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第2章 实数章末达标检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019春?越秀区校级期中）下列各数：，，，，（两个1之间依次多一个，中无理数的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【答案】解：，，（两个1之间依次多一个是无理数，
故选：．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2．（3分）（2018春?闵行区期中）下列说法正确的是（　　）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是 D．是的平方根
【分析】根据平方根和算术平方根的定义解答．
【答案】解：的平方根是，的算术平方根是，是的平方根．观察选项，只有选项正确．
故选：．
【点睛】考查了平方根和算术平方根．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．（3分）（2019春?南昌期中）若，，则的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．或3
【分析】根据题意，利用平方根，立方根的定义求出与的值，再代入计算即可求出的值．
【答案】解：，，
，，
，时，；
，时，．
故选：．
【点睛】此题考查了平方根，立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）（2019春?海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则的值是（　　）
A． B．4或 C．1或 D．4
【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式即可求出答案．
【答案】解：由题意可知：，
解得：或，
当时，
，
当时，
，
故选：．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式，本题属于基础题型．
5．（3分）（2019春?全椒县期中）设为正整数，且，则的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】先估算出的范围，再求出答案即可．
【答案】解：，
，
故选：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
6．（3分）（2019春?苍溪县期中）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（　　）

A． B． C．2 D．
【分析】根据勾股定理，可得的长，根据圆的性质，可得答案．
【答案】解：由勾股定理，得
，
，
点的坐标是，
故选：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出的长是解题关键，注意点的坐标是．
7．（3分）（2018秋?奉化区期中）已知在实数，，，，，中，互为倒数，，互为相反数，是绝对值，的算术平方根是8，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用倒数以及相反数、绝对值、算术平方根的性质计算得出答案．
【答案】解：，互为倒数，，互为相反数，是绝对值，的算术平方根是8，
，，，，
则．
故选：．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确得出各式的值是解题关键．
8．（3分）（2019春?昭平县期中）已知，，，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
【分析】根据二次根式的性质进行化简解答即可．
【答案】解：把，代入，
故选：．
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，关键是根据二次根式的性质进行化简．
9．（3分）（2018春?梁子湖区期中）把式子中根号外的因式移入根号内，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据二次根式的定义得到，则有，然后把根号外的式子变形为正数，再利用二次根式的性质计算即．
【答案】解：，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：；．
10．（3分）实数、、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由数轴上点的位置判断出，及的正负，所求式子先利用二次根式的化简公式变形，再利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【答案】解：根据数轴上点的位置得：，
，，，
则原式

．
故选：．
【点睛】此题考查了二次根式的性质及化简，实数与数轴，以及绝对值的代数意义，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2019春?曲阜市校级期中）已知和是的平方根，则　49　．
【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：，解方程即可求得的值，代入即可求得的两个平方根，则可求得的值．
【答案】解：一个正数的平方根为和，
，
解得：．
，，
．
故答案为：49．
【点睛】此题考查了平方根的定义．明确正数有两个平方根，且此两根互为相反数的知识是解题的关键．
12．（3分）（2018秋?福田区校级期中）化简：　　．
【分析】找分母的有理化因式，将原式分母有理化即可．
【答案】解：原式．
【点睛】总结：有关二次根式的除法，可先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．
13．（3分）（2019春?昭阳区期中）如果有意义，那么的取值范围是　　．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【答案】解：有意义，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
14．（3分）（2019春?泰山区期中）计算：　　．
【分析】先利用积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算．
【答案】解：原式

．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．（3分）（2019春?寿光市期中）设整数部分是，小数部分是，求的值为　　．
【分析】先求出的范围，求出、，再代入，计算即可得出答案．
【答案】解：，
，
，，
．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，得出，的值是解题关键．
16．（3分）（2019春?海阳市期中）若满足等式，则的值为　2020　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再利用绝对值的性质计算即可．
【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2020．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式中的被开方数是非负数确定的取值范围．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2019春?惠城区校级期中）解方程：
（1）
（2）
【分析】（1）根据平方根，即可解答；
（2）根据立方根，即可解答．
【答案】解：（1）
，
或；
（2）
．
【点睛】本题考查平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根．
18．（8分）（2019春?全椒县期中）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先利用零指数幂的意义计算，然后化简后合并即可；
（2）先利用平方差公式计算，然后利用二次根式的除法法则和绝对值的意义计算．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式

．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．（8分）（2019春?曾都区校级期中）已知是的算术平方根，是的立方根．求的平方根．
【分析】利用算术平方根及立方根定义求出与的值，进而确定出与，即可求出所求．
【答案】解：由题意得：，
解得：，
，，
则，9的平方根是．
【点睛】此题考查了立方根、平方根、以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
20．（8分）（2019春?芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；
（1）；
（2）．
【分析】（1）先将、进行分母有理化，得到，，再求出与的值，然后根据完全平方公式得出，再整体代入即可；
（2）将所求式子变形为，再整体代入即可．
【答案】解：（1），，
，，
；
（2），，
原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．
21．（10分）（2019春?江汉区期中）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分．
如，2.13的小数部分为．
（1）　1　，　　，的小数部分　　；
（2）设的小数部分为，则　　；
（3）设的小数部分为，为有理数，已知计算的结果为有理数，求的值．
【分析】（1）根据新定义的意义，结合无理数的估算，逐个进行计算即可；
（2）利用新定义表示出，再代入代数式求值；
（3）表示出的小数部分，再根据的结果为有理数，进而确定的值，再代入求值即可．
【答案】解：（1）表示不大于的最大整数，，
，
表示不大于的最大整数，，
，
的小数部分为
故答案为：1，2，0.8．

（2）由题意得：，，
，
故答案为：1．

（3）由题意得：，
，
若使结果是有理数，则，
此时，
答：的值为．
【点睛】考查一元一次不等式组的解集、新定义的概念的理解、以及无理数的运算等知识，准确理解新定义的意义，和两个无理数的积为有理数的特征是解决问题的关键．
22．（10分）（2018秋?金堂县期中）阅读下面材料，并解答后面的问题：
；
；
．
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果　　；
（2）计算　 　，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：
．
【分析】（1）根据上面的材料直接写答案；
（2）利用平方差公式进行计算并填空；
（3）利用（1）中的规律进行计算．
【答案】解：（1）观察上面的等式可知：；
故答案是：；

（2）；
故答案是：1；

（3）由（1）知，原式．
【点睛】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．










第2章 实数章末达标检测卷
【北师大版】
考试时间：90分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）

评卷人 得 分

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019春?越秀区校级期中）下列各数：，，，，（两个1之间依次多一个，中无理数的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）（2018春?闵行区期中）下列说法正确的是（　　）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是 D．是的平方根
3．（3分）（2019春?南昌期中）若，，则的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．或3
4．（3分）（2019春?海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则的值是（　　）
A． B．4或 C．1或 D．4
5．（3分）（2019春?全椒县期中）设为正整数，且，则的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（3分）（2019春?苍溪县期中）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（　　）

A． B． C．2 D．
7．（3分）（2018秋?奉化区期中）已知在实数，，，，，中，互为倒数，，互为相反数，是绝对值，的算术平方根是8，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2019春?昭平县期中）已知，，，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
9．（3分）（2018春?梁子湖区期中）把式子中根号外的因式移入根号内，正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）实数、、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

评卷人 得 分

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2019春?曲阜市校级期中）已知和是的平方根，则　　．
12．（3分）（2018秋?福田区校级期中）化简：　 　．
13．（3分）（2019春?昭阳区期中）如果有意义，那么的取值范围是　 　．
14．（3分）（2019春?泰山区期中）计算：　　．
15．（3分）（2019春?寿光市期中）设整数部分是，小数部分是，求的值为　　．
16．（3分）（2019春?海阳市期中）若满足等式，则的值为　　．
评卷人 得 分

三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2019春?惠城区校级期中）解方程：
（1）
（2）
18．（8分）（2019春?全椒县期中）计算：
（1）
（2）
19．（8分）（2019春?曾都区校级期中）已知是的算术平方根，是的立方根．求的平方根．
20．（8分）（2019春?芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；
（1）；
（2）．
21．（10分）（2019春?江汉区期中）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分．
如，2.13的小数部分为．
（1）　　，　　，的小数部分　　；
（2）设的小数部分为，则　　；
（3）设的小数部分为，为有理数，已知计算的结果为有理数，求的值．
22．（10分）（2018秋?金堂县期中）阅读下面材料，并解答后面的问题：
；
；
．
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果　 　；
（2）计算　 　，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：
．




专题2 实数章末重难点题型汇编【举一反三】
【考点总揽】

【典例分析】
【考点1 无理数的概念】
【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
【例1】（2019春?博兴县期中）在3.14、、、、、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【答案】解：3.14、、、0.2020020002是有理数，
、、2π是无理数，无理数的个数是3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式1-1】（2018春?新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【答案】解：①无限不循环小数都是无理数，故①错误；
②无理数都是无限不循环小数，故②正确；
③﹣2是4的平方根，故③正确；
④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式1-2】（2018秋?东台市期中）下列实数中，、、、、﹣3.14、、、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【答案】解：2，，3，
则无理数有：、、、、0.3232232223…，共5个．
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
【变式1-3】（2019秋?安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（　　）
、、、0、﹣π、、3.1415、、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【答案】解：﹣π、、是无理数，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【考点2 无理数的估算】
【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算.
【例2】（2018春?巫山县期中）估计的值在（　　）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【分析】直接利用的取值范围进而计算得出答案．
【答案】解：∵34，
∴41＜5，
∴的值在2到3之间．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范是解题关键．
【变式2-1】（2019春?北流市期中）设n为正整数，且nn+1，则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】首先得出，得出的取值范围，即可得出n的值．
【答案】解：∵，
∴，
又∵n为正整数，
∴n＝9．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
【变式2-2】（2019春?嘉陵区期中）已知a，b分别是6的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值是（　　）
A． B．2 C． D．9
【分析】先估算34，然后分别求出a＝2，b＝62＝4，再求解即可；
【答案】解：∵34，
∴6的整数部分是2，即a＝2，
6的小数部分是62＝4，即b＝4，
∴2a﹣b＝4﹣4；
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算；熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【变式2-3】（2019春?郯城县期中）若a是1的整数部分，b是5的小数部分，则a（b）的值为（　　）
A．6 B．4 C．9 D．3
【分析】先估算和的大小，然后求出a、b的值，代入所求式子计算即可．
【答案】解：∵21＜3，
∴a＝2，
又∵7＜58，
∴5的整数部分为7
∴b＝572；
∴a（b）＝2×（2）＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是求出无理数整数部分的值，属于基础题．
【考点3 实数的大小比较】
【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.
【例3】（2019秋?河北期中）已知a，b，c＝3，则a、b、c三个数的大小关系是（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【分析】首先求出a，b，c的倒数，进而比较它们的大小，进而得出a、b、c三个数的大小关系．
【答案】解：∵a，b，c＝3，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵3，
∴，
∴，
∴b＞a＞c．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数比较大小，正确求出a，b，c的倒数大小是解题关键．
【变式3-1】（2019春?洪山区期中）比较实数：2、、的大小，正确的是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
【分析】应用放缩法，判断出2、、的大小关系即可．
【答案】解：∵2，
∴2，
∵2，
∴2，
∴2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意放缩法的应用．
【变式3-2】（2019春?淮北期中）比较1与的大小，结果是（　　）
A．前者大 B．后者大 C．一样大 D．无法确定
【分析】首先用1减去，判断出1与的差的正负，然后根据1与的差的正负情况，判断出1与的大小关系即可．
【答案】解：∵111＝1﹣1＝0，
∴10，
∴1，
∴比较1与的大小，结果是后者大．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出1与的差的正负．
【变式3-3】（2019秋?乐山校级期中）已知a，那么a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．.b＜a＜c D．.c＜a＜b
【分析】利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小，再比较a、b、c三者的大小．
【答案】解：∵a﹣c1﹣（2）
（1）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞c；
∵a﹣b1﹣（2）1
≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜b，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
【考点4 二次根式相关概念】
【方法点拨】（1）二次根式的定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
【例4】（2018春?禹州市期中）下列各式：，，，，，，中，一定是二次根式的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．7个
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【答案】解：，，，，，，中，一定是二次根式的是：
，，，共4个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【变式4-1】（2019春?莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【答案】解：③|a﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；
④，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
⑤，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；
因此只有①②符合最简二次根式的条件．
故选：A．
【点睛】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
【变式4-2】（2019春?泰兴市期中）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．
【答案】解：2．
由题意，得
7﹣2a＝3，解得a＝2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
【变式4-3】（2019春?定州市期中）与不是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的意义，将题中的根式化简，找到被开方数相同者即可．
【答案】解：
A、与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、与被开方数相同，是同类二次根式；
C、与被开方数相同，是同类二次根式；
D、与被开方数相同，是同类二次根式．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【考点5 二次根式有意义条件】
【方法点拨】二次根式有意义条件需满足被开方数大于等于0.
【例5】（2018秋?东营区校级期中）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式的定义分析得出答案．
【答案】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2﹣x≥0，且x+3≠0，
解得：x≤2且x≠﹣3．
故答案为：x≤2且x≠﹣3．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
【变式5-1】（2019春?杭锦后旗期中）已知y3，则x﹣y＝　 　．
【分析】根据二次根式有意义的条件确定出x的值，进而得出y的值，代入即可求解．
【答案】解：∵y3，
∴
解得：x＝1
∴y＝3
∴x﹣y＝﹣2
故答案为：﹣2
【点睛】本题考查考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【变式5-2】（2019春?黄石期中）已知实数a满足|2006﹣a|a，则a﹣20062＝　 　．
【分析】根据被开方数大于等于0可以求出a≥2007，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解．
【答案】解：根据题意得，a﹣2007≥0，
解得a≥2007，
∴原式可化为：a﹣2006a，
即2006，
两边平方得，a﹣2007＝20062，
∴a﹣20062＝2007．
故答案为：2007．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．
【变式5-3】（2018春?荔湾区校级期中）已知，则a+b的立方根是　 　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得b＝﹣2，继而求得a的值，代入求值即可．
【答案】解：由题意，得b2＝4且b﹣2≠0．
所以b＝﹣2，
所以a＝﹣6．
所以a+b＝﹣8．
所以2．
故答案是：﹣2．
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【考点6 二次根式的性质与化简】
【方法点拨】掌握二次根式的性质是关键：① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a
取全体实数)。

【例6】（2019春?昌江区校级期中）把根号外的因式移到根号内：　 　．
【分析】根据条件可以得到1﹣a＞0，原式可以化成＝﹣（1﹣a），然后根据二次根式的乘法法则即可求解．
【答案】解：原式＝﹣（1﹣a）?．
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确理解题目中的隐含条件：1﹣a＞0是关键．
【变式6-1】（2018春?宜兴市期中）已知xy＞0，则化简代数式x的结果是　 　．
【分析】首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【答案】解：∵xy＞0，且有意义，
∴x＜0，y＜0，
∴xx?．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式6-2】（2018春?肥城市期中）若1﹣2x，则x的取值范围是　 　．
【分析】已知等式变形后，利用二次根式性质及绝对值的代数意义判断即可求出x的范围．
【答案】解：已知等式变形得：|2x﹣1|＝1﹣2x，
∴2x﹣1≤0，
解得：x．
故答案为：x．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-3】（2018秋?杞县期中）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图，化简：
　 　．

【分析】根据图可得出c＞0＞b＞a，再去绝对值和根号即可．
【答案】解：由题得，c＞0＞b＞a，
∴
＝﹣a﹣a﹣b+c﹣a+b﹣c
＝﹣3a．
故答案为﹣3a．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简以及绝对值、数轴，是基础知识要熟练掌握．
【考点7 实数的运算】
【例7】（2019春?老河口市期中）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）直接利用立方根以及二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质计算得出答案．
【答案】解：（1）原式
＝4﹣1﹣3
＝0；

（2）原式
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式7-1】（2019春?费县期中）（1）计算：（1）
（2）解方程：3（x﹣2）2＝27
【分析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简进而得出答案；
（2）直接利用平方根的性质计算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝42
＝4；

（2）3（x﹣2）2＝27
（x﹣2）2＝9，
则x﹣2＝±3，
解得：x＝﹣1或5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式7-2】（2019春?阆中市期中）计算
（1）||；
（2）．
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义分别化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝2﹣3﹣22
＝﹣4；

（2）原式＝1﹣3﹣（2）
＝﹣4．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式7-3】（2019春?泰山区期中）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算；
（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（4）先利用完全平方公式计算，然后利用平方差公式计算．
【答案】解：（1）原式＝4254
＝96；
（2）原式
；
（3）原式＝23
；
（4）原式＝（2+3﹣2）（5+2）
＝25﹣24
＝1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【考点8 平方根与立方根的性质应用】
【方法点拨】理解平方根、算术平方根、立方根的定义是关键：
（1）一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
（3）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
【例8】（2019春?中山市期中）已知一个正数m的平方根是2a﹣1与2﹣a，a+b+2立方根是2，求m+b的平方根．
【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a﹣1和2﹣a，可得：（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，据此求出a和m的值；然后根据a+b+2的立方根是2，可得：a+b+2＝23＝8，据此求出b的值；最后求出m+b的平方根即可．
【答案】解：∵2a﹣1与2﹣a是正数m的平方根
∴（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，
∴a＝﹣1；
∴m＝（﹣1）2＝1；
∵a+b+2立方根是2，
∴a+b+2＝8，
∴b＝7；
∴m+b＝1+7＝8．
所以m+b的平方根是±2．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式8-1】（2019春?乐陵市期中）已知一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．
【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，可得：（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，据此求出a的值是多少；然后根据：b的立方根是﹣2，可得：b＝（﹣2）3＝﹣8，据此求出2a﹣b的平方根是多少即可．
【答案】解：∵一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，
∴（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2；
∵b的立方根是﹣2，
∴b＝（﹣2）3＝﹣8，
∴2a﹣b
＝2×（﹣2）﹣（﹣8）
＝﹣4+8
＝4
2a﹣b的平方根是：±±2．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式8-2】（2018春?孝南区期中）已知正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且x﹣y﹣3的立方根为3．
（1）填空：x＝　 　，y＝　 　，a＝　 　；
（2）求x﹣y+3a的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得a的值，再根据平方根的意义，可得x，根据立方根的意义，可得y，
（2）根据平方根的意义，可得答案．
【答案】解：（1）由正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，得
2a﹣1+a﹣5＝0，
解得a＝2，
由平方根的意义，得
x＝（2a﹣1）2＝9；
x﹣y﹣3的立方根为3，
得x﹣y﹣3＝33，
解得y＝﹣21，
故答案为：9，﹣21，2；
（2）x﹣y+3a＝9﹣（﹣21）+3×2＝36，
x﹣y+3a的平方根是±±6．
【点睛】本题考查了立方根、平方根，利用立方根的意义、平方根的意义是解题关键．
【变式8-3】（2018春?鄂城区期中）已知是m+3的算术平方根是n﹣2的立方根，试求：
（1）m和n的值；
（2）A﹣B的值．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义得出方程组，求出m、n，再求出A、B，即可得出答案．
【答案】解：（1）∵A是m+3的算术平方根，B是n﹣2的立方根，
∴m﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3，
解得：m＝6，n＝3，
（2）∵m＝6，n＝3，
∴A3，B1，
∴A﹣B＝3﹣1＝2．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，能根据算术平方根和立方根的定义求出m、n的值是解此题的关键．
【考点9 二次根式的化简求值】
【例9】（2019春?芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；
（1）x2+y2；
（2）．
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到x1，y1，再求出x﹣y与xy的值，然后根据完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整体代入即可；
（2）将所求式子变形为，再整体代入即可．
【答案】解：（1）∵1，1，
∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；

（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，
∴原式6．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．
【变式9-1】（2018秋?通川区校级期中）已知x，y，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．
【答案】解：∵x3+2，y3﹣2，
∴xy1，x+y＝3+23﹣26，
∴（1）x2y﹣xy2，
＝xy（x﹣y），
＝1，
＝4；
（2）x2﹣xy+y2，
＝（x+y）2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
【变式9-2】（2018秋?雁塔区校级期中）已知：x，y．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先将x，y分母有理化，再将其代入到原式＝（x﹣y）2﹣xy，计算可得．
【答案】解：x11+2，
y11﹣2，
∴原式＝（x﹣y）2﹣xy
＝（11+211+2）2﹣（11+2）×（11﹣2）
＝（4）2﹣（121﹣120）
＝480﹣1
＝479．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【变式9-3】（2018春?芜湖期中）已知．甲、乙两个同学在的条件下分别计算了M和N的值．甲说M的值比N大，乙说N的值比M大．请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由．
【分析】先由题意计算出xy的值，再将xy的值分别代入M、N，求出结果，再进行比较即可．
【答案】解：乙的结论正确．（1分）
理由：由，可得x＝8，y＝18．（3分）
因此．（6分）
．（9分）
∴M＜N，
即N的值比M大．（10分）
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是根据二次根是有意义的条件，被开方数大于等于0，求得x、y的值．
【考点10 二次根式分母有理化】
【例10】（2019春?瑶海区期中）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：
①；②1等运算都是分母有理化．根据上述材料，
（1）化简：
（2）计算：．
【分析】（1）原式分母有理化，计算即可得到结果；
（2）原式各自分母有理化化简后，合并即可得到结果．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式11．
【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
【变式10-1】（2019秋?唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：1．
请任用其中一种方法化简：①；②．
【分析】①根据平方差公式分母有理化即可求解；
②把分子5变为12﹣7，再根据平方差公式分解因式，再约分计算即可求解．
【答案】解：①

；
②


＝2．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
【变式10-2】（2019春?金平区校级期中）观察下列等式：
第一个等式：a11
第二个等式：a2
第三个等式：a32
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第四个等式：a4＝　 　＝　 　；
（2）利用以上规律计算：a1+a2+a3+…+a11；
（3）求（）（）的值．
【分析】（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式；
（2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算；
（3）根据所给规律探索可得出原式（）（），再根据平方差公式易得结果．
【答案】解：（1）第四个等式：a42；
（2）a1+a2+a3+…+a11；
122
＝21；
（3）（）×（）
（）（）
（7﹣3）
＝2．
故答案为：，2．
【点睛】考查的是规律型：数字的变化类，是一道找规律的题目，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练掌握分数的拆分计算．
【变式10-3】（2019秋?东明县期中）阅读理解：【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1的有理化因式是1．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
【知识运用】
　（1）填空：的有理化因式是　 　；a的有理化因式是　 　；的有理化因式是　 　．
（2）把下列各式的分母有理化：
①；②．
【分析】（1）根据有理化因式定义可知，有理化因式的两个式子是平方差公式或是同一个二次根式；
（2）通过观察，发现：分母有理化的两个步骤：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的．
【答案】解：（1）的有理化因式是；a的有理化因式是；的有理化因式是．
故答案为：；a；；
（2）①；
②2．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化．

专题2 实数章末重难点题型汇编【举一反三】
【考点总揽】

【典例分析】
【考点1 无理数的概念】
【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
【例1】（2019春?博兴县期中）在3.14、、、、、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2018春?新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式1-2】（2018秋?东台市期中）下列实数中，、、、、﹣3.14、、、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】（2019秋?安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（　　）
、、、0、﹣π、、3.1415、、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点2 无理数的估算】
【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算.
【例2】（2018春?巫山县期中）估计的值在（　　）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【变式2-1】（2019春?北流市期中）设n为正整数，且nn+1，则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-2】（2019春?嘉陵区期中）已知a，b分别是6的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值是（　　）
A． B．2 C． D．9
【变式2-3】（2019春?郯城县期中）若a是1的整数部分，b是5的小数部分，则a（b）的值为（　　）
A．6 B．4 C．9 D．3
【考点3 实数的大小比较】
【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.
【例3】（2019秋?河北期中）已知a，b，c＝3，则a、b、c三个数的大小关系是（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【变式3-1】（2019春?洪山区期中）比较实数：2、、的大小，正确的是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
【变式3-2】（2019春?淮北期中）比较1与的大小，结果是（　　）
A．前者大 B．后者大 C．一样大 D．无法确定
【变式3-3】（2019秋?乐山校级期中）已知a，那么a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．.b＜a＜c D．.c＜a＜b
【考点4 二次根式相关概念】
【方法点拨】（1）二次根式的定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
【例4】（2018春?禹州市期中）下列各式：，，，，，，中，一定是二次根式的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．7个
【变式4-1】（2019春?莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④
【变式4-2】（2019春?泰兴市期中）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【变式4-3】（2019春?定州市期中）与不是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点5 二次根式有意义条件】
【方法点拨】二次根式有意义条件需满足被开方数大于等于0.
【例5】（2018秋?东营区校级期中）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【变式5-1】（2019春?杭锦后旗期中）已知y3，则x﹣y＝　 　．
【变式5-2】（2019春?黄石期中）已知实数a满足|2006﹣a|a，则a﹣20062＝　 　．
【变式5-3】（2018春?荔湾区校级期中）已知，则a+b的立方根是　 　．
【考点6 二次根式的性质与化简】
【方法点拨】掌握二次根式的性质是关键：① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a
取全体实数)。

【例6】（2019春?昌江区校级期中）把根号外的因式移到根号内：　 　．
【变式6-1】（2018春?宜兴市期中）已知xy＞0，则化简代数式x的结果是　 　．
【变式6-2】（2018春?肥城市期中）若1﹣2x，则x的取值范围是　 　．
【变式6-3】（2018秋?杞县期中）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图，化简：
　 　．

【考点7 实数的运算】
【例7】（2019春?老河口市期中）计算：
（1）
（2）
【变式7-1】（2019春?费县期中）（1）计算：（1）
（2）解方程：3（x﹣2）2＝27
【变式7-2】（2019春?阆中市期中）计算
（1）||；
（2）．
【变式7-3】（2019春?泰山区期中）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【考点8 平方根与立方根的性质应用】
【方法点拨】理解平方根、算术平方根、立方根的定义是关键：
（1）一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
（3）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
【例8】（2019春?中山市期中）已知一个正数m的平方根是2a﹣1与2﹣a，a+b+2立方根是2，求m+b的平方根．
【变式8-1】（2019春?乐陵市期中）已知一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．
【变式8-2】（2018春?孝南区期中）已知正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且x﹣y﹣3的立方根为3．
（1）填空：x＝　 　，y＝　 　，a＝　 　；
（2）求x﹣y+3a的平方根．
【变式8-3】（2018春?鄂城区期中）已知是m+3的算术平方根是n﹣2的立方根，试求：
（1）m和n的值；
（2）A﹣B的值．
【考点9 二次根式的化简求值】
【例9】（2019春?芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；
（1）x2+y2；
（2）．
【变式9-1】（2018秋?通川区校级期中）已知x，y，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【变式9-2】（2018秋?雁塔区校级期中）已知：x，y．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．
【变式9-3】（2018春?芜湖期中）已知．甲、乙两个同学在的条件下分别计算了M和N的值．甲说M的值比N大，乙说N的值比M大．请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由．
【考点10 二次根式分母有理化】
【例10】（2019春?瑶海区期中）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：
①；②1等运算都是分母有理化．根据上述材料，
（1）化简：
（2）计算：．
【变式10-1】（2019秋?唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：1．
请任用其中一种方法化简：①；②．
【变式10-2】（2019春?金平区校级期中）观察下列等式：
第一个等式：a11
第二个等式：a2
第三个等式：a32
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第四个等式：a4＝　 　＝　 　；
（2）利用以上规律计算：a1+a2+a3+…+a11；
（3）求（）（）的值．
【变式10-3】（2019秋?东明县期中）阅读理解：【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1的有理化因式是1．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
【知识运用】
　（1）填空：的有理化因式是　 　；a的有理化因式是　 　；的有理化因式是　 　．
（2）把下列各式的分母有理化：
①；②．

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