资源简介

(共50张PPT)
7.2 一元一次不等式
第7章 一元一次不等式与
不等式组
第1课时 一元一次不等式的解法
1.理解和掌握不等式的解、不等式的解集、解不等式
这些概念的含义；
2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式，并会
在数轴上表示出其解集．（重点、难点）
学习目标
方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做　　　　　　　。
一元一次方程
1.什么叫一元一次方程 ?
复习与回顾
复习巩固：
1.不等式的基本性质是什么？
2.解一元一次方程的一般步骤是什么？
性质1: 不等式的两边都加上（或减去）
同一个数（或式），不等号的方向不变。
性质2: 不等式的两边都乘（或除以）
同一个正数，不等号的方向不变。
性质3:不等式的两边都乘（或除以）
同一个负数，不等号的方向改变。
有一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子.
鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的一种重要方法.
.创设情境：
问题：某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，
年利润就增加1.8万元。如果该公司原来的年利润为200
万元，要使年利润等于245万元，那么增加的科研经费
应当为多少万元？
某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，
年利润就增加1.8万元。如果该公司原来的年利润为200
万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费
应当高于多少万元？
问1：你能解决这一问题吗？你利用的是什么方法？
问2：若把题中的“等于”改为“超过”，“为”改为“高于”，
你还会吗？
解：设该公司增加科研经费x万元，那么年利润就增加1.8X万元。
根据题意得：
200+1.8x=245
200+1.8x>245

三、合作探究：
(一).一元一次不等式的意义:
问3：你所列的式子具有什么特征?能否类比方程的特征得到不等式的特征？
类比:
方程的特征:
不等式的特征:
(1).只含有一个未知数
(2).未知数的次数是1
(3).等号两边都是整式
(1).只含有一个未知数
(2).未知数的次数是1
(3).不等号两边都是整式
200+1.8x=245
200+1.8x>245


观察下列不等式：
(1)200+1.8x＞245 (2)2x-2.5≥1.5

(3)x≤8.75 (4)x＜4

(5)5+3x ＞ 240

这些不等式有哪些共同点？

一元一次不等式的定义
只含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号的两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式
下列不等式中，哪些是一元一次不等式?
(1) 3x+2>x–1 (2)5x+3<0
(3) 3 <5x–1 (4)x2–1<2x
?
?
?
?
(二).不等式的解与解集：
猜一猜:
问4：对于一元一次不等式200+1.8x>245，使它成立的未知数x的值是多少？
思考:
1.判断下列给出的数中,哪些能使不等式200+1.8x>245成立？
30.5， 24.5， 25.5， 22， 10
2.你还能找出使上述不等式成立有其它的数吗？能找多少个？
归纳：
通过以上的思考，探究得到的大于25的任何一个实数
（如26，30.5等）都能使不等式200+1.8x>245成立。

合作探究：
不等式的解：一般地,能够使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解.所有这些解的全体称为这个不等式的解的集合,简称解集.
解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式.
问6：类比方程的解和解方程的概念,你发现它们有什么异同点
了吗?
一元一次方程的解唯一,而一元一次不等式的解不唯一.
问5：你能类比一元一次方程的解的概念，猜想出一元一次不
等式的解的概念吗？
方程的解：一般地,能够使方程成立的未知数的值,叫做这个方程的解.
解方程:求方程的解的过程叫做解方程.

合作探究：
聪明的你能说出下列不等式的解集吗？
　（1）x+3＞6； （2）2x＜8 ；（3）x－2≥0.

(三).解一元一次不等式：
活动:自主探索:
同桌的两位同学一个解方程,另一个类比解方程的方法解不等式然后交流,讨论.
问7:你能类比一元一次方程200+1.8x=245的解法,
研究出一元一次不等式 200+1.8x>245的解法吗？
解方程： 200+1.8x=245
解：移项得：1.8x=245-200
合并同类项得：1.8x=45
系数化为1得：x=25
解不等式：200+1.8x>245
解：移项得：1.8x>245-200
合并同类项得：1.8x>45
系数化为1得：x>25

合作探究：
画数轴

找点

描点
画线













-5
5
-3
-4
4
-2
3
-1
2
1
-6
6
o


你能用数轴表示x+2>5的解集x>3吗?



。
描点时注意：大于小于空心圈，
若带等于实心点！
画线时注意：大于向右，
小于向左！
不等式的解集在数轴上的表示方法：
如何在数轴上表示不等式的解集？要注意一些什么？
结论：
1、大于向右画，小于向左画。
2、有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈。
用不等式表示图中所示的解集．
思考：在数轴上表示不等式解集时应注意什么？
1，在数轴上表示x ≥ -2的图是









-3
-2
-1
0
1
2
3








-3
-2
-1
0
1
2
3








-3
-2
-1
0
1
2
3








-3
-2
-1
0
1
2
3












（A)
(B)
(C)
(D)
(B)
小智慧 大挑战
例1 解不等式，并将解集在数轴上表示出来：
2x－1<4x＋13；
解: 移项，得2x－4x<13＋1.
合并同类项，得－2x<14.
x系数化成1，得x>－7.
x>－7在数轴上的表示如图所示.

例一
例1.解不等式2x+5 ≤ 7（2-x)，并把它的解集表示在数轴上。
例1.解不等式2x+5 ≤ 7（2-x) ，并把它的解集表示在数轴上。
解：
合并同类项，得：
9x ≤ 9
两边都除以9，得：
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
解方程的移项变形对于解不等式同样适用
去括号，得：
2x+5 ≤ 14-7x
移项，得：
2x+7x ≤ 14-5
X ≤ 1






-1 0 1 2











不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来。如X≤1可用数轴上表示1的点及左边所有点来表示
注意哦！不等式X ≤ 1包括1，则在数轴上把表示1的点画成实心点













例2.解不等式 ≥ ，并把它的解集表示在数轴上。
解：
去分母，得 3(x-2) ≥2(7-x)
去括号，得 3x-6≥14-2x
移项、合并同类项，得 5x≥20
两边都除以5，得 x≥4
这个不等式的解集在数轴上表示如下

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
课本例题2
一元一次方程 一元一次不等式
解

法

步

骤

解的情况
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化为1
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化为1
在（1）与（5）这两步若乘数（或除数）为负数，要把不等号方向改变
一般只有一个解 一般解集含有无数个解
一元一次方程与一元一次不等式的解法比较
两边同时除以未知数的系数
一元一次不等式的解集在数轴上表示
解 集 边界点 方 向 如 图




空 心
实 心
空 心
实 心
向 左
向左
向 右
向 右

































































































































8x-4≥15x-60
8x-15x≥-60+4
-7x≥-56
x≤8
去分母得:
去括号得:
移项得:
合并同类项得:
化系数为1得:

与解一元一次方程方法类似
解:

同乘最简公分母12,方向不变

同除以-7,方向改变
﹦
﹦
﹦
﹦
﹦
﹦


0

1
2
-1

3
4
5
6
7
8











这个不等式的解集在数轴上的表示为

2y+2-6y+15≥12
2y-6y≥12-2-15
-4y≥-5
y≤
师生互动大闯关!
去分母得:
去括号得:
移项得:
合并同类项得:
化系数为1得:
解:

同乘最简公分母12,方向不变

同除以-4,方向改变


这个不等式的解集在数轴上的表示为



0




下列解不等式过程是否正确，如果
不正确请给予改正。
解：不等式
去分母得 6x－3x＋2（x+1）＜1-x＋8
去括号得 6x－3x＋2x+2 ＜1-x＋8
移项得 6x－3x＋2x-x＜1＋8＋2
合并同类项得 4x＜11
系数化为1，得 x＜11/4

运用
下列解不等式过程是否正确，如果
不正确请给予改正。
解：不等式
去分母得 6x－3x＋2（x+1）＜6-(x＋8)
去括号得 6x－3x＋2x+2 ＜6-x-8
移项得 6x－3x＋2x-x＜6-8＋2
合并同类项得 4x＜0
系数化为1，得 x＜0


运用
火眼金睛
解不等式
解：
③
①
②
④
请指出上面的解题过程中，有什么地方产生了错误。
答：在第①步中_________________________,在第②步中________________,在第③步中 _____________，在第④步中_________。
两边同乘-6，不等号没有变号
去分母时，应加括号
移项没有变号
正确
这节课学了什么?
你说我说大家说!
解一元一次不等式的步骤有哪些是需要我们注意的？

请注意与一元一次方程解法的异同!
用类比学习的方法得到了解一元一次不等式的方法


例 解下列一元一次不等式 ：

2(x -5)+6 ≤ 9x+3
解；去括号得 2x -10 + 6 ≤ 9x+3
移项得 2x - 9x ≤ 10 - 6+3
合并同类项得： -7x ≤ 7
两边都除以-7，得
x ≥ -1
例1 解不等式，并将解集在数轴上表示出来：
2x－1<4x＋13；
解: 移项，得2x－4x<13＋1.
合并同类项，得－2x<14.
x系数化成1，得x>－7.
x>－7在数轴上的表示如图所示.

画数轴

找点

描点
画线













-5
5
-3
-4
4
-2
3
-1
2
1
-6
6
o


你能用数轴表示x+2>5的解集x>3吗?



。
聪明的你能说出下列不等式的解集吗？
　（1）x+3＞6； （2）2x＜8 ；（3）x－2≥0.

描点时注意：大于小于空心圈，
若带等于实心点！
画线时注意：大于向右，
小于向左！
导 入
问题 某公司的统计资料表明，科研经费，每增加1万元，年利润就增加1.8万元，如果该公司原来的年利润为200万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费应高于多少万元？
解：
（1）设大约x周后树苗长高到1米，则有：
40 + 15x=100
分析：设该公司增加科研经费x万元，那么年利润就增加 万元，因为年利润要超过245万元，所以
200+1.8x>245
1.8x
1.8
对于不等式200+1.8x>245
对于不等式200+1.8x>245：
当x取26时，代入原不等式左边，得
200+1.8x26=246.8超过了245.
当x取25时，代入原不等式左边，得
200+1.8x25=245.
当x取24时，代入原不等式左边，得
200+1.8x24=243.2少于245.

这就是说，当x取某些值（如26）时，不等式200+1.8x>245成立；当x取另一些值（如24、25）时不等式不成立。
1、判断下列给出的数中哪些能使不等式200+1.8x>245成立：
30.5 24.5 25.5 22 10
2、你还能找出使上述不等式成立的其他书吗？能找出多少？
一般的，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集。
由上可知，大于25的任何一个实数（如26,30.5等）都是不等式200+1.8x>245的解，而所有的这些解得全体（x>25)称为这个不等式的解集。
求不等式解集的过程叫做解不等式
例一
例1.解不等式2x+5 ≤ 7（2-x)，并把它的解集表示在数轴上。
1、你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试。
2、在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？
3、在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？
例1.解不等式2x+5 ≤ 7（2-x) ，并把它的解集表示在数轴上。
解：
合并同类项，得：
9x ≤ 9
两边都除以9，得：
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
解方程的移项变形对于解不等式同样适用
去括号，得：
2x+5 ≤ 14-7x
移项，得：
2x+7x ≤ 14-5
X ≤ 1






-1 0 1 2











不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来。如X≤1可用数轴上表示1的点及左边所有点来表示
注意哦！不等式X ≤ 1包括1，则在数轴上把表示1的点画成实心点
不等式 x＋1≥－1的解集为:
x ≥ －2
解集的表示
画数轴

找点

画点
牵线

不等式X＞－2与X≥－2的解集与有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．
-2不包括在内就是空心圆圈，-2包括在内就是实心圆圈。

用不等式表示图中所示的解集．
思考：在数轴上表示不等式解集时应注意什么？
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)- 2x≥8 (2)-4x≤2
(3)5x-4＜7x-1 (4)2x-5＞2+5x
(4)3(1-x) ≤x+8 (5)12-2x＞3(2x-3)
练 习













例2.解不等式 ≥ ，并把它的解集表示在数轴上。
解：
去分母，得 3(x-2) ≥2(7-x)
去括号，得 3x-6≥14-2x
移项、合并同类项，得 5x≥20
两边都除以5，得 x≥4
这个不等式的解集在数轴上表示如下

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

8x-4≥15x-60
8x-15x≥-60+4
-7x≥-56
x≤8
去分母得:
去括号得:
移项得:
合并同类项得:
化系数为1得:

与解一元一次方程方法类似
解:

同乘最简公分母12,方向不变

同除以-7,方向改变
﹦
﹦
﹦
﹦
﹦
﹦


0

1
2
-1

3
4
5
6
7
8











这个不等式的解集在数轴上的表示为

2y+2-6y+15≥12
2y-6y≥12-2-15
-4y≥-5
y≤
师生互动大闯关!
去分母得:
去括号得:
移项得:
合并同类项得:
化系数为1得:
解:

同乘最简公分母12,方向不变

同除以-4,方向改变


这个不等式的解集在数轴上的表示为



0




下列解不等式过程是否正确，如果
不正确请给予改正。
解：不等式
去分母得 6x－3x＋2（x+1）＜1-x＋8
去括号得 6x－3x＋2x+2 ＜1-x＋8
移项得 6x－3x＋2x-x＜1＋8＋2
合并同类项得 4x＜11
系数化为1，得 x＜11/4

运用
下列解不等式过程是否正确，如果
不正确请给予改正。
解：不等式
去分母得 6x－3x＋2（x+1）＜6-(x＋8)
去括号得 6x－3x＋2x+2 ＜6-x-8
移项得 6x－3x＋2x-x＜6-8＋2
合并同类项得 4x＜0
系数化为1，得 x＜0


运用
火眼金睛
解不等式
解：
③
①
②
④
请指出上面的解题过程中，有什么地方产生了错误。
答：在第①步中_________________________,在第②步中________________,在第③步中 _____________，在第④步中_________。
两边同乘-6，不等号没有变号
去分母时，应加括号
移项没有变号
正确
这节课学了什么?
你说我说大家说!
解一元一次不等式的步骤有哪些是需要我们注意的？

请注意与一元一次方程解法的异同!
用类比学习的方法得到了解一元一次不等式的方法
一元一次方程 一元一次不等式
解

法

步

骤

解的情况
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化为1
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化为1
在（1）与（5）这两步若乘数（或除数）为负数，要把不等号方向改变
一般只有一个解 一般解集含有无数个解
解法比较
两边同时除以未知数的系数
一元一次不等式的解集在数轴上表示
解 集 边界点 方 向 如 图




空 心
实 心
空 心
实 心
向 左
向左
向 右
向 右

展开更多......

收起↑