
角是直角，第四个内角也一定是直角. 所以可以减少一个条件，有三个角是直角
的四边形就是矩形.”小莹的说法正确吗？
已知：如图 6-23，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B
=∠C = 90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明 ∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，
∠B +∠C = 180°，
∴ AD∥BC，AB∥CD .
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 .
∵∠A = 90°，
∴ ABCD 是矩形 .
（4）比较上面（2）（3）中小亮和小莹的两种说法，你认为选择哪种说法作
为矩形的判定定理更为简洁？
于是，便得到
矩形的判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形.
（5）由矩形的性质定理 2：矩形的两条对角线相等. 反过来，两条对角线相
等的四边形是矩形吗？
6.3 特殊的平行四边形
A
B
D
C
图 6-23
如图 6-24，我画了两条等长的相交线段 AC 与
BD，顺次连接点 A，B，C，D，得到的四边形 ABCD
不是平行四边形，也就不可能是矩形. 所以，“两条对
角线相等的四边形是矩形”不是真命题.
第6章 平行四边形
22
已知：如图 6-25，在 ABCD 中，AC = BD .
求证： ABCD 是矩形.
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD .
又∵ AC = BD， BC = CB，
∴△ABC ≌△DCB .
∴∠ABC =∠DCB .
∵ AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°.
∴∠ABC = 180°2 = 90°.
∴ ABCD 是矩形 .
于是，就得到
矩形的判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形．
D
C
BA
图 6-24
（6）如果适当加强命题“两条对角线相等的四边形
是矩形”的条件，能使它成为真命题吗？
对角线相等的平行
四边形是矩形吗？
在探索新的数学命题时，如果命
题的条件不能保证结论成立，可以尝
试适当加强命题的条件，以便使结论
成立 .
加油站
A D
B C
图 6-25
在问题（6）中，除了小莹的说法外，你还能适当加强其他的条件，使它成
为真命题吗？
挑战自我
23
练 习
1. 在四边形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O . 在下列各组条件中，不能判定四边形 ABCD 为
矩形的是（ ）.
（A）AB = CD，AD = BC，AC = BD
（B）AO = CO，BO = DO，∠A = 90°
（C）∠A =∠C，∠B +∠C = 180°，AC⊥BD
（D）∠A =∠B = 90°，AC = BD
2. 要检验一个四边形的桌面是不是矩形，你能想出哪些方法？
活动衣架 起重架 隔离网
图 6-28
（1）剪一张平行四边形纸片，比较它的一组邻边，如果它们不相等，你能
在这张纸片上剪下一刀，得到一个有一组邻边相等的平行四边形吗？
6.3 特殊的平行四边形
交流与发现
有一组邻边相等
图 6-26
平行四边形 菱形
图 6-27
A D
B C
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（rhombus）.
例如，图 6-27 中的 ABCD，AB = AD，记作“菱形 ABCD”.
（2）菱形也是一种常见的特殊平行四边形. 除下面的一组实例外，你还能
举出生活中见到的菱形的实例吗？
第6章 平行四边形
24
（2）观察图 6-29，根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大
小关系？菱形的两条对角线 AC 与 BD 之间具有什么位置关系？
（3）你能运用菱形的定义及平行四边形的性质，证明你得到的命题是真命
题吗？与同学交流 .
菱形的性质定理 1 菱形的四条边都相等.
菱形的性质定理 2 菱形的两条对角线互相垂直.
利用菱形的性质定理的逆命
题能探索菱形的判定定理吗？
由两组对边分别相等可以判定
它是平行四边形，再根据一组邻边相
等，便可证明它是菱形.
观察与思考
怎样判定一个四边形是菱形？
（1）由菱形的性质定理 1：菱形的四条边都相等. 反过
来，四条边都相等的四边形是菱形吗？证明你的结论？
菱形具有平行四边形的所有性质. 此外，菱形还具有哪些特殊性质呢？
（1）观察图 6-29，菱形是轴对称图形吗？请利用实验的方法得出结论. 如
果是，它有几条对称轴？与同学交流.
如图 6-29，菱形是轴对称图
形，它有两条对称轴. 对称轴是分
别经过两组对角顶点的两条直线.
实验与探究
A
B D
C
图 6-29
25
如图 6 - 3 0 ， A C ⊥ B D ，但
BO≠OB，从而四边形 ABCD 不是平
行四边形. 所以，“两条对角线互相
垂直的四边形是菱形”不是真命题.
（3）怎样适当加强命题“两条对角线互相垂直的四边形是菱形”的条件，
使它成为真命题？与同学交流.
已知：如图 6-31， 在 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AC⊥BD .
求证： ABCD 是菱形.
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BO = OD .
∵ AC⊥BD，
∴ AC 是线段 BD 的垂直平分线 .
∴ AB = AD（线段垂直平分线的性质）.
∴ ABCD 是菱形（菱形的定义）.
于是，就得到
菱形的判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
想一想，两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形吗？为什么？
图 6-31
6.3 特殊的平行四边形
菱形的判定定理 1 四条边相等的四边形是菱形 .
（2）由菱形的性质定理 2 ：菱形的两条对角线互相垂直. 反过来，两条对角
线互相垂直的四边形是菱形吗？
挑战自我
取一张矩形纸片，你能利用折叠的方式，折出一个四个顶点都在矩形边上
的菱形吗？你有几种不同的折法？画出图形，说明折出的图形是菱形，并比较
用不同的折纸方法折出的菱形的面积.
A
D
C
B
图 6-30
O
第6章 平行四边形
26
（1）图 6-32 是你早已认识的正方形. 它是平行四边形
吗？你能说出具有什么特征的平行四边形是正方形吗？
有 一 组 邻 边 相 等 ， 并 且 有 一 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 叫 做正方形
（square）.
（2）由正方形的定义可以知道，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是
有一个角是直角的菱形（图 6-33），所以正方形具有矩形和菱形的一切性质.
你能说出这些性质吗？
有一组邻边相等 有一个角是直角
矩形 正方形
图 6-33
菱形
（3）正方形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
（4）怎样判定一个四边形是正方形？与同学交流 .
例2 如图 6-34，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，PM⊥BC，
PN⊥CD，垂足分别为点 M，N . 求证：AP = MN .
证明 连接 PC .
∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴∠BCD = 90°.
观察与思考
A
B
D
C
图 6-32
练 习
1. 菱形的两条对角线的长分别为 a，b，面积为 S. 求证：菱形的面积为 S = 12 ab .
2. 在菱形 ABCD 中，已知∠BAD = 120°，AE⊥BC，垂足为 E . 求证：E 是 BC 的中点.
27
6.3 特殊的平行四边形
∵ PM⊥BC，PN⊥CD，
∴∠PMC = 90°，∠PNC = 90°，
∴ 四边形 PMCN 是矩形.
∴ PC = MN .
连接 AC，交 BD 于点 O .
∵ BD⊥AC， AO = OC .
∴ BD 是 AC 的垂直平分线.
∴ AP = PC .
∴ AP = MN .
练 习
如图 6-35，P 是正方形 ABCD 内的一点，△PBC 为等
边三角形，连接 PA，PD . 探索△PAD 的形状，并求△PAD
各角的大小.
1. 选择题：在四边形 ABCD 中，点 O 是对角线的交点. 在下列条件中，能判定这个四边
形为正方形的是（ ）.
（A）AC = BD，AB∥CD （B）AD∥BC，∠A =∠C
（C）OA = OB = OC = OD，AC⊥BD （D）OA = OC，OB = OD，AB = BC
2. 在正方形 ABCD 中，BD 的长为 20 cm， 点 P 是边 AB 上任意一点. 求点 P 到 AC 与 BD
的距离之和.
挑战自我
习题6.3
1. 在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，∠AOB = 2∠BOC， AC = 18 cm . 求 AD 的长.
图 6-35
B
A
C
P
D
图 6-34
复习与巩固
O
第6章 平行四边形
28
（第 9 题）
2. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，垂足为 E，∠DAE = 2∠BAE，求证：DE = 3BE .
（第 6 题） （第 7 题）
B
A
O
E
C
D
A
C
B D
（第 10 题）
（第 8 题）
3. 如图，在直线 MN 上和直线 MN 外分别任取点 A，B，过线段 AB 的中点 O 作 CD∥MN，
分别与∠MAB 与∠NAB 的平分线相交于点 C，D . 求证：四边形 ACBD 是矩形.
4. 求证：平行四边形的各内角的平分线的交点是一个矩形的四个顶点.
5. 求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.
6. 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AD，垂足为 E，如果 AE = DE. 求菱形各个角的度数.
7. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线交点，DE∥AC，CE∥BD . 求证：四边形 OCED 是菱
形.
8. 如图，在 ABCD 中，E 为 BC 的中点，DE⊥AE . 求证：AD = 2AB .
9. 如图，在 ABCD 中，AE 平分∠BAD，EF∥AB，交 AD 于点 F . 求证：四边形 ABEF
是菱形.
10. 如图，将宽度为 1 cm 的两张纸条交叉重叠在一起，重叠的部分组成了四边形 ABCD .
四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？
11. 如果矩形的一条对角线上任意一点到另一条对角线两端的距离相等，求证：该矩形
是正方形.
A
B
E
O
D
C
（第 2 题） （第 3 题）
29
拓展与延伸
14. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上移动，但点 A 到 EF 的距离 AH
始终保持与 AB 的长相等. 在 E，F 移动过程中：
（1）∠EAF 的大小是否发生变化？请说明理由；
（2）△ECF 的周长是否发生变化？请说明理由.
17. 如图，E 为 ABCD 外一点，AE⊥EC，BE⊥ED，求证： ABCD 为矩形.
18. 如图，已知 M 在正方形 ABCD 的一边 BC 上，连接 AM，并过点 M 作MN⊥AM，交正
6.3 特殊的平行四边形
12. 如图，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上，连接 BE，DG，求证：BE
= DG .
C
F
B
DA
（第 12 题）
E
G B
A
C
D
E
F
P
（第 13 题）
13. 如图，点 P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的任意一点，连接 AP，作 DE⊥AP，垂足是
E，BF⊥AP，垂足是 F . 求证：DE = BF + EF .
15. 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F .
（1）判定四边形 AEDF 的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形？
为什么？
16. 如图，在矩形 ABCD 中，点 O 是 AC 的中点，AC = 2AB，延长
AB 至 G，使 BG = AB，连接 GO 交 BC 于点 E，延长 GO 交 AD
于点 F . 判定四边形 AECF 的形状，并证明你的结论.
（第 16 题）
（第 15 题）（第 14 题）
A
B
D
H
E
F
C
探索与创新
第6章 平行四边形
30
6.4? 三角形的中位线定理
（1）任意画一个三角形 ABC，分别作出边 AB，AC 的中点 D，E，连接 DE
（图 6-36）.
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线 .
画一画，三角形有几条中位线？
（2）如图 6-36，把△ABC 沿中位线 DE 剪开，得到△ADE 和四边形 BCED.
将△ADE 按图 6-37 的方式放置，使点 A 与 C 重合，AE 与 CE 重合. 你拼出了一
个什么图形？说明你的理由.
（3）利用拼出的图形，你发现中位线 DE 与底边 BC 有怎样的位置关系？有
怎样的数量关系？
DE∥BC，且DE = 12 BC .
图 6-36 图 6-37
实验与探究
（4）对于△ABC 其他的两条中位线，你也能得到同样的结论吗
（5）由（3）（4），你发现三角形的中位线与第三边之间有怎样的位置关系
方形 ABCD 的外角∠DCE 的平分线于点 N . 求证：AM = MN .
（第 17 题）
E
A
B
D
C
（第 18 题）
B
A
M C
D
N
E
31
和数量关系？如何证明你的结论？
6.4 三角形的中位线定理
图 6-39
上面的实验过程对添
加辅助线有什么启示？
已知：如图 6-37，在△ABC 中，AD = DB，AE = EC .
求证：DE∥BC，DE = 12 BC .
证明 延长 DE 至 F，使 EF = DE，连接 CF（图 6-38）.
∵ AE = CE，∠AED =∠CEF，
∴△ADE ≌△CFE（SAS）.
∴ AD = CF，∠A =∠FCE .
∵ AD = BD，
∴ BD = CF，且 BD∥CF .
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形（平行四边形的判定定理 1）.
∴ DF∥BC，DF = BC .
又∵ DE = 12 DF，
∴ DE = 12 BC .
于是，就得到
三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边
的一半 .
例1 如图 6-39，点 E，F，G，H 分别是四边形
ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点. 求证：四边形
EFGH 是平行四边形.
解 连接 AC . 在△ABC 中，
∵ 点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，
∴ EF∥AC，EF = 12 AC （三角形的中位线定理）.
图 6-38
第6章 平行四边形
32
练 习
如图 6-40，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 为 AB 的
中点，E 为 AC 的中点，延长 BC 至 F，使 CF = 12 BC，连
接 EF，∠B =∠F 吗？试至少用两种方法证明你的结论.
四边形的分割与拼接
如图 6-41 ①，有一块四边形的木板，能通过分割和拼接把这块木板的形状变成平
行四边形吗？
设这块四边形木板的顶点依次为A，B，C，D，分别取四边形 ABCD 各边的中点
E，F，G，H，记 EG 与 FH 的交点为 O（图 6-41 ②）.
线段 EG 与 FH 互相平分吗？为什么？
沿着 EG 和 FH 把木板 ABCD 锯开，得到 4 个小四边形，将小四边形的顶点 A，B，
C，D 拼在一起，使 AE 与 BE 重合，BF 与 CF 重合，CG 与 DG 重合，DH 与 AH 重合， 4
个小四边形就拼成 O1O2O3O4 了（图
6-41 ③）. 你能用剪纸的方法进行模拟实验吗？
你能证明你的结论吗？
1. 已知三角形的各边长分别为 8 cm，10 cm 和 12 cm，求连接三角形各边中点所得到的
三角形的周长.
挑战自我
A
D
B C F
E
图 6-40
智趣园
同理 GH∥AC，GH = 12 AC .
∴ EF∥GH，且 EF = GH .
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形（平行四边形的判定定理 1）.
②
图 6-41
③①
C（A，B，D）
33
回顾与总结
习题6.4
1. 顺次连接下列四边形各边的中点，得到一个怎样的图形？证明你的结论.
（1）对角线互相垂直的四边形；
（2）平行四边形；
（3）正方形.
2. 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
3. 在△ABC 中，D 是边 AB 的中点，DE∥BC 交 AC 于点 E . 求证：AE = CE .
拓展与延伸
4. 点 D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点. 求△ADE 与
△ABC 的面积之比.
5. 如图，在△ABC 中，D1，D2，D3
是边 BC 的四等分点，
E1，E2，E3
是边 AC 的四等分点，F1，F2，F3
是边 AB 的四
等分点，△ABC 的面积为 1. 求四个阴影三角形 P1，P2，
P3，P4
的面积之和.
6. 在△ABC 中，AB，BC，CA 的中点分别是 E，F，G，AD
是高. 求证：∠EDG =∠EFG .
（第 5 题）
1. 本章学习了哪些内容？总结一下，与同学交流.
2. 平行四边形是特殊的四边形，矩形、菱形、正方
形都是特殊的平行四边形. 其中，正方形既是特
殊的矩形，也是特殊的菱形. 请按照它们的包含
回顾与总结
2. 顺次连接矩形各边的中点，得到一个怎样的图形？顺次连接菱形各边的中点呢？证明
你的结论 .
探索与创新
复习与巩固
A
E G
B CD F
（第 6 题）
第6章 平行四边形
34
综合练习
1. 选择题
（1）在四边形 ABCD 中，AD∥BC . 要判定 ABCD 是平行四边形，还需要添加的条件
是 （ ）.
（A）∠A +∠C = 180° （B）∠B +∠D = 180°
（C）∠A +∠B = 180° （D）∠A +∠D = 180°
关系在上图中适当的空白处分别填上它们的名称 .
3. 把平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义和性质分别填入下表：
图形 定 义
性质
边 角 对角线 对称性
平行四边形
矩 形
菱 形
正方形
4. 结合下图说出各种特殊四边形的判定定理，并在“→”的上方写出相应判定定理的要点.
四边形 平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
5. 在本章中，哪些判定定理可由性质定理的逆命题得到？对此你有什么体会？
6. 特殊四边形的定义性质及其判定，既是本章研究的重要内容，也是今后用来证明两角
相等、两线段相等、两直线平行或垂直的重要依据. 就这类问题，谈谈你学习的心得
和感受.
7. 直角三角形斜边上的中线的性质定理是如何得到的？这个定理能够帮你解决哪些问题
8. 三角形的中位线定理是什么？这个定理能够帮你解决哪些问题？
9. 在解决几何问题时，经常根据需要添加辅助线. 结合本章学习内容说说你在解决问题
时添加辅助线的体会 .
复习与巩固
35
3. 如图，在△NMB 中，BM = 6，点 A，C，D 分别在边 MB，BN，MN 上，DA∥NB，
DC∥MB，∠NDC =∠MDA . 求四边形 ABCD 的周长.
4. 分别以矩形 ABCD 的边 AD 和 CD 为一边，向矩形外作正三角形 ADE 和正三角形
CDF，连接 BE 和 BF . 求证：BE = BF .
5. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，DC 上，BF∥DE，AD = 12 cm，AB =
7 cm ，且 AE∶EB = 5∶2 . 求四边形 BFDE 的面积 .
6. 如图是一个边长为18 cm 的菱形活动衣架. 当 A，B 之间的距离为18 cm 时，求∠D 的度
数.
7. 如图，把大小相同的两块矩形铁板焊接成“L”型工件，求图中∠FAC 和∠FCA 的度
数.
（第 2 题） （第 3 题）
M
N
D
C
BA
回顾与总结
（2）以长度分别为 5 cm，4 cm，7 cm 的三条线段中的两条为边，以另一条线段为对
角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是（ ）.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（3）如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 是菱形 BEFD 的
一边，菱形 BEFD 的对角线 BF 交正方形 ABCD 的
一边 CD 于点 M，∠FMC 的度数是（ ）.
（A）135° （B）120°
（C）112.5° （D）67.5°
2. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上 ，BE = DF，点 M，N 分别是 AE，
CF 的中点 . 求证：四边形 MENF 是平行四边形.
B C E
M
A D F
（第 1（3）题）
F E
D
G A B
C
（第 7 题）（第 6 题）
8. 如图，在正方形 ABCD 中，E为边 CD 上的一点，F 为边 BC 延长线上的一点，CE =
CF .
（第 5 题）
A
E
B C
F
D
第6章 平行四边形
36
（1）求证：△BCE ≌△DCF；
（2）已知∠BEC = 60°，求∠EFD 的度数 .
9. 如图，在△ABC 中，AB = AC，延长 AB 到 D，使 BD = AB，E 是 AB 的中点. 求证：
CD = 2CE.
（第 9 题）
拓展与延伸
11. 如图，在 ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线分别交 BC 于点 F 与 E . 求证：BE
= FC.
（第 13 题）
10. 有一块形状为平行四边形的铁片ABCD，其相邻两边之比为AD∶AB = 1∶2 . 能从这
块铁片上截下一个以 AB 为斜边、直角顶点在 CD 上的直角三角形吗？如果能，应当
怎样截取？证明你的结论 .
12. 如图，在矩形 ABCD 中，点 M 是边 AD 的中点，点 P 是边 BC 上的动点，PE⊥MC，
PF⊥BM，垂足分别为点 E，F .
（1）当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论.
（2）如果四边形 PEMF 为矩形，那么当点 P 运动到什么位置时，矩形 PEMF 变为正
方形 ？能证明你的猜想吗？
13. 如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC，BC 为一边，在 BC 的同
侧作等边三角形 ABD，ACE，BCF .
（1）求证：四边形 DAEF 是平行四边形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 DAEF 是矩形？是菱
形？是正方形？
（第 8 题）
A
B
E
D
C F
（第 11 题） （第 12 题）
37
14. 一个三角形纸片经过适当分割和拼接，可以将这个三角形变成一个面积相等的矩形.
剪切与拼接方法如图 ① 所示. 你能证明图 ②是矩形吗？
回顾与总结
15. 如图，在△ABC 中，O 是 AC 边上一点，过点 O 作 BC 的平行线，交∠BCA 的平分线
于点 E，交外角∠ACD 的平分线于点 F.
（1）求证：EO = OF；
（2）连接 AE，AF，当点 O 沿 AC 移动时，四边形
AECF 是否能成为一个矩形？此时，点 O 在什么
位置？说明理由.
16.（1）如图 ①，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边BC，CD 上的点，BE = CF，
AF，DE 交于点 G . 求证：AF⊥DE 且 AF = DE；
（2）点 E，F 分别在边 CB，DC 的延长线上，且 BE = CF .（1）中结论是否也成立？
如果成立，请写出证明；如果不成立，请写出理由.
（3）在（2）的基础上，连接 AE，BF，分别取 AE，EF，FD，AD 的中点 M，N，
P， ，请判断四边形 MNP 的形状，并写出证明.
中点中点
Ⅰ
ⅢⅡ
Ⅰ
ⅢⅡ
（第 14 题）
① ②
探索与创新
A
B
D
CE
FG
A
G
E
F
B
D
C
A
G
E
F
B
N
M
P
D
C
（第 16 题）
① ② ③
（第 15 题）
B C
O FE
A
D
第7章? 实? 数?
38
内容提要
■??算术平方根
■??勾股定理
■????2?是有理数吗
■??勾股定理的逆定理
■??平方根
■??立方根
■??用计算器求平方根和立方根
■??实???数
2002?年?8?月?20?日?8?月?28?日，第?24?届国际数学家大会在北京召开，
大会的会标取材于我国古代数学家赵爽（3?世纪初）的“弦图”.
（1）它是由哪些图形拼接而成的？
（2）如果弦图中直角三角形的两条直角边的长分别是?a?和?b，斜边长是?
c，如何通过弦图中各图形面积间的关系推导?a，b，c?之间的数量关系？
（3）如果一个直角三角形的两条直角边的长分别是?2?和?3，你能根据
（2）中的结论求出直角三角形的斜边长吗？它是一个有理数吗？
情境导航
39
第7章? 实? 数?
40
已知正方形的边长，利用平方运算，便可计算出它的面积. 反之，如果知道
正方形的面积，如何求它的边长呢？
7.1? 算术平方根
（1）一个正方形的面积是 4，它的边长是多少？
（2）一个正方形的面积是 9，它的边长是多少？
（3）一个正数的平方是 16，这个数是多少？
你是怎样求出来的？与同学交流.
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a
的算术平方根，记作“ a ”，读作“根号 a ”.
例如，在上面的问题（1）中，因为 22 = 4，所以 4 的算术平方根是 2，记作
4 = 2. 类似地，你能表示出上面问题（2）与（3）中 9 和 16 的算术平方根吗？
特别地，规定 0?的算术平方根是?0，即 0 = 0 .
（4）如果将算术平方根定义中的等式 x2 = a 左边的 x，换成 a，你能得到
一个怎样的等式？
（ a）2 = a（a≥0）.
这个等式的几何意义如图 7-1 所示.
（5）想一想，为什么上面的式子中要注明a≥0？
因为任何数的平方都不是负
数，所以负数没有算术平方根.
观察与思考
图 7-1
a
a
41
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）49； （2）100； （3） 916 ； （4）0.64 .
解 （1）∵ 72 = 49，
∴ 49 的算术平方根是 7，即 49 = 7；
（2）∵ 102 = 100，
∴ 100的算术平方根是10，即 100 = 10；
（3）∵ （ 3
4
）2 = 9
16
，
∴ 9
16
的算术平方根是 34 ，即
9
16
= 34 ；
（4）∵ 0.82 = 0.64，
∴ 0.64 的算术平方根是 0.8，即 0.64 = 0.8 .
例2 铺一间面积为 60 m2 的教室的地面，需用大小完全相同的 240 块正
方形地板砖 . 每块地板砖的边长是多少？
解 设每块地板砖的边长为 x m . 由题意，得
240x2 = 60，即 x2 = 0.25 .
于是 x = 0.25 = 0.5 .
所以，每块地板砖的边长是 0.5 m .
7.1? 算术平方根

1. 求下列各数的算术平方根：
（1）36； （2）0； （3）1； （4） 19 ； （5）
16
25； （6）（-0.3）
2 .
2. 一个正方形运动场地的面积是 625 m2，它的边长是多少？
练 习
第7章? 实? 数?
42
1. 填表：
a 121 196 225 324 361
a 12 13 16 17 20
2. 求下列各式的值：
（1） 144 ； （2） 25
49
；
（3） 10 000 ； （4） 0.004 9 .
3. 下面的说法正确吗？为什么？
（1）5 是 25 的算术平方根；
（2）9 是 3 的算术平方根；
（3）6 是 36 的算术平方根；
（4）-1 是 1 的算术平方根.
4. 计算：
（1）（ 4 ）2； （2）（
81
100 ）
2 .
拓展与延伸
5. 如果一个数的算术平方根等于它本身，这个数是多少？
6. 回答下列问题：
（1）52 的算术平方根是什么？
（2）（-5）2 有没有算术平方根？如果没有，说明理由；如果有，写出它的算术平方根；
（3）当 a 是 a2 的算术平方根时，a 是什么数？
（4）当 -a 是 a2 的算术平方根时，a 是什么数？
7. 计算：
（1） 0.01 - 0.25 ； （2） 4
9
· 9
25
；
（3） 16 （ 100 - 121 ）； （4） 0.36· 225324
.
习题7.1
复习与巩固
43
图 7-3图 7-2
① ②
7.2? 勾股定理
7.2? 勾股定理?
（1）用硬纸片剪 8 个全等的直角三角形（图 7-2），设每个直角三角形两
条直角边分别为 a，b，斜边为 c .
（2）在纸上画出两个边长均为 a + b 的正方形（图 7-3）；按图 7-3 ① 所示
的方式，将剪出的 4 个直角三角形摆放在第一个正方形内；按图 7-3 ② 所示的
方式，将另外的 4 个直角三角形摆放在第二个正方形内.
（3）判断图 7-3 中四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的形状，说出你的理由.
（4）观察图 7-3 ①，小正方形Ⅰ的面积是 ________，小正方形Ⅱ的面积是
________ .
（5）观察图 7-3 ②，小正方形Ⅲ的面积是 ________ .
（6）图 7-3 ① 中小正方形Ⅰ和Ⅱ面积之和与图 7-3 ② 中小正方形Ⅲ的面积
有什么关系？由此你发现直角三角形的三边 a，b，c 之间有怎样的数量关系？
实验与探究
我 发 现
a2 + b2 = c2.
在直角三角形中，如果两条直角边分别为 a 与 b，斜边为 c，那么
a2 + b2 = c2 .
也就是说，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
第7章? 实? 数?
44
这个结论称为勾股定理 1 .
（7）你能只用图 7-3 ② 解释勾股定理吗？
例1 如图 7-4，电线杆 AC 的高为 8 m，从电线杆 CA 的顶端 A 处扯一根
钢丝绳，将另一端固定在地面上的 B 点，测得 BC 的长为 6 m . 钢丝绳 AB 的长度
是多少？
解 在 Rt △ ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6 .
由勾股定理，得
AB2 = AC2 + BC2
= 82+62 = 100，
于是 AB = 100 = 10 .
所以，钢丝绳的长度为 10 m .
例2 （中国古代数学问题）2 如图 7-5 ①，有一架秋千，当静止时其踏
板离地 1 尺；将踏板向前推进两步（一步指“双步”，即左右脚各迈一步，一步
为 5 尺）并使秋千的绳索拉直，其踏板便离地 5 尺. 求绳索的长.
1 在国外，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理（Pythagoras theorem）.
2 本题出自明代程大位所编的《算法统宗》，原题是：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人
齐，五尺人高曾记。仕文佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士好奇，算出索长有几？”
图 7-4
解 如图 7-5 ②，O 是绳索的顶部，点 A 是秋千静止时踏板的位置，点
B 是将秋千踏板向前推进两步时的位置，所以 OA = OB. 延长 OA 交地面于点 C，
过点 B 作 BD 与地面垂直，垂足为 D，连接 CD . 作 AE⊥BD，BF⊥OC，垂足分
别为 E，F，则四边形 AFBE，ACDE 都是矩形.
图 7-5
① ②
45
由题意知，AC = 1，BD = FC = 5，BF = 10 . 于是
FA = FC - AC= 5 - 1 = 4 .
设 OB = x，
从而 OF = OA - FA= OB - FA = x - 4 .
在 Rt△OFB 中，∠OFB = 90°，由勾股定理，得
OB 2 = BF 2+OF 2，
即 x2 = 102 +（x - 4）2 .
解这个方程，得 x = 14.5 .
所以，秋千绳索的长为 14.5 尺.
如图 7-6，将两个直角边长为 a，b，斜边长为 c
的三角形按图中所示的方式放置. 连接两个直角三角形
的另外一对锐角的顶点，你能用图 7-6 解释勾股定理
吗？试一试.
漫话勾股定理
在我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较
长的直角边叫做股，斜边叫做弦. 根据成书约在公元前 1 世纪的
《周髀算经》的记载，商高（公元前 11 世纪西周时期人）在回答
周公的问话时，明确指出“勾广三，股修四，径隅五.”大意是：
如果一个直角三角形的勾为 3，股为 4，那么弦就是 5. 这是勾股定
理的一个特例 . 书中还记载周公后人荣方与陈子（约公元前 6、7 世纪）包含勾股定理一
般形式的一段对话：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方
除之，得邪至日.”句中的“邪”即斜，用公式表示，即
斜至日（弦）= 勾2 + 股2 .
这是我国勾股定理普通形式的最早表述.
7.2? 勾股定理
图 7-7
a
b
c
挑战自我
史海漫游
a
a
b
c
c
b
图 7-6
第7章? 实? 数?
46
习题7.2

练 习
在西方，古希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这一定理，并传说他杀了一百头牛
以庆贺，所以西方人又称这个定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理”.
勾股定理的证明方法多达 370 多种，目前还没有哪一个定理有如此多的证明方法.
公元 3 世纪初，我国数学家赵爽在《周髀算经注》中，给出了勾股定理的一种简洁而又
严格的证明：
如图 7-7，边长为 c 的大正方形中放有 4 个勾为 a，股为 b，弦为 c 的直角三角形，
它们又围成一个边长为 b - a 的小正方形，由 4 个直角三角形的面积与小正方形的面积
之和等于大正方形的面积，可得
4×12
ab +（b - a）2 = c2 .
化简，得 a2 + b2 = c2 .
图 7-7 称为“弦图”，又称为“勾股圆方图”，2002 年 8 月在北京召开的国际数学
家大会的会标（见本章章头图）就使用了这个图，以展示中国古代数学的伟大成就.
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 所对的三条边.
（1）如果 a = 3，b = 4，求 c 的长；
（2）如果 c = 13，b = 12，求 a 的长.
2. 如图，梯子的底端与建筑物的底部位于同一地平面上，将梯子的
上端靠在建筑物上. 如果梯子的底端离建筑物底部 9 m，那么 15 m
长的梯子的上端达到的高度是多少？
（第 2 题）
15 m
9 m
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
（1）已知 a = 12，b = 16，求 c 的长；
（2）已知 b = 12，c = 13，求 a 的长.
复习与巩固
47
2. 如图，某建筑工地需要制作等腰三角形支架，为了增加支架的耐压性，需添加一根中
柱 AD（D 为 BC 的中点），如果 AB = AC = 5 m，BC = 8 m，求 AD 的长.
3. 如图，为了求出分别位于池塘两岸的点 A 与点 B 的距离，小亮在点 C 处立一标杆，使
∠ABC 是直角. 测得 AC 的长为 85 m，BC 的长为 75 m，那么点 A 与点 B 的距离是多少？
A
B D C
（第 2 题） （第 3 题）
拓展与延伸
5. 一艘轮船以 24 海里/ h 的速度离开港口向南偏东 45°方向航行，另一艘轮船同时以 10
海里/ 时 的速度离开港口向南偏西 45°方向航行，1 小时后这两艘轮船相距多远？
6. 如图，旗杆 AB 的顶端 A 处挂有一根绳子. 小莹在测量旗杆的高度时，先把绳子沿旗杆
下垂到点 B，固定后再把余下的部分沿地面拉紧成线段 BC（绳子的一端落在地面上
的 C 点处），然后再将绳子重新拉紧成线段 AD（绳子的一端落在地面上的 D 点处）.
小莹只用卷尺在地面上测量了两个数据，就计算出了旗杆的高度. 你知道她测量了哪
两个数据吗？你能求出旗杆的高度吗？
（第 6 题）
8. 如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
直角三角形. 已知最大的正方形的边长是 7 cm，求正方形
A，B，C，D 面积的和.
7.2? 勾股定理
4. 在 △ABC 中，AB = 13，AC = 15，BC 上的高 AD = 12，则边 BC 长为多少？
（第 8 题）
D
C
B
A
CB
DA E
F
（第 7 题）
7. 如图，ABCD 是一张矩形纸片，AB = 6 cm，BC = 8 cm . 将纸片沿 EF 折叠，点 B 恰与
点D 重合. 求折痕 EF 的长.
探索与创新
第7章? 实? 数?
48
9. 如图，直线 l 的上方有三个正方形 A，B，C，已知 A
和 C 的面积分别是 5 和 11，求 B 的面积.
10. （1）如图①，P 是矩形 ABCD 的边 BC 上的一点.
求证：PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ；
（2）如图②，当点 P 在矩形 ABCD 内时，（1）中的等式是否成立？证明你的结论；
（3）如图③，当点 P 在矩形 ABCD 外时，（1）中的等式是否成立？证明你的结论.
7.3? 2是有理数吗?
（1）作一个腰长是1的等腰直角三角形 ABC（图 7-8）.
利用勾股定理，你能计算斜边 AB 的长 吗？
实验与探究 B
C A
图 7-8
AB = AC 2 + BC 2 = 12 + 12 = 2 .
2 是一个什么样的数呢？
（2） 2 可能是整数吗？如果不是，你能估计出 2 在哪两个连续整数之间
吗？
（第 9 题）
l
A
B
C
（第 10 题）
B P C
DA
CB
DA
P
CB
DA
P
① ② ③
49
我是利用直角三角形的性质估计的：
∵AC < AB < AC + BC，
∴1 < AB < 2，由于AB = 2 ，因此 2 不可能是整数.
7.3? 2是有理数吗
∵12 = 1，22 = 4，（ 2）2 = 2，
∴1 <（ 2）2 < 4，1 < 2 < 2，
因此 2 在连续整数 1，2 之间，故它不可能是整数.
（3） 2 可能是整数 1，2 之间的某一个分数吗？比方说可能是 43
吗？可能
是 32
吗？你再猜出一个最简分数，它的平方会是 2 吗？
如果 2 是一个分数，那么可把它化成
最简分数
m
n
. 由于 m 与 n 没有 1 以外的公约
数，从而（
m
n ）
2 = m·mn·n
仍然是一个最简分
数，不会是 2 . 所以 2 不可能是分数.
（4）既然 2 不是整数，也不是分数，那么它不是有理数.
利用平方运算，你能估计出 2 的整数部分、十分位、百分位??来吗？
由 1 < 2 < 2，可知 2 是一个整数部分是 1 的小数，即 2 = 1.
分别计算 12，1.12，1.22，?，1.92，得到下表：
12 1.12 1.22 1.32 1.42 1.52 ?
1 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 ?
由于 1.96 < 2 < 2.25，所以 1.42 < 2 < 1.52，于是 1.4 < 2 < 1.5，
由此可以估计 2 的十分位上的数字是 4，即
第7章? 实? 数?
50
2 = 1.4 ?
利用计算器，再分别计算 1.402，1.412，1.422，?，1.492，得到下表：
1.402 1.412 1.422 1.432 ?
1.960 1.988 1 2.016 4 2.044 9 ?
由于 1.988 1 < 2 < 2.016 4，所以 1.412 < 2 < 1.422，于是 1.41 < 2 < 1.42，
由此可以估计 2 的百分位上的数字是 1，即
2 = 1.41 ?
利用上面的方法继续做下去，可以依次估算出 2 的千分位、万分位??得到
2 = 1.414 213 562 ?
如果借助计算机，还可以继续做下去，得到
2 = 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948
073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735
013 846 230 912 297 024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935
831 413 222 665 927 505 592 755 799 950 501 152 782 060 571 5 ?
（5） 2 可能是有限小数吗？可能是循环小数吗？由此你判断 2 是一个怎
样的数呢？
因为任何有限小数或循环小数都可化为分数，由
于 2 不是分数，所以 2 不会是有限小数，也不会
是循环小数. 由于 2 的小数位数是无限的，而且是不
循环的，我们把这样的小数叫做无限不循环小数.
（6）与上面的探索活动类似，借助于计算器或计算机，可以探索出
3 = 1.732 050 80 ?
5 = 2.236 067 97 ?
7 = 2.645 751 31 ?
它们也都不是有限小数或循环小数，而是无限不循环小数.
除了求一些数的算术平方根时可以得到无限不循环小数以外，还有一些
51
数，例如圆周率 π 的值
3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105
820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982
148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481
117 450 284 102 7 ?
也是无限不循环小数.
再如
0.101 001 000 100 001 ?（小数点后面相邻的两个 1 之间依次多 1 个 0），
0.101 100 111 000 111 100 00 ?（小数点后面 k 个 1 后面有 k 个 0，再后面是
（k+1）个 1，k = 1，2，?）
等也都是无限不循环小数.
无限不循环小数叫做无理数（irrational number）.
上面提到的 2 ， 3 ， 5 ， 7 ，π 以及 0.101 001 000 1?，0.101 100
111?都是无理数.
3.14 是有理数还是无理数？它与 π 有怎样的关系？3.141 6 呢？
例1 用有理数估计下列各数的算术平方根的范围（精确到 0.001）：
（1）29； （2）91 .
解 （1）∵ 52＜29＜62，
借助计算器可以进一步估计 5.32＜29＜5.42，
5.382＜29＜5.392，
5.3852＜29＜5.3862，
∴ 5.385＜ 29 ＜5.386.
由此可以估计 29 的精确到 0.001 的不足近似值是 5.385，过剩近似值是
5.386 .
（2）∵ 92＜91＜102，
借助计算器可以进一步估计 9.52＜91＜9.62，
9.532＜91＜9.542，
9.5392＜91＜9.5402，
∴ 9.539＜ 91 ＜9.540 .
7.3? 2是有理数吗
第7章? 实? 数?
52

练 习
1. 下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由：
（1）无限小数都是有理数； （2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数； （4）无理数都是带根号的数.
2. 用有理数估计下列各数的算术平方根（精确到 0.01）：
（1）8； （2）55 .
3. 解决本章“情境导航”中的问题（3）.
（1）给出长度为 1 的线段，你会作出长度为 2 的线段吗？会作出长度分别
为 3 与 5 的线段吗？
由此可以估计 91 的精确到 0.001 的不足近似值是 9.539，过剩近似值是
9.540 .
实验与探究
图 7-9 图 7-10
2 3 4 5 1
3
4
1
1
1
1
1
5
2
图 7-9 与图 7-10 给出了长度分别为 3 与 5 的线段的两种作法. 你还能想
出其他的作法吗？你还能作出长度为 10 的线段吗？
（2）你能在数轴上找到表示无理数 2， 3， 5 的点吗？
在图 7-10 中，把正方形左下方的顶点作为原点，以下面的边所在的直线
作为数轴，规定向右的方向为正方向，以正方形的边长作为单位长度，擦去数
53
任何一个无理数都可以用数轴上的
点来表示，数轴上除去表示有理数的点以
外，其他的点表示的数都是无理数.
0 41 2 3
2 3 5
图 7-11
例2 如图 7-12，方格纸上每个小正方形的边长都
是 1.
（1）分别求出点 A 到 B，C，D，E，F 各点的距离；
（2）以 A，B，C，D，E，F 中的任意三个点为顶点
的三角形中，有没有等腰三角形？如果有，指出这样的
三角形；
（3）以点 B 为圆心，BD 为半径的圆，还经过方格纸上的哪些格点？如果
有，把它们描出来，标上字母，并说明理由.
解 （1）由图 7-12 可知，AB = 3，
由勾股定理，得
AC = 42+12 = 17 ，AD = 42+22 = 20 ，
AE = 42+32 = 5，AF = 22+32 = 13 .
（2）△BEF 是等腰三角形. 这是因为
BE = 32+12 = 10 ，BF = 32+12 = 10 .
此外，△CEF 与 △BDF 也是等腰三角形.
（3）如图 7-13，以 B 为圆心，以 BD 为半径的圆还
经过点 M，N，这是因为 BM = BN = BD = 22+12 = 5 .
A B
F E
D
C
图 7-12
A B
F
M
N
E
D
C
图 7-13
轴上方的正方形和矩形的各边，便得到图 7-11. 这样就用数轴上的点表示出了
无理数 2， 3， 5 .
7.3? 2是有理数吗
第7章? 实? 数?
54

你能在数轴上找出表示无理数 π 的点吗？试一试.
挑战自我
无理数的由来
公元前 520 年左右，古希腊数学家毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，这是一个从
事数学研究的学术团体. 毕达哥拉斯学派尊崇“万物皆数”，认为世界上一切对象皆由整
数组成，分数则是两个整数之比，除整数与分数以外再没有其他的数了.
可是随着勾股定理的发现，就遇到了一个新的问题：边长为 1 的正方形的对角线的
长是一个怎样的数？
由勾股定理，边长为 1 的正方形的对角线的长 2 是客观存在的. 它既然不是整数，
也不是分数，究竟是个什么数呢？难道除了整数和分数以外还有其他的数吗？希腊数学
家们面临了“第一次数学危机”.
经过研究，该学派的一个成员希帕索斯（Hippasus，约前 5 世纪）断定：正方形的
对角线与边长的比值是人们还没有认识的新数.
希帕索斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的“数只有整数和分数”的论断，从根本
上动摇了毕达哥拉斯学派的理论基础，引起了毕达哥拉斯学派的恐慌. 据说，希帕索斯
在船上向同道公布这一事实时，竟被恐慌不已的毕达哥拉斯的信徒们视为异端而扔进了
大海.
希帕索斯虽然被害了，但是无理数并没有被消灭. 从希帕索斯的发现中，人们知道
除去整数和分数以外，还存在着一种新的数， 2 就是其中之一. 由于从广义上说，整数
也都能写成两个整数之比，例如 2 = 21 ，-3 =
-3
1 ，0 =
0
1
等，后来，人们把可以写成
两个整数之比的数叫做有理数（rational number，直译为可比数），而把不能写成两个整
数之比的数叫做无理数（irrational number，直译为不可比数）.
史海漫游
练 习
1. 在 Rt△ABC 中，如果∠B 是直角，AB = 6，BC = 5，求 AC 的长.
2. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1. 以格点为顶点，分别在三张方格纸上画出
55

（第 2 题）
习题7.3
1. 下列各数中哪些是有理数？哪些是无理数？
0.121 121 112 ?（小数后面相邻的两个 2 之间依次多 1 个 1），345.202
3
， π
2
，
- 2389 + 0.31
3 3
，3.1
3
41 59
3
.
2. 用有理数估计下列各数的算术平方根的范围（精确到0.01）：
（1）17； （2）65.
3. 校园里有一个面积为 34 m2 的正方形水池. 你能估计出这个水池边长的大致范围吗（精
确到 0.1 m）？
4. 等腰直角三角形的斜边长为 2，它的一条直角边的长是多少？
5. 已知 A（3，2），B（-2，-3），C（2，-3），分别求 A，B，C 三点到原点的距离.
6. 如果正方形 ABCD 的顶点 A，B，C 的坐标分别是（2，3），（-2，3）和（-2，-1），
求顶点 D 的坐标和对角线 BD 的长.
拓展与延伸
7. 如图，Rt△CBA 的两直角边长分别为 1，2，以 Rt△CBA 的斜边 AC 为一直角边，另一
条直角边为 1，画第 2 个 Rt△DCA；再以 Rt△DCA 的斜边 AD 为一直角边，另一直角
边为 1，画第 3 个 Rt△EDA；?依次类推，写出第 n 个直角三角形的斜边长.
三角形，使第一个三角形只有一条边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无
理数，第三个三角形的三边长都为无理数.
复习与巩固
7.3? 2是有理数吗
第7章? 实? 数?
56
8. 如图是一种“牛头”形图案，其作法是：从正方形 ① 开始，以它的一边为斜边向外
作等腰直角三角形，然后再以其直角边为一边，分别向外作正方形 ② 和 ②′，依次
类推. 若正方形 ① 的边长为 64 cm，求正方形 ⑦ 的边长.
9. 一个有理数与一个无理数相加有可能等于有理数吗？为什么？
（第 8 题）
10. 请你设计一种不同于本节图 7-9 和图 7-10 的方法，作出长度为 2 ， 4 ， 8 ， 16 ??
的线段.
CB
D
A
E
?
（第 7 题）
1
1
1
1
2
F
7.4? 勾股定理的逆定理?
在7.2节中，我们通过探索得到了勾股定理. 你能说出勾股定理的逆命题
吗？它的逆命题是真命题还是假命题？
（1）选定一个单位长度，然后取一根长度为 12 单位的细绳，将它首尾相接
并围成一个△ABC，使得三边的长度分别为 AC = 5，BC = 4，AB = 3，再用图
钉把这个三角形钉在木板上（图 7-14）；
（2）验证 △ABC 各边的长是否满足 a2 + b2 = c2；
（3）用三角尺检验∠B 是否为直角，由此你判断 △ABC 是怎样的三角形？
（4）再取一根长度为 30 单位的细绳，围成边长分别为 5，12，13 的三角
形，然后重复（2），（3）两个步骤（图 7-15）. 你有什么发现？
实验与探究
探索与创新
57
7.4? 勾股定理的逆定理
（5）一般地，如果△ABC 的三边为 a，b，c（图 7-16 ①），且满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形吗？
作 Rt△A'B'C'（7-16 ②），使
∠C' = 90°，A'C' = AC = b，B'C' = BC = a .
由勾股定理，
A'B' = A'C' 2 + B'C' 2 = a2 + b2 = c = AB .
∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS），
∴∠C = ∠C' = 90°，所以△ABC 是直角三角形.
于是，就得到
勾股定理的逆定理? 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么
这个三角形是直角三角形.
利用勾股定理的逆定理，可以
由三角形三条边的长度判定它是否
构成直角三角形.
例1 已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1， 2， 3 ；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n > 0），
它们是否分别构成直角三角形？
解 （1）在 1， 2， 3 中， 3 是最大边长，因为 12 +（ 2）2 = 1 + 2
= 3 =（ 3）2，所以，边长为 1， 2， 3 的三角形是直角三角形.
b
①
b
②
a a
c
B
C A
B'
C' A'
图 7-16
53
4 12
13
5
图 7-14 图 7-15
B C
A
第7章? 实? 数?
58
图 7-17
A
D
CB
（2）在 2，3，4 中，4 是最大边
长，22 + 32 = 13≠42，所以，边长为 2，
3，4 的三角形不是直角三角形.
（3）在 3n，4n，5n（n > 0）中，5n
是最大边长，
（3n）2 +（4n）2 = 25n2 =（5n）2，
所以，边长为 3n，4n，5n（n > 0）的三
角形是直角三角形.
例2 如图 7-17，已知 AB⊥AD，AB = 4，BC = 12，CD = 13，AD = 3.
能判断 BC⊥BD 吗？证明你的结论.
解 BC⊥BD . 证明如下：
∵AB⊥AD，
∴△BAD 是直角三角形.
∴BD2 = AB 2 + AD 2 = 42 + 32 = 25 .
在△BCD 中，
∵BC 2 + BD 2 = 122 + 25 = 169 = 132 = CD 2，
∴△BCD 是直角三角形，且 CD 为斜边，∠CBD = 90°.
∴BC⊥BD .
已知三角形的三边的长，判断
三角形是否直角三角形时，由于直
角三角形的最大边是斜边，所以只
要检验较小的两条边的平方和是否
等于最大边的平方就可以. 如果等式
成立，该三角形是直角三角形，否
则就不是直角三角形.
加油站
利用本节知识，你能用圆规和直尺，作出一个直角吗？试一试.
挑战自我
勾股数组
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数叫做勾股数组. 人类研究勾股数组的历史可以追溯到远
古的年代. 迄今为止，考古发现的最早记载，是 3 600 年前古巴比伦人留下的一块刻有数
学手稿的泥板，上面刻有 15 组勾股数组. 其中，最大的一组竟然是（12 709，13 500，
18 541）.
史海漫游
59
7.4? 勾股定理的逆定理

练 习
1. 已知三角形的三条边的长度分别是：
（1）a = 10，b = 24，c = 26；
（2）a = 3 ，b = 7 ，c = 10 ；
（3） 3 ， 4 ， 5 ，
判断这样的三角形是否为直角三角形.
2. 如图是一位农民伯伯建房时所挖地基的平面图. 按建房规
划，四边形 ABCD 应为矩形. 他在挖完地基后测量了一下，发
现 AB = DC = 8 m，AD = BC = 6 m，AC = 9 m . 请你帮他分
析一下所挖的地基是否合格. （第 2 题）
A
D
B
C
我国是一个文明古国，也是数学的发源地之一. 在我国古代的数学名著《周髀算
经》中，就给出了勾股数组（3，4，5）. 在稍晚一些的另一部数学名著《九章算术》
中，给出了更多的勾股数组. 例如，（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）；
（20，21，29）等.
古希腊数学家毕达哥拉斯给出了勾股数组的一种普遍形式
（2n + 1，2n2 + 2n，2n2 + 2n + 1），
柏拉图也给出了勾股数组的一种普遍形式
（n2 - 1 ，2n，n2 + 1），
其中，n 均为大于 1 的整数.
丢番图给出的则是勾股数组的另一种普遍形式
（m2 - n2，2mn，m2 + n2），
这里 m > n，m 与 n 都是正整数.
应当指出，上述几种普遍形式并不能包括所有的勾股数组. 例如，第一种形式中不
包括勾股数组（8，15，17），第二种形式中不包括勾股数组（5，12，13），第三种形
式中不包括勾股数组（9，12，15）等. 后来人们发现，当 m > n 且 m，n，k 都是正整数
时，利用
a = k（m2 - n2），b = 2kmn，c = k（m2 + n2），
便可以计算出所有的勾股数组.
第7章? 实? 数?
60
拓展与延伸
6. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，F 为 AD 上一点，且
AF = 14 AD，请判断△FEC
的形状.
7. 在本节“史海漫游”中，提到丢番图的一个结论：设 m > n，
m，n 都是正整数，（m2 - n2，2mn，m2 + n2）是一个勾股数组.
（1）验证这个结论当 m = 3，n = 2 时是正确的；
（2）证明丢番图结论的正确性.
习题7.4
1. 已知三角形三边的长度分别是：
（1）7，24，25； （2）1，2， 5 ；
（3）54，1，
3
2 ； （4）a = n
2－1，b = n2 + 1，c = 2n（n＞1）.
判断这样的三角形是否为直角三角形.
2. 当 a 为何值时，长度为 a + 1，a + 2，a + 3 的三条线段能围成直角三角形？
3. 如果一个三角形三边长度的平方比为 2 : 3 : 5，这个三角形是直角三角形吗？
4. 已知两条线段的长分别为 6 和 10 ，当第三条线段的长取
何值时，这三条线段能围成一个直角三角形？
5. 在如图所示的 3×4 正方形网格中，以格点为顶点，能画出
多少个大小不等的等腰直角三角形？
（第 5 题）
（第 6 题）
B
A
C
E
F D
8. 观察下列各组勾股数
（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；??
（1）在各组勾股数中，第 1 个数有什么特点？
（2）在各组勾股数中，后两个数有什么特点？
（3）各组勾股数的第 1 个数的平方与后两个数的和有怎样的数量关系？
（4）请按照你发现的规律，写出上面勾股数组中的第 4 组勾股数；
（5）如果用 2n + 1（n 是整数）表示上面勾股数组的第 1 个数，你能用代数式表示出
复习与巩固
探索与创新
61
7.5? 平方根
7.5? 平方根?
交流与发现
你能回答下列问题吗？与同学交流.
（1）平方等于 4 的数有几个？是哪些数？平方等于 2 的数呢？
平方等于 2 的数有两
个，分别是 2 或 - 2 .
（2）如果 a 是一个正数，平方等于 a 的数有几个？怎样把它们表示出来？
（3）平方等于 0 的数有几个？是哪个数？
（4）在你所学过的数中，有平方是负数的数吗？
如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么 x 叫做 a 的平方根（square
root），或二次方根.
正数 a 有两个平方根，它们互为相反数. 其中，正的平方根是它的算术平方
根 a ，负的平方根是它的算术平方根的相反数 - a ，合起来记作 ± a .
同一勾股数组中的后两个数吗？如果用 m（ m 是大于 1 的
奇数）表示第 1 个数呢？
9. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，G 分别在边 AB、对角线 BD
上，EG∥AD，F 为 GD 的中点，连接 FA，FC . 利用勾股定理
的逆定理，证明EF⊥FC .
A
B C
D
F
E G
（第 9 题）
求一个正数的平方根时，只要先
求出它的算术平方根，就可以知道它
的负的平方根了.
第7章? 实? 数?
62
由于平方等于 0 的数只有一个，所以 0 的平方根也只有一个，就是 0 本身.
因为正数、0、负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.
求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方（extraction of square root），a 叫
做被开方数（radicand）.
例1 求下列各数的平方根：
（1） 49； （2）0.64； （3）3； （4）91（精确到 0.001）.
解 （1）∵（±7）2 = 49，∴ 49 的平方根是 ±7，即± 49 =±7 .
（2）∵（±0.8）2 = 0.64，∴ 0.64 的平方根是 ±0.8，即± 0.64 =±0.8 .
（3）∵（± 3）2 = 3，∴ 3 的平方根是± 3 .
（4）由 7.3 例 1（2）知，91 的算术平方根精确到 0.001 的不足近似值是
9.539，过剩近似值是 9.540，所以 91 的负的平方根的精确到 0.001 的不足近似值
是-9.540， 过剩近似值是-9.539 .
在等式 x2 = a 中，如果已知 x 求 a 的值，需要进行平方运算. 反之，如果已知 a 求 x
的值，需要进行开平方运算. 所以，平方与开平方互为逆运算. 根据它们的这种关系，我
们可以通过平方运算来求一个数的平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根.
加油站
把本节例 1 与 7.1 节例 1 进行比较，你
能说出二者在题目的要求、解题格式及答
案方面有哪些联系和区别？
例2 求下列各式的值：
（1）- 9
25
； （2）- 10-2 .
解 （1）∵（
3
5 ）
2 = 925，∴
9
25
= 35 ，于是 -
9
25
= - 35 .
（2）∵（10-1）2 = 10-2，∴ 10-2 = 10-1 = 110，
63
7.5? 平方根
练 习
1. 判断下列说法是否正确：
（1）0 的平方根是 0； （2）1 的平方根是 1；
（3）-1 的平方根是 -1； （4）（-1）2 的平方根是 -1.
2. 求下列各数的平方根：
144， 2 500， 0.81，
49
16， （-2）
2， 10-4 .
3. 求下列各式的值：
（1）- 2581 ； （2）- 0.036 1 ； （3）± 2.25 ； （4）±
121
196 .
挑战自我
于是 - 10-2 = -
1
10 .
如果一个数的平方等于 a2，这个数等于多少？能用式子表示出来吗？
习题7.5
1. 判断下面的说法是否正确，并说明理由：
（1）16 的平方根是 4； （2）2 的平方根是 ± 2 ；
（3）0.1 的平方根是 ±0.01； （4）-3 是（-3）2 的算术平方根.
2. 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由.
（1）-4； （2）0； （3）102； （4）（-5）2； （5）6 .
3. 求下列各数的平方根：
（1）0.25； （2） 225； （3）
121
169 ； （4）10
-6 .
4. 用有理数估计下列各数的平方根的范围（精确到 0.01）：
（1）8； （2）75 .
5. 求下列各式的值：
（1）± 9 ； （2）- 0.36 ； （3） 0.000 1 + 0.09 ； （4） 82 - （-8）2 .
复习与巩固
第7章? 实? 数?
64
6. 如果一个数的平方等于 2536，求这个数.
拓展与延伸
7. 下列各式中，哪些有意义？哪些没有意义？
（1）- 5 ； （2） -5 ； （3） （-5）2 ； （4） 10-5 .
8. 求下列各式中 x 的值：
（1）3x2 = 27； （2）36x2-100 = 0 .
9. 已知 a≠0，下列各数有没有平方根？为什么？
（-a）2； （ a ）2； -a2 .
10. π 的平方根是有理数吗？为什么？
7.6? 立方根?
要做一个正方体形状的水箱，使它的体积为 125 m3，怎样计算出水箱的棱
长？想一想，与同学交流.
这个问题实质上是求
立方为 125 的数.
因为 53 = 125，所以正方体水箱的棱长为 5 m.
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么 x 叫做 a 的立方根
（cube root）或三次方根. 数 a 的立方根记作 a 3 ，读作“三次根号 a ”，其中
a 叫做被开方数，左上角的数 3 叫做根指数（radical exponent）.
求一个数的立方根的运算叫做开立方（extraction of cubic root）.
探索与创新
65
7.6? 立方根
与平方与开平方互为
逆运算类似，立方与开立
方也互为逆运算.
例1 求下列各数的立方根：
（1）64； （2）-64； （3） 827； （4）-0.125 .
解 （1）∵ 43 = 64，
∴ 64 的立方根是 4，即
3
64 = 4 .
（2）∵（-4）3 = -64，
∴ -64 的立方根是 -4，即 3 -64 = -4 .
（3）∵（ 2
3
）3 = 827，
∴ 827
的立方根是 2
3
，即 827
3
= 2
3
.
（4）∵（-0.5）3 = -0.125，
∴ -0.125 的立方根是 -0.5，即 3 -0.125 = -0.5 .
由例 1，你发现正数的立方根是正数还是负数？负数有立方根吗？它的符号
怎样确定？与同学交流.
正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0 的立方根是 0 .
由例 1（1）（2）还可以看出： 3 -64 = -
3
64 .一般地，如果 a > 0，那么
3
-a = -
3
a . 这就是说，求一个负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值
的立方根，然后再取它的相反数.
例2 求下列各式的值：
（1） 3 -27； （2） 3 0.008；
（3）- 1125
3
； （4）（ 5 3 ）
3 .
解 （1） 3 -27 = -
3
27 = -3；
（2） 3 0.008 = 0.2；
（3）- 1125
3
= - 15 ；
（4）（ 5
3
）3 = 5.
第7章? 实? 数?
66
例3 用有理数估计下列各数的立方根的范围（精确到 0.1）：
（1）7； （2）-81 .
解 （1）∵ 13＜7＜23，
1.93＜7＜2.03，
∴ 1.9＜ 3 7 ＜2.0 .
3
7 精确到 0.1 的不足近似值是 1.9，过剩近似值是 2.0 .
继续运用上面的方法还可以估计出 3 7 精确到 0.01，0.001??的不足近似
值和过剩近似值. 事实上，由于 3 7 不是一个整数，也不会是一个最简分数，所
以， 3 7 =1.912 931 18 ? 也是一个无理数.
（2）∵ 43＜81＜53，
4.33＜81＜4.43，
∴ 4.3＜ 3 81 ＜4.4，
这就是说，
3
81 精确到 0.1 的不足近似值是 4.3，过剩近似值是 4.4 .
因此，
3
-81 精确到 0.1 的不足近似值是 -4.4，过剩近似值是 -4.3 .
挑战自我
想一想，在绝对值不大于 100 的数中，哪些整数的立方根仍是整数？其他
整数的立方根是怎样的数？
练 习
1. 说出下列各数的立方根：
216； - 8； -
1
64； -
125
8
； 2； -3 .
2. 求下列各式的值：
（1） -1
3
； （2）- 3 0.001； （3）- - 64125
3
.
67
7.6? 立方根
习题7.6
1. 下面的说法正确吗？如果不正确，请你给出正确的说法.
（1）8 的立方根是±2；
（2）-0.064 的立方根是 0.4；
（3）-
1
64
的立方根是 -
1
4；
（4）1 的立方根是 1 和 -1.
2. 填表：
a -1 1 000 0.064 -216 127 -
64
27
a 3
3. 求下列各式的值：
（1） 0.125
3
； （2） - 164 ； （3）
27
125
； （4） （-1）2
3
.　
4. 用有理数估计下列各数的立方根的范围（精确到 0.1）：
（1）35； （2）-95 .
3 3
复习与巩固
拓展与延伸
5. 求下列各式的值：
（1） 1- 1927
3
； （2） 3764-1
3
； （3） -1
3
-（ 8
3 + 4）÷ （-6）2 .　　
6. 求下列各式中 x 的值：
（1）x3 = -0.125； （2）x3 + 512 = 0；
（3）8x3 = -125； （4）（x-3）3 = -1 .
7. （1）填表：
a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000
a 3
（2）观察上表，当数 a 的小数点每向右（或向左）移动三位时，它的立方根怎样变
探索与创新
第7章? 实? 数?
68
7.7? 用计算器求平方根和立方根?
利用平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，通过观察或估算可以求出
一些比较简单的数的平方根和立方根. 在一般情况下，借助科学计算器，可以很
方便、很快捷地求出一个数的平方根和立方根（或精确到 10-9 的近似值）.
例1 利用计算器求下列各式的值：
（1） 289 ； （2） 0.42 .
解 （1）按键 ，显示结果为 17，
即 289 = 17 .
（2）按键 ，显示结果为 0.648 074 069，
即 0.42 ≈ 0.648 074 069 .
例2 利用计算器求下列各式的值（精确到0.001）：1
（1） 3 -47.2； （2）
3
5
3
.
化？你能总结出其中的规律吗？
（3）已知 178
3 ≈ 5.625，利用（2）的结论，写出 0.178
3 的近似值.
8. 探索并解决下列问题：
（1）已知 x3 = 10 648，且 x 为两位数，则 x 的个位数是 .
∵ 8 000 = 203 < x3 < 303 = 27 000，
∴ x 的十位数字是 ，∴ x = .
（2）按照（1）中的思考方法，直接写出满足下列两式的两位数 x 的值：
① 已知 x3 = 59 319；
② 已知 x3 = 148 877 .
1 如无特殊说明，本教科书中平方根和立方根的近似值都精确到 0.001.
69
7.7? 用计算器求平方根和立方根
解 （1）按下列顺序依次按键：
，
屏幕上显示 -3.613 937 739 .
按精确到 0.001 取近似值， 3 -47.2 ≈ -3.614 .
（2）按下列顺序依次按键：
，
屏幕上显示 0.843 432 665 .
按精确到 0.001 取近似值， 3
5
3
≈ 0.843 .
练 习
用计算器分别计算 49， 4 489， 444 889， 44 448 889 的值，你发现
了什么规律？你能猜测 444 444 888 889 的值吗？
1. 利用计算器求下列各式的值：
（1） 484 ； （2） 84.6 ； （3）
5
9 .
2. 利用计算器求下列各式的值：
（1） -1 7283 ； （2） 2.563 ； （3）
3
-
3
7
.
挑战自我
习题7.7
1. 利用计算器求下列各式的值：
（1） 0.24 ； （2） 1 089 ； （3） 94 .
2. 利用计算器求下列各式的值：
（1） 84.613 ； （2） -7293 ； （3）
3
-
5
6 .
复习与巩固
第7章? 实? 数?
70
拓展与延伸
3. 利用计算器，判断下列各式是否正确：
（1） 0.2
3 ＜ 0.3； （2）5.4 ＜ 30 ＜ 5.5；
（3）-2 ＜ -0.87
3 ＜ -1； （4） 165 ＜ 165
3 + 7 .
4. 用计算器计算
9×9+19， 99×99+199， 999×999+1 999，?
你发现了什么规律？你能猜测 99?9×99?9+199?9
n个9 n个9 n个9
的结果吗？
7.8? 实? 数?
（1）在本章以前，我们曾先后学习了哪些数？数的范围是怎样逐步扩充
的？回忆一下，与同学交流.
本章在引进无理数以后，数的范围又进一步得到扩充.
有理数与无理数统称为实数（real number）.
（2）你会把实数加以分类吗？你所确定的分类标准是什么？按你确定的标
准进行一次分类之后，还能再确定另一个指标作为标准，把其中的每一类再进
一步分类吗？
① 整数可视为有限小数，如 3 可视为 3.0 . 如果先按照是否有限小数和循环
小数，可将实数分为有理数和无理数，然后再按照正、负还可继续进行分类：
观察与思考
探索与创新
71
7.8? 实? 数?
实数
有理数 有限小数和循环小数
无限不循环小数
正有理数
零
负有理数
负无理数
正无理数
无理数
实数
正实数
零
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
② 如果先按照数的正、负、零，可将实数分成三类，然后再按照是否有理
数将正实数和负实数继续进行分类：
（3）检查一下，在上面的两种分类中，有没有重复和遗漏？
例1 下列各数哪些

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